Wzór na stopę wzrostu wartości wewnętrznej akcji lub dywidendy

Potrafimy już precyzyjnie wycenić akcje. Pozostały jednak pewne tematy poboczne, o których warto więcej powiedzieć. Na przykład poruszono już kwestię różnicy pomiędzy stopą wzrostu dywidendy bądź akcji a stopą wzrostu zysku netto spółki.

W teorii wyceny akcji mamy 5 podstawowych kategorii stóp wzrostu:

1. Stopa zwrotu z kapitału własnego (ROE)
2. Wymagana stopa zwrotu z kapitału własnego (r)
3. Stopa aprecjacji kursu akcji [P(1) - P(0)] /P(0) , P(t) - wartość wewnętrzna w t-tym okresie
4. Stopa wzrostu dywidendy (g)
5. Stopa wzrostu zysku netto spółki (w)

W poprzednim wpisie Prawdziwe znaczenie wskaźnika Cena/Zysk i Cena /Wartość księgowa. Badanie empiryczne dowodziliśmy, że stopa aprecjacji rzetelnej ceny akcji jest równa stopie wzrostu dywidendy:




Stąd pkt 3 = 4 -> liczba kategorii stóp wzrostu redukuje się do czterech.

Wyznaczymy relację pomiędzy każdą z nich.

Z twierdzenia o nieistotności polityki dywidendy wynika, że wartość wewnętrzna akcji obliczona na podstawie modelu dywidendowego (DDF) jest równoważna wartości obliczonej na podstawie modelu przepływów pieniężnych (DCF):



gdzie

P(0) - bieżąca wartość wewnętrzna
D(t) - oczekiwana dywidenda w t-tym okresie
X(t) - oczekiwany zysk netto w t-tym okresie
I(t) - oczekiwane inwestycje w t-tym okresie
r - oczekiwana stopa zwrotu; stopa dyskontowa

Przypomnijmy następnie, że powyższy wzór powstał w oparciu o następującą zależność:



gdzie I(t) = n(t-1)*I(t), X(t) = n(t-1)*X(t), D(t) = n(t-1)*D(t), n(t-1) - liczba akcji w okresie t-1, m(1)P(1) - nowy kapitał powstały z okresowej emisji akcji, m(1) - liczba nowo wyemitowanych akcji w okresie 1.

Oznaczyliśmy również I(t) = k*X(t), ponieważ inwestycje stanowią pewną część zysku netto. k może być nawet większe od 1. Skoro I(t) zostało rozdzielone na dwie części, to k także powinno:



n(t-1) redukuje się, więc:



gdzie:

kr - część zysku netto zatrzymanego w każdym okresie (retained profit)
ke - ilość zewnętrznego kapitału rosnąca w każdym okresie, wyrażona jako część zysku netto w okresie (external profit)


Jednocześnie dowiedziono poprzednio, że przy założeniu stałego średniego tempa wzrostu zysku netto spółki = k*ROE, wartość akcji jest dana wzorem:



A teraz uwzględniając k = kr + ke:



Następnie, skoro zysk netto rośnie w stałym tempie, to możemy założyć, że dywidenda także rośnie średnio w stałym tempie g. Prowadzi to do doskonale poznanego przez nas dywidendowego modelu Gordona:



Czym jest dywidenda? Jest pewna część zysku netto. Akcjonariusze wybierają jaką część zysku zatrzymać w spółce, a jaką wypłacić w formie dywidendy. Jednak zysk zatrzymany powyżej zdefiniowaliśmy jako:



Czyli dywidenda jest to zysk netto minus zysk zatrzymany:



Zysk netto w okresie 0 rośnie w tempie k*ROE, wobec czego zysk netto w okresie 1 wynosi:



W konsekwencji dywidendowy model Gordona zapiszemy w postaci:




Łącząc cashflowowy model z modelem Gordona otrzymujemy relację w postaci równania:



Z tego równania wyznaczamy g:



Jest to wzór na stopę wzrostu wartości wewnętrznej akcji lub dywidendy. Zwróćmy uwagę, że jeśli ke = 0, czyli spółka nie finansuje inwestycji kapitałem zewnętrznym, wtedy g = k*ROE = w, czyli akcje i dywidendy rosną w tempie wzrostu zysku spółki.

Jeśli spółka wypłaca konsekwentnie dywidendy, wówczas określenie kr nie jest trudne. Jeśli zaś dywidendy są bardzo nieregularne, można je pominąć, co oznacza, że kr = 1. Zauważmy, że w takiej sytuacji g = r. Jest to oczywiste: skoro cały zysk netto spółki pozostaje w spółce, to dywidendy nie są wypłacane, a więc całkowity zysk dla inwestora pochodzi jedynie z aprecjacji kursu akcji. W artykule Teoria ekonomii jak filozofia Wschodu pokazano natomiast, że całkowita stopa zwrotu inwestora to właśnie stopa dyskontowa r. Tym samym w przypadku braku dywidend całkowita stopa zwrotu równa się g = r.

Jeżeli chodzi o ke, to jest to wielkość abstrakcyjna i trudna do określenia dla inwestora. Możemy się jej pozbyć.

Wiedząc, że



możemy podstawić do wzoru na g:



Przekształcając go, otrzymamy wzór:





Przykłady.

Z praktycznego punktu widzenia zarówno w, ROE jak i r są to dane empiryczne. W poniższych przykładach założymy, że są to stałe o wartościach:

w = 0.07
ROE = 0.16
r = 0.105

Przykład 1.
kr = 0.1

Podstawiając dane do wzoru na g dostajemy g = 0.049.

Zatem dywidendy i akcje rosną w tym przypadku wolniej niż zysk spółki.


Przykład 2.
kr = 0.6.

Podstawiając do wzoru na g, dostaniemy g = 0.08. Zatem tym razem akcje i dywidendy rosną szybciej niż zysk spółki. Dzieje się tak, ponieważ ke staje się ujemne (spółka nabywa swoje akcje). Może wystąpić szczególny przypadek, gdy ke > 0, a pomimo tego wartość wewnętrzna akcji i dywidenda będą rosły szybciej niż zysk spółki. Mianowicie, będzie to sytuacja, gdy cena akcji jest ujemna. Ponieważ ten przypadek nie istnieje na rzeczywistym rynku (a szkoda), to wnioskujemy, że...

Jeżeli ke > 0, to stopa wzrostu ceny akcji i dywidendy będzie mniejsza od stopy wzrostu zysku spółki. Jeżeli ke < 0, to stopa wzrostu ceny i dywidendy będzie większa od stopy wzrostu zysku spółki.

Przykład 3.
kr = 0.438

Obliczamy g = 0.07

Zauważmy, że g = w, czyli w tym przypadku zyski inwestora rosną dokładnie tak samo jak zyski spółki. Wynika to stąd, że:

ke = w/ROE - kr = 0.07/0.16 - 0.0438 = 0


Widzimy, że jeżeli nowo wyemitowany kapitał nie występuje, tj. ke = 0, to kurs i dywidenda rośnie dokładnie w tempie wzrostu zysku spółki. Jak tylko jednak ten kapitał się pojawia, dywidenda i akcja rosną w tempie różnym od zysku spółki.

Z praktycznego punktu widzenia najważniejsze nie jest jednak to co się dzieje przez ke, ponieważ jest to wielkość, która i tak została przez nas ukryta w ostatnim wyprowadzonym wzorze, więc nas nie interesuje. Najistotniejsze jest to, że za pomocą kr można manipulować stopą wzrostu wartości wewnętrznej akcji i dywidendy. Pomimo tej manipulacji całkowity zysk z akcji jednak się nie zmieni, dopóki stopa r = const.


Literatura:

1. M. H. Miller, F. Modigliani, Dividend Policy, Growth, and the Valuation of Shares, The Journal of Business, Volume 34, Issue 4, October 1961, 411-433;

Prawdziwe znaczenie wskaźnika Cena/Zysk i Cena /Wartość księgowa. Badanie empiryczne

Dwa ulubione wskaźniki inwestorów: Cena/Zysk oraz Cena/Wartość księgowa - oto temat na dziś. Czytam często taką oto "prawdę objawioną" na temat pierwszego z nich (nie tylko na forum giełdowym, ale także w artykułach pisanych przez profesjonalistów):

C/Z tej spółki < 10, więc jest ciągle tania. (czyli znajduje się poniżej wartości fundamentalnej)

Albo:

C/Z tej spółki > 20, więc jest już droga. (czyli jest powyżej wartości fundamentalnej)

Na temat drugiego:

C/WK tej spółki < 1 (>2), więc jest ciągle tania (już droga).


Mam wrażenie, że 90% inwestorów i analityków powtarza te puste frazesy bez zastanowienia. Zakorzeniły się one w świadomości giełdowej tak silnie, że nawet jeśli wiemy, że to tylko frazes, to i tak w praktyce się nim posługujemy.

Przestudiujemy zagadnienie wskaźnika Cena/Zysk, a następnie Cena/Wartość księgowa, po to aby raz na zawsze rozprawić się ze starymi mitami, choć zdaję sobie sprawę, że to niewiele pomoże - w końcu niczego nowego nie odkrywam. Może jedynie opisuję wszystko na swój sposób i pakuję w jeden ciąg myślowy, bez żadnych przystanków - każdy kolejny element wiąże się z poprzednim.

W poprzednim artykule "Twierdzenie o nieistotności polityki dywidendy" dowiedliśmy, że model DDF jest równoznaczny z DCF, co zapisaliśmy następująco:



gdzie

D(t) - oczekiwana dywidenda w t-tym okresie
X(t) - oczekiwany zysk netto w t-tym okresie
I(t) - oczekiwane (nowe) inwestycje w t-tym okresie
r - oczekiwana stopa zwrotu; stopa dyskontowa

Przypomnijmy, że ten zapis DCF wynika z założenia, że finansujemy inwestycje tylko za pomocą zysków zatrzymanych i emisji akcji:



gdzie
m(1) - liczba nowych akcji w okresie 1
P(1) - wartość akcji w okresie 1

W rzeczywistości ostatnim możliwym źródłem finansowania są nowe długi. Łatwo zauważyć, że jeśli będziemy chcieli wycenić tylko kapitał własny firmy, wtedy to dodatkowe finansowanie niczego nie zmieni w powyższym wzorze:

Z drugiej jednak strony trzeba pamiętać, że zwrot z inwestycji odzwierciedlony we wzroście zysku netto powstaje po uwzględnieniu wszystkich nowych inwestycji:

W artykule Analiza tempa wzrostu zysku firmy pokazałem, że jeśli oczekiwana rentowność kapitału własnego jest stała w czasie, tzn.

ROE = Oczekiwany zysk netto/(Kapitał własny) = const

wtedy mamy:



A więc można uniknąć używania inwestycji z długami. 
Zainwestowany kapitał stanowi pewną część zysku netto, tj. I(t) = k*X(t). Czyli:




Podstawiając do ogólnego wzoru na DCF otrzymujemy:



ROE*k to po prostu stopa wzrostu zysku netto. Niech ROE*k = w. Stąd k = w/ROE. Ponieważ otrzymujemy szereg geometryczny o nieskończonej liczbie wyrazów, to przy założeniu w < r, model sprowadza się do zmodyfikowanego modelu Gordona. Ponieważ zaczynamy od t = 1, dla pierwszego wyrazu X(t-1) = X(0). W konsekwencji otrzymujemy następujący model:



Powyższy wzór czasami nazywany jest modelem Grahama i Dodda.

1) Wskaźnik Cena/Zysk

Jeśli podzielimy obie strony równania przez zysk netto, dostaniemy wskaźnik Cena/Zysk:



Należy tu zwrócić uwagę, że wzrost zysku netto (w) nie jest równoważny wzrostowi dywidendy (g). Czyli w ogólnym przypadku:



Z dywidendowego modelu Gordona:



wynika, że stopa dyskontowa jest równa sumie stopy oczekiwanej dywidendy i stopy wzrostu dywidendy:



Jednak w artykule Teoria ekonomii jak filozofia Wschodu pokazano, że całkowity zwrot inwestora wynosi:



Jeśli podzielimy obie strony równania przez P(0), okazuje się, że stopa dyskontowa jest równa:



Czyli łącząc obydwie zależności widzimy, że:



Stopa wzrostu dywidendy jest równa stopie aprecjacji waloru. Zysk spółki natomiast nie musi rosnąć w tym tempie.


Badanie empiryczne

Na koniec sprawdzimy czy wyprowadzony model jest zgodny z rzeczywistością. Potrzebna nam duża liczba danych i coś reprezentatywnego. Idealnym przykładem będzie S&P 500. Ponadto potrzebujemy określić:

- stopę dyskontową r
- ROE
- stopę wzrostu zysków w

Dane obejmą lata od początku 1933 do końca 2009 r. Użyłem danych na stronie Shillera (http://www.multpl.com). Zacznijmy od stopy dyskontowej. Już wiemy, że stopa dyskontowa jest to nie tylko oczekiwana stopa zwrotu z indeksu S&P 500, ale także stopa dywidendy z tego indeksu. Musimy więc dodać stopę zwrotu z indeksu do stopy zwrotu z dywidendy. U Shillera podane kapitały są wyrażone w wartości realnej.Zamienimy wszystkie wartości na nominalne. Tutaj warto coś powiedzieć. Chociaż stopa inflacji w USA jest najczęściej brana na poziomie 2,5-3%, to w rzeczywistości jest to prawda dla okresu od 1900 r. Już po roku 1932, inflacja silnie rośnie i od tego okresu, tj. od 1933 r. średniorocznie wynosi aż 3,56%. Jest to zasługa programów FED-u mających na celu wydobycie gospodarki z zapaści pod kryzysie 1929-1932 i późniejszego silnego zwiększania podaży pieniądza.
Średnioroczna realna stopa zwrotu z S&P 500 wyniosła w badanym okresie 3%. Obliczamy więc nominalną stopę aprecjacji na podstawie wzoru, który wyprowadzono we wpisie Realna stopa procentowa nie taka realna?:



Podstawiono g, ponieważ jak wyżej wykazano, stopa wzrostu dywidendy jest równa stopie aprecjacji kursu. g(i) w tym przypadku oznaczono jako realną stopę.

Stopa dywidendy wyniosła 3,84%. W sumie

r = 6,67% + 3,84% = 10,51%.

Przypomnijmy wpis Średnioroczna realna stopa zwrotu DJIA wraz ze stopą dywidendy , gdzie przedstawiono statystykę stóp zwrotu dla DJIA dla różnych okresów. Średnia stopa zwrotu dla lat 1933-2009 wyniosła 11,1%, czyli blisko obliczonej przed chwilą stopy dyskontowej. Wydaje się, że nasza nieco mniejsza jest poprawniejsza i bardziej reprezentatywna. Trzeba pamiętać, że DJIA jest indeksem ważonym cenowo - zakłada, że każda spółka wchodząca w jego skład ma tylko 1 akcję.

Drugi czynnik to ROE. Wykorzystałem ten artykuł bloga Avivy, w którym autor także wycenia S&P 500 za pomocą tego samego modelu. Podaje statystykę ROE dla lat 1976-2009. Średnia wyniosła 15,4%. Dane z takiego źródła są jednak ryzykowne. Sprawdziłem na wszelki wypadek statystykę podaną w książce "Security Analysis" Grahama i Dodda. Dla lat 1976-1985 średnie ROE wyniosło 14,24%, czyli mniej. Nie wiadomo także czy identycznie dokonywano obliczeń wskaźnika. U Grahama i Dodda za kapitał własny w mianowniku ROE podstawiono średni kapitał własny obliczony jako średnia z początku i końca roku. Poprzestańmy na blogu Avivy. Autor podaje źródło statystyk Standard&Poors i Bloomberg, więc mu zaufamy. Przyznam, że próbowałem znaleźć te dane na tych stronach, ale nie mogłem się do nich dokopać.
Czy możemy przyjąć do naszej analizy ROE = 15,4%? Autor tego artykułu tak właśnie robi. Można mieć jednak co do tego wątpliwość. Załóżmy, że kapitał własny jest tutaj obliczony jako średni kapitał własny w roku, czyli (kapitał własny na początku roku + kapitał własny na końcu roku)/2. To oznacza, że roczny zysk netto, który został wykazany w rachunku wyników został wygenerowany przez ten kapitał własny tylko w pewnej części. Kapitał na końcu roku sam zawiera zysk wygenerowany przez wcześniejszy kapitał. Nas powinna interesować sytuacja, gdy kapitał własny z początku roku generuje zysk z całego roku. Aby to zobaczyć, przyjrzyjmy się raz jeszcze wzorowi:



Tak więc, podawane ROE = 15,4% nie jest tym ROE, które nas interesuje, bo nas interesuje jedynie to ile kapitał wygeneruje przyszłego zysku. Wynika z tego, że nasze właściwe ROE będzie równe

ROE = X(t) / (średni kapitał własny w okresie t-1) = X(t-1)*(1+w) / (średni kapitał własny w okresie t-1) = ROE'*(1 + w)

gdzie ROE' = X(t)/(średni kapitał własny w okresie t).

Będziemy zapisywać:



gdzie

BV(t-1) - wartość księgowa (book value) na akcję w (t-1)-tym okresie, czyli kapitał własny na akcję w (t-1)-tym okresie.


Średnia realna stopa wzrostu zysku spółek S&P 500 wyniosła w danym okresie 2,7%. Czyli nominalnie:

w = 0,027(1+0,0356) + 0,0356 = 0,06356 = 6,36%.

Czyli

ROE = 0,154*(1 + 0,0636) = 0,1638 = 16,38%.

Ostatecznie podstawimy dane

r = 10,51%.
ROE = 16,38%
w = 6,36%

do wzoru:



Porównajmy ten wynik ze średnią historyczną Cena/Zysk. U Shillera od 1933 r. średnie C/Z wyniosło 17,44. Zwróćmy jednak uwagę, że nie jest to wskaźnik Cena/Zysk w tym sensie, że kurs indeksu dzielimy przez obecny zysk netto spółek. Zysk netto zostaje obliczony jako średnia z 10 ostatnich lat. Ja obliczyłem Cena/Zysk "normalnie", czyli (obecna cena/obecny zysk). W ten sposób otrzymałem średnią 16,83.

Zauważmy, że wystarczy tylko minimalnie zmniejszyć stopę dyskontową:



aby otrzymać empiryczną wartość.

Cena/Zysk zależy więc od trzech czynników (r, ROE, w), a najsilniej od wymaganej stopy zwrotu r. Wyższe ryzyko i wyższe od rynku r będzie powodować, że cena/zysk będzie mniejsze od rynkowej, a w przypadku mniejszego ryzyka i mniejszego r wskaźnik ten będzie wyższy. Jeśli dla S&P 500 P/X > 17, powstaje ryzyko przewartościowania akcji. Jeśli P/X < 16, powstaje możliwość niedowartościowania. Jednak poszczególne spółki mogą mieć zupełnie inne kryteria.


2) Wskaźnik Cena/Wartość księgowa

Zauważmy, że nasz model można łatwo przekształcić. Skoro wiemy, że ROE = ROE'*(1+w) = X(0)*(1+w)/BV, to otrzymujemy:



A to można jeszcze raz przekształcić:



Czyli wartość wewnętrzna równa się:



lub:



Jeśli ROE równa się stopie dyskontowej, wartość wewnętrzna akcji jest równa wartości księgowej na akcję. Jeśli ROE > r, wartość akcji przewyższa wartość księgową. Jeśli ROE < r, wartość akcji jest niższa od wartości księgowej. Pamiętajmy, że w < r. W przeciwnym wypadku pojawiają się paradoksy, ponieważ cena skacze do nieskończoności (szereg jest rozbieżny).

A więc Cena/Wartość księgowa wyraża się wzorem:




Badanie empiryczne
Z danymi na temat cena/wartość księgowa dla S&P500 jest ciężko, jakoś nie można tych danych łatwo dostać (i już zaczynam tworzyć teorie spiskowe). Znalazłem jedną poważniejszą pracę - można ją tutaj przeczytać - gdzie pokazany został wykres Price to book. Dane dotyczyły lat 1979 - 2000, a więc zdecydowanie jest to niereprezentatywna próba dla naszego badania. Na dodatek w tym czasie wskaźnik był niestacjonarny, a więc średnia nie istniała. Można wyciągnąć oczywiście średnią i tutaj wynosiła ona ok. 2,3, jednakże jest to sztuczna operacja. Ale niech będzie - uznamy, że 2,3 to średnie P/BV. Zobaczmy co wychodzi z modelu:



A więc z tej perspektywy model nadal doskonale sobie radzi.


Podsumowując badania, trzeba stwierdzić, że wyniki są zadziwiające, a wnioski fascynujące. W długim okresie model działa znakomicie. Setki badań wykazuje, że ludzie nie zachowują się w pełni racjonalnie. A pomimo tego w uśrednieniu czasowo-przestrzennym dostajemy strukturę racjonalną - rynek dąży do efektywnego. Teoria ekonomii działa, a wszelkie przekształcenia, których dokonaliśmy mają sens.


Literatura:

1. B. Graham, D. Dodd, Security Analysis, Fifth Edition, s. 79
2. M. H. Miller, F. Modigliani, Dividend Policy, Growth, and the Valuation of Shares, The Journal of Business, Volume 34, Issue 4, October 1961, 411-433;
3. B. Brench, A. Sharma, B. Gale, C. Chichirau, J. Proy, A Price To Book Model Of Stock Prices
4. M. Cichosz, Czy fundamentalna wartość S&P 500 jest powyżej 1300 pkt.?, http://blog.avivainvestors.pl

Twierdzenie o nieistotności polityki dywidendy

W zażartych dyskusjach giełdowych często pojawia się temat-dylemat czy spółka powinna wypłacać dywidendę czy nie. Model zdyskontowanych dywidend (Discounted Dividend Flow - DDF) zakłada, że dywidendy stanowią podstawę wyceny akcji. Zerowa dywidenda w każdym okresie oznacza zerową wartość wewnętrzną akcji. Czy jednak DDF jest jedyną prawidłową metodą wyceny? Odpowiedź jest trochę tajemnicza: tak i nie. Czy można racjonalnie wytłumaczyć wzrost kursu akcji nie odwołując się do oczekiwania zwiększenia przyszłych dywidend? Dlaczego kurs akcji miałby rosnąć, jeśli inwestor nie może oczekiwać konkretnego dochodu? Co właściwie użytecznego daje trzymanie akcji poza prawem do dywidendy? Mamy trochę praw przysługujących właścicielom akcji, których użyteczność jest obiektywnie niemierzalna. Nie mówiąc już o tym, że nie mogą stanowić powodu do aprecjacji wartości w czasie. Literatura przedmiotu (np. "Inwestycje" K. Jajugi i T. Jajugi), a także przeciwnicy inwestowania w oparciu o dywidendy wskazują, że dywidenda nie musi być jedyną wartością dla inwestora. Często doszukują się wirtualnych pożytków w postaci wolnych przepływów pieniężnych (Free Cash Flow - FCF). Rozważa się hipotetyczną sytuację, że pewien duży inwestor mógłby przejąć daną spółkę. Pojawia się pytanie, ile by za nią zapłacił. Wydaje się, że wtedy słusznym staje się użycie FCF w modelu dyskontowym, tzn. zastosowanie modelu zdyskontowanych (wolnych) przepływów pieniężnych (Discounted (Free) Cash Flow - DCF). FCF to wolne przepływy gotówkowe, które powstają po odjęciu od zysku netto inwestycji w aktywa trwałe i obrotowe, dodaniu długu netto (zaciągnięty dług minus spłacony dług) i dodaniu kosztów niebędących wypływem gotówki (w szczególności amortyzacja). Czyli: FCF = X - FI - WI + NB + NC gdzie: X - zysk netto spółki FI - inwestycje w aktywa trwałe WI - inwestycje w aktywa obrotowe NB - dług netto NC - koszty nie będące wypływem gotówki Widać, że dokonujemy pewnej korekty zysku netto. Inwestora nie interesuje papierowy zysk, ale czysta gotówka. Dług jak by nie patrzeć stanowi żywy pieniądz, którym się obraca. (A zysk netto powstaje w oparciu o zasadę memoriałową, zgodnie z którą należy odjąć wszelkie obciążające koszty niezależnie od momentu zapłaty i podobnie dodać przychody). Wolne przepływy pieniężne są bardzo podobnym terminem do przepływów pieniężnych używanych w rachunkowości, które oblicza się w podobny sposób (metoda pośrednia). Warto zauważyć, że w rachunkowości wiele pozycji jest rozbitych. Na przykład we wzorze powyżej nie znajdziemy pozycji należności, które należy odjąć od zysku netto. Ale czym są należności jak nie po prostu inwestycją? A tę odjęliśmy. Korzyścią z przejęcia spółki są więc hipotetyczne dywidendy, które tutaj nazywamy FCF. Właściciel to właściciel, więc każdy akcjonariusz powinien mieć takie samo prawo do owych hipotetycznych dywidend. Problem wydaje się być rozwiązany: spółka nie wypłaca faktycznych dywidend, lecz nic nie stoi na przeszkodzie, by potencjalne dywidendy w postaci FCF stały się podstawą do oszacowania wartości akcji. Niestety, pozornie. Nie wiem jakie byśmy cuda nie wymyślali i nazwali FCF hipotetyczną, potencjalną czy czarodziejską dywidendą, to jest to dywidenda niewypłacona - jest to gotówkowy zysk zatrzymany. Zysk zatrzymany służy do dalszych reinwestycji i zwiększania zysku w przyszłości, a więc i FCF. Ale to oznacza, że oszukujemy sami siebie: udajemy, że dostajemy dywidendę, która zwiększa udawaną dywidendę w kolejnych okresach, a więc liczymy tę samą dywidendę wielokrotnie, co zdecydowanie zawyża wartość akcji przy użyciu DCF. Nie możemy liczyć dywidendy, która ciągle pracuje na przyszłe zyski spółki. Możemy ją przenieść w przyszłość, ale wtedy dzisiejsza dywidenda stanie się zerowa. W konsekwencji, model DCF zostaje odrzucony na korzyść DDF, w którym wystąpią same zera i dopiero gdzieś w nieokreślonej przyszłości faktyczne dywidendy - wtedy jednak dyskonto sprowadzi je do zera. Wartość akcji staje się zerowa. Otrzymujemy wniosek, że należy posługiwać się modelem z faktycznymi dywidendami, a więc DDF. Ale w takim razie co z DCF? Na razie nie mieszajmy obu modeli. Model DDF to PODSTAWA. Nie można wchodzić w DCF, bo prosta logika przedstawiona powyżej zakazuje go używać. Model DDF nie może zostać odrzucony jak to się wydaje przeciwnikom dywidend. Mimo to, pokażemy, że DCF jest równoważny DDF. Zaprezentujemy tok rozumowania Mertona Millera i Franco Modiglianiego, którzy swego czasu wywrócili do góry nogami standardowy obraz wyceny akcji. Naukowcy ci w 1961 r. w artykule "Dividend Policy, Growth, and the Valuation of Shares" udowodnili, że na rynku efektywnym (doskonałym) polityka dywidendowa nie wpływa na wartość przedsiębiorstwa, a tym samym na wartość jego akcji. Odkryli oni twierdzenie o nieistotności polityki dywidendy (irrelevance of dividend policy). Dowód Sam dowód jest bardzo krótki i genialnie prosty. Ponieważ wiemy, że DDF to prawidłowy model wyceny akcji, to od niego zaczynamy. Przypomnę, że zostało dowiedzione w Dlaczego stosujemy model Gordona?, iż DDF można zapisać w postaci: gdzie: P(t) - wartość wewnętrzna akcji w okresie t D(1) - oczekiwana dywidenda w okresie 1 r - stopa dyskontowa (wymagana stopa zwrotu) Przemnóżmy obie strony równania przez liczbę naturalną n(0). Liczba n(0) ma ekonomiczną interpretację - jest to liczba akcji w okresie 0. A więc n(0)P(0) = V(0) to wartość całego przedsiębiorstwa w okresie 0 (zakładamy, że firma nie zaciąga długów, gdyż nie zmienia to istoty dowodu, a niepotrzebnie komplikuje analizę). Z kolei n(0)D(1) = D(1) to wszystkie dywidendy płacone w okresie 1. Dokonajmy następnie małej manipulacji dodając i odejmując te samą liczbę m(1)P(1): m(1) - nowa liczba akcji, które zostały wyemitowane w okresie 1 m(1)P(1) - nowy kapitał akcyjny podnoszony przez spółkę aby sfinansować potrzebne inwestycje. Inwestorzy kupią m nowych akcji już po cenie P(1). Na razie jedynie dokonaliśmy matematycznego przekształcenia równania. Jak dużo kapitał akcyjny powinien wzrosnąć? Jeśli oznaczymy przez I(1) całkowite inwestycje w okresie 1, a zysk netto w okresie 1 przez X(1), to nowy wyemitowany kapitał musi wynieść: Kapitał na inwestycje może bowiem pochodzić z dwóch źródeł: -finansowania wewnętrznego, czyli zysku zatrzymanego, czyli X(1) - D(1) lub - finansowania zewnętrznego, czyli właśnie m(1)P(1). A więc inwestycja, która nie jest zyskiem zatrzymanym, jest właśnie kapitałem zewnętrznym, w tym przypadku pochodzącym z emisji akcji. Wyemitowany kapitał, podobnie jak zysk zatrzymany, będzie służył pomnażaniu bogactwa w przyszłości. W finansowaniu zewnętrznym dodatkowo można uwzględnić dług. Nie wprowadzamy tego czynnika, bo nie zmienia istoty dowodu. Podstawmy m(1)P(1) z ostatniego równania do ostatniego wyrazu przedostatniego równania: Ponieważ D(1) redukuje się, otrzymujemy wzór na wartość przedsiębiorstwa: W okresie 1 liczba akcji zwiększyła się, więc zapisujemy [n(0) + m(1)]*P(1) = n(1)*P(1) = V(1). Ponieważ wartość V(1) można rozpisać w analogiczny sposób jak V(0) i z każdą kolejną powtarzać tak w nieskończoność, dywidenda nie wystąpi w równaniu, więc wartość przedsiębiorstwa nie zależy od dywidendy. Koniec dowodu. Zauważmy, że X(1) - I(1) to FCF w samej okazałości. (Wystarczy uwzględnić dodatkowo dług netto i koszty nie stanowiące wypływu gotówki, aby zobaczyć, że to istotnie FCF). Jeżeli przyjmiemy stałą stopę dyskontową, to otrzymujemy DCF: Wystarczy wyciągnąć z prawej strony równania spoza sumy n(0) (przy czym liczba akcji się zmienia, więc n(t)*[X(t+1) - I(t+1)] zostanie podzielone przez n(0)) i podzielić przez tę liczbę obie strony równania, aby powrócić do wartości akcji: Interpretacja Powstaje pytanie o interpretację ekonomiczną powyższego przekształcenia. Na początek spójrzmy, że niczego nowego nie wprowadziliśmy do wyceny za pomocą DDF. Wszystko pozostało na swoim miejscu, model DDF pozostał modelem DDF. A jednak ekonomicznie coś tu można dostrzec. Spółka emituje nowe akcje, ale to powoduje spadek ich wartości ze względu na ich większą podaż. Żeby więc wartość obecna spółki nie zmniejszyła się w wyniku takiej operacji, wyemitowany kapitał musi służyć wzrostowi dywidendy. Czyli spadek ceny akcji - tj. w wyprowadzonym przez nas przypadku spadek P(1) - zostanie skompensowany wzrostem dywidendy D(1). Inwestor uzyskuje przecież zysk z dwóch źródeł: dywidendy oraz z aprecjacji kursu. Oba efekty zmian muszą się dokładnie znieść, ponieważ wartość akcji jest niezależna od polityki dywidend, a więc od ustalania jej poziomu. Odwrotna zajdzie sytuacja, gdy spółka zacznie wykupywać swoje akcje. Podaż akcji spadnie, kurs wzrośnie, zaś dywidenda będzie musiała spaść (spółka przeznacza pieniądze nie na dywidendę, lecz na własne akcje). Inwestor dostanie mniej z dywidendy, ale za to więcej z aprecjacji kursu. Oba efekty muszą się znieść. Ten ostatni punkt implikuje, że spółka może nie wypłacać w ogóle dywidend, ale w zamian będzie co stały odcinek czasu wykupywać własne akcje. Trzeba tu uważać, aby nie popaść w pułapkę błędnych wniosków. Musi bowiem zajść następująca równość: Jeśli podstawiamy zero za dywidendę w każdym okresie, to wartość akcji jest zerowa - to o czym mówiliśmy na początku. Ale zerowa wartość bierze się stąd, że spółka nie dokonuje żadnego wykupywania swych akcji, bo gdyby tego dokonywała, we wzorze pojawiłaby się pewna wartość m(t)P(t) - w tym przypadku ujemna, bo m to nowa ujemna liczba akcji. Lewa strona powyższego wzoru może zostać przedstawiona w postaci: Ujemna wartość m(t)P(t) spowoduje, że cena pozostanie dodatnia. Został więc zilustrowany mechanizm "przekształcenia" dywidendy w zysk wynikający ze spadku liczby akcji, tj. ze spadku podaży akcji. Spadek podaży spowoduje wzrost ceny akcji, gdyż relatywnie popyt wzrośnie. Zauważmy, że oznaczenie D(t) zmieniło się - nie jest to żaden błąd, gdyż nie jest to ta sama dywidenda. Gdyby liczba akcji nie zmieniła się, to mielibyśmy normalne oznaczenie D(t), bo byłby to DDF. Tutaj jednak to się zmienia, bo dywidenda "ze starymi akcjami" nie jest równa dywidendzie "z nowymi (choćby ujemnymi) akcjami". Zerowa dywidenda może nie wynikać jedynie z nabywania własnych akcji. Można założyć, że dywidendy są bardzo małe, znacznie poniżej jednostki pieniężnej jak grosz czy cent i jedynie istnieją w abstrakcji. Dzięki temu, że dywidenda będzie tak mała, to zysk zatrzymany będzie stanowił silny czynnik wzrostowy przyszłych zysków i dywidendy. Dywidenda może być nieskończenie mała i nigdy nie pojawić się w empirii. Można jednak przyjąć, że w przyszłości pojawi się dzięki silnemu wzrostowi. Im bardziej zmniejszymy początkową dywidendę, tym stopa wzrostu dywidendy będzie bliższa wymaganej stopie zwrotu przez inwestora, czyli stopie dyskontowej. Podsumowanie i wnioski Odkryte dość dawno temu prawo ekonomii o braku istotności dywidendy dla wyceny przedsiębiorstwa jest po dziś dzień mało zrozumiałe. Inwestorzy zazwyczaj dzielą się na takich, którzy inwestują dla przyszłych dywidend i takich, których dywidendy nie interesują. Ci pierwsi uznają, że bez dywidend spółka jest bezwartościowa, drudzy, że dywidendy są marnotrawstwem pieniędzy, które mogłyby zostać zainwestowane w celu zwiększania kapitału własnego. Mają też duży argument w postaci podatku od dywidendy, który musi zostać zapłacony - niezapłacony podatek pracuje na zwiększenie przyszłych zysków i daleko w przyszłości dywidend. Na rynku efektywnym zarówno model DDF jak i DCF są poprawnymi modelami wyceny akcji i implikują same siebie, więc nie ma znaczenia którą metodą dokonujemy wyliczeń. Jednak w przypadku, gdy spółka dokonuje zmian w kapitale akcyjnym (wykup własnych akcji i emisja akcji), to bezpieczniej jest używać DCF. Ponieważ założenie, że spółka będzie przez długi okres czasu dokonywać wykupu akcji jest sztuczne, to najczęściej taką możliwość pomija się w wycenie. W praktycznej wycenie muszą więc zostać wykazane konkretne dywidendy. Czy więc dywidendowcy zwyciężają? Pomimo, że w praktycznej wycenie spółka musi płacić dywidendy, to jak wcześniej stwierdzono dywidendy te mogą być tak małe, że jedynie istnieć abstrakcyjne. Niemal cały zysk będzie służyć do generowania dużego wzrostu przyszłego zysku/dywidendy. W przyszłości dywidenda może pojawić się już w empirii silnie rosnąc, ale nie jest to konieczne. Z ekonomicznego punktu widzenia (biorąc pod uwagę nieciągłość w punkcie zero) spółka może nie płacić w ogóle dywidendy i wszystko będzie w porządku. Wydaje się, że ze względu na podatek od dywidendy, racjonalnym posunięciem jest właśnie minimalizacja dywidendy. (Tak przy okazji to jest to niezłe zdzieranie pieniędzy - spółka osiąga zysk, od którego płaci podatek, a jeśli płaci dywidendę, to od zysku netto jeszcze dodatkowy podatek). Literatura: 1. Merton H. Miller, Franco Modigliani, Dividend Policy, Growth, and the Valuation of Shares, The Journal of Business, Volume 34, Issue 4, October 1961, 411-433; 2. Krzysztof Jajuga, Teresa Jajuga, Inwestycje. Instrumenty Finansowe, Aktywa Niefinansowe, Ryzyko Finansowe, Inżynieria Finansowa, W-wa 2006, s. 164.