W jaki sposób policzyć wskaźnik dla indeksu? Zajmijmy się C/WK. Na logikę, cały indeks jako portfel traktujemy jak jedną spółkę. Czyli:
C/WK = Kapitalizacja portfela / Wartość księgowa portfela
Całą kapitalizację oznaczymy Kap. Powiedzmy, że mamy 3 spółki w portfelu. Zapiszemy:
gdzie Kap_i oznacza kapitalizację spółki i, czyli
gdzie N_i - liczba akcji spółki i, C_i - cena akcji.
Wtedy C/WK indeksu ma postać:
WK_i - wartość księgowa na akcję spółki i.
Taką właśnie definicję wskaźników znajdziemy w dokumencie GPW "Podstawowe algorytmy wskaźników rynku kapitałowego". Jest to nic innego jak średnia ważona harmoniczna:
I dla C/Z analogicznie:
Taki wzór powinno się stosować.
Dlaczego nazywa się to średnią ważoną, skoro nie widać tu żadnych wag? Wzór można tak przekształcić, żeby wagi się pojawiły. Wtedy będzie można porównać powyższy wzór z innymi średnimi ważonymi. Najpierw zdefiniujemy udział i-tej spółki w portfelu:
Czy za udział można by alternatywnie wstawić liczbę akcji podzieloną przez liczbę wszystkich akcji?Nie, bo wtedy split czy resplit zmieniałby udział. "Waga" jest więc ciut lepszym słowem niż udział, bo jak coś waży, to wiadomo o co chodzi. Definicja udziału wywodzi się jednak formalnie z teorii portfela, w której inwestor przeznacza określoną sumę pieniędzy na zakup danego waloru (zob. ten wpis, w którym jest to wyjaśnienie).
To teraz przekształcimy pierwotny wzór:
Czyli dostajemy postać:
Powiedzmy jednak, że jesteśmy otwarci na eksperymenty z innymi metodami. Porównajmy naszą formułę ze średnią ważoną arytmetyczną i geometryczną.
Średnia ważona arytmetyczna
To metoda intuicyjna w tym sensie, że wykorzystujemy naturalnie wagi (udziały) spółek z portfela. Każdą wagę mnożymy przez wskaźnik dla danej spółki:
Wskaźnik C/Z wygląda analogicznie. Teraz pomyślmy co się stanie, gdy zysk trzeciej spółki wynosi zero lub jest bardzo niski. C/Z skacze do nieskończoności albo do ogromnych wartości, a więc średnia ważona C/Z dla całego portfela będzie nienormalnie duża. Czyli z punktu widzenia C/Z widać, że nie należy tego sposobu używać. Ale wszystkie wskaźniki muszą być liczone tą samą metodą, aby zachować spójność i proporcjonalność (chociażby, żeby policzyć ROE ze stosunku C/WK do C/Z). Zatem dostajemy dowód, że C/WK też nie może być liczone w ten sposób.
Średnia ważona geometryczna
Trzecią możliwością jest średnia geometryczna z wagami w potęgach:
Tutaj można przeprowadzić identyczne rozumowanie co w przypadku średniej arytmetycznej. Jeśli zysk wyniesie zero, to średnia ważona geometryczna skacze do nieskończoności. Nie musi być to nawet dokładnie zero, wystarczy, że będzie bardzo mały. Gdyby była strata, to już w ogóle nie dałoby się nic policzyć. Jedna spółka całkowicie psuje wskaźnik. Trzeba więc porzucić tę metodę, ale żeby zachować spójność, także C/WK nie może być w ten sposób liczone.
Przykłady
Zobaczmy przykłady trzech wariantów-okresów. Dla uproszczenia liczba akcji wszędzie równa się 1.
Okres I – wszystkie spółki mają podobny zysk
Dane wejściowe:
Spółka 1: C1 = 100, Z1 = 10, Kap1 = 100, C1/Z1 = 10
Spółka 2: C2 = 150, Z2 = 10, Kap2 = 150, C2/Z2 = 15
Spółka 3: C3 = 120, Z3 = 10, Kap3 = 120, C3/Z3 = 12
Suma kapitalizacji i zysków:
Kap1 + Kap2 + Kap3 = 370
Z1 + Z2 + Z3 = 30
Wagi:
w1 = Kap1 / (Kap1 + Kap2 + Kap3) = 100 / 370 = 0,27
w2 = 150 / 370 = 0,41
w3 = 120 / 370 = 0,32
Średnie ważone:
Arytmetyczna = 12,7
Geometryczna = 12,5
Harmoniczna = 12,3
Dane wejściowe:
Spółka 1: C1 = 100, Z1 = 10, Kap1 = 100, C1/Z1 = 10
Spółka 2: C2 = 150, Z2 = 10, Kap2 = 150, C2/Z2 = 15
Spółka 3: C3 = 72, Z3 = 0,5, Kap3 = 72, C3/Z3 = 144
Suma kapitalizacji i zysków:
Suma kapitalizacji i zysków:
Kap1 + Kap2 + Kap3 = 322
Z1 + Z2 + Z3 = 20,5
Wagi:
Wagi:
w1 = Kap1 / (Kap1 + Kap2 + Kap3) = 100 / 322 ≈ 0,31
w2 = 150 / 322 ≈ 0,47
w3 = 72 / 322 ≈ 0,22
Średnie ważone:
Średnie ważone:
Arytmetyczna = 42,3
Geometryczna = 21,9
Harmoniczna = 15,7
Okres III – spółka 3 ma zysk zero i spadek ceny o 50%
Dane wejściowe:
Spółka 1: C1 = 100, Z1 = 10, Kap1 = 100, C1/Z1 = 10
Spółka 2: C2 = 150, Z2 = 10, Kap2 = 150, C2/Z2 = 15
Spółka 3: C3 = 60, Z3 = 0, Kap3 = 60, C3/Z3 = nieskończoność
Suma kapitalizacji i zysków:
Kap1 + Kap2 + Kap3 = 310
Z1 + Z2 + Z3 = 20
Wagi:
w1 = Kap1 / (Kap1 + Kap2 + Kap3) = 100 / 310 = 0,32
w2 = 150 / 310 = 0,48
w3 = 60 / 310 = 0,19
Średnie ważone:
Arytmetyczna = nieskończoność
Geometryczna = nieskończoność
Harmoniczna = 15,5
Spójrzmy jak "oporna" jest ta średnia harmoniczna - nawet przy nieskończonej wartości C/Z dla jednego składnika, jest stabilna, a dla ogromnych wzrostów wskaźników niewiele się zmienia.
Co ze stratami?
Konstrukcja średniej harmonicznej pozwala też użyć jej dla spółek ze stratami, jeśli nie przeważają nad zyskami pozostałych. Ponieważ wskaźniki poszczególnych spółek sztucznie usuwa się z analizy, gdy występują straty, to lepiej używać wzoru ze stosunkiem sum, ponieważ ten z wagami wymaga użycia indywidualnych wskaźników.
I tu mam problem, bo nie jestem na 100% pewny czy GPW uwzględnia spółki ze stratami, a obecnie dwie z WIG20 są pod kreską (Pepco i PGE). Jeśli ich nie uwzględnimy, to sztucznie zaniżymy C/Z. Powoduje to nie tylko błędną analizę porównawczą, ale też dostaniemy nieprawidłowe ROE dzieląc C/WK przez C/Z.
Problem dotyczy głównie C/Z. Jeżeli usunę Pepco i PGE, to dostanę dla WIG20 13,8, co może nie jest bardzo daleko od 14,66, ale jednak jest znacząca różnica. Jeżeli je uwzględnię, to muszę mieć odpowiednie dane, tj. straty, których nie wyłuskam ze wskaźników. Spojrzałem więc na dane w dwóch źródłach - bankier.pl i biznesradar.pl. Oba portale pokazują inne liczby.
Biznesradar: dla Pepco wskazuje ponad 3 mld zł strat, dla PGE ponad 1,5 mld strat.
Bankier: dla Pepco w ogóle nie wykazuje ani zysku ani strat, dla PGE to 1,64 mld strat.
Biorąc dane Bankiera dostałbym C/Z = 15,1, natomiast wg Bizneradar ok. 17. Zakładając, że bankier.pl ma bardziej poprawne dane, możemy uznać, że gpw uwzględnia straty - wtedy wszystko będzie prawidłowo.
Straty trzeba koniecznie uwzględnić we wskaźnikach nie tylko dlatego, że błędnie omijamy gorsze spółki, ale także po to, aby utrzymać współmierność z innymi wskaźnikami. Jeżeli policzymy C/WK normalnie sumując wszystkie kapitalizacje i dzieląc je na sumę wartości księgowych, dostaniemy dla WIG20 1,66 (stan na 21.08.2025), czyli niemal idealnie się zgadza z danymi gpw, a różnice wynikają z zaokrągleń. W dodatku metodą wg wag dostałem 1,65 (przypominam, że na gpw podali 1,64).
Jak robią na stooq.pl?
Wg średniej ważonej arytmetycznej dostajemy C/Z 17,7 i C/WK 3,25. Wg średniej ważonej geometrycznej będzie to odpowiednio 13,97 i 2,26. W ogóle to nie odpowiada 16,19 i 2,86, które prezentował stooq na 21.08. Czyli stosują jeszcze jakąś inną metodę. Jedynie, co warto odnotować, to to, że (17,7 + 13,97) / 2 = 15,84, a (3,25 + 2,26) / 2 = daje 2,76, czyli naprawdę blisko. Sugeruje to, że używają jakiejś pośredniej metody.
Problem z ROE
Takie różnice w szacowaniu wskaźników prowadzą do dużych rozbieżności w określeniu rentowności kapitału własnego. Poprawna metoda, którą tu pokazałem, wskazuje, że dla WIG20 ROE = 1,66 / 15,11 = ok. 11%. Wg oficjalnych wskaźników GPW, byłoby to 1.64 / 14.66 = 11,2%. Ale wg stooq to jest 17,7%. Raczej nie jest przypadkiem, że wg śr. ważonej arytm. wychodzi 17,8%.
Wszystko wskazuje na to, że stooq.pl zawyża wszystkie te wskaźniki, co prowadzi do zaburzeń przy wycenie indeksu. Moje obliczenia we wpisie Jaka piękna katastrofa , w którym badałem na szybko historyczne EPS, ROE i WK okazują się błędne. Jednak sama wycena, którą wtedy pokazałem, może być nadal poprawna. Od tamtego czasu wzrósł EPS, zatem będzie wyższa. Na ten moment wyceniam WIG20 na ok. 1860, czyli nadal uważam, że indeks jest mocno przewartościowany.
Wszystkie obliczenia do tego artykułu zamieściłem w tym linku.
Stooq koryguje historię cen o dywidendy. Być może do tego wyliczenia też jakoś biorą je pod uwagę.
OdpowiedzUsuńNie, to nie ma wpływu.
Usuń