Czyżby giełda była nieracjonalna?

Roczne stopy zwrotu z amerykańskiego indeksu SP 500 są silnie dodatnio skorelowane z rocznymi procentowymi zmianami PKB USA. Logiczne jest, że aby taka korelacja była racjonalna, zmiany zysków giełdowych firm muszą być dodatnio skorelowane ze zmianami PKB. W poprzednim wpisie stwierdziłem:

Ściślej, w latach 1929-2009 korelacja rocznych zmian zysku i PKB wyniosła 0,2349. Dla lat 1933-2009 spada ona jednak do 0,166 i staje się nieistotna statystycznie.

Jednak ponieważ powstała taka niejednoznaczność, zbadałem te relacje dokładniej dla lat 1929-2009. Ponadto, wierząc, że ta dodatnia korelacja jednak istnieje, miałem zadanie stworzyć regresję liniową z tych zmiennych. Jakie doszło do mnie zdziwienie, gdy się okazało, że tej korelacji nie ma!

Nie ma żadnej istotnej korelacji pomiędzy rocznymi zmianami zysku firm z indeksu SP 500, a rocznymi zmianami amerykańskiego PKB. (1929-2009). Korelacja wynosi 0,09 - nieistotna stat. Oto macierz tej korelacji:



Gdyby istniała dodatnia korelacja, powinniśmy dostać relację w formie liniowej funkcji rosnącej. (Dla ujemnej malejącą).

Poniżej ich wykresy w l. 1929-2009 (zielone - zmiany PKB, czerwone - zmiany zysku):



Z kolei tak wygląda korelacja pomiędzy rocznymi stopami zwrotu indeksu SP 500 a rocznymi stopami zmian PKB USA (ten sam zakres danych):



Jest silna - wynosi 0,47.

A tak kształtowały się stopy zwrotu z SP 500 (czerwone) i zmiany PKB (zielone)



Skoro jednak korelacja pomiędzy zmianami zysku SP 500 a zmianami PKB nie występuje, a jednocześnie korelacja zmiany SP 500 - zmiany PKB występuje, to czy w ogóle występuje korelacja zmiany SP 500 - zmiany zysku SP 500? W poprzednim wpisie stwierdziłem, że ta korelacja istnieje, choć nieduża. Jeszcze raz zbadałem dla lat 1929-2009. Faktycznie istnieje, dostałem wartość 0,25. Ale takiej macierzy korelacji się nie spodziewałem:



Okazuje się, że korelacja 0,25 to niemal złudzenie, gdyż powoduje ją głównie jeden element mocno odstający. Co więcej, dla lat 1933-2009 korelacja ta już staje się teoretycznie nieistotna.

Na poniższym rysunku obserwujemy zależność obu zmiennych w l. 1929-2009, czyli stopy zwrotu SP 500 (czerwone) oraz zmiany zysków SP 500 (zielone)



Model regresji liniowej wskazuje jednak, że istnieje istotna relacja:

Stopa zwrotu SP 500 = 0,026633 + 0,10976*Stopa zmian zysku SP 500

Przy czym stała jest nieistotna, zaś standard error (odchylenie standardowe) dla parametru stopy zmian zysku SP 500 wynosi 0,048. Ponadto

R^2 = 6,119%
R^2 (adjusted for d.f.) = 4,93%

Zdecydowanie zbyt niskie R^2 potwierdza poniższy obrazek, gdzie widać, że owa relacja to niemalże złudzenie (to samo co wyżej tylko powiększone)



Dla porównania, regresja liniowa stóp zwrotu SP 500 i zmian PKB przedstawia się następująco:

Stopa zwrotu SP 500 = -0,0148286 + 1,53355*Stopa zmian US GDP

Przy czym stała jest nieistotna, zaś standard error (odchylenie standardowe) dla parametru stopy zmian zysku US GDP wynosi 0,324. Ponadto

R^2 = 22,12%
R^2 (adjusted for d.f.) = 21,14%



Jest jeden plus tego, że zmiany zysku SP 500 i zmiany PKB są nieskorelowane. Mianowicie można próbować stworzyć regresję wieloraką, która właśnie wymaga, aby zmienne objaśniające były od siebie wzajemnie niezależne. Regresja wieloraka umożliwia połączyć pojedyncze regresje w jeden spójny model. Zmienną objaśnianą oczywiście byłyby stopy zwrotu SP 500. Otrzymana funkcja regresji to

Stopa zwrotu SP 500 = -0,018827 + 0,0910764*Stopa zmian zysku SP 500 +
1,47109*Stopa zmian US GDP

Pełna statystyka tego modelu jest poniżej

-----------------------------------------------------------------------------
Standard T
Parameter Estimate Error Statistic P-Value
-----------------------------------------------------------------------------
CONSTANT -0,018827 0,0209038 -0,90065 0,3705
Zmiany% zysku SP500 0,0910764 0,0433199 2,10242 0,0387
Zmiany% US GDP 1,47109 0,318334 4,6212 0,0000
-----------------------------------------------------------------------------

R^2 = 26,3%
R^2 (adjusted for d.f.) = 24,4%
SE = 0,164
MAE = 0,122
Durbin-Watson statistic = 1,69738 (P=0,0729)
ARCH(1) in the error: Chi^2(1) = 9.502633 [0.0021]

Jak widać efekt ARCH(1) jest istotny, zatem powinniśmy użyć modelu ARCH lub GARCH.
Dla rozkładu Gaussa (normalność nie została odrzucona w teście) oto co dostałem

Stopa zwrotu SP 500 = -0.0236 + 0.0844*Stopa zmian zysku SP 500 +
1.903*Stopa zmian US GDP

Variable / Coefficient / St. Error / t-statistic / Sign.
1 Constant / -0.0195765692 / 0.0161692291 / -1.2107299063 / [0.2299]
2 Zmiany% zysku SP500 / 0.0840991811 / 0.0464795795 / 1.8093791295 / [0.0745]
3 Zmiany% US GDP / 1.8874096009 / 0.2669705282 / 7.0697301818 / [0.0000]
4 %arch_const / 0.0228298854 / 0.0078681976 / 2.9015394007 / [0.0049]
5 %arch1 / 0.412844619 / 0.1955934408 / 2.1107283426 / [0.0382]
6 %garch1 / -0.2899308775 / 0.2162188358 / -1.3409140623 / [0.1841]


R^2 = 24.270465148%
S.E. = 0.1662718341

Model nie uległ poprawie.

Jakie więc wnioski? Czy giełda zachowuje się nieracjonalnie skoro zyski firm są kompletnie nieskorelowane ze zmianami PKB, a jednocześnie giełda reaguje silnie na zmiany PKB? Obecnie wniosek powstaje następujący. Giełda reaguje zbyt nerwowo na zmiany PKB i potwierdza do pewnego stopnia swoją nieracjonalność. Aby w pełni się z tym zgodzić powinniśmy jeszcze sprawdzić co się dzieje w poszczególnych kwartałach: czy kwartalne zmiany PKB i zysków są trochę skorelowane? Zwrócę też uwagę, że wszystkie zmienne, którymi operowałem w tym wpisie: indeks SP 500, zysk SP 500 oraz PKB USA były wyrażone w wielkościach realnych i brane ze strony: http://www.multpl.com/us-gdp-inflation-adjusted/ . Nie jest wykluczone, że istotne różnice pojawiłyby się przy wartościach nominalnych. Na razie należy skonkludować, że giełda jest po pierwsze nadreaktywna na otoczenie, po drugie prawie w ogóle nie reaguje na roczne zmiany własnego zysku. Krótko mówiąc jest za bardzo spekulacyjna, a za mało "inwestycyjna".

Ale właściwie czy może być to zaskakujący wniosek? Nasza polska giełda robi właściwie to samo, tylko jeszcze gorzej, bo bezmyślnie powtarza każdy ruch giełdy z Ameryki.

.......................................................................

Dodane 22.08.2011:

Jeszcze raz zrobiłem testy, które opisałem w następnym poście. Okazuje się, że w rzeczywistości to statystyka trochę kłamie, a giełda nie okazuje się wcale tak bardzo nieracjonalna (korelacja zmiany zysku - zmiany PKB istnieje). Nadal jednak związek wydaje się być zbyt chwiejny.

Wycena S&P 500 - gdzie jesteśmy?

W poprzednim artykule przedstawiłem model wyceny akcji nazwany Uogólnionym modelem Grahama-Dodda (UMGD). Tak jak stwierdzono, model jest trudny w użytkowaniu (ogólnie DCF jest trudny do sporządzenia), niemniej należy pokazać przykład jego użycia. Wydaje się, że najbardziej wiarygodną wycenę sporządzę dla indeksu amerykańskiego S&P 500, gdyż historyczne dane będą mogły posłużyć bez problemu do najtrudniejszej zdaje się części - wartości rezydualnej.

Ostatnio groza padła na rynki akcji, tak że indeks się nieco osunął:



I jak to zwykle bywa, pojawiają się głosy: czy to początek bessy? Wiele ostatnich danych makroekonomicznych nie napawa optymizmem. Porównajmy jak zmienia się ostatnio realny PKB w USA (w ujęciu annualizowanym):

1 kw. 2010 +3,7%
2 kw. 2010 +1,6%
3 kw. 2010 +2,5%
4 kw. 2010 +2,3%
1 kw. 2011 +0,4%

Jednocześnie gospodarkę USA straszy widmo niewypłacalności kraju. Dług USA wynosi obecnie ok. 14,3 bln dol. W raporcie CBO (Kongresowe Biuro Budżetu):

czytamy z kolei:

Niższe wpływy z podatków i wyższe wydatki budżetu federalnego na walkę ze spowolnieniem gospodarczym spowodują wzrost długu publicznego USA do 62 proc. na koniec roku.

Do 2020 roku dług ma wzrosnąć według CBO do 87 proc. PKB, jeśli przedłużone zostaną obniżki podatków wprowadzone za prezydentury George'a W. Busha.

Temat zadłużenia państwa jest jednak złożony, więc go zostawmy.

Zmiany PKB USA nie są tożsame ze zmianami zysku netto indeksu S&P 500, choć są trochę skorelowane. Ściślej, w latach 1929-2009 korelacja rocznych zmian zysku i PKB wyniosła 0,2349. Dla lat 1933-2009 spada ona jednak do 0,166 i staje się nieistotna statystycznie. Wobec tego można powiedzieć pół na pół. Dla ciekawostki sprawdziłem także korelację pomiędzy zmianami samego indeksu a PKB. Okazała się bardzo silna. Dla lat 1929-2009 wyniosła 0,477. Dla lat 1933-2009 nieco spadła i wynosi 0,39. Innymi słowy, jeśli przewidzimy na dany rok siłę zmiany PKB, to przewidzimy z dość dużą szansą zmianę SP500. Dodatkowo zbadałem co się dzieje pomiędzy zmianami zysku SP 500 a zmianami tego indeksu. Korelacja wyniosła (1929-2009) 0,258 i jest także istotna statystycznie, ale (1933-2009) 0,203 i leży na granicy istotności.

Na koniec przyjrzałem się jeszcze jednej - ale równie ważnej kwestii, mianowicie czy inwestorzy przewidują przyszłe zmiany zysku i PKB. I tu niespodzianka. Owszem inwestorzy przewidują zmianę zysku - jest ona skorelowana ze zmianą indeksu z okresu poprzedniego (korelacja gdzieś między 0,2 a 0,3). Ale inwestorzy już nie zwracają uwagi na przyszły PKB - zmiany PKB są nieskorelowane ze zmianą indeksu z okresu poprzedniego. Przyszły PKB z kolei jest zbyt mglisty dla inwestorów.

Nam zależy na poprawnym oszacowaniu zysku netto na akcję (EPS) dla SP500, tempa wzrostu tego zysku oraz rentowności kapitału własnego. Wiemy już, że jeśli wzrost PKB osłabnie, to wzrost zysku SP500 niekoniecznie osłabnie, choć trochę może. Dodatkowo należy ocenić jak zmiana zysku wpływa na kolejną zmianę w czasie (czyli autokorelacje). Najlepiej prognozować zmiany za pomocą jakiegoś modelu regresji. Niestety zwykła wieloraka regresja liniowa ani też GARCH nie do końca radzą sobie z modelem. Rocznych obserwacji od 1933 jest niewiele, co stanowi sporą przeszkodę i zapewne lepiej byłoby zgęścić dane do kwartalnych. Trudno się jednak na to zgodzić, bo my prognozujemy roczne zmiany. Regresja pojedyncza przynosi już istotne statystycznie wyniki. Pomiędzy kolejnymi zmianami zysku nie występuje żadna liniowa korelacja, lecz AR(1) daje istotne wyniki, jak również GARCH(1).

Poniżej przedstawiono kolejne poziomy zysku indeksu od 2000 r.:



Łatwo zauważyć, że zmiany zysku są łagodne - jest to zasługa silnych miesięcznych autokorelacji (prawie 0,7). Należy jednak pamiętać, że roczna autokorelacja liniowa zmian zysku jest tutaj co najwyżej złudzeniem (i to każdego rzędu). Niemniej na 3 wykonane testy losowości dla okresu 1933-2010 dwa wskazują, że nawet roczne tempo zmian zysku SP500 nie jest całkowicie losowe. Widocznie występują tutaj nieliniowe autokorelacje, które są wyłapywane przez te testy.

Następnie należy przeanalizować ROE (2000-2010):



ROE ex post - czyli nieprognozowane, lecz dane historycznie. Obliczone jako zysk netto z okresu t/(kapitał własny okresu t-1)

Średnia ROE na tym obszarze wynosi 12,44%. Okazuje się, że ROE ex ante liczony jako zysk netto z okresu t *(1+0,0636) / (kapitał własny okresu t) daje podobną średnią 12,68%. Liczba 0,0636 to średnia geometryczna stopa zmian zysku netto indeksu od 1933 r.

Goldman Sachs (GS) w raporcie The anatomy of ROE: Part 1: S&P 500 przedstawił prognozę ROE na rok 2011 na poziomie 17%. Oto wykres z tego raportu:



Średnia ROE = 15,2%. Przypomnieć należy jednak o konwencji jaką się stosuje dla definicji ROE. Wydaje się, że aby przekształcić ROE z raportu musimy przemnożyć 0,152 przez 1,0636 (średnie tempo wzrostu zysku = 6,36%). Kwestię tę już wyjaśniałem. W ten sposób otrzymujemy średnią ROE dla naszego modelu: ROE = 15,2%*1,0636 = 16,17%. Tę wartość zastosujemy do modelu rezydualnego. Parametry modelu rezydualnego omawialiśmy we wpisie: Prawdziwe znaczenie wskaźnika Cena/Zysk i Cena /Wartość księgowa. . Jedynie poprawka dotyczy ROE. Parametry do modelu rezydualnego są następujące:

r = 10,5%
ROE = 16,17%
w = 6,36%

Standard&Poors (S&P) prognozuje EPS SP500 w 2011 r. na poziomie 94,23 $. Ponieważ EPS 2010 = 77,35 , oznaczałoby to wzrost o prawie 22%. Ze względu na ostatnie gorsze dane ekonomiczne, obniżymy nieco ten wzrost do 18%. W ten sposób nasz prognozowany zysk 2011 równa się 91,3 $. Model (rezydualny) Grahama-Dodda (MGD) jest postaci:

P(0) = EPS(1)*(1 - w/ROE)/(r - w)

Podstawmy dane:

P(0) = 91,3*(1 - 0,0636/0,1617) / (0,105 - 0,0636) = 1337,9.

Na chwilę obecną indeks SP500 posiada wartość 1292.28. Zatem z tego prostego modelu wynikałoby, że mamy dziś do czynienia z niewielkim niedowartościowaniem indeksu. Ale przecież jeszcze parę dni temu indeks uzyskiwał wartości w okolicy wskazane przez model. Zwróciłbym uwagę na fakt, że prognoza zysku 91,3 to subiektywna wielkość. Minimalnie zmniejszę ją do 90, a już otrzymam P = 1319. Ponadto wartość historyczna parametrów modelu nie musi odpowiadać rynkowi. Jeśli rynek ocenia, że USA kroczy ku zagładzie, może zmniejszyć na stałe średnie tempo wzrostu zysku. Na przykład, jeśli tylko zmniejszymy w do 6%, wtedy P(0) = 1287,24, co automatycznie potwierdza efektywność rynku. Rynek poprawnie wyceniałby indeks na chwilę obecną. Niemniej na razie trudno o racjonalne przesłanki, by średnie parametry uległy faktycznie zmianie.

Model rezydualny nie uwzględnia wahań koniunkturalnych. Za pomocą UMGD uwzględnimy część okresu koniunkturalnego. Przyjrzymy się jeszcze raz na załączonym powyżej wykresach zmianom ROE. Te zmiany będą korelować ze zmianami zysku. ROE 2010 = 15%. GS prognozuje ROE = 17% w 2011. Nasz ROE ex ante byłby równy 18% = 17%*(1,0636). Będziemy jednak konsekwentni: skoro obniżyliśmy trochę estymowane tempo wzrostu zysku, to zrobimy to także dla ROE. Uznamy, że ROE
(1) 2011 17,5%
(2) 2012 ROE osiągnie maksimum = 18%.

Następnie stopniowo może spadać:

(3) 2013 17%,
(4) 2014 16,5%
(5) i od 2015 zastosujemy model rezydualny (a więc ROE stałe = 16,17%).

Tempo wzrostu zysku będzie szło w parze ze zmianami ROE. I tak uznamy, że w
(1) 2011 14%
(2) 2012 osiągnie maksimum = 17%
(3) 2013 12%
(4) 2014 8%
(5) i od 2015 zastosujemy model rezydualny (a więc w stałe = 6,36%).

UMGD ma postać:



W naszym przypadku n = 5. Podobnie jak w MGD, EPS(1) = X(1) = 91,3. X(t) = X(t-1)*(1+w(t)). Koszt kapitału własnego r jest stały i równa się 10,5%. Ponieważ wszystkie dane są znane, podstawiamy. Otrzymany wynik to:

P(0) = 1362,7.

Wycena ta niewiele różni się od wyceny uzyskanej za pomocą prostego modelu rezydualnego. Niemniej jest poprawniejsza i doskonale tłumaczy koniunkturę na giełdzie. Obecna wartość indeksu wydaje się trochę za niska. Jednak X(1) jest wartością subiektywną, która sporo zależy od bieżących danych. Ustalając X(1) = 90, dostaniemy P = 1342,4, zatem odchylenie od empirycznej wartości staje się nieistotne (jeszcze parę dni temu indeks osiągał takie wartości). Ostatnie negatywne informacje trochę zaniżają estymowany zysk, sprowadzając wycenę do optimum.

Niemal wszędzie spotykamy się z twierdzeniem, że giełda buja się od jednej skrajności do drugiej. W hossie trwa nadmierny optymizm i euforia, a w bessie niepotrzebna depresja i marazm. Często przywołuje się takie euforyczne okresy jak koniec lat 90-tych, nazywane powszechnie "bańką internetową", które zakończyły się - jak zwykle - katastrofą. Popatrzmy jednak na ROE w tym czasie. Osiągało największe wartości wszechczasów. Rynek słusznie wyceniał wysoko akcje, bo należało jakoś ekstrapolować takie bezprecedensowe zdarzenia. Czy za bardzo, tego nie podejmuję. Racjonalnie nie dałoby się dowieść nieefektywności rynku tamtego okresu. Czy ktoś jednak zwraca na to uwagę? Nie, wszyscy krzyczą, że była wtedy bania, która musiała pęknąć z hukiem. Nic nie było wiadomo. ROE spadło, ale równie dobrze mogło się długo utrzymać lub nawet jeszcze wzrosnąć. Legend i mitów nigdy za mało.

Po co ten atak - zostawmy mity, otwórzmy umysł

Z dystansu widzę, że niepotrzebnie atakowałem Marcina Przasnyskiego i Jego portal. Z wpisu Analitycy mówią o C/WK. Im mniej mówią, tym lepiej usunąłem część, w której atakuję portal i trochę złagodziłem kilka fragmentów. Bo właściwie, co mnie to obchodzi...? Przecież - jak się bliżej przyjrzymy - to niemal wszyscy piszą głupoty lub zwykły fałsz, bo im "coś się wydaje".

My jesteśmy racjonalistami - sprawdzamy wszystko, studiujemy szczegółowo. Zarówno teoretycznie jak i praktycznie. To niestety wymaga wysiłku i dyscypliny, na którą niewielu ludzi stać. Test wsparć i oporów - taki mój subiektywny test - już prawie gotowy. A tematów jest przecież od groma. Mitów na giełdzie jest chyba jeszcze więcej.

Ee... miałem skończyć, ale wstawię zagadkę. Czy zgodzisz się z następującym zdaniem:

Na rynku efektywnym nie można zarabiać ponadprzeciętnie.

Prawda?? A może najpierw się zastanowisz Czytelniku i zamiast przyklasnąć - na tak - przyjmiesz postawę racjonalistyczną zadając pytanie: A może się mylę?

Większość ludzi operuje hasłami, bo czegoś tam się kiedyś nauczyli. Powiedzą: TAAK!!! To jest prawdziwe zdanie!!! Tak właśnie się dzieje na rynku efektywnym! I dodadzą nabyte "mądrości": Ponieważ byli tacy jak Buffet, Lynch, Graham, Soros itd, którzy konsekwentnie przez długi czas pokonywali rynek, to jest to dowód, że rynek nie jest efektywny!

Problem polega na tym, że hipoteza efektywnego rynku wcale nie twierdzi, że nie da się pokonać rynku. Mało tego, nie twierdzi nawet, że pokonanie rynku jest niemożliwe w długim terminie. Da się - przez przypadek.

JAKI ZNOWU PRZYPADEK!!! PRZEZ 10 LAT POKONYWAŁ RYNEK, A TY MI MÓWISZ O PRZYPADKU???

- nie przyszło Ci to na myśl?

Na rynku efektywnym prawdopodobieństwo, że jakiś inwestor przez 10 lat będzie zarabiać ponadprzeciętnie wynosi 0,5^10, czyli blisko zera. Ale prawdopodobieństwo, że co najmniej 1 inwestor będzie zarabiać ponadprzeciętnie szybko rośnie. Prawdopodobieństwo, że w grupie 1000 inwestorów co najmniej 1 z nich będzie zarabiać ponadprzeciętnie przez 10 lat wynosi ponad 62%. Ale już szansa, że w grupie 10000 inwestorów co najmniej 1 z nich przez 10 lat zdoła pokonać rynek wynosi 99,99%.

AHA! Czyli jednak rynek jest efektywny! Buffet i jego koledzy to tylko statystyczne anomalie! Ale jestem mądry!!! - my wszyscy...

Przydałby się jednak dystans i do tej wiedzy. J. Price i E. Kelly w artykule "Warren Buffett: Investment Genius or Statistical Anomaly?" przeprowadzają badania czy nasz guru to zwykłe odchylenie statystyczne. Wniosek ich jest następujący:

Warren Buffett has applied a consistent methodology to the stock market for over 40 years. The results of his methods as measured first by his performance in the Buffett Partnerships and later by Berkshire Hathaway cannot be dismissed as a statistical anomaly.

Zatem wg Autorów metod Buffeta nie można odrzucić na korzyść odchyleń statystycznych.

Jak widać, nic nie jest takie proste. To jest właśnie racjonalizm - nietrzymanie się kurczowo żadnej idei, a raczej chęć jej obalenia, zadawania pytania czy są przesłanki, że gdzieś ukryty jest fałsz.

Na koniec odwrócę kota ogonem. Jeśli ludzie się mylą lub piszą głupoty, to czy to jest ich wina? Pytam się bowiem: czy to wina deszczu, że pada nie w porę? Czy to wina psa, że chce ugryźć niewinnego człowieka? Czy to wina ludzi, że nie są tacy jakich chcielibyśmy ich widzieć (jakie mamy wyobrażenie lub żeby spełniali nasze oczekiwania)? Czy to wina ludzi, że piszą i mówią bzdury?... Nie, to nie ich wina, bo nie można winić ludzi, tak jak i zwierząt za nieświadomość. Nie jest też więc naszą winą, jeśli nie jesteśmy w stanie w każdej chwili zachować pełnej racjonalności.

Sell in June and come back soon

O starym powiedzeniu giełdowym "Sell in May and go away" napisano i powiedziano wiele. Jedni wierzą, drudzy nie wierzą, a jeszcze inni po prostu sprawdzają naukowo czy mają do czynienia z prawdą czy mitem. W rzeczywistości powiedzenie to nie jest (nie było) mitem, ponieważ statystyki wskazują, że wykorzystanie tej strategii dawało istotne statystycznie ponadprzeciętne stopy zwrotu na rynkach w wielu krajach. No właśnie... dawało, ale czy nadal daje? Warto przeczytać artykuł na angielskiej wikipedii o Halloween indicator - wariancie "Sell in May and go away", zgodnie z którym należy trzymać akcje od listopada do kwietnia, a sprzedać w maju i od maja do października należy inwestować w rządowe obligacje. Warto byłoby także przeczytać/przejrzeć solidną pracę na ten temat S. Boumana i B. Jacobsena "The Halloween indicator: Sell in May and go away" z 1997 r., dostępną za darmo w internecie. Jak czytamy w artykule, statystyki wykorzystania tej strategii w przeszłości przemawiają za nieefektywnością rynku. Choć efekt występował w wielu krajach, to jak się okazuje się w USA był on znikomy. Poniżej porównanie stóp zwrotu ze strategii Kup i Trzymaj ze strategią Halloween:



Następne pytanie jak efekt Halloween sprawdza się w hossie i bessie. Poniższa tablica ilustruje tenże podział. Z tablicy tej wynika, że efekt Halloween jest dla USA nieistotny statystycznie. Co więcej, zauważmy, że dla indeksu światowego poprawność prognoz to jedynie 60%, na poziomie p = 7,8% co zazwyczaj uważa się za nieistotny statystycznie wynik.



W wikipedii czytamy o nowszych badaniach, z których wynika, że efekt Halloween jest nieistotny statystycznie. Maberly i Pierce (2004) stwierdzają, że w okresie kwiecień 1982- kwiecień 2003 efekt byłby nieistotny, gdyby odjąć dwa charakterystyczne wydarzenia: Październik 1987 oraz Sierpień 1998. Jednak H. Douglas Witte (2010) przeprowadził badanie, które zaprzecza tym wnioskom. Potwierdziło ono wyniki Boumana i Jacobsena o występowaniu efektu Halloween.

Efekt Halloween być może jest jak na razie persystentny, choć dla akcjonariuszy w zasadzie trudny do wykorzystania ze względu na niską istotność statystyczną. Ale jak dokładnie wygląda sprawa z majem? Czy rzeczywiście jest ponadprzeciętnie słaby?

Nowe wyniki uzyskane przez portal Investment Postcards wskazują, że giełdowe powiedzenie o maju powinniśmy traktować z przymróżeniem oka, natomiast rozszerzyć je dla pozostałych miesięcy od czerwca do października. Na stronie http://www.investmentpostcards.com/2009/04/29/sell-in-may-and-go-away-fact-or-fallacy/ dostajemy następujące średnie stopy zwrotu dla S&P 500 w kolejnych miesiącach:



Widzimy, że najniższe stopy zwrotu uzyskujemy we wrześniu i październiku oraz kiepskie w czerwcu i lipcu. Potwierdza to więc efekt Halloween, lecz maj wcale już nie straszy.

Na koniec trudno nie zadać pytania, jak się kształtuje sytuacja na polskim rynku kapitałowym? Okazuje się, że u nas Sell in May and go away w ogóle się nie sprawdza. Warto przeczytać artykuł:

http://www.skarbiec.biz/gospodarka/02_05_2011_gielda.htm

na którym dostajemy taką oto statystykę stóp zwrotu:

Średnia stopa zwrotu WIG w latach 1991-2010 dla poszczególnych miesięcy (w proc.):



Cóż my tu mamy. Najgorszy okazuje się czerwiec, a po nim wrzesień. Październik też słabiutki. Porównując powyższy wykres z wykresem dla amerykańskiej giełdy, dostrzegamy, że wrzesień i październik to zły miesiąc dla obu rynków. Czerwiec, który jest najgorszy w Polsce, w Stanach również jest nie najlepszy. Być może więc powinniśmy zamienić powiedzenie: "Sell in May and go away" na "Sell in June and come back soon". Dla września nie udało mi się wymyślić powiedzonka.

Literatura:

1. S. Bouman, B. Jacobsen, "The Halloween indicator: Sell in May and go away", 1997
2. H. Douglas Witte, "Outliers and the Halloween Effect: Comment on Maberly and Pierce", 2010
3. http://www.investmentpostcards.com/2009/04/29/sell-in-may-and-go-away-fact-or-fallacy/
4. http://www.skarbiec.biz/gospodarka/02_05_2011_gielda.htm
5. Angielska wikipedia

Prawdziwe znaczenie wskaźnika Cena/Zysk i Cena /Wartość księgowa. Badanie empiryczne

Dwa ulubione wskaźniki inwestorów: Cena/Zysk oraz Cena/Wartość księgowa - oto temat na dziś. Czytam często taką oto "prawdę objawioną" na temat pierwszego z nich (nie tylko na forum giełdowym, ale także w artykułach pisanych przez profesjonalistów):

C/Z tej spółki < 10, więc jest ciągle tania. (czyli znajduje się poniżej wartości fundamentalnej)

Albo:

C/Z tej spółki > 20, więc jest już droga. (czyli jest powyżej wartości fundamentalnej)

Na temat drugiego:

C/WK tej spółki < 1 (>2), więc jest ciągle tania (już droga).


Mam wrażenie, że 90% inwestorów i analityków powtarza te puste frazesy bez zastanowienia. Zakorzeniły się one w świadomości giełdowej tak silnie, że nawet jeśli wiemy, że to tylko frazes, to i tak w praktyce się nim posługujemy.

Przestudiujemy zagadnienie wskaźnika Cena/Zysk, a następnie Cena/Wartość księgowa, po to aby raz na zawsze rozprawić się ze starymi mitami, choć zdaję sobie sprawę, że to niewiele pomoże - w końcu niczego nowego nie odkrywam. Może jedynie opisuję wszystko na swój sposób i pakuję w jeden ciąg myślowy, bez żadnych przystanków - każdy kolejny element wiąże się z poprzednim.

W poprzednim artykule "Twierdzenie o nieistotności polityki dywidendy" dowiedliśmy, że model DDF jest równoznaczny z DCF, co zapisaliśmy następująco:



gdzie

D(t) - oczekiwana dywidenda w t-tym okresie
X(t) - oczekiwany zysk netto w t-tym okresie
I(t) - oczekiwane (nowe) inwestycje w t-tym okresie
r - oczekiwana stopa zwrotu; stopa dyskontowa

Przypomnijmy, że ten zapis DCF wynika z założenia, że finansujemy inwestycje tylko za pomocą zysków zatrzymanych i emisji akcji:



gdzie
m(1) - liczba nowych akcji w okresie 1
P(1) - wartość akcji w okresie 1

W rzeczywistości ostatnim możliwym źródłem finansowania są nowe długi. Łatwo zauważyć, że jeśli będziemy chcieli wycenić tylko kapitał własny firmy, wtedy to dodatkowe finansowanie niczego nie zmieni w powyższym wzorze:

Z drugiej jednak strony trzeba pamiętać, że zwrot z inwestycji odzwierciedlony we wzroście zysku netto powstaje po uwzględnieniu wszystkich nowych inwestycji:

W artykule Analiza tempa wzrostu zysku firmy pokazałem, że jeśli oczekiwana rentowność kapitału własnego jest stała w czasie, tzn.

ROE = Oczekiwany zysk netto/(Kapitał własny) = const

wtedy mamy:



A więc można uniknąć używania inwestycji z długami. 
Zainwestowany kapitał stanowi pewną część zysku netto, tj. I(t) = k*X(t). Czyli:




Podstawiając do ogólnego wzoru na DCF otrzymujemy:



ROE*k to po prostu stopa wzrostu zysku netto. Niech ROE*k = w. Stąd k = w/ROE. Ponieważ otrzymujemy szereg geometryczny o nieskończonej liczbie wyrazów, to przy założeniu w < r, model sprowadza się do zmodyfikowanego modelu Gordona. Ponieważ zaczynamy od t = 1, dla pierwszego wyrazu X(t-1) = X(0). W konsekwencji otrzymujemy następujący model:



Powyższy wzór czasami nazywany jest modelem Grahama i Dodda.

1) Wskaźnik Cena/Zysk

Jeśli podzielimy obie strony równania przez zysk netto, dostaniemy wskaźnik Cena/Zysk:



Należy tu zwrócić uwagę, że wzrost zysku netto (w) nie jest równoważny wzrostowi dywidendy (g). Czyli w ogólnym przypadku:



Z dywidendowego modelu Gordona:



wynika, że stopa dyskontowa jest równa sumie stopy oczekiwanej dywidendy i stopy wzrostu dywidendy:



Jednak w artykule Teoria ekonomii jak filozofia Wschodu pokazano, że całkowity zwrot inwestora wynosi:



Jeśli podzielimy obie strony równania przez P(0), okazuje się, że stopa dyskontowa jest równa:



Czyli łącząc obydwie zależności widzimy, że:



Stopa wzrostu dywidendy jest równa stopie aprecjacji waloru. Zysk spółki natomiast nie musi rosnąć w tym tempie.


Badanie empiryczne

Na koniec sprawdzimy czy wyprowadzony model jest zgodny z rzeczywistością. Potrzebna nam duża liczba danych i coś reprezentatywnego. Idealnym przykładem będzie S&P 500. Ponadto potrzebujemy określić:

- stopę dyskontową r
- ROE
- stopę wzrostu zysków w

Dane obejmą lata od początku 1933 do końca 2009 r. Użyłem danych na stronie Shillera (http://www.multpl.com). Zacznijmy od stopy dyskontowej. Już wiemy, że stopa dyskontowa jest to nie tylko oczekiwana stopa zwrotu z indeksu S&P 500, ale także stopa dywidendy z tego indeksu. Musimy więc dodać stopę zwrotu z indeksu do stopy zwrotu z dywidendy. U Shillera podane kapitały są wyrażone w wartości realnej.Zamienimy wszystkie wartości na nominalne. Tutaj warto coś powiedzieć. Chociaż stopa inflacji w USA jest najczęściej brana na poziomie 2,5-3%, to w rzeczywistości jest to prawda dla okresu od 1900 r. Już po roku 1932, inflacja silnie rośnie i od tego okresu, tj. od 1933 r. średniorocznie wynosi aż 3,56%. Jest to zasługa programów FED-u mających na celu wydobycie gospodarki z zapaści pod kryzysie 1929-1932 i późniejszego silnego zwiększania podaży pieniądza.
Średnioroczna realna stopa zwrotu z S&P 500 wyniosła w badanym okresie 3%. Obliczamy więc nominalną stopę aprecjacji na podstawie wzoru, który wyprowadzono we wpisie Realna stopa procentowa nie taka realna?:



Podstawiono g, ponieważ jak wyżej wykazano, stopa wzrostu dywidendy jest równa stopie aprecjacji kursu. g(i) w tym przypadku oznaczono jako realną stopę.

Stopa dywidendy wyniosła 3,84%. W sumie

r = 6,67% + 3,84% = 10,51%.

Przypomnijmy wpis Średnioroczna realna stopa zwrotu DJIA wraz ze stopą dywidendy , gdzie przedstawiono statystykę stóp zwrotu dla DJIA dla różnych okresów. Średnia stopa zwrotu dla lat 1933-2009 wyniosła 11,1%, czyli blisko obliczonej przed chwilą stopy dyskontowej. Wydaje się, że nasza nieco mniejsza jest poprawniejsza i bardziej reprezentatywna. Trzeba pamiętać, że DJIA jest indeksem ważonym cenowo - zakłada, że każda spółka wchodząca w jego skład ma tylko 1 akcję.

Drugi czynnik to ROE. Wykorzystałem ten artykuł bloga Avivy, w którym autor także wycenia S&P 500 za pomocą tego samego modelu. Podaje statystykę ROE dla lat 1976-2009. Średnia wyniosła 15,4%. Dane z takiego źródła są jednak ryzykowne. Sprawdziłem na wszelki wypadek statystykę podaną w książce "Security Analysis" Grahama i Dodda. Dla lat 1976-1985 średnie ROE wyniosło 14,24%, czyli mniej. Nie wiadomo także czy identycznie dokonywano obliczeń wskaźnika. U Grahama i Dodda za kapitał własny w mianowniku ROE podstawiono średni kapitał własny obliczony jako średnia z początku i końca roku. Poprzestańmy na blogu Avivy. Autor podaje źródło statystyk Standard&Poors i Bloomberg, więc mu zaufamy. Przyznam, że próbowałem znaleźć te dane na tych stronach, ale nie mogłem się do nich dokopać.
Czy możemy przyjąć do naszej analizy ROE = 15,4%? Autor tego artykułu tak właśnie robi. Można mieć jednak co do tego wątpliwość. Załóżmy, że kapitał własny jest tutaj obliczony jako średni kapitał własny w roku, czyli (kapitał własny na początku roku + kapitał własny na końcu roku)/2. To oznacza, że roczny zysk netto, który został wykazany w rachunku wyników został wygenerowany przez ten kapitał własny tylko w pewnej części. Kapitał na końcu roku sam zawiera zysk wygenerowany przez wcześniejszy kapitał. Nas powinna interesować sytuacja, gdy kapitał własny z początku roku generuje zysk z całego roku. Aby to zobaczyć, przyjrzyjmy się raz jeszcze wzorowi:



Tak więc, podawane ROE = 15,4% nie jest tym ROE, które nas interesuje, bo nas interesuje jedynie to ile kapitał wygeneruje przyszłego zysku. Wynika z tego, że nasze właściwe ROE będzie równe

ROE = X(t) / (średni kapitał własny w okresie t-1) = X(t-1)*(1+w) / (średni kapitał własny w okresie t-1) = ROE'*(1 + w)

gdzie ROE' = X(t)/(średni kapitał własny w okresie t).

Będziemy zapisywać:



gdzie

BV(t-1) - wartość księgowa (book value) na akcję w (t-1)-tym okresie, czyli kapitał własny na akcję w (t-1)-tym okresie.


Średnia realna stopa wzrostu zysku spółek S&P 500 wyniosła w danym okresie 2,7%. Czyli nominalnie:

w = 0,027(1+0,0356) + 0,0356 = 0,06356 = 6,36%.

Czyli

ROE = 0,154*(1 + 0,0636) = 0,1638 = 16,38%.

Ostatecznie podstawimy dane

r = 10,51%.
ROE = 16,38%
w = 6,36%

do wzoru:



Porównajmy ten wynik ze średnią historyczną Cena/Zysk. U Shillera od 1933 r. średnie C/Z wyniosło 17,44. Zwróćmy jednak uwagę, że nie jest to wskaźnik Cena/Zysk w tym sensie, że kurs indeksu dzielimy przez obecny zysk netto spółek. Zysk netto zostaje obliczony jako średnia z 10 ostatnich lat. Ja obliczyłem Cena/Zysk "normalnie", czyli (obecna cena/obecny zysk). W ten sposób otrzymałem średnią 16,83.

Zauważmy, że wystarczy tylko minimalnie zmniejszyć stopę dyskontową:



aby otrzymać empiryczną wartość.

Cena/Zysk zależy więc od trzech czynników (r, ROE, w), a najsilniej od wymaganej stopy zwrotu r. Wyższe ryzyko i wyższe od rynku r będzie powodować, że cena/zysk będzie mniejsze od rynkowej, a w przypadku mniejszego ryzyka i mniejszego r wskaźnik ten będzie wyższy. Jeśli dla S&P 500 P/X > 17, powstaje ryzyko przewartościowania akcji. Jeśli P/X < 16, powstaje możliwość niedowartościowania. Jednak poszczególne spółki mogą mieć zupełnie inne kryteria.


2) Wskaźnik Cena/Wartość księgowa

Zauważmy, że nasz model można łatwo przekształcić. Skoro wiemy, że ROE = ROE'*(1+w) = X(0)*(1+w)/BV, to otrzymujemy:



A to można jeszcze raz przekształcić:



Czyli wartość wewnętrzna równa się:



lub:



Jeśli ROE równa się stopie dyskontowej, wartość wewnętrzna akcji jest równa wartości księgowej na akcję. Jeśli ROE > r, wartość akcji przewyższa wartość księgową. Jeśli ROE < r, wartość akcji jest niższa od wartości księgowej. Pamiętajmy, że w < r. W przeciwnym wypadku pojawiają się paradoksy, ponieważ cena skacze do nieskończoności (szereg jest rozbieżny).

A więc Cena/Wartość księgowa wyraża się wzorem:




Badanie empiryczne
Z danymi na temat cena/wartość księgowa dla S&P500 jest ciężko, jakoś nie można tych danych łatwo dostać (i już zaczynam tworzyć teorie spiskowe). Znalazłem jedną poważniejszą pracę - można ją tutaj przeczytać - gdzie pokazany został wykres Price to book. Dane dotyczyły lat 1979 - 2000, a więc zdecydowanie jest to niereprezentatywna próba dla naszego badania. Na dodatek w tym czasie wskaźnik był niestacjonarny, a więc średnia nie istniała. Można wyciągnąć oczywiście średnią i tutaj wynosiła ona ok. 2,3, jednakże jest to sztuczna operacja. Ale niech będzie - uznamy, że 2,3 to średnie P/BV. Zobaczmy co wychodzi z modelu:



A więc z tej perspektywy model nadal doskonale sobie radzi.


Podsumowując badania, trzeba stwierdzić, że wyniki są zadziwiające, a wnioski fascynujące. W długim okresie model działa znakomicie. Setki badań wykazuje, że ludzie nie zachowują się w pełni racjonalnie. A pomimo tego w uśrednieniu czasowo-przestrzennym dostajemy strukturę racjonalną - rynek dąży do efektywnego. Teoria ekonomii działa, a wszelkie przekształcenia, których dokonaliśmy mają sens.


Literatura:

1. B. Graham, D. Dodd, Security Analysis, Fifth Edition, s. 79
2. M. H. Miller, F. Modigliani, Dividend Policy, Growth, and the Valuation of Shares, The Journal of Business, Volume 34, Issue 4, October 1961, 411-433;
3. B. Brench, A. Sharma, B. Gale, C. Chichirau, J. Proy, A Price To Book Model Of Stock Prices
4. M. Cichosz, Czy fundamentalna wartość S&P 500 jest powyżej 1300 pkt.?, http://blog.avivainvestors.pl

Twierdzenie o nieistotności polityki dywidendy

W zażartych dyskusjach giełdowych często pojawia się temat-dylemat czy spółka powinna wypłacać dywidendę czy nie. Model zdyskontowanych dywidend (Discounted Dividend Flow - DDF) zakłada, że dywidendy stanowią podstawę wyceny akcji. Zerowa dywidenda w każdym okresie oznacza zerową wartość wewnętrzną akcji. Czy jednak DDF jest jedyną prawidłową metodą wyceny? Odpowiedź jest trochę tajemnicza: tak i nie. Czy można racjonalnie wytłumaczyć wzrost kursu akcji nie odwołując się do oczekiwania zwiększenia przyszłych dywidend? Dlaczego kurs akcji miałby rosnąć, jeśli inwestor nie może oczekiwać konkretnego dochodu? Co właściwie użytecznego daje trzymanie akcji poza prawem do dywidendy? Mamy trochę praw przysługujących właścicielom akcji, których użyteczność jest obiektywnie niemierzalna. Nie mówiąc już o tym, że nie mogą stanowić powodu do aprecjacji wartości w czasie. Literatura przedmiotu (np. "Inwestycje" K. Jajugi i T. Jajugi), a także przeciwnicy inwestowania w oparciu o dywidendy wskazują, że dywidenda nie musi być jedyną wartością dla inwestora. Często doszukują się wirtualnych pożytków w postaci wolnych przepływów pieniężnych (Free Cash Flow - FCF). Rozważa się hipotetyczną sytuację, że pewien duży inwestor mógłby przejąć daną spółkę. Pojawia się pytanie, ile by za nią zapłacił. Wydaje się, że wtedy słusznym staje się użycie FCF w modelu dyskontowym, tzn. zastosowanie modelu zdyskontowanych (wolnych) przepływów pieniężnych (Discounted (Free) Cash Flow - DCF). FCF to wolne przepływy gotówkowe, które powstają po odjęciu od zysku netto inwestycji w aktywa trwałe i obrotowe, dodaniu długu netto (zaciągnięty dług minus spłacony dług) i dodaniu kosztów niebędących wypływem gotówki (w szczególności amortyzacja). Czyli: FCF = X - FI - WI + NB + NC gdzie: X - zysk netto spółki FI - inwestycje w aktywa trwałe WI - inwestycje w aktywa obrotowe NB - dług netto NC - koszty nie będące wypływem gotówki Widać, że dokonujemy pewnej korekty zysku netto. Inwestora nie interesuje papierowy zysk, ale czysta gotówka. Dług jak by nie patrzeć stanowi żywy pieniądz, którym się obraca. (A zysk netto powstaje w oparciu o zasadę memoriałową, zgodnie z którą należy odjąć wszelkie obciążające koszty niezależnie od momentu zapłaty i podobnie dodać przychody). Wolne przepływy pieniężne są bardzo podobnym terminem do przepływów pieniężnych używanych w rachunkowości, które oblicza się w podobny sposób (metoda pośrednia). Warto zauważyć, że w rachunkowości wiele pozycji jest rozbitych. Na przykład we wzorze powyżej nie znajdziemy pozycji należności, które należy odjąć od zysku netto. Ale czym są należności jak nie po prostu inwestycją? A tę odjęliśmy. Korzyścią z przejęcia spółki są więc hipotetyczne dywidendy, które tutaj nazywamy FCF. Właściciel to właściciel, więc każdy akcjonariusz powinien mieć takie samo prawo do owych hipotetycznych dywidend. Problem wydaje się być rozwiązany: spółka nie wypłaca faktycznych dywidend, lecz nic nie stoi na przeszkodzie, by potencjalne dywidendy w postaci FCF stały się podstawą do oszacowania wartości akcji. Niestety, pozornie. Nie wiem jakie byśmy cuda nie wymyślali i nazwali FCF hipotetyczną, potencjalną czy czarodziejską dywidendą, to jest to dywidenda niewypłacona - jest to gotówkowy zysk zatrzymany. Zysk zatrzymany służy do dalszych reinwestycji i zwiększania zysku w przyszłości, a więc i FCF. Ale to oznacza, że oszukujemy sami siebie: udajemy, że dostajemy dywidendę, która zwiększa udawaną dywidendę w kolejnych okresach, a więc liczymy tę samą dywidendę wielokrotnie, co zdecydowanie zawyża wartość akcji przy użyciu DCF. Nie możemy liczyć dywidendy, która ciągle pracuje na przyszłe zyski spółki. Możemy ją przenieść w przyszłość, ale wtedy dzisiejsza dywidenda stanie się zerowa. W konsekwencji, model DCF zostaje odrzucony na korzyść DDF, w którym wystąpią same zera i dopiero gdzieś w nieokreślonej przyszłości faktyczne dywidendy - wtedy jednak dyskonto sprowadzi je do zera. Wartość akcji staje się zerowa. Otrzymujemy wniosek, że należy posługiwać się modelem z faktycznymi dywidendami, a więc DDF. Ale w takim razie co z DCF? Na razie nie mieszajmy obu modeli. Model DDF to PODSTAWA. Nie można wchodzić w DCF, bo prosta logika przedstawiona powyżej zakazuje go używać. Model DDF nie może zostać odrzucony jak to się wydaje przeciwnikom dywidend. Mimo to, pokażemy, że DCF jest równoważny DDF. Zaprezentujemy tok rozumowania Mertona Millera i Franco Modiglianiego, którzy swego czasu wywrócili do góry nogami standardowy obraz wyceny akcji. Naukowcy ci w 1961 r. w artykule "Dividend Policy, Growth, and the Valuation of Shares" udowodnili, że na rynku efektywnym (doskonałym) polityka dywidendowa nie wpływa na wartość przedsiębiorstwa, a tym samym na wartość jego akcji. Odkryli oni twierdzenie o nieistotności polityki dywidendy (irrelevance of dividend policy). Dowód Sam dowód jest bardzo krótki i genialnie prosty. Ponieważ wiemy, że DDF to prawidłowy model wyceny akcji, to od niego zaczynamy. Przypomnę, że zostało dowiedzione w Dlaczego stosujemy model Gordona?, iż DDF można zapisać w postaci: gdzie: P(t) - wartość wewnętrzna akcji w okresie t D(1) - oczekiwana dywidenda w okresie 1 r - stopa dyskontowa (wymagana stopa zwrotu) Przemnóżmy obie strony równania przez liczbę naturalną n(0). Liczba n(0) ma ekonomiczną interpretację - jest to liczba akcji w okresie 0. A więc n(0)P(0) = V(0) to wartość całego przedsiębiorstwa w okresie 0 (zakładamy, że firma nie zaciąga długów, gdyż nie zmienia to istoty dowodu, a niepotrzebnie komplikuje analizę). Z kolei n(0)D(1) = D(1) to wszystkie dywidendy płacone w okresie 1. Dokonajmy następnie małej manipulacji dodając i odejmując te samą liczbę m(1)P(1): m(1) - nowa liczba akcji, które zostały wyemitowane w okresie 1 m(1)P(1) - nowy kapitał akcyjny podnoszony przez spółkę aby sfinansować potrzebne inwestycje. Inwestorzy kupią m nowych akcji już po cenie P(1). Na razie jedynie dokonaliśmy matematycznego przekształcenia równania. Jak dużo kapitał akcyjny powinien wzrosnąć? Jeśli oznaczymy przez I(1) całkowite inwestycje w okresie 1, a zysk netto w okresie 1 przez X(1), to nowy wyemitowany kapitał musi wynieść: Kapitał na inwestycje może bowiem pochodzić z dwóch źródeł: -finansowania wewnętrznego, czyli zysku zatrzymanego, czyli X(1) - D(1) lub - finansowania zewnętrznego, czyli właśnie m(1)P(1). A więc inwestycja, która nie jest zyskiem zatrzymanym, jest właśnie kapitałem zewnętrznym, w tym przypadku pochodzącym z emisji akcji. Wyemitowany kapitał, podobnie jak zysk zatrzymany, będzie służył pomnażaniu bogactwa w przyszłości. W finansowaniu zewnętrznym dodatkowo można uwzględnić dług. Nie wprowadzamy tego czynnika, bo nie zmienia istoty dowodu. Podstawmy m(1)P(1) z ostatniego równania do ostatniego wyrazu przedostatniego równania: Ponieważ D(1) redukuje się, otrzymujemy wzór na wartość przedsiębiorstwa: W okresie 1 liczba akcji zwiększyła się, więc zapisujemy [n(0) + m(1)]*P(1) = n(1)*P(1) = V(1). Ponieważ wartość V(1) można rozpisać w analogiczny sposób jak V(0) i z każdą kolejną powtarzać tak w nieskończoność, dywidenda nie wystąpi w równaniu, więc wartość przedsiębiorstwa nie zależy od dywidendy. Koniec dowodu. Zauważmy, że X(1) - I(1) to FCF w samej okazałości. (Wystarczy uwzględnić dodatkowo dług netto i koszty nie stanowiące wypływu gotówki, aby zobaczyć, że to istotnie FCF). Jeżeli przyjmiemy stałą stopę dyskontową, to otrzymujemy DCF: Wystarczy wyciągnąć z prawej strony równania spoza sumy n(0) (przy czym liczba akcji się zmienia, więc n(t)*[X(t+1) - I(t+1)] zostanie podzielone przez n(0)) i podzielić przez tę liczbę obie strony równania, aby powrócić do wartości akcji: Interpretacja Powstaje pytanie o interpretację ekonomiczną powyższego przekształcenia. Na początek spójrzmy, że niczego nowego nie wprowadziliśmy do wyceny za pomocą DDF. Wszystko pozostało na swoim miejscu, model DDF pozostał modelem DDF. A jednak ekonomicznie coś tu można dostrzec. Spółka emituje nowe akcje, ale to powoduje spadek ich wartości ze względu na ich większą podaż. Żeby więc wartość obecna spółki nie zmniejszyła się w wyniku takiej operacji, wyemitowany kapitał musi służyć wzrostowi dywidendy. Czyli spadek ceny akcji - tj. w wyprowadzonym przez nas przypadku spadek P(1) - zostanie skompensowany wzrostem dywidendy D(1). Inwestor uzyskuje przecież zysk z dwóch źródeł: dywidendy oraz z aprecjacji kursu. Oba efekty zmian muszą się dokładnie znieść, ponieważ wartość akcji jest niezależna od polityki dywidend, a więc od ustalania jej poziomu. Odwrotna zajdzie sytuacja, gdy spółka zacznie wykupywać swoje akcje. Podaż akcji spadnie, kurs wzrośnie, zaś dywidenda będzie musiała spaść (spółka przeznacza pieniądze nie na dywidendę, lecz na własne akcje). Inwestor dostanie mniej z dywidendy, ale za to więcej z aprecjacji kursu. Oba efekty muszą się znieść. Ten ostatni punkt implikuje, że spółka może nie wypłacać w ogóle dywidend, ale w zamian będzie co stały odcinek czasu wykupywać własne akcje. Trzeba tu uważać, aby nie popaść w pułapkę błędnych wniosków. Musi bowiem zajść następująca równość: Jeśli podstawiamy zero za dywidendę w każdym okresie, to wartość akcji jest zerowa - to o czym mówiliśmy na początku. Ale zerowa wartość bierze się stąd, że spółka nie dokonuje żadnego wykupywania swych akcji, bo gdyby tego dokonywała, we wzorze pojawiłaby się pewna wartość m(t)P(t) - w tym przypadku ujemna, bo m to nowa ujemna liczba akcji. Lewa strona powyższego wzoru może zostać przedstawiona w postaci: Ujemna wartość m(t)P(t) spowoduje, że cena pozostanie dodatnia. Został więc zilustrowany mechanizm "przekształcenia" dywidendy w zysk wynikający ze spadku liczby akcji, tj. ze spadku podaży akcji. Spadek podaży spowoduje wzrost ceny akcji, gdyż relatywnie popyt wzrośnie. Zauważmy, że oznaczenie D(t) zmieniło się - nie jest to żaden błąd, gdyż nie jest to ta sama dywidenda. Gdyby liczba akcji nie zmieniła się, to mielibyśmy normalne oznaczenie D(t), bo byłby to DDF. Tutaj jednak to się zmienia, bo dywidenda "ze starymi akcjami" nie jest równa dywidendzie "z nowymi (choćby ujemnymi) akcjami". Zerowa dywidenda może nie wynikać jedynie z nabywania własnych akcji. Można założyć, że dywidendy są bardzo małe, znacznie poniżej jednostki pieniężnej jak grosz czy cent i jedynie istnieją w abstrakcji. Dzięki temu, że dywidenda będzie tak mała, to zysk zatrzymany będzie stanowił silny czynnik wzrostowy przyszłych zysków i dywidendy. Dywidenda może być nieskończenie mała i nigdy nie pojawić się w empirii. Można jednak przyjąć, że w przyszłości pojawi się dzięki silnemu wzrostowi. Im bardziej zmniejszymy początkową dywidendę, tym stopa wzrostu dywidendy będzie bliższa wymaganej stopie zwrotu przez inwestora, czyli stopie dyskontowej. Podsumowanie i wnioski Odkryte dość dawno temu prawo ekonomii o braku istotności dywidendy dla wyceny przedsiębiorstwa jest po dziś dzień mało zrozumiałe. Inwestorzy zazwyczaj dzielą się na takich, którzy inwestują dla przyszłych dywidend i takich, których dywidendy nie interesują. Ci pierwsi uznają, że bez dywidend spółka jest bezwartościowa, drudzy, że dywidendy są marnotrawstwem pieniędzy, które mogłyby zostać zainwestowane w celu zwiększania kapitału własnego. Mają też duży argument w postaci podatku od dywidendy, który musi zostać zapłacony - niezapłacony podatek pracuje na zwiększenie przyszłych zysków i daleko w przyszłości dywidend. Na rynku efektywnym zarówno model DDF jak i DCF są poprawnymi modelami wyceny akcji i implikują same siebie, więc nie ma znaczenia którą metodą dokonujemy wyliczeń. Jednak w przypadku, gdy spółka dokonuje zmian w kapitale akcyjnym (wykup własnych akcji i emisja akcji), to bezpieczniej jest używać DCF. Ponieważ założenie, że spółka będzie przez długi okres czasu dokonywać wykupu akcji jest sztuczne, to najczęściej taką możliwość pomija się w wycenie. W praktycznej wycenie muszą więc zostać wykazane konkretne dywidendy. Czy więc dywidendowcy zwyciężają? Pomimo, że w praktycznej wycenie spółka musi płacić dywidendy, to jak wcześniej stwierdzono dywidendy te mogą być tak małe, że jedynie istnieć abstrakcyjne. Niemal cały zysk będzie służyć do generowania dużego wzrostu przyszłego zysku/dywidendy. W przyszłości dywidenda może pojawić się już w empirii silnie rosnąc, ale nie jest to konieczne. Z ekonomicznego punktu widzenia (biorąc pod uwagę nieciągłość w punkcie zero) spółka może nie płacić w ogóle dywidendy i wszystko będzie w porządku. Wydaje się, że ze względu na podatek od dywidendy, racjonalnym posunięciem jest właśnie minimalizacja dywidendy. (Tak przy okazji to jest to niezłe zdzieranie pieniędzy - spółka osiąga zysk, od którego płaci podatek, a jeśli płaci dywidendę, to od zysku netto jeszcze dodatkowy podatek). Literatura: 1. Merton H. Miller, Franco Modigliani, Dividend Policy, Growth, and the Valuation of Shares, The Journal of Business, Volume 34, Issue 4, October 1961, 411-433; 2. Krzysztof Jajuga, Teresa Jajuga, Inwestycje. Instrumenty Finansowe, Aktywa Niefinansowe, Ryzyko Finansowe, Inżynieria Finansowa, W-wa 2006, s. 164.