Załóżmy, że dysponujesz kwotą F = 5000 zł, którą zamierzasz zainwestować w ryzykowne walory (np. akcje zwykłe) oraz, że przeznaczasz kwotę F(A) = 2000 zł na zakup waloru A, natomiast pozostałą kwotę tj. F(B) = 3000 zł na zakup waloru B. Zatem:
Dzieląc obie strony powyższej równości przez F otrzymamy:
Współczynniki:
określające, jaka część ogólnego funduszu jest przeznaczona na zakup poszczególnych walorów, nazywać będziemy wagami portfelowymi. W rozpatrywanym przykładzie tak określone wagi wynoszą:
W ogólnym przypadku wagi portfelowe mogą być dodatnie lub ujemne. Ogólna definicja wagi portfelowej stanowi bowiem, że:
Dodatnia waga portfelowa x(A) oznacza, że inwestor zakupuje walor A. Czynność tę nazywamy inaczej zajmowaniem tzw. długiej pozycji na rynku waloru A. Możliwe jest także zajęcie przez inwestora tzw. krótkiej pozycji lub dokonanie tzw. krótkiej sprzedaży waloru A. Wtedy waga portfelowa dla tego waloru jest ujemna.
Co to jest krótka sprzedaż?
Krótka sprzedaż nie jest sprzedażą waloru, który się posiada, lecz sprzedażą waloru, którego się nie posiada. Załóżmy, że inwestor pożycza od kogoś, zwykle przez pośrednika, 100 akcji firmy B. Inwestor zobowiązuje się zwrócić po pewnym okresie tych 100 akcji osobie, od której pożyczył. Licząc na to, że akcje B spadną sprzedaje je po cenie bieżącej, np. 10 złotych, zarabiając 1 tys. złotych. Po pewnym czasie cena B spada do 5 złotych. Zatem inwestor wraca na rynek i kupuje 100 akcji B, które musi oddać, płacąc za nie 500 złotych (zamiast 1 tys. zł). Następnie inwestor zwraca osobie, od której pożyczył owe 100 akcji i w ten sposób krótka sprzedaż zostaje zakończona. Inwestor zyskuje na tej operacji 500zł. Jeśli w czasie trwania krótkiej sprzedaży zostanie wypłacona dywidenda, inwestor musi ją zwrócić właścicielowi.
Wyjaśnijmy teraz, jak wyglądają wagi portfelowe, gdy suma uzyskana w wyniku przeprowadzenia krótkiej sprzedaży waloru B jest przeznaczona na dodatkowy zakup waloru A.
Załóżmy, że inwestor ma F = 1000 zł własnych pieniędzy (jego fundusz inwestycyjny), które inwestuje w walory A i B. Załóżmy, że sprzedaje on krótko akcje B za 100zł i wykorzystuje tę kwotę na dodatkową inwestycję w walor A. Zatem kupuje akcje A za F(A) = 1100 zł. Waga portfelowa waloru A wynosi więc:
natomiast waga dla waloru B wynosi
ponieważ akcje B musimy odkupić i zwrócić. Waga portfelowa jest w tym przypadku ujemna. W dalszym ciągu jednak wagi sumują się do jedności
Naszym celem jest optymalizacja portfela inwestycyjnego. Oznacza to, ze musimy znaleźć odpowiednie stopy zwrotu portfela i towarzyszące mu ryzyko. Zatem kolejnym obok wag portfela elementem analizy portfela stanowią parametry rozkładu prawdopodobieństwa stopy zwrotu portfela.
Jeśli stopa zwrotu posiada rozkład zbliżony do rozkładu Gaussa, to mamy do czynienia z dwoma parametrami: wartością oczekiwana stopy zwrotu oraz odchyleniem standardowym stopy zwrotu. Konwencjonalnie małymi literkami oznaczamy konkretne wartości z próby losowej - w naszym przypadku historyczne stopy zwrotu (r), a dużymi literami zmienne losowe w tej próbie (R). Oczekiwaną stopę zwrotu z waloru A z okresu T określa wzór:
oraz dla waloru B:
gdzie c to częstość zdarzenia w okresie T.
Wariancja stopy zwrotu z waloru A:
Odchylenie standardowe stopy zwrotu z waloru A:
oraz z waloru B:
Jeśli wartości zmiennej losowej (a więc tez prawdopodobieństwa) będą zmieniać się w sposób ciągły, to rozkład prawdopodobieństwa będziemy nazywać gęstością prawdopodobieństwa. W naszym przypadku dopiero wtedy otrzymamy pełny rozkład Gaussa. A na rysunku przykładowo wygląda to tak:
Teraz możemy utworzyć wreszcie stopę zwrotu portfela (Rp). Stopa zwrotu portfela dwuskładnikowego jest kombinacją liniową stóp zwrotu walorów wchodzących do portfela.
Wartość oczekiwana stopy zwrotu portfela dwuskładnikowego jest kombinacją liniową wartości oczekiwanych stóp zwrotu walorów tworzących portfel. Zatem:
W ogólnym przypadku odchylenie standardowe - ryzyko finansowe, maleje wraz ze wzrostem liczby niezależnych stopni swobody w portfelu. Dzieje się tak, ponieważ niezależne fluktuacje statystyczne częściowo się znoszą. Dywersyfikacja zmniejsza ryzyko.
Jednakże prosta analiza danych historycznych wskazuje na istnienie silnych korelacji pomiędzy cenami. Rynek zawiera wiele mniej lub bardziej ukrytych korelacji. Jedne wynikają z podziału rynku na sektory, inne z zależności kapitałowych, a jeszcze inne z psychologii inwestorów. Nie można zatem traktować cen akcji jako niezależnych stopni swobody. Podział portfela pomiędzy skorelowane akcje prowadzi do pozornej dywersyfikacji i nie zmniejsza ryzyka. Aby dokonać rzeczywistego zróżnicowania, należy najpierw wyłuskać niezależne stopnie swobody. Informacja o nich zakodowana jest w tzw. macierzy kowariancji, opisującej poziom skorelowania poszczególnych akcji. Wektory własne tej macierzy mówią, jakie kombinacje liniowe akcji można traktować jako niezależne stopnie swobody, wartości własne natomiast – jakie jest ryzyko z nimi związane.
Statystyczną współzależność obu stóp zwrotu mierzy kowariancja:
Można pokazać, ze kowariancja stanowi iloczyn odchyleń standardowych stóp zwrotu z walorów A i B oraz współczynnika korelacji liniowej pomiędzy tymi stopami zwrotu.
Współczynnik korelacji ρ zawiera się w przedziale od -1 do 1. Jego duże wartości powyżej zera nie sprzyjają, natomiast niskie wartości poniżej zera sprzyjają dywersyfikacji ryzyka.
Utwórzmy odchylenie standardowe portfela. Tu warto się chwilę zatrzymać. Ze względu na to, ze ryzyko jest pierwiastkiem z wariancji, w ogólnym przypadku nie jest ono równe kombinacji liniowej odchyleń standardowych stóp zwrotu z poszczególnych walorów, czyli:
Najpierw należy obliczyć wariancję stopy zwrotu z portfela:
Czyli:
Lub inaczej:
Powyższy wzór ma ciekawą interpretację:
Ryzyko portfela = ryzyko wariancyjne + ryzyko kowariancyjne.
Przy czym właściwe ryzyko portfela jest równe:
Załóżmy, ze parametry rozkładu waloru A i B są następujące:
W zależności od wielkości współczynnika korelacji, dostajemy różne sytuacje.
1. Ryzyko portfela, gdy
W takim przypadku stopy zwrotu obu walorów "zmieniają się tak samo". Wariancja portfela jest w tej sytuacji równa:
W konsekwencji, ryzyko portfela jest ważoną sumą ryzyk związanych z inwestowaniem w akcje A i B, czyli:
Poniżej przedstawiono przykładowe wagi portfela i odpowiadające im parametry rozkładu. Można pokazać, że występuje tutaj liniowa zależność pomiędzy wartością oczekiwaną a odchyleniem standardowym stopy zwrotu portfela.
W zacienionych na żółto wierszach zapisano wyniki obliczeń w sytuacji, w której inwestor zajmuje krótką pozycję. W trzech pierwszych wierszach inwestor zajmuje krótką pozycję w stosunku do waloru B, a uzyskaną w trakcie krótkiej sprzedaży kwotę przeznacza na dodatkową inwestycję w walor A. Zapewnia mu to niższą oczekiwaną stopę zwrotu portfela (niższą niż stopa zwrotu dla A i dla B), lecz jednocześnie niższe ryzyko portfela. W dwóch ostatnich wierszach tej tablicy zapisano natomiast wyniki obliczeń w sytuacji, w której sprzedajemy krótko walor A i uzyskaną kwotę lokujemy dodatkowo w B. Daje nam to wyższe wartości oczekiwane portfela lecz także wyższe ryzyko. Wykorzystując krótką sprzedaż możemy skonstruować portfel zawierający walory dwa ryzykowne walory A i B i pozbawiony ryzyka.
2. Ryzyko portfela, gdy
Wariancja portfela jest w tej sytuacji równa:
Oznacza to, że uzyskaliśmy redukcję ryzyka w stosunku do sytuacji nr 1.
W tablicy poniżej pokazano wyliczone wartości oczekiwanych stóp zwrotu portfela oraz błędu standardowego portfela (ryzyka) w zależności od wag portfelowych. W omawianym przypadku występuje nieliniowa zależność między wartością oczekiwaną a odchyleniem standardowym portfela.
Podobnie jak w poprzednim przykładzie zacieniowane obszary oznaczają wykorzystanie krótkiej sprzedaży.
Dodatkowo pojawiają się tu w wierszu oznaczonym (*) parametry portfela o najmniejszej wariancji. Widać zatem, że można skonstruować portfel składający się z dwóch walorów ryzykownych A i B (bez krótkiej sprzedaży), którego oczekiwany zysk jest dodatni i dla którego ryzyko 4,95 jest mniejsze od najmniejszego ryzyka składowej portfela równego 5.
3. Ryzyko portfela, gdy
Wariancja portfela jest w tej sytuacji równa:
Charakterystyki rozkładu stóp zwrotu portfela są wtedy następujące:
4. Ryzyko portfela, gdy
Wariancja portfela jest w tej sytuacji równa:
Wówczas
Ponownie w wierszu oznaczonym (*), znajdują się parametry portfela o najmniejszej wariancji. Zwróćmy uwagę, ze można skonstruować portfel składający się z dwóch walorów ryzykownych A i B (bez krótkiej sprzedaży), którego ryzyko 3,05, na skutek ujemnego znaku ryzyka kowariancyjnego, jest wyraźnie mniejsze od najmniejszego ryzyka składowej portfela równego 5.
4. Ryzyko portfela, gdy
Jest to oczywiście najbardziej pożądana sytuacja dla inwestorów. W szczególności pozwala ona na zredukowanie ryzyka do zera. Choć pozornie wydaje się, ze jeśli jeden walor rośnie, a drugi spada, to oczekiwana stopa zwrotu powinna tez wynieść zero, to jednak, jak sie okazuje, wcale tak nie jest, co potwierdza poniższa tabela.
..............................................................................
Jeśli założymy ciągłość zmiany proporcji wag portfela, wówczas, korzystając z rachunku rózniczkowego, mozemy odnaleźć wagę, przy której ryzyko porftela jest minimalne. Zapiszmy wzór na wariancję portfela, wykorzystując równość:
Obliczając pierwszą pochodną względem x(A) otrzymamy:
Przyrównując pierwszą pochodną do zera oraz przekształcając, otrzymujemy wzór na poszukiwaną wagę:
oraz
Należy się tu najważniejsza w naszym temacie uwaga. Choć odnaleźliśmy portfel o globalnie najmniejszym ryzyku (przy danym poziomie współczynnika korelacji), to wyznaczony poziom tego ryzyka nie zależał w ogóle od oczekiwanego zysku. Możemy jednak przedstawić obrazy portfeli, które przy danym poziomie zysku posiadają najmniejsze ryzyko. Takie portfele poprzednio budowaliśmy. Stąd możemy utworzyć krzywą, której każdy punkt obrazuje portfel minimalnego ryzyka dla założonego poziomu oczekiwanego zysku. Oznacza to, że dla założonego poziomu oczekiwanego zysku nie można utworzyć portfela o mniejszym ryzyku, przy założeniu, że suma wag portfelowych wynosi 1, niż takie jakimi charakteryzują się portfele na omawianej krzywej.
Porftele inwestycyjne budujemy na mapie z osią ryzyka (oś pozioma) oraz oczekiwanego zysku (oś pionowa). Każdemu odchyleniu standardowemu o określonych udziałach portfela i współczynniku korelacji przypisujemy określoną oczekiwaną stopę zwrotu.
Na powyższym rysunku oznaczono literami (a), (b), (c), (d), (e) zbiory wszystkich możliwych portfeli utworzonych z walorów A i B, przy zachowaniu warunku, że suma wag portfelowych jest równa jedności. Każda literka odpowiada innej wartości współczynnika korelacji - odpowiednio: 1; 05; 0; -0,5; -1.
Portfele leżące na segmentach tych krzywych pomiędzy punktami A i B są skonstruowane bez wykorzystania krótkiej sprzedaży. Portfele leżące na ramionach krzywych na prawo od punktu B są skonstruowane z wykorzystaniem krótkiej sprzedaży waloru A, natomiast na prawo od punktu A skonstruowane są z wykorzystaniem krótkiej sprzedaży waloru B (w tym ostatnim przypadku wyjątkiem jest linia oznaczona (a), która przechodzi przez punkt A i podąża na ukos w kierunku osi pionowej).
Warto zwrócić uwagę na dwie półproste, przecinające się w punkcie N1, będące obrazem graficznym portfeli utworzonych z A i B, przy założeniu, że współczynnik korelacji pomiędzy stopami zwrotu tych walorów jest równy -1. W punkcie N1 leży portfel pozbawiony ryzyka.
Jednym z elementów każdej krzywej zamieszczonej na rysunku jest portfel o najmniejszej wariancji spośród wszystkich możliwych portfeli. (Jedynie wykres dla współczynnika korelacji równego 1 nie zmieścił się w całości).
Patrząc na przedstawione krzywe minimalnego ryzyka łatwo zauważyć istnienie lepszych i gorszych portfeli. Widać bowiem, ze znajdują się takie, gdzie dla dwóch różnych portfeli ryzyko jest identyczne, ale oczekiwany zysk dla jednego z nich jest większy. Należy jednak pamiętać, ze to "idzie" tylko w jedną stronę, albowiem przy danym poziomie oczekiwanego zysku dowolny portfel ma zawsze najmniejsze ryzyko. Natomiast problem efektywności portfeli zostanie przedyskutowany w następnym odcinku.
Super blog ! oby tak dalej ! :)
OdpowiedzUsuńsuper
OdpowiedzUsuń