FED powinien podnosić, nie obniżać stóp

 Normalnie uważa się, że nie należy się kłócić z rynkiem. Ale w dzisiejszych czasach, to raczej rynek nie chce się kłócić z Trumpem. Trump żąda obniżki stóp procentowych od FEDu, rynek mu wierzy i pewnie pod to tak ciągną indeksy. Wszyscy wierzą, że FED pokornie obniży stopy i wygląda na to, że tak się właśnie stanie. Będzie to dowód na upolitycznienie tej instytucji, albowiem nic nie wskazuje, aby stopy były niższe, wręcz przeciwnie - powinny być lekko podniesione.

Po pierwsze zgodnie z wytycznymi celem FEDu powinno być utrzymanie inflacji na poziomie 2% (zob. źródło). Tymczasem inflacja w USA sięga 3% (źródło):

 Po drugie reguła Taylora, którą FED powinien się kierować, wprost wskazuje zbyt niski poziom (źródło):

Powiedzmy jednak, że krytyk tego podejścia uzna je za zbyt sztywne, bo nie bierze pod uwagę przyszłej koniunktury. Pretekstem do obniżek mają być gorsze dane z rynku pracy. Tyle że jakoś FED prognozuje normalny, nawet lepszy niż w ostatnich latach, wzrost (źródło):

Stąd reguła Taylora w wersji dynamicznej, którą prezentowałem kilka lat temu, a teraz zaktualizowałem, pokrywa się z klasyczną (link do danych):

I rzeczywiście, zgodnie z tą regułą, luka PKB jest już przesadnie dodatnia i powinna być jak najprędzej ograniczana (źródło):

Luka trochę się zmniejszyła, zatem powinni przynajmniej utrzymać stopy na obecnym poziomie. Więc to jest test dla FEDu, czy poddadzą się politycznym naciskom. 

Ile powinien kosztować WIG20 trzy lata temu?

Żeby ocenić, na ile model wyceny jest sensowny albo skuteczny, należy przetestować go na  historii. Modelując wycenę WIG20 na drugą połowę 2022 r., spodziewałem się, że model Gordona wskaże niedowartościowanie na początku hossy. Jednak indeks okazał się być prawidłowo wyceniony. Możliwe, że model jest za prosty, może trzeba by założenia parametrów poprawić, a może po prostu rynek zgodził się z modelem. 

Jeśli chodzi o założenia parametrów można je oczywiście zmieniać, ale nie znaczy to, że można wstawiać dowolne liczby. Stopa dyskontowa 11,6% to suma premii za ryzyko USA, krajowe (na podst. strony Damodarana) i stopy wolnej od ryzyka (przyjąłem 6%). Współczynnik wypłaty dywidendy / zatrzymania jest trudny do oszacowania. Dziś wg moich szacunków wsp. wypłaty wynosi ok. 60-70%, czyli zatrzymania 30-40%. Można nawet dla szybkiego sprawdzianu spojrzeć na PKO: EPS = 8, dywidenda = 5.5, czyli wsp. wypłaty = 5,5/8 = 69%, a więc wsp. zatrzymania 31%. Podobnie PEKAO: odpowiednio 25,75 i 18,35, wsp. zatrzymania = 1 - 18,35/25,75 = 0,29. Ostatnio jak robiłem, to wpisywałem wsp. wypłaty = 66,66%, czyli prawidłowo, ale zamieniłem teraz na równe 70% (praktycznie nie zmienia to wyceny). Taki współczynnik generuje wzrost zysku między 3,5 a 4,6%. 

Współczynnik ten jednak się zmienia. W 2022 r. wyszło mi niecałe 50% dla wsp. zatrzymania, dokładniej 47%, i tyle przyjąłem.

Ostatni aspekt, jaki chciałem krótko poruszyć dotyczy ROE. Nigdy tego szczegółowo nie analizowałem, bo nie uważałem tego za zbyt ważne, ale teraz wyjaśnię dokładniej, że istnieją 3 różne metryki ROE:

1) podstawowa: Z(t) / KW(t) , gdzie Z(t) to zysk netto w okresie t i KW(t) to wartość księgowa kapitału własnego w okresie t,

2) stosowana w różnych analizach finansowych: Z(t) / [KW(t) + KW(t-1)]/2,

3) jedyna prawidłowa dla wyceny: Z(t) / KW(t-1), dlatego że ROE porównuje się z kosztem kapitału własnego, a ten jest stopą procentową / zwrotu.

ROE dla wyceny można też zapisać jako Z(t) * (1 + w)/ KW(t) = Podstawowe ROE * (1+w) , gdzie w to tempo wzrostu zysku. Chodzi nam o oszacowanie przyszłego ROE, czyli przyszłego zysku. Tej formuły używam, ale za w nie wstawiam wzrostu dywidendy, tylko tempo nominalnego wzrostu PKB. Zysk może rosnąć nie tylko dzięki zyskowi zatrzymanemu, ale także dzięki emisji akcji i obligacji. Ta emisja pochodzi z dochodów ludności, które rosną właśnie w tempie w. Tak więc ten wzrost nie pochodzi od strony podażowej, ale popytowej  - innymi słowy spółka może wyemitować maksymalnie tyle ile ludzie dodatkowo zarabiają. Tak więc wzrost z tej emisji nowego kapitału jest ograniczony możliwościami gospodarki. Z Banku Światowego można uzyskać dane na temat statystyk wzrostu nominalnego PKB i właśnie stąd w = 7%. 

Wycenę zrobiłem na dzień 18.11.2022, kiedy skład WIG20 został zaktualizowany. Dostałem wartość indeksu na poziomie 1783 zł. Tego dnia WIG20 kosztował na koniec dnia 1707,23 zł, zatem ściśle biorąc był niedowartościowany, ale zaledwie o 4%, więc trudno tu mówić o jakimś niedowartościowaniu. 

Co by się stało, gdyby przyjąć wsp. zatrzymania na poziomie dzisiejszym, 30-40%? Przy 30% jest to 1461, a przy 40% 1612. Czyli powiedzmy 1500 - też nie jest to poziom odległy, bo jeszcze miesiąc wcześniej indeks tam się wspinał. A co powodowało dalszy wzrost? Zysk netto spółek mocno wzrósł w kolejnym roku - średnio gdzieś o 40%. 

Link do wyceny znajdziemy tutaj.

Krótka uwaga na temat free floatu

 Ostatnia wycena ad hoc WIG20, czyli z modelu Gordona, okazuje się jeszcze niższa niż te 1950 zł. Problem polega na wstawieniu odpowiedniej kapitalizacji i liczby akcji. W poprzedniej wycenie wstawiłem nie tyle wyemitowaną liczbę akcji, co liczbę akcji w obrocie, tj. free float. Po uwzględnieniu wszystkich akcji (na podstawie danych z bankier.pl), wycena spada do 1882 zł (link).

Można by przekonywać, że wartość tworzą jedynie ci, którzy handlują akcjami i stąd wycena nie powinna dotyczyć części zamrożonej. Free float obejmuje jednak tylko liczbę akcji na daną chwilę, a pakiety kontrolne też mogą być sprzedawane. 

Mniejszy free float rodzi zarówno przychody jak i koszty. Koszty to mniejsza płynność (trudniej kupić / sprzedać po własnej cenie) oraz związane z tym ryzyko manipulacji kursem (przez zmowę spekulantów). Ponadto duża koncentracja akcji w rękach paru podmiotów rodzi ryzyko wywłaszczenia. O problemie wywłaszczenia, czy w ogóle to jest legalne, pisałem w art. Wyciskanie akcjonariusza, czyli kiedy wycena nie ma sensu. W sumie wzrasta koszt kapitału własnego - a to obniża wartość. 

Z drugiej strony większa koncentracja kapitału w rękach inwestorów instytucjonalnych sprawia, że zarząd spółki nie może robić co mu się żywnie podoba i może być łatwo odwołany. Duzi inwestorzy patrzą na ręce zarządowi i nie będą pozwalać np. na dodatkową emisję akcji lub obligacji. Oczywiście ta zaleta koncentracji kapitału powstaje jedynie przy warunku, że pakiety kontrolne nie należą do podmiotów powiązanych z zarządzającymi. Jeśli tak się dzieje, to nie można mieć pewności, że będą zatrudniani ludzie wg klucza kompetencji, a wszelkie emisje będą tylko ułatwiane. 

W każdym razie kupując akcje powinniśmy też zwracać uwagę na poziom free floatu i kto ma kontrolę. Wydaje się, że najlepszą sytuacją jest, jeśli po pierwsze kontrola jest rozproszona między wiele funduszy niezależnych od siebie, ale sumarycznie mają powyżej 50%, a po drugie, żeby ta kontrola nie była powyżej powiedzmy 80-85%. Wzorową sytuacją jest Kruk (kontrola = 73%, najwięcej ma niecałe 13% fundusz), a przeciwieństwem mBank (kontrola 90,08%, a inny (niemiecki) bank ma aż 69% akcji). 

Policzmy w końcu poprawnie wskaźniki indeksów

Zawsze gdy analizujemy dane finansowe, staramy się je uzyskać z najbardziej rzetelnych i aktualnych źródeł. Gdy więc chcemy zobaczyć bieżące C/Z i C/WK indeksu lub spółki, pierwszym wyborem powinno być to oficjalne. W przypadku WIG20, będzie nim strona gpwbenchmark. Widzimy, że C/Z równa się 14,66, a C/WK 1,64 (stan na 21.08.2025). Gdy jednak chcemy znaleźć historyczne wskaźniki, to dużo łatwiej oprzeć się na źródłach pośrednich. Korzystamy więc np. ze stooq. I okazuje się, że portal pokazuje inne dane: C/Z = 16,19 i C/WK = 2,86. Z czego wynika ta różnica? Czy stooq.pl pokazuje błędne wartości?

W jaki sposób policzyć wskaźnik dla indeksu? Zajmijmy się C/WK. Na logikę, cały indeks jako portfel traktujemy jak jedną spółkę. Czyli:

C/WK = Kapitalizacja portfela / Wartość księgowa portfela

Całą kapitalizację oznaczymy Kap. Powiedzmy, że mamy 3 spółki w portfelu.  Zapiszemy:

gdzie Kap_i oznacza kapitalizację spółki i, czyli

gdzie N_i - liczba akcji spółki i, C_i - cena akcji. 

Wtedy C/WK indeksu ma postać:

 WK_i - wartość księgowa na akcję spółki i.

Taką właśnie definicję wskaźników znajdziemy w dokumencie GPW "Podstawowe algorytmy wskaźników rynku kapitałowego". Jest to nic innego jak średnia ważona harmoniczna:

I dla C/Z analogicznie:

gdzie Z_i - EPS dla i-tej spółki.

Taki wzór powinno się stosować.

Dlaczego nazywa się to średnią ważoną, skoro nie widać tu żadnych wag? Wzór można tak przekształcić, żeby wagi się pojawiły. Wtedy będzie można porównać powyższy wzór z innymi średnimi ważonymi. Najpierw zdefiniujemy udział i-tej spółki w portfelu:  

Czy za udział można by alternatywnie wstawić liczbę akcji podzieloną przez liczbę wszystkich akcji? Nie, bo wtedy split czy resplit zmieniałby udział. "Waga" jest więc ciut lepszym słowem niż udział, bo jak coś waży, to wiadomo o co chodzi. Definicja udziału wywodzi się jednak formalnie z teorii portfela, w której inwestor przeznacza określoną sumę pieniędzy na zakup danego waloru (zob. ten wpis, w którym jest to wyjaśnienie). 

To teraz przekształcimy pierwotny wzór:

 

Czyli dostajemy postać:

Powiedzmy jednak, że jesteśmy otwarci na eksperymenty z innymi metodami. Porównajmy naszą formułę ze średnią ważoną arytmetyczną i geometryczną.

Średnia ważona arytmetyczna

To metoda intuicyjna w tym sensie, że wykorzystujemy naturalnie wagi (udziały) spółek z portfela. Każdą wagę mnożymy przez wskaźnik dla danej spółki:

Wskaźnik C/Z wygląda analogicznie. Teraz pomyślmy co się stanie, gdy zysk trzeciej spółki wynosi zero lub jest bardzo niski. C/Z skacze do nieskończoności albo do ogromnych wartości, a więc średnia ważona C/Z dla całego portfela będzie nienormalnie duża. Czyli z punktu widzenia C/Z widać, że nie należy tego sposobu używać. Ale wszystkie wskaźniki muszą być liczone tą samą metodą, aby zachować spójność i proporcjonalność (chociażby, żeby policzyć ROE ze stosunku C/WK do C/Z). Zatem dostajemy dowód, że C/WK też nie może być liczone w ten sposób.   

Średnia ważona geometryczna

Trzecią możliwością jest średnia geometryczna z wagami w potęgach:

Tutaj można przeprowadzić identyczne rozumowanie co w przypadku średniej arytmetycznej. Jeśli zysk wyniesie zero, to średnia ważona geometryczna skacze do nieskończoności. Nie musi być to nawet dokładnie zero, wystarczy, że będzie bardzo mały. Gdyby była strata, to już w ogóle nie dałoby się nic policzyć. Jedna spółka całkowicie psuje wskaźnik. Trzeba więc porzucić tę metodę, ale żeby zachować spójność, także C/WK nie może być w ten sposób liczone.

Przykłady

Zobaczmy przykłady trzech wariantów-okresów. Dla uproszczenia liczba akcji wszędzie równa się 1.

Okres I – wszystkie spółki mają podobny zysk

Dane wejściowe:

Spółka 1: C1 = 100, Z1 = 10, Kap1 = 100, C1/Z1 = 10

Spółka 2: C2 = 150, Z2 = 10, Kap2 = 150, C2/Z2 = 15

Spółka 3: C3 = 120, Z3 = 10, Kap3 = 120, C3/Z3 = 12

Suma kapitalizacji i zysków: 

Kap1 + Kap2 + Kap3 = 370 

Z1 + Z2 + Z3 = 30

Wagi: 

w1 = Kap1 / (Kap1 + Kap2 + Kap3) = 100 / 370 = 0,27

w2 = 150 / 370 = 0,41 

w3 = 120 / 370 = 0,32

Średnie ważone: 

Arytmetyczna = 12,7

Geometryczna = 12,5

Harmoniczna = 12,3

Okres II – spółka 3 ma spadek zysku o 95% i kapitalizacji o 40%
Dane wejściowe: 

Spółka 1: C1 = 100, Z1 = 10, Kap1 = 100, C1/Z1 = 10 

Spółka 2: C2 = 150, Z2 = 10, Kap2 = 150, C2/Z2 = 15 

Spółka 3: C3 = 72, Z3 = 0,5, Kap3 = 72, C3/Z3 = 144

Suma kapitalizacji i zysków: 

Kap1 + Kap2 + Kap3 = 322 

Z1 + Z2 + Z3 = 20,5

Wagi: 

w1 = Kap1 / (Kap1 + Kap2 + Kap3) = 100 / 322 ≈ 0,31

w2 = 150 / 322 ≈ 0,47 

w3 = 72 / 322 ≈ 0,22

Średnie ważone: 

Arytmetyczna = 42,3

Geometryczna = 21,9

Harmoniczna = 15,7

Okres III – spółka 3 ma zysk zero i spadek ceny o 50%

Dane wejściowe: 

Spółka 1: C1 = 100, Z1 = 10, Kap1 = 100, C1/Z1 = 10 

Spółka 2: C2 = 150, Z2 = 10, Kap2 = 150, C2/Z2 = 15 

Spółka 3: C3 = 60, Z3 = 0, Kap3 = 60, C3/Z3 = nieskończoność

Suma kapitalizacji i zysków: 

Kap1 + Kap2 + Kap3 = 310 

Z1 + Z2 + Z3 = 20

Wagi: 

w1 = Kap1 / (Kap1 + Kap2 + Kap3) = 100 / 310 = 0,32 

w2 = 150 / 310 = 0,48 

w3 = 60 / 310 = 0,19

Średnie ważone: 

Arytmetyczna = nieskończoność 

Geometryczna = nieskończoność 

Harmoniczna = 15,5

Spójrzmy jak "oporna" jest ta średnia harmoniczna - nawet przy nieskończonej wartości C/Z dla jednego składnika, jest stabilna, a dla ogromnych wzrostów wskaźników niewiele się zmienia. 

Co ze stratami?

Konstrukcja średniej harmonicznej pozwala też użyć jej dla spółek ze stratami, jeśli nie przeważają nad zyskami pozostałych. Ponieważ wskaźniki poszczególnych spółek sztucznie usuwa się z analizy, gdy występują straty, to lepiej używać wzoru ze stosunkiem sum, ponieważ ten z wagami wymaga użycia indywidualnych wskaźników.

 

I tu zaczyna się problem. Obecnie dwie z WIG20 są pod kreską (Pepco i PGE). Jeśli ich nie uwzględnimy, to sztucznie zaniżymy C/Z. Powoduje to nie tylko błędną analizę porównawczą, ale też dostaniemy nieprawidłowe ROE dzieląc C/WK przez C/Z. 

Potrzebujemy więc odpowiednich danych, tj. strat dla tych spółek, których nie wyłuskam ze wskaźników (raczej nie podaje się ich, gdy są ujemne). Spojrzałem więc na dane w dwóch źródłach - bankier.pl i biznesradar.pl. Oba portale pokazują inne liczby. 

Biznesradar: dla Pepco wskazuje ponad 3 mld zł strat, dla PGE ponad 1,5 mld strat. 

Bankier: dla Pepco w ogóle nie wykazuje ani zysku ani strat, dla PGE to 1,64 mld strat. 

Biorąc dane Bankiera dostałbym C/Z  = 14,59, natomiast wg Bizneradar ok. 17. Zakładając, że bankier.pl ma bardziej poprawne dane, możemy uznać, że gpw uwzględnia straty - wtedy wszystko będzie prawidłowo (przypominam, że podali 14,66).

Straty trzeba koniecznie uwzględnić we wskaźnikach nie tylko dlatego, że  błędnie omijamy gorsze spółki, ale także po to, aby utrzymać współmierność z innymi wskaźnikami. Jeżeli policzymy C/WK normalnie sumując wszystkie kapitalizacje i dzieląc je na sumę wartości księgowych (czyli średnią harmoniczną), dostaniemy dla WIG20 1,65 (stan na 21.08.2025), czyli praktycznie idealnie się zgadza z danymi gpw, a różnica wynika z zaokrągleń (przypominam, że na gpw podali 1,64).

Jak robią na stooq.pl?

Wg średniej ważonej arytmetycznej dostajemy C/Z 17,7 i C/WK 3,25. Wg średniej ważonej geometrycznej będzie to odpowiednio 13,97 i 2,26. W ogóle to nie odpowiada 16,19 i 2,86, które prezentował stooq na 21.08.  Czyli stosują jeszcze jakąś inną metodę. Jedynie, co warto odnotować, to to, że (17,7 + 13,97) / 2 = 15,84, a (3,25 + 2,26) / 2 =  daje 2,76, czyli naprawdę blisko. Sugeruje to, że używają jakiejś pośredniej metody.

Problem z ROE

Takie różnice w szacowaniu wskaźników prowadzą do dużych rozbieżności w określeniu rentowności kapitału własnego. Poprawna metoda, którą tu pokazałem, wskazuje, że dla WIG20 ROE = 1,66 / 15,11 = ok. 11%. Wg oficjalnych wskaźników GPW, byłoby to 1.64 / 14.66 = 11,2%. Ale wg stooq to jest 17,7%. Raczej nie jest przypadkiem, że wg śr. ważonej arytm. wychodzi 17,8%.

Wszystko wskazuje na to, że stooq.pl zawyża wszystkie te wskaźniki, co prowadzi do zaburzeń przy wycenie indeksu. Moje obliczenia we wpisie Jaka piękna katastrofa , w którym badałem na szybko historyczne EPS, ROE i WK okazują się błędne. Jednak sama wycena, którą wtedy pokazałem, może być nadal poprawna. Od tamtego czasu wzrósł EPS, zatem będzie wyższa. Na ten moment wyceniam WIG20 na ok. 1950, czyli nadal uważam, że indeks jest mocno przewartościowany.

Wszystkie obliczenia do tego artykułu zamieściłem w tym linku.

Przecięcie KSP z DSP to zapowiedź bessy?

Ostatnio giełda mnie mocno zaskakuje, chyba nie tylko mnie (nie spodziewałem się tak szybkiego powrotu do hossy), dlatego nie będę się mądrzył, że zaraz to na pewno wszystko walnie. Jedynie zwrócę uwagę na ryzyko jakie warto wziąć pod uwagę w najbliższej przyszłości.

Parę lat temu napisałem ten wpis i omówiłem wyniki badań związku między spredem rentowności a zmianami PKB. Dla przypomnienia: 

KSP - krótkoterminowa stopa procentowa

DSP - długoterminowa stopa procentowa

Badania Clintona [Clinton, K., The term structure of interest rates as a leading indicator of economic activity: A technical note, 1995] wskazują, że spread między DSP a KSP to "doskonały predyktor zmian aktywności gospodarczej w Kanadzie". Gdy DSP jest znacznie większa od KSP, silny wzrost PKB nastąpi mniej więcej w kolejnym roku. Gdy KSP > DSP, prawdopodobnie szykuje się recesja. Trzeba dodać, że to badanie jest dość stare, bo dotyczy lat 1962-93.

Przeanalizujemy sytuację w USA. Do niedawna KSP była rzeczywiście większa od DSP - i to po raz pierwszy w tak widoczny sposób. Co więcej, porównałem momenty lokalnych szczytów S&P 500, po których następował spadek nie mniej niż 20%:

Najczęściej szczyty korespondowały z przecięciami KSP (czerwona) z DSP (zielona). Oczywiście sam moment był losowy, ale widać, że zakres, gdy obie stopy były bardzo blisko siebie, wiązał się z największymi spadkami indeksu. W dwóch przypadkach mechanizm ten nie zadziałał (1987, 2022) i prawidłowo, bo przyczyny leżały poza gospodarką USA. Wprawdzie na początku 2023 nastąpiło przecięcie, ale było to już zakończenie krótkiej, wojennej, bessy. Chociaż raczej mówimy tu o pełnym przecięciu, to czasem wystarczyło stykanie się. W 2019 KSP i DSP dotykały się, ale nie przecięły i nie było bessy - a mimo wszystko indeks i tak zaliczył istotną korektę.

Z czego wynika ten mechanizm? W uproszczeniu powinniśmy kojarzyć tak: KSP - teraźniejszość i bliska przyszłość (do roku), DSP - niedaleka przyszłość (do roku) plus daleka przyszłość (po roku). Przez przyszłość mam na myśli sferę realną oraz inflację. Inflacja teraz jest nieistotna, zajmijmy się częścią realną. W uproszczeniu: większe KSP niż DSP to lepsza teraźniejszość niż przyszłość i vice versa - mniejsze KSP niż DSP to gorsza teraźniejszość niż przyszłość.

To jednak duże uproszczenie, a sam spred niewiele mówi, biorąc pod uwagę, że jest on ujemny od końcówki 2022. Przez to zresztą rok temu pomyliłem się, sądząc, że bessa tuż za rogiem. Trzeba podzielić przyszłość na dwie części:

- bieżące oczekiwania, bardziej pewne

- większą niepewność przyszłości.

Jeżeli KSP przegania DSP, to można sądzić, że następuje przesadny optymizm czasem dyskontowany od razu (np. rok 2000), a czasami dopiero gdy rynek orientuje się, że był to hurraoptymizm i następuje powrót KSP do DSP (rok 2007). W pierwszym przypadku inwestorzy wierzą, że inwestycje firm szybciej się zwrócą lub przyniosą większe zyski. Sprzedają więc krótkie terminy i kupują długie, podwyższając KSP. W drugim przypadku  ich oczekiwania maleją albo niepewność rośnie i znów kupują krótkie terminy, obniżając KSP. Jednak niepewność przyszłości i bieżące oczekiwania powinniśmy oddzielić. Jeśli pierwsze rośnie, a drugie spada, to DSP może stać w miejscu (bo DSP zawiera obydwa czynniki), a KSP może ją wtedy przeciąć. Gdy niepewność zacznie rosnąć, a bieżące oczekiwania będą stać w miejscu, to KSP może stać w miejscu (bo KSP nie zawiera dalekiej niepewności), a DSP przeciąć KSP (z dołu w górę). I taka sytuacja byłaby pozytywnym sygnałem w dłuższym terminie mimo iż niepewność wzrasta. Spred staje się dodatni, a rosnącą niepewność inwestorzy uznają bardziej za szansę niż zagrożenie, wiedząc, że w równowadze stopa procentowa powinna odzwierciedlać produktywność gospodarki.

Poprawka do analizy premii za ryzyko S&P 500

Wykonana ostatnio analiza premii za ryzyko S&P 500 wskazywała, że roczne zmiany można modelować za pomocą ARMA(7, 4). Dziś widzę, że zawierała 3 problemy. Po pierwsze metoda "full" w funkcji autoarfima (pakiet rugarch dla R), którą wówczas uważałem za bardziej precyzyjną, lepszą, wcale taka nie jest. Poprzez symulacje przetestowałem ją i okazało się, że "partial" dużo lepiej znajduje prawidłowe rzędy. Wydawało się, że skoro "full" jest tak potwornie wolna, bo sprawdza wszystkie możliwe kombinacje (a więc np. 1 rzędu nie ma, ale jest drugi i trzeci, albo drugiego nie ma, ale jest pierwszy i trzeci, albo pierwszego i drugiego nie ma, ale jest trzeci itd.), to będzie najdokładniejsza. Chociaż na obrazkach rzeczywiście dopasowanie było niezłe, to jednak wiadomo, że w próbie zawsze może być zbyt przypadkowe. 

Drugi problem to założenie rozkładu t-studenta w resztach modelu. Właściwie dlaczego założyłem taki? Stopy zwrotu są zazwyczaj dalekie od normalności, a rozkład Studenta uwzględnia grubsze ogony. Proces MA można zapisać jako AR wielu rzędów z przeszłości (zob. ten wpis), a skoro AR to właśnie stopa zwrotu, tylko opóźniona ze stałymi współczynnikiami, to znaczy, że proces MA ma ten sam rozkład - zakładając stacjonarność stopy zwrotu. A skoro (stacjonarny) MA ma ten sam rozkład, to znaczy, że składnik losowy też ma ten sam rozkład (bo MA jedynie mnoży jego wartość z przeszłości przez stałą). W sumie więc, jeśli stopa zwrotu ma rozkład Studenta, to reszty w ARMA też muszą taki posiadać.

Tylko że okazało się, że nie można odrzucić hipotezy o gaussowskości ostatnich 80 rocznych stóp zwrotu lub premii:

> shapiro.test(as.numeric(stopa_zwrotu))

	Shapiro-Wilk normality test

data:  as.numeric(stopa_zwrotu)
W = 0.9804, p-value = 0.257

Nawet ostatnie 120 danych (czyli od 1904 r.) nie zmieniło tego wyniku:

	Shapiro-Wilk normality test

data:  as.numeric(stopa_zwrotu)
W = 0.9854, p-value = 0.221

 

Nienormaność pojawia się dopiero przy większych częstościach. Bardzo możliwe, że przy większej liczbie rocznych obserwacji należy odrzucić rozkład normalny, ale dla danych, które analizowałem, nie można tego zrobić.

Po trzecie porównałem autoarfima z auto.arima z pakietu forecast, zrobiłem różne symulacje ARMA i czasami auto.arima wskazywała prawidłowy model, czasami autoarfima. Stąd doszedłem do wniosku, że należy wykonywać testy obiema funkcjami. W dodatku najlepiej stosować zarówno kryterium nie tylko BIC, ale też AIC.

Premia za ryzyko (od samych akcji)

autoarfima:

klaster <- makeCluster(detectCores() - 1)

premia_model_arma <- autoarfima(data = premia, ar.max = 10, ma.max = 10, cluster = klaster, solver = "nlminb")

stopCluster(klaster)

Wszystkie kryteria wskazały ten sam model:

*----------------------------------*
*          ARFIMA Model Fit        *
*----------------------------------*
Mean Model	: ARFIMA(0,0,0)
Distribution	: norm 

Optimal Parameters
------------------------------------
       Estimate  Std. Error  t value Pr(>|t|)
mu     0.077126    0.021203   3.6376 0.000275
sigma  0.189641    0.014992  12.6491 0.000000

Robust Standard Errors:
       Estimate  Std. Error  t value Pr(>|t|)
mu     0.077126    0.019321   3.9917 0.000066
sigma  0.189641    0.017623  10.7608 0.000000

LogLikelihood : 19.4946 

Information Criteria
------------------------------------
                     
Akaike       -0.43737
Bayes        -0.37781
Shibata      -0.43857
Hannan-Quinn -0.41349

Weighted Ljung-Box Test on Standardized Residuals
------------------------------------
                        statistic p-value
Lag[1]                     0.7322  0.3922
Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][2]    1.5233  0.3557
Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][5]    4.0949  0.2425

H0 : No serial correlation

Weighted Ljung-Box Test on Standardized Squared Residuals
------------------------------------
                        statistic p-value
Lag[1]                      1.392  0.2381
Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][2]     1.749  0.3081
Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][5]     2.110  0.5928


ARCH LM Tests
------------------------------------
             Statistic DoF P-Value
ARCH Lag[2]      2.253   2  0.3241
ARCH Lag[5]      2.403   5  0.7911
ARCH Lag[10]     5.979  10  0.8171

Nyblom stability test
------------------------------------
Joint Statistic:  0.2461
Individual Statistics:            
mu    0.1522
sigma 0.0835

Asymptotic Critical Values (10% 5% 1%)
Joint Statistic:     	 0.61 0.749 1.07
Individual Statistic:	 0.35 0.47 0.75

Model jest dobrze dopasowany: stabilny, nie występują autokorelacje w resztach ani ARCH. Czyli nie żadna ARMA, ale zwykła średnia. Średnioroczna premia za ryzyko wynosi 7,7% +/- 19% (nie mylmy tu błędu standardowego reszt, który wynosi 1,9% - on wskazuje jak średnia przypadkowo się odchyla, a nie sama stopa zwrotu).

To samo auto.arima:

premia_model_arma <- auto.arima(premia, max.p=10, max.q=10, stepwise = FALSE,  approximation = FALSE)

Argumenty stepwise i approximation ustawiam na FALSE, bo zwiększają precyzję algorytmu. Niezależnie od kryterium dostaniemy model:

Series: premia 
ARIMA(0,0,0) with non-zero mean 

Coefficients:
       mean
      0.077
s.e.  0.021

sigma^2 = 0.0364:  log likelihood = 19.49
AIC=-34.99   AICc=-34.83   BIC=-30.23

Obydwie funkcje - na obydwu kryteriach BIC i  AIC wskazały ten sam model - zwykłą średnią. To jest silny argument za odrzuceniem poprzedniego modelu ARMA.

Można pokazać to na wykresie:

Premia za ryzyko od akcji i obligacji skarbowych

Obligacje skarbowe są obarczone głównie ryzykiem stopy procentowej. Aby je uwzględnić metodą ad hoc, odejmujemy od stopy zwrotu z akcji rentowność bonów skarbowych. Nie jest to prawdziwa premia, bo nie uwzględnia zależności między akcjami a obligacjami, ale daje pewien obraz. 

Test na normalność:

	Shapiro-Wilk normality test

data:  premia
W = 0.9845, p-value = 0.447

Czyli też zachowuje się normalnie.

Analogicznie jak poprzednio używamy autoarfima i auto.arima.

autoarfima:

*----------------------------------*
*          ARFIMA Model Fit        *
*----------------------------------*
Mean Model	: ARFIMA(0,0,0)
Distribution	: norm 

Optimal Parameters
------------------------------------
       Estimate  Std. Error  t value Pr(>|t|)
mu     0.089739    0.019332   4.6421 0.000003
sigma  0.172907    0.013670  12.6491 0.000000

Robust Standard Errors:
       Estimate  Std. Error  t value Pr(>|t|)
mu     0.089739    0.017760   5.0529        0
sigma  0.172907    0.012238  14.1292        0

LogLikelihood : 26.885 

Information Criteria
------------------------------------
                     
Akaike       -0.62212
Bayes        -0.56257
Shibata      -0.62333
Hannan-Quinn -0.59825

Weighted Ljung-Box Test on Standardized Residuals
------------------------------------
                        statistic p-value
Lag[1]                     0.4299  0.5121
Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][2]    1.4963  0.3619
Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][5]    4.3507  0.2134

H0 : No serial correlation

Weighted Ljung-Box Test on Standardized Squared Residuals
------------------------------------
                        statistic p-value
Lag[1]                     0.9464  0.3306
Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][2]    3.1373  0.1288
Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][5]    4.8670  0.1640


ARCH LM Tests
------------------------------------
             Statistic DoF P-Value
ARCH Lag[2]      5.497   2 0.06403
ARCH Lag[5]      5.442   5 0.36440
ARCH Lag[10]    10.107  10 0.43112

Nyblom stability test
------------------------------------
Joint Statistic:  0.1892
Individual Statistics:            
mu    0.1121
sigma 0.0580

Asymptotic Critical Values (10% 5% 1%)
Joint Statistic:     	 0.61 0.749 1.07
Individual Statistic:	 0.35 0.47 0.75

auto.arima:

Series: premia 
ARIMA(0,0,0) with non-zero mean 

Coefficients:
       mean
      0.090
s.e.  0.019

sigma^2 = 0.0303:  log likelihood = 26.88
AIC=-49.77   AICc=-49.61   BIC=-45.01

Ponownie obie funkcje wskazały ten sam model zwykłej średniej: "pełna premia" wynosi 9% +/- 17,3%. Taki wynik uzyskałem niezależnie od użytego kryterium. 

I wykres:

Chociaż brak zależności w rocznych stopach pogarsza sytuację prognostyczną, to z punktu widzenia inwestora może się ona nawet poprawić. Po pierwsze ułatwia mu wycenę - nie musi uwzględniać zmienności stopy dyskontowej. Po drugie zwiększa szansę, że wycena będzie szybko zbiegać do jego wyceny, a nie od niej uciekać. Na ten moment, nawet bez wyceny, możemy spekulować, że premia w 2025 spadnie, choć powinna pozostać dodania.

Krótka analiza i prognoza premii za ryzyko S&P 500 (język R)

Powiedzmy, że chcemy oszacować premię za ryzyko amerykańskiej giełdy w roku 2025 i 2026. Określenie "premia za ryzyko" używam jako skrót na oznaczenie nadwyżki stopy zwrotu z indeksu (tu S&P 500) nad stopę zwrotu z 10-letnich obligacji skarbowych. Precyzyjnie przecież mówiąc o premii mamy na myśli oczekiwane lub wymagane wynagrodzenie za przyszłe ryzyko, czyli takie, którego okres jeszcze nie zaczął się. I może się zrealizować (wtedy albo stracimy, albo mniej zarobimy), albo nie zrealizować (zarobimy co najmniej tyle, ile wymagamy). Dodatnia premia za ryzyko wynika z tego, że inwestorzy są niechętni wobec ryzyka. To znaczy, że wyceniają niżej aktywa o wyższym ryzyku. Mechanizm ten pozwala łatwo zrozumieć, dlaczego oczekiwana (a więc i średnia) stopa zwrotu jest dodatnia, a nie zerowa, jak w hazardzie. Otóż cała tajemnica leży w tym, że to ludzie wyceniają aktywa, a nie natura. Jeżeli wielu inwestorów będzie wyceniać niżej akcje z powodu ich większego ryzyka, to przecież spółka nie przestaje zarabiać tyle co zarabiała, jej wartość księgowa się nie zmienia. Spadek ceny oznacza więc, że inwestorzy mogą więcej zarobić, sprzedając w przyszłości akcje. Ryzyko jest mimo wszystko miarą psychologiczną, a więc dość subiektywną - i to właśnie sprawia, że inwestowanie daje dużo większe możliwości niż hazard.

Historyczne roczne premie za ryzyko S&P 500 dla lat 1945-2024 biorę ze strony Damodarana. Średnia wyniosła 7,7%. To coś dużo biorąc pod uwagę, że średnia stopa wolna od ryzyka to ok. 5%. Porównałem więc te dane z S&P U.S. Equity Risk Premium Index. Obejmuje on zajęcie długiej pozycji w indeksie S&P 500 Futures Excess Return Index i krótkiej pozycji w indeksie S&P U.S. Treasury Bond Futures Excess Return Index [zob. S&P Factor Indices Methodology]. Od 2015 roku dostałem taki wykres:

A więc dane są poprawne, bo idealnie korelują. Oczywiście w tym okresie średnia była jeszcze wyższa i dla S&P U.S. Equity Risk Premium Index wyniosła 13,2%, a Damodarana 13,5%. 

Stabilność średniej

Pytanie brzmi czy średnia się zmieniała w ciągu tych 80 lat. Przez pierwsze 40 lat wyniosła ok. 8,6%, a kolejne niecałe 6,8%. Sprawdźmy czy możemy uznać to za coś więcej niż przypadek. 

Jeżeli dzielimy okres na dwie części, to najlepiej użyć testu Chowa. W tym artykule pokazałem, jak go wykonać w R.

if (require("strucchange")==FALSE) {

  install.packages("strucchange")

  library("strucchange")

}

sctest(premia ~ 1, type="Chow", point=40)

	Chow test

data:  premia ~ 1
F = 0.18, p-value = 0.7

Jak widać nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy, że średnia jest stała. Wykonałem dodatkowo najróżniejsze testy (ADF, KPSS, Bai-Perrona, CUSUM, MOSUM) i nie wykryłem niestacjonarności czy niestabilności. 

Modelowanie

Jeżeli średnia się nie zmienia, to trzeba sprawdzić autokorelację. Najpierw ACF:

acf(premia, 15)

Do dziś nie mogę z tego, że R pokazuje bez sensu ten zerowy rząd. Głupota. W cząstkowej jest już normalnie od pierwszego rzędu: 

pacf(premia, 15)

W Dodatku do tego artykułu zrobiłem analogiczną analizę dla nadwyżki nad bonami. Tam PACF 4-tego rzędu jest na granicy istotności. Tutaj natomiast nie można mówić o jakiejkolwiek istotności. Z tego z kolei wynika, że obligacje skarbowe mają swój udział w cyklu 4-letnim (bo je tam dodaliśmy). 

Mimo wszystko sprawdzę model AR(4) i jego stabilność. W R kod będzie następujący:

  # Pierwszy model - arima

  premia_model_arma1 <- arima(

    premia,

    order           = c(4, 0, 0),          # ARMA(4, 0, 0)

    include.mean    = TRUE,                # estymuj μ

    fixed           = c(0, 0, 0, NA, NA),  # φ1=0, φ2=0, φ3=0, φ4=estymuj, μ=estymuj

    transform.pars  = FALSE                # aby fixed=0 było literalne

  )

  summary(premia_model_arma1)

Coefficients:
      ar1  ar2  ar3    ar4  intercept
        0    0    0  0.205      0.079
s.e.    0    0    0  0.111      0.026

sigma^2 estimated as 0.0344:  log likelihood = 21.16,  aic = -36.33

Gdyby zastosować taki model, dostalibyśmy rzeczywiście średnią 7,9% (+/- 2,6%), ale dodatkowo współczynnik 4-tego rzędu 0,205 (+/- 0,11).

Aby sprawdzić stabilność tego modelu, trzeba niestety zamienić na formę typu:

premia4 <- tail(zmienna, -4)

premia_4 <- head(zmienna, -4)

premia.model <- premia4 ~ premia_4

i przykładowo, żeby użyć testu CUSUM-Score, wpisać:

par(mfrow=c(3,1), mar=c(2.5,5,1.5,3))

cus = efp(premia.model, type="Score-CUSUM")

plot(cus, functional=NULL)

Za jednym zamachem mamy tu sprawdzenie stabilności wszystkich współczynników, w tym wariancji. Brak jakichkolwiek wychyleń (byłyby zaznaczenia) świadczy o stabilności. 

To jednak tylko punkt wyjścia, bo znacznie lepszym sposobem jest użycie autoarfima() w rugarch lub auto.arima() w forecast. Wybrałem ten pierwszy, bo dostarcza wszystkie potrzebne statystyki. Ten argument  omówiłem w tym artykule. Sprawdziłem więc w autoarfima max ARMA(7, 7) w metodzie full. Wybrałem rozkład "std", bo dawał najlepsze rezultaty, jeśli chodzi o statystyki dopasowania. Wadą rugarch jest czasochłonność obliczeń, dlatego koniecznie trzeba używać argumentu cluster tam gdzie się da. Ponadto wybrałem solver "nlminb", ponieważ wydaje się dość efektywny. Użyłem funkcji dwukrotnie - wg kryterium BIC i AIC (HQIC nie używam, bo danych jest za mało, zob. tu). Okazało się, że oba dały ten sam model. Zwracam też uwagę, że nie stosuję tutaj modelu GARCH ze względu na małą liczbę danych. Efekt:

# Drugi model - autoarfima (rugarch)

    if (require("rugarch")==FALSE) {

      install.packages("rugarch")

    }

    library("rugarch")  

# Kryterium BIC

  klaster <- makeCluster(detectCores() - 1)

  premia_model_arma_bic <- autoarfima(data = premia, ar.max = 7, ma.max = 7, criterion = "BIC",

             method = "full", arfima = FALSE, include.mean = NULL,

             distribution.model = "std", cluster = klaster, external.regressors = NULL,

             solver = "nlminb")

  stopCluster(klaster)

  premia_model_arma_bic

  # Kryterium AIC

  klaster <- makeCluster(detectCores() - 1)

  premia_model_arma_aic <- autoarfima(data = premia, ar.max = 7, ma.max = 7, criterion = "AIC",

                                      method = "full", arfima = FALSE, include.mean = NULL,

                                      distribution.model = "std", cluster = klaster, external.regressors = NULL,

                                      solver = "nlminb")

  stopCluster(klaster)

  premia_model_arma_aic

  premia_model_arma2 <- premia_model_arma_aic

*----------------------------------*
*          ARFIMA Model Fit        *
*----------------------------------*
Mean Model	: ARFIMA(7,0,4)
Distribution	: std 

Optimal Parameters
------------------------------------
       Estimate  Std. Error    t value Pr(>|t|)
ar1     0.44901    0.000926    484.974        0
ar2     0.00000          NA         NA       NA
ar3     0.00000          NA         NA       NA
ar4     0.00000          NA         NA       NA
ar5    -0.22529    0.000465   -484.974        0
ar6     0.00000          NA         NA       NA
ar7     0.34287    0.000027  12785.413        0
ma1    -1.28980    0.000061 -21191.451        0
ma2     0.00000          NA         NA       NA
ma3     0.61606    0.000029  21191.451        0
ma4     0.44741    0.000021  21191.451        0
sigma   0.13607    0.005403     25.184        0
shape 100.00000    0.004585  21809.383        0

Robust Standard Errors:
       Estimate  Std. Error    t value Pr(>|t|)
ar1     0.44901    2.324983    0.19312  0.84686
ar2     0.00000          NA         NA       NA
ar3     0.00000          NA         NA       NA
ar4     0.00000          NA         NA       NA
ar5    -0.22529    1.166585   -0.19312  0.84686
ar6     0.00000          NA         NA       NA
ar7     0.34287    0.000385  891.10681  0.00000
ma1    -1.28980    0.005203 -247.88844  0.00000
ma2     0.00000          NA         NA       NA
ma3     0.61606    0.000766  804.54128  0.00000
ma4     0.44741    0.001619  276.38488  0.00000
sigma   0.13607    0.619235    0.21974  0.82608
shape 100.00000    1.325372   75.45050  0.00000

LogLikelihood : 46.12 

Information Criteria
------------------------------------
                     
Akaike       -0.95299
Bayes        -0.71479
Shibata      -0.97067
Hannan-Quinn -0.85749

Weighted Ljung-Box Test on Standardized Residuals
------------------------------------
                         statistic p-value
Lag[1]                    0.000611  0.9803
Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][32] 11.645908  1.0000
Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][54] 17.816677  0.9976

H0 : No serial correlation

Weighted Ljung-Box Test on Standardized Squared Residuals
------------------------------------
                        statistic p-value
Lag[1]                     0.4785  0.4891
Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][2]    0.7811  0.5750
Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][5]    2.3214  0.5447


ARCH LM Tests
------------------------------------
             Statistic DoF P-Value
ARCH Lag[2]      1.519   2  0.4678
ARCH Lag[5]      2.647   5  0.7542
ARCH Lag[10]     9.429  10  0.4920

Nyblom stability test
------------------------------------
Joint Statistic:  231429
Individual Statistics:             
ar1   0.09969
ar5   0.05997
ar7   0.01355
ma1   0.03352
ma3   0.11951
ma4   0.09983
sigma 0.13154
shape 0.42456

Asymptotic Critical Values (10% 5% 1%)
Joint Statistic:     	 1.89 2.11 2.59
Individual Statistic:	 0.35 0.47 0.75

BIC i AIC wskazały ten sam model: AR o rzędach 1, 5 i 7; MA o rzędach 1, 3 i 4. W nieodpornych statystykach (tj. przy założeniu danego rozkładu, tu t-Studenta) wszystkie są istotne. Jednak statystyki odporne (na odchylenia od założonego rozkładu reszt) wskazują jedynie istotność rzędu 7 dla AR, a dla MA wszystkie są istotne. Pozostałe statystyki są okej, wszystkie współczynniki są stabilne, chociaż znowu cały model mocno niestabilny (pewnie niezbyt idealny rozkład).

Test MCS

Aby się upewnić, że na pewno drugi model jest lepszy od pierwszego, użyjemy testu MCS, który omówiłem w poprzednim artykule. Tak jak wtedy za stratę uznam sytuację, gdy znak prognozy in-sample nie zgadza się ze znakiem rzeczywistej wartości.

  #MCS test

  Funkcja_strat <- function(rzeczywiste, prognoza) {

    roznica <- rzeczywiste - prognoza

    strata <- ifelse(sign(rzeczywiste) != sign(prognoza), abs(roznica), 0)

    return(strata)

  }

  # Obliczenie funkcji strat dla każdego modelu (in-sample)

  straty1 <- Funkcja_strat(premia, as.numeric(fitted(premia_model_arma1)))

  straty2 <- Funkcja_strat(premia, premia_model_arma2$fit@fit$fitted.values) 

  straty <- cbind(straty1, straty2)

  mcs_stationary <- mcsTest(straty, alpha = 0.05, nboot = 500, nblock = 10, boot = "stationary")

  print(mcs_stationary)

$includedR
[1] 1 2

$pvalsR
     [,1]
[1,] 0.23
[2,] 1.00

$excludedR
NULL

$includedSQ
[1] 1 2

$pvalsSQ
     [,1]
[1,] 0.23
[2,] 1.00

$excludedSQ
NULL

Test MCS nie pozwolił wykluczyć żadnego z dwóch modeli, ale wskazuje dużo bardziej na zachowanie drugiego, tj. z autoarfima, więc go wybierzemy.

Wykres modelu

Wobec tego sprawdźmy jak te dopasowania dla najlepszego modelu wyglądają:

  # Wartości dopasowane

  dopas <- premia_model_arma2$fit@fit$fitted.values

  okres <- c(1945:2024)

  # Wykres najlepszego modelu z prawdziwymi obserwacjami

  plot(x=okres, y=premia, type="l", ylab = "")

  lines(x=okres, y=dopas, col="red")

  abline(h=0, col="grey")

  abline(h=mean(premia), col="blue", lwd=2)

  legend("topright", legend=c("premia za ryzyko S&P 500", "prognoza in-sample", "średnia premia za ryzyko"), 

         col=c("black","red", "blue"), lwd=2, cex=0.6)

Prognoza na 2025-2026

Niestety nie mam wiedzy, czy można od razu w rugarch robić prognozy mając już najlepszy model z autoarfima. jestem niemal pewny, że jest sposób, ale szybciej jest mi tak zrobić. Dlatego robię to "na piechotę". Obliczam arfimaspec(), z tego arfimafit i dopiero z tego arfimaforecast(). W arfimaspec() wpisujemy normalnie maksymalne rzędy ARMA, ale za to dodajemy argument fixed.pars = list(ar2=0, ar3=0), który właśnie kontroluje ustawienie konkretnych współczynników. 

  rzadAR <- premia_model_arma2$fit@model$modelinc[2]

  rzadMA <- premia_model_arma2$fit@model$modelinc[3]

premia_spec <- arfimaspec(mean.model = list(armaOrder = c(rzadAR, rzadMA), include.mean = TRUE,

                                            arfima = FALSE, external.regressors = NULL), distribution.model = "std",

                          start.pars = list() 

                          , fixed.pars = list(ar2=0, 

                                                                 ar3=0,

                                                                 ar4=0,

                                                                 ar6=0,

                                                                 ma2=0)

                          )

premia_fit <- arfimafit(spec = premia_spec, data = premia, solver = "nlminb")

prognoza <- arfimaforecast(premia_fit, n.ahead = 2)

prognoza

*----------------------------------*
*        ARFIMA Model Forecast     *
*----------------------------------*

Horizon: 2
Roll Steps: 0
Out of Sample: 0

0-roll forecast: 
    T+1     T+2 
0.05436 0.07451 

Na rok 2025 dostajemy premię niecałe 5,4% i na 2026 7,5%. Dodajemy nowe prognozy do wykresu:

  nowa_prognoza <- as.numeric(prognoza@forecast$seriesFor)

  

  # Wykres najlepszego modelu z prawdziwymi obserwacjami

  plot(x=c(okres, 2025, 2026), y=c(premia, NA, NA), type="l", ylab = "")

  lines(x=c(okres, 2025, 2026), y=c(dopas, NA, NA), col="red")

  lines(x=c(okres, 2025, 2026), y=c(rep(NA, length(premia)-1), tail(dopas, 1), nowa_prognoza), col="green", lwd=2, type="o", cex=0.4)

  abline(h=0, col="grey")

  abline(h=mean(premia), col="blue", lwd=2)

  legend("topright", legend=c("premia za ryzyko S&P 500", "prognoza in-sample", "prognoza poza próbą", "średnia premia za ryzyko"), 

         col=c("black","red", "green", "blue"), lwd=2, cex = 0.6)

Prognoza krocząca

Czerwone linie są tak naprawdę jedynie dopasowaniem do danych, a nie prognozą. Aby uzyskać bardziej realny obraz dobroci modelu, wykonam prognozy kroczące za pomocą arfimaroll(), czyli prognozy out-of-sample. Jest to odpowiednik ugarchroll bez procesu GARCH (zob. ten art.). Zobaczmy 10 ostatnich kroczących-nawijanych prognoz, tj. od roku 2015:

  # Prognoza krocząca-nawijana

  klaster <- makeCluster(detectCores() - 1)

  premia_prognoza_roll <- arfimaroll(spec = premia_spec, data = premia, forecast.length = 10,

                                     refit.every = 1, refit.window = "recursive",

                                     window.size = NULL, solver = "nlminb", fit.control = list(ar2=0, ar3=0),

                                     cluster=klaster)

  premia_prognoza_roll <- resume(premia_prognoza_roll)

  stopCluster(klaster)

  prognoza_roll <- premia_prognoza_roll@forecast$density$Mu

  okres_prognozy_roll <- c(2015:2024)

  names(prognoza_roll) <- okres_prognozy_roll

  prognoza_roll 

  

  # Wykres z prognozą kroczącą

  plot(x=c(okres, 2025, 2026), y=c(premia, NA, NA), type="l", ylab = "", xlim=c(2015, 2026))

  lines(x=c(okres, 2025, 2026), y=c(dopas, NA, NA), col="red")

  lines(x=c(okres, 2025, 2026), y=c(rep(NA, length(premia)-1), tail(prognoza_roll, 1), nowa_prognoza), col="green", lwd=2, type="o", cex=0.4)

  lines(x=c(NA, okres_prognozy_roll), y=c(tail(dopas, 1), prognoza_roll), col="green", lwd=2, type="o", cex=0.4)

  abline(h=0, col="grey")

  abline(h=mean(premia), col="blue", lwd=2)

  legend("topright", legend=c("premia za ryzyko S&P 500", "prognoza in-sample", "prognoza poza próbą", "średnia premia za ryzyko"), 

         col=c("black","red", "green", "blue"), lwd=2, cex = 0.6)

  

Prognoza sugeruje spadek premii w 2025 i może wzrost 2026. Zauważmy tylko, że spadek nie poniżej zera, tylko poniżej średniej. No i oczywiście nie mówi to nic na temat zmian w obligacjach. 

Rozkład częstości i gęstości

Skupiając się na prognozowaniu łatwo jednak zgubić szeroki obraz, tj. ekonomiczne znaczenie premii za ryzyko. Dlatego musimy mieć w pamięci, że prawdopodobnie tak będzie, ale faktycznie może się zdarzyć niespodzianka. Ostatnie lata przyzwyczajają nie tylko zwykłych ludzi, ale i ekspertów do tego, że co roku z indeksów USA jest dodatnia stopa zwrotu. Od 2009 r do 2024, czyli przez 16 lat zdarzyły się zaledwie 2 ujemne roczne (całkowite) stopy zwrotu! Tworzy to złudzenie, że ryzyka nie ma, bo wystarczy przeczekać parę lat. Jednak ekonomia robi swoje i musi to jakoś wyrównać. Dlatego muszą nie tylko przydarzać się szokowe, bardzo silne i szybkie spadki (prędzej czy później). Muszą występować dłuższe okresy, w których obligacje skarbowe przyniosą większe zwroty od akcji. Gdyby nie ich nie było, to rzeczywiście nie byłoby ryzyka.

Nawet historyczna ujemna skośność (średnia < mediana) i kurtoza w rozkładzie premii o tym świadczy, zobaczmy:

  

  # Zapisujemy stare ustawienia graficzne

  old_par <- par(no.readonly = TRUE)

  

  # Dajemy więcej miejsca po prawej (dół, lewo, góra, prawo)

  par(mar = c(3.5, 5, 4, 5) - 0.1, mgp = c(2, 1, 0))

  

  # 1. Obliczamy histogram, ale nie rysujemy

  h <- hist(premia,

            breaks = 10,

            plot   = FALSE)

  

  # 2. Estymujemy KDE (Kernel Density Estimation)

  d <- density(premia,

               kernel = "gaussian",

               bw     = "nrd0")

  

  # 3. Rysujemy histogram na lewą oś Y (counts)

  plot(h,

       freq   = TRUE,

       col    = "lightgray",

       border = "white",

       xlab   = "Premia",

       ylab   = "Częstość",

       xlim  = range(h$breaks, d$x),

       ylim   = c(0, max(h$counts) * 1.1),

       main   = "Histogram i gęstość rozkładu – lewa oś: częstość, prawa oś: gęstość")

  

  # 4. Nałóż KDE na ten sam wykres

  par(new = TRUE)

  plot(d$x, d$y,

       type  = "l",

       lwd   = 2,

       axes  = FALSE,

       xlab  = "",

       ylab  = "",

       ylim  = c(0, max(d$y) * 1.1))

  

  # 5. Dodajemy prawą oś Y (density)

  axis(side = 4,

       at   = pretty(c(0, max(d$y) * 1.1)))

  mtext("Gęstość (KDE)", side = 4, line = 3)

  

  # 7. Przywracamy poprzednie ustawienia

  par(old_par)

  

Jeżeli rynek jest efektywny w długim okresie, to powinniśmy się spodziewać, że podobny rozkład wystąpi dla okresów wieloletnich. Zobaczmy dla 4-letnich. Zagregujmy stopy zwrotu:

  grupy <- ceiling(1:length(premia)/4)

  premia_4lata <- exp(tapply(X = log(1+premia), INDEX = grupy, FUN = sum)) - 1

I powtarzamy kod dla wykresu rozkładu częstości i gęstości, zastępując zmienną premia przez premia_4lata. Dostajemy:

Rozkład gęstości 4-letnich premii zawiera niewiele danych, ale też występuje na nim skośność. 

Dodatek dla premii za ryzyko nad bonami skarbowymi 3-miesięcznymi

Powtórzmy całą procedurę dla nadwyżki ponad bony skarbowe. To znaczy premia zawiera również ryzyko długoterminowych obligacji skarbowych w postaci zmienności stopy procentowej.

 

Stabilność średniej

W całym okresie średnia wyniosła aż 9%. Odwrotnie niż dla obligacji pierwsze 40 lat dały mniej, bo 8%, a kolejne prawie 10%. Czy więc tym razem to istotna zmiana średniej? Test Chowa wskazuje na stabilność:

	Chow test

data:  premia ~ 1
F = 0.22, p-value = 0.6

ACF i PACF

acf(premia, 15)

pacf(premia, 15)

Okazuje się, że jedynie ta 4-tego rzędu jest na granicy istotności (przekracza 0,2). To potwierdzałoby istnienie 4-letnich cykli, chociaż wykorzystanie tego fenomenu na pewno nie jest proste. 

Modelowanie

Sprawdzamy zatem AR(4). Efekt:

Coefficients: ar1 ar2 ar3 ar4 intercept 0 0 0 0.236 0.090 s.e. 0 0 0 0.112 0.024 sigma^2 estimated as 0.0282: log likelihood = 29.05, aic = -52.11 Training set error measures: ME RMSE MAE MPE MAPE MASE ACF1 Training set 0.000006594 0.168 0.1362 -266.2 433.2 0.6704 -0.06222

Gdyby zastosować taki model, dostalibyśmy średnią 9% (+/- 2,4%) -  faktycznie, tyle co średnia arytmetyczna. Dodatkowo współczynnik 4-tego rzędu 0,24 (+/- 0,11).

To teraz autoarfima z tymi samymi ustawieniami.

*----------------------------------*
*          ARFIMA Model Fit        *
*----------------------------------*
Mean Model	: ARFIMA(4,0,7)
Distribution	: std 

Optimal Parameters
------------------------------------
       Estimate  Std. Error     t value Pr(>|t|)
mu     0.098811    0.000012   8073.8245  0.00000
ar1    0.000000          NA          NA       NA
ar2    0.000000          NA          NA       NA
ar3    0.945906    0.000100   9503.1496  0.00000
ar4    0.054088    0.000008   6695.8385  0.00000
ma1    0.279539    0.000033   8524.8266  0.00000
ma2    0.000000          NA          NA       NA
ma3   -1.685603    0.000062 -27299.6027  0.00000
ma4   -0.135260    0.000014  -9448.6750  0.00000
ma5   -0.118209    0.000014  -8582.6486  0.00000
ma6    0.000000          NA          NA       NA
ma7   -0.036416    0.000006  -5762.9626  0.00000
sigma  0.111497    0.009553     11.6718  0.00000
shape 16.523609   12.901423      1.2808  0.20028

Robust Standard Errors:
       Estimate  Std. Error      t value Pr(>|t|)
mu     0.098811    0.000566   174.510530  0.00000
ar1    0.000000          NA           NA       NA
ar2    0.000000          NA           NA       NA
ar3    0.945906    0.010638    88.917365  0.00000
ar4    0.054088    0.000072   750.823674  0.00000
ma1    0.279539    0.002076   134.669756  0.00000
ma2    0.000000          NA           NA       NA
ma3   -1.685603    0.002733  -616.737764  0.00000
ma4   -0.135260    0.000331  -408.478534  0.00000
ma5   -0.118209    0.000610  -193.739688  0.00000
ma6    0.000000          NA           NA       NA
ma7   -0.036416    0.000020 -1799.605712  0.00000
sigma  0.111497    0.093611     1.191060  0.23363
shape 16.523609 1287.342190     0.012835  0.98976

LogLikelihood : 62.2351 

Information Criteria
------------------------------------
                    
Akaike       -1.3059
Bayes        -1.0081
Shibata      -1.3327
Hannan-Quinn -1.1865

Weighted Ljung-Box Test on Standardized Residuals
------------------------------------
                         statistic p-value
Lag[1]                       3.101 0.07826
Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][32]    17.518 0.04329
Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][54]    27.653 0.46556

H0 : No serial correlation

Weighted Ljung-Box Test on Standardized Squared Residuals
------------------------------------
                        statistic p-value
Lag[1]                     0.3235  0.5695
Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][2]    0.6261  0.6373
Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][5]    1.6151  0.7116


ARCH LM Tests
------------------------------------
             Statistic DoF P-Value
ARCH Lag[2]     0.6869   2  0.7093
ARCH Lag[5]     2.5554   5  0.7681
ARCH Lag[10]    5.7786  10  0.8335

Nyblom stability test
------------------------------------
Joint Statistic:  411.572
Individual Statistics:             
mu    0.03948
ar3   0.04534
ar4   0.02661
ma1   0.04062
ma3   0.15471
ma4   0.02460
ma5   0.03678
ma7   0.02549
sigma 0.13303
shape 0.08077

Asymptotic Critical Values (10% 5% 1%)
Joint Statistic:     	 2.29 2.54 3.05
Individual Statistic:	 0.35 0.47 0.75

Dostałem model ARMA(4, 7), ale przy usuniętych ar1, ar2, ma2 i ma6.

Jednak całkowity model okazuje się niestabilny, bo Joint Statistic = 412. Za to poszczególne współczynniki są stabilne shape, czyli kształt rozkładu reszt, jest niestabilny. Wynika to po prostu z tego, że rozkład t-Studenta nie jest idealnym rozkładem tutaj.

Test MCS

$includedR
[1] 2

$pvalsR
     [,1]
[1,]    0
[2,]    1

$excludedR
[1] 1

$includedSQ
[1] 2

$pvalsSQ
     [,1]
[1,]    0
[2,]    1

$excludedSQ
[1] 1

Test MCS potwierdza jednoznacznie, że drugi model (uzyskany z autoarfima) jest lepszy, albowiem każe odrzucić pierwszy model.

Prognozy kroczące i dwie nowe

*----------------------------------*
*        ARFIMA Model Forecast     *
*----------------------------------*

Horizon: 2
Roll Steps: 0
Out of Sample: 0

0-roll forecast: 
   T+1    T+2 
0.0309 0.1279 

Podobnie jak poprzednio - rok 2025 spadkowa premia.

Rozkład częstości i gęstości

Roczne premie:

4-letnie premie:

Porównując ze sobą obydwa rodzaje premii (nad bonami i nad obligacjami), to co się rzuca w oczy, to wpływ obligacji skarbowych na 4-letnią cykliczność stopy zwrotu. Po odjęciu bonów premia wykazuje pewną autokorelację 4-tego rzędu. Po odjęciu obligacji skarbowych premia ta autokorelacja mieści się w granicach nieistotności, a więc przypadkowości (jednak zwracam uwagę, że to PACF to taka klasyczna metoda szukania cykli, raczej wstępna). Wydaje się, że taka dysproporcja wynika z tego, że długoterminowe obligacje odzwierciedlają oczekiwania koniunktury, a ta przecież porusza się właśnie w takich kilkuletnich cyklach. Dostajemy więc pewnego rodzaju "dowód", że indeks S&P 500 podąża w jakimś zakresie w kierunku zmian gospodarczych.