wtorek, 15 grudnia 2015

Krótkoterminowa vs. długoterminowa średnia stopa zwrotu

Inwestorzy przyzwyczaili się do sformułowania "długoterminowa stopa zwrotu" w rozumieniu stopy zwrotu w długim okresie czasu. Jednakże długoterminowa średnia stopa zwrotu to termin oznaczający zupełnie coś innego. Właściwie długoterminową średnią stopę zwrotu można utożsamić z geometryczną średnią stopą zwrotu, natomiast krótkoterminową średnią stopę zwrotu z arytmetyczną średnią stopą zwrotu. Jeżeli jednak takie definicje uznamy za prawdziwe, to po co tworzę tutaj nowe nazwy zamiast po prostu używać pojęć geometryczna i arytmetyczna średnia? Żeby poczuć trochę to zagadnienie, podam przykład. Oto wykres miesięcznego kursu spółki ERG od początku 2007 do 30.11.2015:


Kurs spadł w ciągu 9 lat z 80 zł do 20 zł (po uwzględnieniu splitów). Geometryczna miesięczna średnia stopa zwrotu, jak łatwo się domyślić, jest ujemna i wynosi w tym okresie -1,3%. Ale już zupełnie nieintuicyjnym faktem jest arytmetyczna średnia miesięczna, która równa się w tym samym okresie +0,182%. Czyli arytmetyczna średnia kompletnie zafałszowuje obraz sytuacji. Dlaczego tak się dzieje? Właśnie dlatego, że średnia arytmetyczna oddaje zmiany w krótkim okresie (1 miesiąc), zaś geometryczna bierze pod uwagę tylko stosunek ostatniej i pierwszej ceny uśredniając go w odpowiednim przedziale czasu.

Głębsze wyjaśnienie skąd wynika ta różnica zawiera artykuł O relacji między arytmetyczną a geometryczną stopą zwrotu. Pokazałem tam, że średnia geometryczna może być wyrażona jako relacja między średnią arytmetyczną, kurtozą i skośnością. Podstawiając dla ERG parametry do wzoru G1 w tym artykule, dostaniemy przybliżenie średniej geometrycznej równe -1,46% a więc bardzo blisko prawdziwej wartości -1,3%.

Mówiąc krótko, w krótkich okresach czasu uwidacznia się wpływ wariancji, kurtozy i skośności, a w długim okresie ich wpływ traci na znaczeniu.

Można byłoby więc zapytać czy w takim razie bardziej opłacalna jest strategia krótkoterminowa polegająca na szukaniu spółek o wysokiej wariancji, ujemnej (lewostronnej) skośności i wysokiej kurtozie, dająca wyższe arytmetyczne stopy zwrotu? Po pierwsze na przeszkodzie stoją koszty prowizji, w przypadku ERG sprowadzają dodatnią stopę do ujemnej - dla średniej stopy 0,182% po uwzględnieniu prowizji nawet 0,2% dostaniemy stopę -0,22%, a stosując ten manewr w przeciągu 106 miesięcy (od 31.01.2007 do 30.11.2015) -21% (patrz - Czy stop lossy są opłacalne? ). Po drugie jeśli przyjąć, że wybieramy tylko pojedyncze miesiące na transakcję, trzeba uwzględnić ryzyko mierzone właśnie przez wariancję, kurtozę i skośność (patrz - Uogólniony wskaźnik Sharpe'a ).

Powróćmy do początkowego pytania dlaczego długoterminową średnią nie nazywam po prostu geometryczną średnią? Na głębsze wyjaśnienie przyjdzie jeszcze czas, ale teraz tylko zadam takie pytanie: czy obliczona na podstawie modelu regresji liniowej logarytmiczna stopa zwrotu jest średnią długoterminową czy krótkoterminową? W artykule  Istota i znaczenie logarytmicznej stopy zwrotu
przedstawiam ideę logarytmicznej stopy zwrotu, która łączy w sobie elementy średniej geometrycznej i arytmetycznej. Pokażę to teraz trochę matematycznie.

A) Element średniej geometrycznej.
Wiadomo, że logarytmiczna średnia stopa stanowi tutaj nachylenie linii trendu logarytmicznej ceny. Wiedząc to oraz wykorzystując równanie podane w Istota i znaczenie logarytmicznej stopy zwrotu możemy zapisać prognozowaną cenę w postaci:

(1)





gdzie r(L) - logarytmiczna stopa zwrotu dla kapitalizacji ciągłej, a, b - stałe, t - czas.
W równaniu (1) zamieniłem także  a = lnP(0), bo jest to po prostu pierwsza logarytmiczna cena w okresie 0.

Zauważamy, że średnia geometryczna stopa zwrotu w okresie t, G(t), w kapitalizacji ciągłej może być przybliżona logarytmiczną stopą zwrotu:




B) Element średniej arytmetycznej.

Na podstawie (1) zapisujemy:

(2)


Tak jak wcześniej powiedziano, parametr a jest po prostu pierwszą (w t = 0) logarytmiczną ceną. Natomiast prognozowana logarytmiczna cena w okresie t jest wartością oczekiwaną lnP(t). W sumie więc (2) zapiszemy w postaci:

(3)





Wyraz ten możemy przekształcić:



















Stąd widać, że parametr nachylenia z modelu regresji, jest wartością oczekiwaną średniej (arytmetycznej) logarytmicznej stopy zwrotu.


I na koniec: parametr nachylenia regresji liniowej jest obliczany wzorem:

(4)


gdzie standardowo kreska pozioma oznacza średnią.

Tak wyznaczony parametr jest estymatorem nieobciążonym, a więc wartość parametru jest równa wartości oczekiwanej tego parametru, tj:

r(L) = E(r(L))

Innymi słowy wartość oczekiwana logarytmicznej stopy zwrotu jest równa formule (4). Jak wiadomo zgodnie z prawem wielkich liczb średnia arytmetyczna będzie dążyć w długim okresie do wartości oczekiwanej.
Trzeba nadmienić, że z punktu widzenia prognozy estymator otrzymany z regresji liniowej (za pomocą MNK) jest estymatorem często najefektywniejszym, a więc lepszym od średniej arytmetycznej i geometrycznej - tj. posiada najmniejszą wariancję spośród estymatorów nieobciążonych. 

Powyższa analiza ilustruje, że pojęcie długoterminowej średniej stopy zwrotu nie musi dotyczyć tylko średniej geometrycznej. W momencie gdy estymacja średniej dokonywana jest metodą regresji liniowej, mamy do czynienia z zupełnie nową miarą długoterminowej średniej. W przykładzie ERG nachylenie log ceny uzyskamy oczywiście ujemne, co upodabnia tę miarę do geometrycznej średniej. Z drugiej strony poziom tego nachylenia jest też kształtowany przez zmiany wewnątrz całego okresu, co przybliża je do średniej arytmetycznej.





 Nachylenie linii regresji wyniosło -0,0155. Po przekształceniu na prostą stopę dostaniemy exp(-0,0155)-1 = -0,0154.

niedziela, 6 grudnia 2015

Krótka ocena koniunktury w Polsce na tle WIG

Na blogach giełdowych aż huczy wiadomość, że WIG wpadł w bessę. Faktycznie, jeśli kryterium zaczęcia bessy ma być przecięcie od góry spadającej 200-sesyjnej średniej kroczącej przez spadającą 50-sesyjną średnią kroczącą (tzw. krzyż śmierci), to taki scenariusz już w sierpniu został spełniony:



Przebicie ostatnich dołków potwierdziło sygnał bessy. Zwracam uwagę, że sam "krzyż śmierci" wcale nie oznacza na 100%, że giełda będzie spadać przez kolejne kilka lat. Jeszcze przecież niedawno w 2011 mieliśmy do czynienia z ostrą zapaścią, ale zapaść ta miała miejsce przed zetknięciem się obydwu średnich, natomiast po tym zdarzeniu indeks stał w miejscu przez ok. 9 miesięcy. Co ciekawe, właśnie wtedy nastąpił kolejny "krzyż śmierci", który tym razem rozpoczął hossę... 


Zdecydowanie bardziej racjonalne jest przyjrzenie się danym makro. Ponieważ giełda głównie oddaje klimat gospodarczy i nastroje inwestorów, dobrze jest porównać ze wskaźnikiem ogólnego klimatu koniunktury obliczanego przez GUS co miesiąc. W Wyjaśnieniach metodyczne GUS objaśnia, że "Wskaźnik ogólnego klimatu koniunktury jest średnią arytmetyczną z ważonych sald odnoszących się do pytań o aktualną oraz przewidywaną ogólną sytuację gospodarczą przedsiębiorstwa."

Poniżej przedstawiam wykres tego wskaźnika dla wybranych składników gospodarczych w kolejnych miesiącach w okresie 1.2000-11.2015:



Aby ocenić naocznie sytuację bieżącą, wklejam ten sam wykres w okresie 1.2011-11.2015



Wśród 4 grup tylko budownictwo jest na lekkim minusie. Jak widać budownictwo, handel i przemysł są ze sobą skorelowane, bo zachowują się podobnie i wszystkie 3 składniki systematycznie, wręcz sezonowo, wzrastają. Przemysł trochę niepokoi, bo kolejny szczyt znalazł się poniżej poprzedniego. Inaczej sprawa wygląda w finansach, które posiadają wysoki optymizm, ale one charakteryzują się średnio wyższym optymizmem na tle reszty, prawdopodobnie z powodu psychologicznej charakterystyki zawodu. Ostatnie zawirowania na WIG_BANKI, który stracił w ciągu ostatniego roku 30% (sam WIG stracił 13%) pokazują, że nie można ufać finansistom co do ich własnej percepcji branży. Jeżeli właśnie chodzi o banki, to na blogu App Funds pojawił się wpis dokładniej tłumaczący ostatnie kłopoty banków na parkiecie. DM BPS prognozuje, że sektor bankowy straci na nowym podatku bankowym średnio 36% zysku netto. Czy można więc dziwić się spadku 30% w ciągu roku? Pytanie jest retoryczne, co więcej spadki banków będą zapewne większe.

Produkcja natomiast wcale nie jest w złej kondycji. Tak jak wspomniałem, przemysł trochę budzi niepewność. Dla rozjaśnienia sytuacji sprawdziłem samą miesięczną produkcję przemysłową na podstawie danych GUS. Poniżej zamieściłem jej wykres w okresie 1.2010-11.2015.


Wykres wskazuje, że sektor przemysłowy znajduje się w lekkim trendzie rosnącym.


Źródło danych:
http://stat.gov.pl/
http://appfunds.blogspot.com

niedziela, 25 października 2015

Pokrzywiony dzwon - rozkład lognormalny

W wielu współczesnych modelach ekonomicznych pojawia się założenie lognormalności rozkładu tempa zmian jakiejś cechy, choć rozkład ten nie jest zbyt dobrze znany w finansach. Z czego wynika to założenie? To jest tematem tego artykułu. Gdyby najprościej chcieć zdefiniować rozkład logarytmicznie normalny (log-normalny), to można powiedzieć, że jest to jakby rozkład normalny logarytmu badanej zmiennej x. O ile dla logarytmu z x rozkład jest normalny, to dla samego x będzie log-normalny. To przekształcenie z funkcji ln(x) na x przekształca kształt rozkładu, który staje się asymetryczny. Poniższy przykład pozwala porównać oba rozkłady:




Jak widać lognormalny rozkład może posiadać dużą prawostronną skośność. Co więcej, posiada on także niezerową kurtozę odpowiadającą za to, że rzadkie zdarzenia nie są aż tak rzadkie.

Wprowadźmy logarytmiczną stopę zwrotu w okresie od 0 do t:

(1)

Czysto matematycznie stopę tę możemy rozłożyć na sumę wielu podokresów:


Zgodnie z centralnym twierdzeniem granicznym w ogólnej postaci, jeśli losowa logarytmiczna stopa w każdym podokresie będzie miała skończoną wartość oczekiwaną i wariancję, to suma wielu takich stóp zwrotu będzie dążyć do rozkładu normalnego. Nie jest konieczna niezależność stóp zwrotu (chociaż musi być zachowana ogólna losowość i autokorelacja stóp może być tylko czasowa) ani identyczność rozkładów w każdym okresie - proste ujęcie można przeczytać w angielskiej wikipedii:
https://en.wikipedia.org/wiki/Central_limit_theorem#Central_limit_theorems_for_dependent_processes

Bardziej szczegółowe i specjalistyczne omówienie tego zagadnienia Czytelnik znajdzie np. w [1].

Skoro suma takich stóp dąży do normalności, to znaczy, że logarytmiczna stopa zwrotu podana we wzorze (1) ma w gruncie rzeczy rozkład normalny. Przekształćmy teraz wzór (1):



Ale matematycznie oznacza to, że:



 I w ten sposób dotarliśmy do rozkładu lognormalnego: jeżeli zmienna x ma rozkład normalny, to exp(x) ma rozkład lognormalny (zob. np. Log-normal_distribution ). Wynika z tego, że stopa brutto P(t) / P(t-1) musi mieć rozkład log-normalny. A zatem prosta stopa zwrotu netto, P(t) / P(t-1) - 1, także ma rozkład log-normalny.

Oparcie się na centralnym twierdzeniu granicznym wynika z faktu, że logarytmiczne stopy zwrotu można do siebie dodawać. Rozumowanie to nie jest więc możliwe do przeprowadzenia na zwykłych stopach zwrotu. Z drugiej strony jeśli suma zmiennych dąży do rozkładu normalnego, to również średnia arytmetyczna musi do niego dążyć. W związku z tym ostatnim zdaniem rodzą się liczne nieporozumienia: można pomyśleć, że skoro tak, to średnia miesięczna stopa zwrotu z danego roku powinna dążyć do rozkładu Gaussa. Ale przecież jest to średnia zaledwie z 12 miesięcy, podczas gdy twierdzenie dotyczy granicy w nieskończoności okresów.

Z punktu widzenia miar średnich możemy uznać, że:
- geometryczna stopa zwrotu powstająca poprzez cechę multiplikatywności stóp zwrotu brutto będzie mieć rozkład logarytmicznie normalny
- arytmetyczna stopa zwrotu powstająca poprzez sumę stóp zwrotu netto będzie mieć rozkład normalny.

Dodatkowo również warto zastanowić się nad kwestią wskaźnika Sharpe'a opartym na idei symetryczności ryzyka. Jeśli już stosujemy ten wskaźnik to powinniśmy raczej używać logarytmicznych stóp zwrotu, aby uzyskać rozkład normalny, a przez to symetryczność. Właściwie wszędzie tam gdzie potrzebna jest symetria rozkładu, trzeba oprzeć się na logarytmicznych stopach zwrotu. Nic dziwnego więc, że w modelach Markowitza, CAPM i innych często się ich używa.

Podsumowując, rozkład log-normalny jest bardziej naturalnym czy nawet "normalnym" rozkładem od rozkładu Gaussa dla stóp zwrotu, a jego zrozumienie zmienia nasze spojrzenie na statystykę w finansach.



Literatura:

[1] Andrews D. W. K., An  Empirical  Process  Central  Limit  Theorem for  Dependent  Non-identically  Distributed Random  VariableJournal of Multivariate Analysis 38, 187-203 (1991);
[2] E. Limpert, W. A. Stahel, M. Abbt, Log-normal Distributions across the Sciences: Keys and Clues, May 2001 / Vol. 51 No. 5
[2] https://en.wikipedia.org 

wtorek, 13 października 2015

Czym się różni oczekiwany zysk od wartości oczekiwanej zysku?

Ten wpis mógłbym rozpocząć i zakończyć jednym zdaniem: Oczekiwana stopa w sensie ekonomicznym to nie jest wartość oczekiwana stopy w sensie matematycznym. Zakończenie takim zdaniem nie jest jednak do końca pełne. Gdybym sam się mocniej nad tym nie zastanawiał, to uznałbym to zdanie za banalne - na pierwszą kategorię spojrzałbym przez pryzmat wymagań: inwestorzy będą brać pod uwagę nie tylko dane statystyczne, tzn. ilościowe, ale także jakościowe, czy finanse są przejrzyste, czy zarząd wypełnia swoje obowiązki i wywiązuje się z obietnic lub prognoz itp. Ponadto mogą przyjść informacje ekonomiczne, które zmienią poziom ryzyka, a więc i wymaganą premię za ryzyko.
Z tego punktu widzenia oczekiwana stopa wydaje się być czymś ulotnym, subiektywnym, opartym bardziej na funkcji użyteczności niż twardych danych historycznych.
Jednak idąc tropem modeli ekonomicznych, takich jak CAPM dochodzimy do wniosku, że oczekiwana stopa zwrotu jest jak najbardziej do obliczenia. Tak więc pełniejsza odpowiedź na tytułowe pytanie byłaby następująca. O ile wartość oczekiwana jest po prostu miarą statystyczną, o tyle na oczekiwaną stopę zwrotu wpływają koszty ekonomiczne jak czas i ryzyko. To ryzyko może mieć charakter zarówno mikroekonomiczny, a więc dotyczyć tylko samej spółki, jak i makroekonomiczny, a więc dotyczyć gospodarki, która z kolei przekłada się na zmiany indeksu giełdowego. W pierwszym przypadku, jeżeli przychodzi wiadomość, że spółka zostaje zmuszona zwiększyć zadłużenie, wzrasta ryzyko niewypłacalności, zatem inwestorzy będą wymagać większej premii za ryzyko trzymania akcji - oczekiwana stopa zwrotu rośnie (cena spada), ale przecież wartość oczekiwana nie zmienia się... W drugim przypadku, jeżeli gospodarka nagle się osłabia, to zwiększa się niepewność rynku, tak że inwestorzy będą wymagać większej premii za ryzyko trzymania akcji, tj. zwiększa się oczekiwana stopa zwrotu (indeksy spadają), ale - znów - wartość oczekiwana stopy nie zmieniła się. A przecież dokładnie o tym mówi CAPM, zgodnie z którym oczekiwana stopa zwrotu stanowi funkcję ceny za ryzyko (tj. powiązania awersji do ryzyka z samym ryzykiem). Jeżeli więc akcje są skorelowane z rynkiem , to sama wartość oczekiwana może być zupełnie różna.

Jednak chyba najtrudniejszą rzeczą do zrozumienia tutaj jest przejście od modelu Markowitza do CAPM. Model Markowitza opiera się na oczekiwanych stopach zwrotu, które mogą jeszcze zostać utożsamione z wartościami oczekiwanymi (średnimi). Ale jego przejście w CAPM zmienia skalę mikro w makro, tzn. powstaje korelacja z całym rynkiem i z tego powodu oczekiwana stopa zwrotu staje się miarą opartą na ryzyku rynkowym - a więc nie może być obliczona tak po prostu przez średnią. To daje do myślenia!

Zmiany i ceny akcji są miarami subiektywnych oczekiwań inwestorów. Zupełnie inna sprawa dotyczy takich kategorii jak zmiany przychodów, zysku, dywidendy czy przepływów pieniężnych. Inwestorzy nie mają wpływu na te parametry, nie mogą więcej wymagać od spółki, bo wymagają maksimum efektywności zarządzania. Oczywiście kolejne informacje zarówno mikro jak i makro, będą wpływać na ocenę oczekiwań finansów spółki. Tylko że ocena tych oczekiwań kształtuje właśnie kurs i stopy zwrotu, a nie kategorie księgowe. Można powiedzieć, że kategorie księgowe są obiektywne, a rynkowe subiektywne. O ile oczekiwana stopa zwrotu z akcji jest funkcją "subiektywnej" awersji do ryzyka oraz "subiektywnej" miary ryzyka, o tyle parametry księgowe im nie podlegają, a na pewno nie podlegają w tak szerokim zakresie. Dlatego ich oczekiwania będą wyznaczane przez jakieś średnie.

Podsumowując: zawsze musimy wiedzieć co dokładnie chcemy wyznaczyć. Jeżeli chcemy stworzyć tylko optymalny portfel Markowitza, to wystarczy wyznaczyć pewną średnią stopę zwrotu. Jeśli chcemy oszacować stopę zwrotu w równowadze rynkowej (ile inwestor ma prawa wymagać), wtedy sięgamy do modeli równowagowych, jak CAPM. Jeśli utożsamimy wartość fundamentalną akcji z wartością w równowadze, to do wyznaczenia takiej wartości będzie potrzebna stopa dyskontowa w równowadze - a taką uzyskamy z modeli równowagowych, jak CAPM. Jeśli z kolei interesują nas kategorie księgowe, to ich zmiany będziemy badać wyznaczając odpowiednie średnie.

niedziela, 13 września 2015

O relacji między arytmetyczną a geometryczną średnią stopą zwrotu

W literaturze finansowej przewijają się trzy miary średnich - arytmetyczna, geometryczna i logarytmiczna (średnia) stopa zwrotu. Patrząc na całe zagadnienie z dystansu, dostajemy dość zagmatwany obraz złożony z trzech różnych miar. Dobrze byłoby odnaleźć ścisłe relacje pomiędzy nimi, aby móc się poruszać w gąszczu matematyki finansowej.

Średnia arytmetyczna stopy zwrotu (r) dana jest wzorem:

(1)

gdzie
r(k) to k-ta stopa zwrotu,
n - liczba wszystkich stóp zwrotu, tj. liczebność próby.

Średnia geometryczna powstaje w następujący sposób. Najpierw tworzymy łańcuch n cen w oparciu o procent składany:

(2)

Następnie zastępujemy sam łańcuch składanych procentów średnim składanym procentem:

(3)

Rozwiązując to równanie względem G uzyskujemy wzór na średnią geometryczną:
(4)

Najczęściej stosowany w matematyce zapis to:

(5)

Zauważmy prostą zależność. Ponieważ z definicji na stopę zwrotu r(k) dla ceny P(k):


to podstawiając ten wzór do poprzedniego dostajemy:




Inaczej mówiąc wewnętrzne stopy zwrotu wzajemnie się eliminują, więc wzór od nich nie zależy. W ten sposób jasno widać, że geometryczna stopa zwrotu zależy tylko od pierwszej i ostatniej ceny, nie uwzględniając w ogóle zmian wewnętrznych.

Wyprowadzę teraz zależność pomiędzy arytmetyczną a geometryczną stopą zwrotu. Pośrednikiem jest tu twierdzenie Taylora.

Poniższa definicja zaczerpnięta jest z Wikipedii


Wzór Taylora, szczególnie Maclaurina, jest bardzo często używanym narzędziem dowodu przy wyprowadzeniach różnych wzorów w ekonomii.

Wróćmy teraz do wzoru nr (3). Możemy go zlogarytmować i wykorzystać własności logarytmów:

 (6)



Zgodnie z twierdzeniem Taylora stała a jest dowolna, więc możemy podstawić pod nią średnią arytmetyczną, tj. (1). W ten sposób logarytmiczna stopa zwrotu ln(1+r) może być wyrażona przez szereg Taylora:

(7)


Podstawmy prawą stronę (7) do prawej strony (6). Widać od razu, że powstają po prawej stronie sumy, które możemy rozdzielić i podzielić przez n, dostając

(8)


Przeanalizujmy prawą stronę (8). Pierwszy wyraz to średnia ze stałych, więc sumę można zapisać jako n*ln(1+A), stąd całość skraca się do ln(1+A). Drugi wyraz zawiera pierwszy moment centralny, a ten zawsze jest równy zero. Trzeci wyraz zawiera wariancję. Czwarty - trzeci moment centralny, czyli miarę asymetrii ściśle powiązaną ze skośnością, piąty - z kurtozą. Pozostałe składniki będą zawierać kolejne momenty centralne zmiennej r, ale w statystyce są praktycznie pomijane, więc uznamy, że są równe zero. W związku z tym również reszta Peano zniknie. Na koniec musimy pamiętać o pochodnych 4-ch kolejnych rzędów. W konsekwencji dostajemy przekształcony wzór:

(9)

gdzie:
V - wariancja
Sk - skośność, czyli 3-moment centralny podzielony przez wariancję do 3/2
K - kurtoza, czyli 4-moment centralny podzielony przez wariancję do kwadratu.

Jeżeli rozkład jest normalny, wtedy skośność wynosi zero, a kurtoza = 3 (nadwyżka kurtozy = 0). Kurtoza jest podzielona przez 4*(1+A)^4 i dodatkowo przez mnożona przez wariancję, która przecież zazwyczaj będzie ułamkiem.  Dlatego przyjmijmy, że 2 ostatnie składniki w (9) znikają. Z tak utworzonego wyrażenia wyciągamy G:

(10)


Średnia geometryczna stopa zwrotu jest czymś w rodzaju arytmetycznej średniej stopy zwrotu zdyskontowanej pewną stopą zmienności.
Wzór (10) jest mało znany i prawie nigdzie go nie znajdziemy w literaturze (wzór (9), z którego przecież można wyprowadzić najbardziej ogólny wzór na G jest rzadko spotykany. Dość niedawno Mindlin [1] wyprowadził różne przybliżenia geometrycznej stopy zwrotu i tam znalazł się (10), aczkolwiek Autor nie analizował momentów centralnych wyższych rzędów niż 2, a więc już (9) tam nie znajdziemy.

Problem można zaatakować nieco z innej strony. Powróćmy do wzoru (6). Ponownie zakładamy -1 < x < 1 , ale tym razem podstawiamy a=0, wtedy funkcja ln(1+x) będzie aproksymowana przez wzór Maclaurina, który sprowadza się do postaci:

(11)

Wzór ten zastosujemy zarówno dla prawej, jak i lewej strony równania (6).


czyli:

Przenieśmy wszystkie składniki oprócz pierwszego z lewej strony na prawą:

(12)

Składniki prawej strony (12) częściowo się znoszą, a kolejne wyrazy stają się coraz mniejsze. Jeśli zaniedbamy wszystkie składniki oprócz pierwszego i drugiego, to dostaniemy:



Ze wzoru skróconego mnożenia można wywnioskować, że:


Wtedy:

(13)

Rozwiązanie (13) względem G daje wzór:

(14)


Wzór (14) również nie jest popularny. Faktycznie, nie wygląda zbyt interesująco. Najczęściej więc zakłada się w (13), że (A^2 - G^2) / 2 jest w przybliżeniu równe zero. W ten sposób dochodzimy do znanego prostego wzoru:

(15)
Wzór (15) ma podobną interpretację co (10), ale dużo prostszą. Tam średnia arytmetyczna była dyskontowana połową wariancji, która była z kolei dyskontowana samą średnią arytmetyczną ("stopa dyskontowa" wynosiła 0,5V/(1+A)^2). Tutaj od średniej arytmetycznej odejmujemy połowę wariancji. Wzór (15) rzeczywiście powstał trochę sztucznie, ale wybór takiej postaci nie jest przypadkowy. Przypomnę artykuł Kiedy większa niepewność zwiększa wartość akcji? gdzie naturalnie doszedłem do rozkładu logarytmiczno-normalnego. Jeśli zmienna g ma rozkład normalny, to zmienna exp(g) ma rozkład logarytmiczno-normalny. Z kolei wartość oczekiwana zmiennej o rozkładzie logarytmiczno-normalnym jest dana wzorem:


gdzie G - wartość oczekiwana zmiennej g, V(g) - wariancja zmiennej g.

Zauważmy, że wariancja V(g) nie jest tym samym co V, bo jest wariancją zmiennej losowej g (a nie r). Zmienna losowa g stanowi stopę kapitalizacji kapitału w rozkładzie normalnym, którego parametry wynoszą G - wartość oczekiwana oraz V(g) - wariancja. Dla rozkładu normalnego wzór G + V(g)/2 nie ma żadnego znaczenia. Dopiero przechodząc do rozkładu log-normalnego wzór ten staje się średnią arytmetyczną kapitalizacji ciągłej dla zmiennej r. Wielkość exp(G+V(g)/2) wyraża z kolei średnią arytmetyczną efektywnej stopy procentowej.

W tym miejscu warto zaznaczyć, że wartość oczekiwana stopy zwrotu nie musi być wcale równa oczekiwanej stopie zwrotu, ponieważ pierwsza wielkość jest czysto matematyczna, podczas gdy druga ekonomiczna, może zawierać elementy psychologii, może być wyrażona przez użyteczność, tzn. przez funkcję wartości oczekiwanej stopy zwrotu, a więc może np. być logarytmiczną stopą zwrotu.

Podsumujmy.

a) Najbardziej ogólny wzór na geometryczną stopę zwrotu powstaje z przekształcenia (9)


b) Przy założeniu normalności rozkładu powyższy wzór można przybliżyć za pomocą:


c) Innym przybliżeniem, nie zakładającym jednak normalności jest:


d) Uproszczoną wersją, sensowną dla rozkładu logarytmiczno-normalnego daje następujące przybliżenie:


Przykład. Możemy teraz przetestować G1-G4. Zacznijmy od rocznych stóp zwrotu WIG od początku 1998 do końca 2014 (dane ze stooq.pl). Zanim podam uzyskane parametry zwracam uwagę na kurtozę. We wzorze na G1 podana K to kurtoza, podczas gdy najczęściej kurtozę utożsamia się z nadwyżką kurtozy. Nadwyżka ta jest równa kurtoza minus 3. Ponieważ obliczam parametry w Excelu, który oblicza nadwyżkę kurtozy, to muszę de facto do tak obliczonej kurtozy dodać liczbę 3. Excel oblicza kurtozę z próby, więc de facto jest to 3 przemnożone przez (n-1)^2/((n-2)*(n-3)). Czyli kurtozę z Excela plus 3 (ewentualnie dla precyzji razy podany współczynnik) można podstawić do wzoru G1 jako kurtozę. W końcu
 
 Uzyskane parametry są następujące:
A = 0,1148
V = 0,0765
Sk = -0,6026
K =3,512

G1 = 0,0742
G2 = 0,0811
G3 = 0,0726
G4 = 0,0766

Prawdziwa geometryczna stopa zwrotu (tj. obliczona z definicji) G = 0,0722.
W tym przykładzie G3 okazuje się być najlepszym estymatorem, na drugim miejscu G1, potem G4, na końcu G2. 

Kolejny przykład zrobię dla kwartalnych stóp zwrotu WIG w tym samym okresie.

A = 0,0260, V = 0,0148, Sk = -0,2165, K = 2,708. Wyniki:
G1 = 0,0185
G2 = 0,0188
G3 = 0,0184
G4 = 0,0185

Prawdziwa G = 0,01834, więc znów G3 wygrywa.

Ostatni przykład będzie dotyczył kwartalnych stóp KGHM w tym samym okresie.
A = 0,0742; V = 0,059; Sk = 0,3086; K = 3,3457
Wyniki:
G1 = 0,046
G2 = 0,047
G3 = 0,0428
G4 = 0,0447

Prawdziwa G = 0,046, więc tym razem G1 wygrywa. Główną przyczyną jest tutaj uwzględnienie kurtozy, która jest większa niż dla WIG.


Literatura:
[1] D. Mindlin, On the Relationship between arithmetic and geometric return, 2011
[2]  T. Messmore, Variance Drain. Is your investment return leaking down the variance drain?, 1995,
[3] https://pl.wikipedia.org

poniedziałek, 13 lipca 2015

KGHM - krótka analiza fundamentalna

Chociaż szykuję się do dalszych teoretycznych wywodów, związanych z teorią finansów (Międzyokresowy CAPM, Konsumpcyjny CAPM) nie mogę pozostawiać strony praktycznej na boku. Przypomnę, że 1 marca prognozowałem/wyceniałem poziom ceny/wartości KGHM na 126 zł - "Bezpieczna wycena akcji"  przy cenie 121 zł. Kurs rzeczywiście wzrósł niebawem nawet do 130 zł, co było racjonalne skoro wyniki nawet przekroczyły moje prognozy. Wypłacona dywidenda obniżyła kurs dokładnie o 4 zł. Od tego momentu KGHM znalazł się w silnym trendzie spadkowym, tak że dziś znajduje się w okolicach 100 zł. Zaprzecza to oczywiście tezie "bezpiecznej wyceny", że wartość KGH powinna znaleźć co najmniej na poziomie C/WK = 1, a dziś jest to 0,8. A przecież to było parę miesięcy temu i konglomerat nieprzerwanie zwiększa kapitał własny. Pierwsza rzecz, jaką należy sprawdzić to zachowanie się tempa zmian zysku operacyjnego. Poniżej zaznaczyłem kwartalne zmiany % od 1kw. 2004 do 1kw. 2015.



Zmiany te wydają się być stacjonarne, ostatnie spadki tempa są "naturalne". Aby rozwiązać zagadkę spadków, musimy sięgnąć nieco głębiej.
Spójrzmy więc na kwartalne ROE i kWACC (księgowy ważony koszt kapitału, czyli zysk operacyjny/aktywa) w tym samym okresie:


Dopiero ten wykres dostarcza wskazówki na temat spadków kursu. Rentowność spadła poniżej tej z 2008 r. Co więcej, zysk operacyjny wynosi już tyle co w 2009 r. Czyli co, czy kurs spadnie znowu do 20 zł? Raczej nie. Jak już, 40 zł. W ostatniej bessie c/wk spadła do 0,3, zatem aby dziś dostać tyle, kurs musi spaść do 40 zł. Jeśli mielibyśmy nie uwzględniać zmienności tempa wzrostu, to taka wycena miałaby sens. Weźmy nawet uproszczony model Gordona: dywidenda 4 zł, na podstawie ostatnich danych (zob. art "Bezpieczna wycena akcji") średnie tempo wzrostu 9% i koszt kapitału własnego 18%. Jeżeli założymy, że za rok będzie wzrost dywidendy o 3%, to dostajemy P = 4*1,03/(0,18 - 0,09) = 46 zł.

Czy taka wycena jest optymalna skoro jeszcze "przed chwilą" miało to być 130? Jak zawsze każda wycena podlega założeniom. Od 2000 r. średnia kWACC = 15%, podczas gdy od 2004 20%. Jeżeli Zarząd chce płacić 30% zysku w formie dywidendy, to teoretyczne tempo wzrostu zysku operacyjnego powinno wynieść 0,7*15% = 10,5% dla pierwszej średniej i 0,7*20% = 14% dla drugiej. A skoro Zarząd obniża wartość z 10,5 do 9%, to spoglądając dodatkowo na wykres ROE i kWACC nie ma wątpliwości, że panuje tutaj tendencja spadkowa. I tak samo czyta to rynek.

Jednak jak wiadomo tempo wzrostu zysku operacyjnego zależy nie tylko od poziomu kWACC, ale i od tempa zmian kWACC. Analogicznie jest z zyskiem netto i ROE. Jeżeli więc kWACC i ROE charakteryzują się jakąś cyklicznością, to można byłoby przewidywać poprawę lub pogorszenie sytuacji. Spójrzmy więc poniżej na roczne tempo zmian ROE i kWACC w ciągu ostatnich 10 lat.



W zasadzie niewiele możemy powiedzieć oprócz tego, że tempo spadku wskaźników maleje. Informacją, którą jednak można się dodatkowo posłużyć do prognozy są ceny miedzi. Warto wiedzieć, że w okresie 2004-1kw. 2015 kwartalne zyski operacyjne i ceny miedzi miały korelację Pearsona 0,54, a Spearmana 0,78. Dla stóp zmian tylko korelacja Pearsona była istotna stat. i wyniosła 0,28. Poniżej zamieściłem logarytmiczne wykresy kwartalnej ceny miedzi i zysku operacyjnego KGHM od 2004 do 1kw. 2015:


Spadki w cenach miedzi pociągają więc za sobą spadki w zysku i stanowią podstawę do bieżących wahań. Zatem należy szukać cykliczności również w cenach miedzi. Logarytmiczna stopa zmian cen miedzi dla powyższego okresu kreśli się następująco:



Raczej trudno mówić tu o jakiejś cykliczności, jednak z technicznego punktu widzenia jest to trend spadkowy. Przebicie oporu świadczyłoby o zmianie cyklu.

Z kolei ceny miedzi powinny korelować ze zmianami PKB na świecie. Jednak, o dziwo, wzrost PKB w strefie Euro i USA ostatnio rośnie. Wytłumaczeniem może być gospodarka chińska, która spowalnia - rośnie marne 7%.










Ponieważ tylko Chiny spowalniają nie należy spodziewać aż tak drastycznych cięć jak w 2008 i 2009. Problem leży w tym, że KGH ma olbrzymi historyczny koszt kapitału. Mogę sobie wyobrazić, że kurs spadnie do 70 zł, żeby potem w ciągu 4 lat mógł wzrosnąć do 170. Co więcej, prosta wycena Gordona sugeruje, że cena mogłaby dziś spaść nawet do 40 zł. Trudno sobie to wyobrazić, bo spełniłby się wtedy ten sam scenariusz co w 2008/2009 r.