Dlaczego stosujemy model Gordona?

Pytanie pozornie banalne. Wszyscy dobrze wiemy, że model Gordona jest to przypadek modelu zdyskontowanego strumienia (wolnych) przepływów pieniężnych (Discounted (Free) Cash Flow - DCF) bądź dywidend (Discounted Dividend Flow - DDF), gdy liczba wypłat dąży do nieskończoności. Na razie będziemy stosować standardowy model dywidendowy. Wartość wewnętrzna akcji wyrażona w postaci nieskończonej sumy zdyskontowanych (oczekiwanych) dywidend:



sprowadza się do wzoru:



gdzie:

P - wartość wewnętrzna akcji (cena rzetelna)
D - dywidenda
r - stopa dyskontowa = oczekiwana (wymagana) stopa zwrotu = koszt kapitału własnego inwestora


Oczekiwane dywidendy mogą rosnąć w każdym kolejnym okresie. Wtedy model zapisujemy jako:



Przy warunku g < r, sprowadza się on do:



gdzie

g - stopa wzrostu dywidendy


Ostatni wzór wyraża właśnie model Gordona. Standardowe wyjaśnienie stosowania tego modelu opiera się na spostrzeżeniu, że spółka może funkcjonować nieskończenie długo. Skoro na razie dobrze sobie radzi, to można założyć, że będzie tak zawsze, a zatem liczba wypłat dywidend będzie nieskończona.

Ale może nieco wnikliwiej? Pomyślmy. Czy dla inwestora, który kupił akcje na 3 lata - chcącego otrzymywać dywidendy przez 3 lata, wycena akcji w oparciu o model Gordona jest poprawna? Udowodnimy, że odpowiedź brzmi TAK i to bez względu na horyzont inwestycyjny.

Mówiliśmy już czym jest wartość. Wartość przedmiotu mówi o tym ile danej rzeczy mogę za nią kupić, czyli po prostu wymienić na tę drugą rzecz. Jeśli kilogram gruszek kosztuje 3 zł, to kapitał równy 3 zł jest wart 1 kg gruszek. Z akcjami jest dokładnie tak samo. Idę więc do sklepu i proszę o kilogram gruszek i chciałbym zapłacić za nie akcjami. Jeśli akcja na rynku jest warta 3 zł, to znaczy, że akcja jest warta 1 kg gruszek.

Wartość wewnętrzną akcji będziemy odnosić nie do gruszek, jabłek czy innych przedmiotów, ale do dywidend (lub wolnych przepływów pieniężnych, ale nie komplikujmy sprawy). Jest tak, gdyż wartość ta musi być odniesiona do czegoś "wewnątrz" samej akcji czy spółki. Akcji nie konsumujemy tak jak owoców, więc ich użyteczność musi być związana "ofertą" spółki dla inwestora, którą są dywidendy. Należy jednak zwrócić uwagę, że dywidendy to kapitał, za który można kupić owoce. Pośrednio więc "wartość wewnętrzna" okazuje się po prostu zwykłą wartością akcji. Nie ma znaczenia czy będziemy mówić o wartości wewnętrznej czy zwyczajnie wartości.

Do sklepu wchodzi więc klient A i prosi o pewną ilość dywidend rozłożonych na 3 lata. Najlepiej, żeby dywidendy rosły w czasie. Oczywiście odpowiednio dyskontuje strumień pieniędzy i otrzymuje SWOJĄ wartość akcji:



Zauważmy, że na efektywnym rynku ekonomicznie niczego nie zarabia, ponieważ P jest właśnie ceną, jaką zapłaci za akcję. Następuje jedynie przesunięcie preferowanej konsumpcji od ekspedienta (spółki), który woli mieć P już teraz do inwestora, który woli mieć P rozłożone w czasie (odpowiednio zwiększane zgodnie ze stopą dyskontową).

Mamy ustaloną wartość akcji. Zwróćmy uwagę, że jest to podobna konsumpcja do owoców. Chodzi o to, że po "skonsumowaniu" akcji jest ona dla klienta A bezwartościowa. Został ogryzek - do śmietnika.

Ale zaraz po wyjściu klienta A przychodzi klient B, który chce otrzymywać dywidendy przez 4 lata. W takiej sytuacji, JEGO wartość wewnętrzna akcji jest równa:



A więc jest większa niż klienta A! Jest to oczywiste, bo kupił w całości więcej produktu. Ale przecież to miała być cena jednostkowa! Na efektywnym rynku klient A nigdy by nie kupił tych akcji, bo daje mniejszą cenę. Gdyby przyszedł kolejny klient, który preferowałby dywidendy na 5 lat, to i klient B nie kupiłby akcji.

Jak rozwiązać ten problem? Należy dokonać ujednolicenia ceny. Zrobimy to w następujący sposób. Przychodzi do spółki klient A i prosi o 3 dywidendy, które są warte tyle i tyle (tak jak to pokazano wcześniej) - jest to jego wartość akcji. Spółka odpowiada: dobrze, otrzyma Pan te dywidendy, ale będzie musiał Pan zapłacić więcej niż wynosi Pana subiektywna wartość. Jednak w zamian po 3 latach akcja nie stanie się dla Pana bezwartościowym świstkiem, lecz będzie mógł Pan ją sprzedać na rynku klientowi C po takiej cenie, aby Pan na tej inwestycji nie stracił ani ekonomicznie nie zyskał (natomiast dodając cenę czasu i ryzyka - zyskał "nominalnie"). Ściśle mówiąc cena jaką dziś Pan zapłaci będzie następująca:

(1)



Końcowa cena akcji P' stawiana przez klienta A jest oczywiście tak samo dyskontowana jak dywidendy. W momencie, w którym klient A otrzymuje ostatnią dywidendę w roku 3, natychmiast sprzedaje akcję po cenie P'. Czyli P' jest dyskontowana o 3 okresy tak jak dywidenda w okresie 3.

A więc w roku 3 przychodzi klient C, który kupuje akcję na n lat, szacując jej wartość według WŁASNEJ perspektywy na podstawie DDF plus rachuje cenę po jakiej sprzeda akcje w roku n. Całkowita cena jaką zapłaci będzie się równać P':

(2)



Odpowiednio podstawiając (2) do (1), dostaniemy, że cena akcji jaką zapłaci klient A równa się:

(3)



Natychmiast spostrzegamy, że klient C w n-tym roku po odebraniu ostatniej dywidendy sprzeda akcję klientowi D, który wyceni ją po P''. Cały proces się powtarza w nieskończoność. Wynika z tego, że strumień dywidend stanie się nieskończony i to w cenie początkowej klienta A, który mierzył wartość akcji jedynie dla 3 lat inwestycji! W konsekwencji uzyskujemy właśnie model Gordona.

Z przedstawionego dowodu płynie ciekawa implikacja. Inwestor NIE MOŻE określać wartości akcji według własnej wymaganej stopy zwrotu - stopy dyskontowej. Model Gordona wymaga bowiem, aby każdy inwestor miał identyczną wymaganą stopę zwrotu dla danej akcji. Innymi słowy, liczy się jedynie rynkowa stopa dyskontowa - cena pieniądza szacowana przez popyt i podaż. Jeśli więc struktura rynkowa zmienia się w czasie - oczekiwana stopa zwrotu jest niestacjonarna - wtedy wycena akcji praktycznie się sypie, a przynajmniej wg wzoru Gordona.

Nie ma co się łudzić, że akcja ma jakąś wartość wewnętrzną pozarynkową. To jest mit! Wymagana stopa zwrotu jest określona przez rynek - i to zarówno w czasie jak i przestrzeni. Wartość wewnętrzna okazuje się wartością "rynkową" jako wielkość statystyczna.

Na koniec zauważmy, że (3) można wyrazić jako:



Wzór ten przyda się w następnym wpisie.