Wycena S&P 500 - gdzie jesteśmy?

W poprzednim artykule przedstawiłem model wyceny akcji nazwany Uogólnionym modelem Grahama-Dodda (UMGD). Tak jak stwierdzono, model jest trudny w użytkowaniu (ogólnie DCF jest trudny do sporządzenia), niemniej należy pokazać przykład jego użycia. Wydaje się, że najbardziej wiarygodną wycenę sporządzę dla indeksu amerykańskiego S&P 500, gdyż historyczne dane będą mogły posłużyć bez problemu do najtrudniejszej zdaje się części - wartości rezydualnej.

Ostatnio groza padła na rynki akcji, tak że indeks się nieco osunął:



I jak to zwykle bywa, pojawiają się głosy: czy to początek bessy? Wiele ostatnich danych makroekonomicznych nie napawa optymizmem. Porównajmy jak zmienia się ostatnio realny PKB w USA (w ujęciu annualizowanym):

1 kw. 2010 +3,7%
2 kw. 2010 +1,6%
3 kw. 2010 +2,5%
4 kw. 2010 +2,3%
1 kw. 2011 +0,4%

Jednocześnie gospodarkę USA straszy widmo niewypłacalności kraju. Dług USA wynosi obecnie ok. 14,3 bln dol. W raporcie CBO (Kongresowe Biuro Budżetu):

czytamy z kolei:

Niższe wpływy z podatków i wyższe wydatki budżetu federalnego na walkę ze spowolnieniem gospodarczym spowodują wzrost długu publicznego USA do 62 proc. na koniec roku.

Do 2020 roku dług ma wzrosnąć według CBO do 87 proc. PKB, jeśli przedłużone zostaną obniżki podatków wprowadzone za prezydentury George'a W. Busha.

Temat zadłużenia państwa jest jednak złożony, więc go zostawmy.

Zmiany PKB USA nie są tożsame ze zmianami zysku netto indeksu S&P 500, choć są trochę skorelowane. Ściślej, w latach 1929-2009 korelacja rocznych zmian zysku i PKB wyniosła 0,2349. Dla lat 1933-2009 spada ona jednak do 0,166 i staje się nieistotna statystycznie. Wobec tego można powiedzieć pół na pół. Dla ciekawostki sprawdziłem także korelację pomiędzy zmianami samego indeksu a PKB. Okazała się bardzo silna. Dla lat 1929-2009 wyniosła 0,477. Dla lat 1933-2009 nieco spadła i wynosi 0,39. Innymi słowy, jeśli przewidzimy na dany rok siłę zmiany PKB, to przewidzimy z dość dużą szansą zmianę SP500. Dodatkowo zbadałem co się dzieje pomiędzy zmianami zysku SP 500 a zmianami tego indeksu. Korelacja wyniosła (1929-2009) 0,258 i jest także istotna statystycznie, ale (1933-2009) 0,203 i leży na granicy istotności.

Na koniec przyjrzałem się jeszcze jednej - ale równie ważnej kwestii, mianowicie czy inwestorzy przewidują przyszłe zmiany zysku i PKB. I tu niespodzianka. Owszem inwestorzy przewidują zmianę zysku - jest ona skorelowana ze zmianą indeksu z okresu poprzedniego (korelacja gdzieś między 0,2 a 0,3). Ale inwestorzy już nie zwracają uwagi na przyszły PKB - zmiany PKB są nieskorelowane ze zmianą indeksu z okresu poprzedniego. Przyszły PKB z kolei jest zbyt mglisty dla inwestorów.

Nam zależy na poprawnym oszacowaniu zysku netto na akcję (EPS) dla SP500, tempa wzrostu tego zysku oraz rentowności kapitału własnego. Wiemy już, że jeśli wzrost PKB osłabnie, to wzrost zysku SP500 niekoniecznie osłabnie, choć trochę może. Dodatkowo należy ocenić jak zmiana zysku wpływa na kolejną zmianę w czasie (czyli autokorelacje). Najlepiej prognozować zmiany za pomocą jakiegoś modelu regresji. Niestety zwykła wieloraka regresja liniowa ani też GARCH nie do końca radzą sobie z modelem. Rocznych obserwacji od 1933 jest niewiele, co stanowi sporą przeszkodę i zapewne lepiej byłoby zgęścić dane do kwartalnych. Trudno się jednak na to zgodzić, bo my prognozujemy roczne zmiany. Regresja pojedyncza przynosi już istotne statystycznie wyniki. Pomiędzy kolejnymi zmianami zysku nie występuje żadna liniowa korelacja, lecz AR(1) daje istotne wyniki, jak również GARCH(1).

Poniżej przedstawiono kolejne poziomy zysku indeksu od 2000 r.:



Łatwo zauważyć, że zmiany zysku są łagodne - jest to zasługa silnych miesięcznych autokorelacji (prawie 0,7). Należy jednak pamiętać, że roczna autokorelacja liniowa zmian zysku jest tutaj co najwyżej złudzeniem (i to każdego rzędu). Niemniej na 3 wykonane testy losowości dla okresu 1933-2010 dwa wskazują, że nawet roczne tempo zmian zysku SP500 nie jest całkowicie losowe. Widocznie występują tutaj nieliniowe autokorelacje, które są wyłapywane przez te testy.

Następnie należy przeanalizować ROE (2000-2010):



ROE ex post - czyli nieprognozowane, lecz dane historycznie. Obliczone jako zysk netto z okresu t/(kapitał własny okresu t-1)

Średnia ROE na tym obszarze wynosi 12,44%. Okazuje się, że ROE ex ante liczony jako zysk netto z okresu t *(1+0,0636) / (kapitał własny okresu t) daje podobną średnią 12,68%. Liczba 0,0636 to średnia geometryczna stopa zmian zysku netto indeksu od 1933 r.

Goldman Sachs (GS) w raporcie The anatomy of ROE: Part 1: S&P 500 przedstawił prognozę ROE na rok 2011 na poziomie 17%. Oto wykres z tego raportu:



Średnia ROE = 15,2%. Przypomnieć należy jednak o konwencji jaką się stosuje dla definicji ROE. Wydaje się, że aby przekształcić ROE z raportu musimy przemnożyć 0,152 przez 1,0636 (średnie tempo wzrostu zysku = 6,36%). Kwestię tę już wyjaśniałem. W ten sposób otrzymujemy średnią ROE dla naszego modelu: ROE = 15,2%*1,0636 = 16,17%. Tę wartość zastosujemy do modelu rezydualnego. Parametry modelu rezydualnego omawialiśmy we wpisie: Prawdziwe znaczenie wskaźnika Cena/Zysk i Cena /Wartość księgowa. . Jedynie poprawka dotyczy ROE. Parametry do modelu rezydualnego są następujące:

r = 10,5%
ROE = 16,17%
w = 6,36%

Standard&Poors (S&P) prognozuje EPS SP500 w 2011 r. na poziomie 94,23 $. Ponieważ EPS 2010 = 77,35 , oznaczałoby to wzrost o prawie 22%. Ze względu na ostatnie gorsze dane ekonomiczne, obniżymy nieco ten wzrost do 18%. W ten sposób nasz prognozowany zysk 2011 równa się 91,3 $. Model (rezydualny) Grahama-Dodda (MGD) jest postaci:

P(0) = EPS(1)*(1 - w/ROE)/(r - w)

Podstawmy dane:

P(0) = 91,3*(1 - 0,0636/0,1617) / (0,105 - 0,0636) = 1337,9.

Na chwilę obecną indeks SP500 posiada wartość 1292.28. Zatem z tego prostego modelu wynikałoby, że mamy dziś do czynienia z niewielkim niedowartościowaniem indeksu. Ale przecież jeszcze parę dni temu indeks uzyskiwał wartości w okolicy wskazane przez model. Zwróciłbym uwagę na fakt, że prognoza zysku 91,3 to subiektywna wielkość. Minimalnie zmniejszę ją do 90, a już otrzymam P = 1319. Ponadto wartość historyczna parametrów modelu nie musi odpowiadać rynkowi. Jeśli rynek ocenia, że USA kroczy ku zagładzie, może zmniejszyć na stałe średnie tempo wzrostu zysku. Na przykład, jeśli tylko zmniejszymy w do 6%, wtedy P(0) = 1287,24, co automatycznie potwierdza efektywność rynku. Rynek poprawnie wyceniałby indeks na chwilę obecną. Niemniej na razie trudno o racjonalne przesłanki, by średnie parametry uległy faktycznie zmianie.

Model rezydualny nie uwzględnia wahań koniunkturalnych. Za pomocą UMGD uwzględnimy część okresu koniunkturalnego. Przyjrzymy się jeszcze raz na załączonym powyżej wykresach zmianom ROE. Te zmiany będą korelować ze zmianami zysku. ROE 2010 = 15%. GS prognozuje ROE = 17% w 2011. Nasz ROE ex ante byłby równy 18% = 17%*(1,0636). Będziemy jednak konsekwentni: skoro obniżyliśmy trochę estymowane tempo wzrostu zysku, to zrobimy to także dla ROE. Uznamy, że ROE
(1) 2011 17,5%
(2) 2012 ROE osiągnie maksimum = 18%.

Następnie stopniowo może spadać:

(3) 2013 17%,
(4) 2014 16,5%
(5) i od 2015 zastosujemy model rezydualny (a więc ROE stałe = 16,17%).

Tempo wzrostu zysku będzie szło w parze ze zmianami ROE. I tak uznamy, że w
(1) 2011 14%
(2) 2012 osiągnie maksimum = 17%
(3) 2013 12%
(4) 2014 8%
(5) i od 2015 zastosujemy model rezydualny (a więc w stałe = 6,36%).

UMGD ma postać:



W naszym przypadku n = 5. Podobnie jak w MGD, EPS(1) = X(1) = 91,3. X(t) = X(t-1)*(1+w(t)). Koszt kapitału własnego r jest stały i równa się 10,5%. Ponieważ wszystkie dane są znane, podstawiamy. Otrzymany wynik to:

P(0) = 1362,7.

Wycena ta niewiele różni się od wyceny uzyskanej za pomocą prostego modelu rezydualnego. Niemniej jest poprawniejsza i doskonale tłumaczy koniunkturę na giełdzie. Obecna wartość indeksu wydaje się trochę za niska. Jednak X(1) jest wartością subiektywną, która sporo zależy od bieżących danych. Ustalając X(1) = 90, dostaniemy P = 1342,4, zatem odchylenie od empirycznej wartości staje się nieistotne (jeszcze parę dni temu indeks osiągał takie wartości). Ostatnie negatywne informacje trochę zaniżają estymowany zysk, sprowadzając wycenę do optimum.

Niemal wszędzie spotykamy się z twierdzeniem, że giełda buja się od jednej skrajności do drugiej. W hossie trwa nadmierny optymizm i euforia, a w bessie niepotrzebna depresja i marazm. Często przywołuje się takie euforyczne okresy jak koniec lat 90-tych, nazywane powszechnie "bańką internetową", które zakończyły się - jak zwykle - katastrofą. Popatrzmy jednak na ROE w tym czasie. Osiągało największe wartości wszechczasów. Rynek słusznie wyceniał wysoko akcje, bo należało jakoś ekstrapolować takie bezprecedensowe zdarzenia. Czy za bardzo, tego nie podejmuję. Racjonalnie nie dałoby się dowieść nieefektywności rynku tamtego okresu. Czy ktoś jednak zwraca na to uwagę? Nie, wszyscy krzyczą, że była wtedy bania, która musiała pęknąć z hukiem. Nic nie było wiadomo. ROE spadło, ale równie dobrze mogło się długo utrzymać lub nawet jeszcze wzrosnąć. Legend i mitów nigdy za mało.

Uogólniony model Grahama-Dodda

Czas na zaprezentowanie "własnego" modelu wyceny akcji. Cudzysłów bierze się stąd, że model ten jest na tyle naturalny, że trudno uwierzyć, aby nikt wcześniej go nie opisał. To że nie spotkałem go w literaturze nie znaczy, że nie został wcześniej zaprezentowany. A jest w gruncie rzeczy bardzo prosty do wyprowadzenia. Model ten nazywam uogólnionym modelem Grahama-Dodda.

Cashflowowy model wyceny akcji jest już znany z wpisu Twierdzenie o nieistotności polityki dywidendy:

(1)

gdzie:
P(0) - wartość (wewnętrzna) akcji w okresie 0
X(t) - zysk netto spółki w okresie t
I(t) - inwestycje spółki w okresie t
r(t) - wymagana stopa zwrotu do akcjonariuszy w okresie t

Inwestycje I(t) można zapisać jako k(t)*X(t), gdzie jedna część k odpowiada za inwestycje realizowane dzięki zyskowi zatrzymanemu oraz druga część odpowiada za inwestycje realizowane dzięki emisji akcji. Podstawiając do (1) I(t) = k(t)*X(t), dostajemy wzór:

(2)

We wpisie Analiza tempa wzrostu zysku firmy wyprowadzono również ogólny wzór na tempo wzrostu zysku netto:

(3)


gdzie
ROE(t) = X(t)/BV(t-1)
s(t) = ROE(t)/ROE(t-1) - 1 , tj. tempo wzrostu ROE.

[W poście Analiza tempa wzrostu zysku firmy definicja była ROE(t) = X(t+1)/BV(t), ale to tylko techniczna różnica].

Z równania (3) wyprowadzamy wzór na k(t):

(4)


Podstawmy (4) do (2):

(5)


I już otrzymaliśmy uogólniony model Grahama-Dodda, jak widać prosta sprawa. Model jest w stanie uwzględnić każdy cykl życia spółki. W szczególności może być przydatny do wyceny akcji spółek młodych, które dopiero wchodzą w silny trend wzrostu bądź też spółek w trakcie restrukturyzacji (modne słowo po kryzysie). Niestety, choć brzmi to pięknie, praktyka rodzi dużo problemów o czym zaraz powiemy. Zauważmy, że jest możliwość przekształcenia (5) do modelu wykorzystującego wartość księgową akcji (BV)

(6)


Model (6) wskazuje, że im większa będzie suma ROE(t) + s(t), tym większa różnica pomiędzy wartością wewnętrzną a księgową. Otrzymujemy pełne wyjaśnienie dlaczego wartość akcji spółki o wysokim potencjale wzrostu często silnie wyprzedza wartość księgową, nawet jeśli obecna rentowność kapitału własnego ROE(t) będzie mniejsza od wymaganej stopy zwrotu r(t). Potencjał drzemiący w spółce i stopniowo uwalniany zostaje odzwierciedlony w rosnącym ROE. Czyli dodatkową premię od rynku (w stosunku do wartości księgowej) otrzymuje spółka, której rentowność kapitału własnego rośnie. Może być to wynik wykorzystania patentów, monopolistycznego charakteru spółki o przewagach konkurencyjnych, restrukturyzacji itp. Oczywiście (6) także działa w drugą stronę, a więc spółki o wysokim ROE, ale przy jego spadkowej tendencji, która może wynikać z pogarszającej się finansowej kondycji spółki, mogą otrzymać od rynku ujemną premię, tak że wartość akcji znajdzie się poniżej wartości księgowej. W takiej sytuacji warunkiem jest, aby s(t) było dostatecznie ujemne. Podsumowując, nie liczy się samo ROE w stosunku do r, ale to czego rynek oczekuje po ROE w przyszłości.

Bardziej praktyczny model to taki wykorzystujący wartość rezydualną. Wartość rezydualna opera się na założeniu, że po pewnym czasie rozwój spółki jest stabilny i zrównoważony, a więc parametry takie jak ROE, w oraz r są stałe w czasie. Wartość rezydualna (RV) to po prostu wyprowadzony w poście Prawdziwe znaczenie wskaźnika Cena/Zysk i Cena /Wartość księgowa. Badanie empiryczne model Grahama-Dodda:



Ponieważ RV pojawia się po n latach to musi zostać zdyskontowana n okresów oraz charakteryzuje się stałymi parametrami począwszy od n-tego okresu. Uogólniony model Grahama-Dodda wykorzystujący wartość rezydualną ma postać:

(7)



lub wykorzystujący wartość księgową w wartości rezydualnej:

(8)


Modele (7) i (8) mają jedną podstawową wadę. Zakładają, że tempo wzrostu zysku (w) jest mniejsze od wymaganej stopy zwrotu (r). Jeśli to założenie nie jest spełnione, wtedy model się całkowicie psuje (nie ma zbieżności do granicy) - wartość akcji P(0) osiąga nieskończoność. Rozwiązanie tego problemu opiera się często na wykorzystaniu użyteczności przepływów pieniężnych (malejącej użyteczności krańcowej), co z kolei powoduje niekorzystne wpadnięcie w subiektywną wycenę akcji. Innym rozwiązaniem są nieliniowe modele wyceny zakładające, że tempo wzrostu zysku zacznie spadać zgodnie z cyklem życia. Nie są to jednak rozwiązania eleganckie teoretycznie i najczęściej oparte na subiektywnej analizie.

Jest jeszcze gorzej. Wystarczy bowiem, że w będzie mniejsze, ale bliskie r, co spowoduje gwałtowny wzrost P(0). Każdy minimalny wzrost w spowoduje duży skok wartości akcji. Co z tego, że wartość akcji będzie skończona, skoro będzie silnie zależała od minimalnych różnic pomiędzy w a r. A im będą sobie bliższe, tym wartość będzie silniej odrywać się od rzeczywistego świata.

Precyzyjna wycena akcji spółek o wysokim potencjale wzrostu jest rzeczą bardzo trudną i powiem szczerze, że należy mieć duży dystans do nawet najbardziej drobiazgowo sporządzonej wyceny.

Niemniej uogólniony model Grahama-Dodda pozwala (jeśli nie wyznaczyć ściśle wartości wewnętrznej) przynajmniej zrozumieć w jaki sposób należy używać wskaźników fundamentalnych, takich jak Cena / zysk oraz Cena / wartość księgowa. Większość inwestorów nie rozumie, że używa tych wskaźników w sposób błędny. Załóżmy, że stopa zwrotu posiada rozkład normalny N(0,1). Zgodnie z nim będzie ona dążyć do 0, a odchylenie wyniesie średnio 1%. Czy to znaczy, że "wartość wewnętrzna stopy zwrotu" wynosi 0? Inwestorzy podchodzą właśnie w taki sposób do wskaźników fundamentalnych: przeciętne wartości dla rynku bądź nawet historycznie dla danej spółki uważają za poziom optymalny.

W książce Damodarana, Investment Valuation, znajdziemy następującą relację pomiędzy ROE a C/WK (PBV):



Oczywiście to tylko pewna statystka, która sama w sobie nie jest wystarczająca. Nie uwzględnia także tempa wzrostu ROE, s. Dodatkową pomocą może być jednak statystyczna relacja pomiędzy tempem wzrostu zysku netto a C/Z (PE) z innej książki Damodarana, Security Analysis on Investment:

Analiza tempa wzrostu zysku firmy

Tempo wzrostu zysku firmy jest jak wiadomo jednym z najważniejszych elementów przy wycenie akcji. Prawidłowe jego oszacowanie pozwala także lepiej przewidzieć kolejny ruch ceny. Istnieją 3 podejścia oszacowania tempa wzrostu zysku.

Pierwsze podejście można nazwać historycznym, ponieważ oszacowujemy tempo wzrostu na podstawie danych historycznych. Metoda historyczna zawsze wiąże się ze stosowaniem statystyki i/lub ekonometrii. Najbardziej intuicyjny sposób to obliczenie średniej arytmetycznej tempa wzrostu z obserwacji statystycznych. Nieco mniej intuicyjny to wyznaczenie średniej geometrycznej. Niestety obydwa sposoby posiadają wady. Średnia arytmetyczna uwzględnia zmiany wewnątrz próby (tzn. w pośrednich okresach), które mogą być czysto przypadkowe, przez co często zaburzają prawdziwy obraz wzrostu zysku. Z kolei średnia geometryczna w ogóle nie uwzględnia zmian wewnątrz okresu (w pośrednich okresach) - jedynie wskazuje jak średnio zysk rósł od okresu do okresu (czyli jakby w środku była linia prosta). Ograniczenia te rozwiązuje się za pomocą modelu regresyjnego, dzięki któremu można oszacować oczekiwaną stopę wzrostu, która niejako uwzględnia zarówno zmiany wewnątrz okresu, a jednocześnie je "wygładza". Jednak temu zagadnieniu nie jest poświęcony artykuł.

Drugie podejście można nazwać eksperckim, ponieważ tempo wzrostu zysku oszacowuje się metodami eksperckimi i prognozami analityków, wykorzystując aktualne informacje:
- z ostatnich raportów, np. sprawozdań finansowych, czyli specyficzne dla danej firmy (na temat zysków, przychodów, marży zysku, rentowności kapitału, wszelkich inwestycji: emisji akcji, zatrzymania zysków, zadłużenia)
- makroekonomiczne informacje mające wpływ na zysk firmy (najważniejsze to wzrost PKB, PNB, stopy procentowe i inflacja)
- informacje ujawnione dla firm konkurencyjnych (np. negatywne informacje u konkurencji mogą prowadzić do ponownej oceny zysku firmy).

Niewątpliwie metoda ekspercka jest dużo bardziej elastyczna niż historyczna, choć bardziej subiektywna. Jeśli firma wchodzi w nową fazę ekspansji, metoda ekspercka prawdopodobnie lepiej sprawdzi się niż historyczna.

Czy rzeczywiście metoda ekspercka jest lepsza niż historyczna? Ogólny wniosek jest taki, że metoda ekspercka lepiej sprawdza się dla prognoz krótkoterminowych, zaś gorzej dla długoterminowych. Badania O'Brien'a (1988) wykazały, że prognozy analityków dla kolejnych dwóch kwartałów pokonywały modele szeregów czasowych, dla kolejnych trzech kwartałów były tak samo dobre, zaś dla czterech naprzód już gorsze.

Trzecie podejście można nazwać teoretycznym lub fundamentalnym. W metodzie historycznej i eksperckiej dostajemy tempo wzrostu jako zmienną egzogeniczną, niezależną od modelu wyceny. W metodzie teoretycznej, zmienna ta staje się endogeniczna. Można jednak powiedzieć, że to teoretyczne podejście łączy w sobie zarówno cechy metody historycznej, jak i eksperckiej, bowiem z jednej strony parametry wchodzące do modelu oblicza się na podstawie danych historycznych, a z drugiej strony można tymi parametrami odpowiednio kalibrować, wykorzystując wiedzę ekspercką.

Trzecie podejście przestudiujemy szczegółowo. Zacznijmy od definicji ROE(t) i jego przekształcenia:



gdzie

X(t+1) - (oczekiwany) zysk netto w okresie t+1
BV(t) - wartość księgowa kapitału własnego

Odejmijmy X(t-1) i podzielmy obie strony przez tę liczbę



Oznaczamy [X(t) - X(t-1)]/X(t-1) = w jako tempo wzrostu zysku netto.
Wyciągnijmy ROE(t) przed ułamek:



i oznaczmy:



Z drugiego równania na k(t) wyznaczamy ROE(t):



W okresie poprzednim, t-1, ROE(t-1) jest równe z definicji (patrz pierwsze równanie):

Jeśli ROE(t) = ROE(t-1), czyli ROE jest stałe w czasie, musi więc zajść:



I stąd BV(t) jest równe:



Aby otrzymać wartość księgową kapitału własnego z okresu t, do wartości księgowej kapitału własnego z okresu t-1, musimy dodać pewną część zysku netto z okresu t. Pewna część zysku netto powiększa bowiem wartość księgową. Jaka część zysku zawsze powiększa wartość księgową? Oczywiście jest to zysk zatrzymany, czyli powstały po odjęciu dywidendy (dywidenda trafia do akcjonariuszy) oraz "zysk" (precyzyjnie kapitał) powstały w wyniku emisji akcji. Zatem k okazuje się sumą współczynnika zatrzymania zysku (kr) i współczynnika wyemitowanego kapitału wyrażony jako część zysku (ke):



gdzie kr(t) = zysk zatrzymany w okresie t/zysk netto(t), ke(t) = ilość kapitału wyemitowanego w okresie t/zysk netto(t)

Stąd widać dlaczego używamy wzoru:



Powyższe wyprowadzenie wzoru prowadzi do wniosku, że znany wzór na tempo wzrostu zysku netto jest prawidłowy tylko w sytuacji, gdy ROE jest stałe w czasie (k nie musi być stałe). W rzeczywistości ROE zmienia się w czasie. Jednakże jeśli przyjmiemy konwencję używania średnich w czasie, wówczas wzór ten będzie nadal prawidłowy, ale pod warunkiem że średnia w ogóle istnieje. Niespełnienie tego warunku może mieć miejsce zarówno dla stacjonarnych jak i niestacjonarnych procesów stochastycznych. We wpisie "Kłopoty ze średnimi w analizie fundamentalnej" omawiałem przykład Asseco Poland, dla którego poddałem w wątpliwość istnienie średniego ROE. Był to przykład, można rzec, stacjonarnego procesu. Z kolei w niestacjonarnych procesach parametry rozkładu zmiennych zwyczajnie ulegają zmianom wraz z przesunięciem w czasie. Średnią zawsze można sztucznie obliczyć, ale jeśli w kolejnych podpróbach średnia nie będzie zbliżała się do pewnej stałej wartości, to znaczy, że rozkład nie posiada średniej.

W wielu sytuacjach rzeczywista rentowność kapitału własnego, jak i jego średnia ulega systematycznym zmianom w czasie (proces jest niestacjonarny), co prowadzi do zmiany tempa wzrostu zysku w czasie, niezależnie od zmian k. Często firma wchodzi w silny trend ekspansji i zwiększa ROE, czyli poprawia rentowność kapitału własnego. W takiej sytuacji używanie wzoru w(t) = k(t)*ROE jest błędem, co obecnie powinno być zupełnie jasne. Rozwiążemy teraz jednak ten problem. Wyjdźmy jeszcze raz od definicji ROE = X(t+1)/BV(t). Licznik możemy na zapisać w postaci



Teraz przyjmijmy, że k(t) jest częścią zysku powiększającą BV, czyli ma taką samą interpretację jak dotychczas. Różnica jest tylko taka, że poprzednio k(t) został wyprowadzony, zaś teraz arbitralnie go ustalamy. Zgodnie z tą interpretacją mianownik można zapisać:



W sumie mamy wzór na ROE(t):



Z tego równania wyznaczmy w(t):



Otrzymaliśmy ogólny wzór na stopę wzrostu zysku netto spółki. Jeśli ROE(t) = ROE(t-1), wtedy drugi składnik się zeruje i powracamy do starego wzoru k*ROE. Przy aplikacji trzeba uważać, bo można się na początku pogubić w oszacowaniu ROE w zależności od tempa w. W rzeczywistości jest na odwrót: w zależy od ROE, a nie ROE od w. W sumie jednak nie jest to taka oczywista sprawa, bo ROE generuje w, ale matematycznie w także mogłoby generować ROE, widząc, że ROE = X(1+w)/BV. Pomimo że, że mamy tu jakby do czynienia ze swego rodzaju "pleonazmem", to jednak musimy patrzeć tak: najpierw jest rentowność, która może być podniesiona na różne sposoby (silna faza ekspansji na rynki; racjonalne zmniejszenie kosztów; postęp techniczny, nowe technologie, patenty) i dopiero ona staje się przyczyną wzrostu.

Ponieważ drugi składnik równania stanowi stopę wzrostu ROE, ogólne równanie na w można zapisać w postaci:



gdzie s(t) - stopa wzrostu ROE(t)

[oznaczyłem s, bo nie mogłem wpaść na coś lepszego, s jak speed].

Warto w końcu zauważyć, iż dokładnie takie samo wyprowadzenie tempa wzrostu można także przeprowadzić dla ROA, ponieważ:



gdzie A(t) - aktywa firmy

Wówczas ogólny wzór na w przybiera postać:



lub prościej



gdzie a(t) - stopa wzrostu ROA(t)

oraz



kb = nowy dług w okresie t/zysk netto(t)

Oczywiście można kombinować dalej na różne sposoby, przyrównywać ze sobą różne wzory na w i wyciągać kolejne zależności, np. pomiędzy ROE a ROA.

Powinno być już jasne, dlaczego we wpisie "Prawdziwe znaczenie wskaźnika Cena/Zysk i Cena /Wartość księgowa. Badanie empiryczne" używano wzoru w(t) = k(t)*ROE. Po pierwsze zakładaliśmy stałość ROE lub ROA. Po drugie niezależnie od tego czy spółka finansuje swoje inwestycje długami, aby powiększyć zyski, stopa wzrostu zysku będzie ciągle równa k(t)*ROE, choć moglibyśmy równie dobrze podstawić k'(t)*ROA. Zwróciłbym jeszcze uwagę na pewien niuans, mianowicie oryginalny wzór Modiglianiego i Millera (MM) nieco różnił się od tego, który ja przedstawiłem. MM nie posługiwali się ROE czy ROA, ale "stopą zwrotu z inwestycji", czyli ROI. Wtedy tempo wzrostu zysku w(t) = k'(t)*ROI(t). Taki wzór będzie zawsze prawidłowy, niezależnie od tego czy ROI będzie się zmieniał w czasie czy nie. Dzieje się tak, bo:

w = wzrost zysku / zysk  = (wzrost zysku / inwestycje) *(inwestycje / zysk) = ROI*(zysk zatrzymany + nowy wyemitowany kapitał + nowe kredyty i pożyczki)/zysk = ROI*k'.

Ale jeśli ustanowimy stałość ROA i ROE oraz że firma nie będzie mieć nowych zobowiązań, wtedy ROI = ROE = ROA. Wtedy powstaje interesująca zależność, bo zysk ze wszystkich aktywów staje się równy zmianie zysku z nowych aktywów.

Podsumowanie.

Tempo wzrostu zysku netto firmy szacujemy na 3 różne podejścia: historyczne, eksperckie i teoretyczne (fundamentalne). Pierwsze dwa traktują tempo wzrostu jako zmienną egzogeniczną w modelu wyceny, a trzecie jako endogeniczną. Aby jednak podstawić dane do wzoru w trzecim sposobie, potrzebna jest wiedza zarówno historyczna jak i ekspercka. Pierwsze pytanie czy i jak rentowność kapitału własnego zmieni się w najbliższych okresach? Drugie pytanie czy i jak zmieni się ilość kapitału własnego (poziom dywidendy, emisje akcji).

Z przedstawionej teorii płynie wniosek, że tempo wzrostu zysku można uzyskać na 2 sposoby, które są niezależne od siebie:
1. poprzez oszczędzanie = inwestowanie
2. poprzez wzrost efektywności działania

Ad 1) Oszczędności są to inwestycje. Zauważmy że:

- zatrzymanie zysku w firmie to oszczędzanie lub inaczej inwestowanie środków akcjonariuszy. Wypłata dywidendy jest formą konsumpcji firmy/akcjonariuszy, a więc jej zaniechanie jest inwestycją
- kupno nowych akcji firmy stanowi z punktu widzenia nowych akcjonariuszy inwestycję, czyli oszczędzanie środków zamiast ich konsumpcji
- pożyczanie środków firmie przez pożyczkodawców (kredytodawców, obligatariuszy) to inwestycja, która stanowi mniej ryzykowną formę oszczędności od kupna akcji.

Oszczędzone środki, nieważne z którego źródła pochodzące, pracują na wzrost zysku. Im więcej inwestujemy środków, tym wzrost zysku będzie większy. Przynajmniej do pewnego poziomu.

Ad 2. Efektywność działania pokazuje jaką część nakładów stanowią zyski lub inaczej ile zysku generują nakłady. Jest to nic innego jak rentowność aktywów. Rentowność aktywów całkowitych to ROA. Rentowność aktywów netto (czyli po odjęciu zobowiązań) to ROE. Ich wzrost często wiąże się z postępem technicznym.

Powyższy podział czynników wzrostu zysku dowodzi, że zwiększenie rentowności (ROE, ROA) nie wynika ze wzrostu inwestycji, gdyż wzrost inwestycji wynika ze wzrostu oszczędności. Dodatkowy wzrost wynikający ze wzrostu ROE i ROA opiera się na bieżących inwestycjach, a nie nowych.

Trudno nie dostrzec zależności pomiędzy skalą mikro a makro. W makroekonomii znana jest tożsamość inwestycje = oszczędności. PKB rośnie właśnie dzięki strumieniom inwestycji, czyli oszczędności oraz postępowi technicznemu (plus wzroście liczby ludności). Niemniej skala mikro a makro nie jest tożsama i ogólnie lepiej nie wyciągać zbyt pochopnych wniosków o całkowitej analogii przedstawionej analizy. W skali mikro do gospodarki kapitał dopływa zarówno z zewnątrz jak i z wewnątrz systemu. W skali makro wraz z zagranicą kapitał dopływa do gospodarki jedynie z wewnątrz jej systemu, a więc (realny) zysk/dochód światowy rośnie jedynie dzięki wewnętrznym mechanizmom.

Literatura:
[1] Damodaran, A., Investment Valuation;
[2] O'Brien, P., Analyst's Forecasts as Earnings Expectations, Journal of Accounting and Economics, 1988.

Wzór na stopę wzrostu wartości wewnętrznej akcji lub dywidendy

Potrafimy już precyzyjnie wycenić akcje. Pozostały jednak pewne tematy poboczne, o których warto więcej powiedzieć. Na przykład poruszono już kwestię różnicy pomiędzy stopą wzrostu dywidendy bądź akcji a stopą wzrostu zysku netto spółki.

W teorii wyceny akcji mamy 5 podstawowych kategorii stóp wzrostu:

1. Stopa zwrotu z kapitału własnego (ROE)
2. Wymagana stopa zwrotu z kapitału własnego (r)
3. Stopa aprecjacji kursu akcji [P(1) - P(0)] /P(0) , P(t) - wartość wewnętrzna w t-tym okresie
4. Stopa wzrostu dywidendy (g)
5. Stopa wzrostu zysku netto spółki (w)

W poprzednim wpisie Prawdziwe znaczenie wskaźnika Cena/Zysk i Cena /Wartość księgowa. Badanie empiryczne dowodziliśmy, że stopa aprecjacji rzetelnej ceny akcji jest równa stopie wzrostu dywidendy:




Stąd pkt 3 = 4 -> liczba kategorii stóp wzrostu redukuje się do czterech.

Wyznaczymy relację pomiędzy każdą z nich.

Z twierdzenia o nieistotności polityki dywidendy wynika, że wartość wewnętrzna akcji obliczona na podstawie modelu dywidendowego (DDF) jest równoważna wartości obliczonej na podstawie modelu przepływów pieniężnych (DCF):



gdzie

P(0) - bieżąca wartość wewnętrzna
D(t) - oczekiwana dywidenda w t-tym okresie
X(t) - oczekiwany zysk netto w t-tym okresie
I(t) - oczekiwane inwestycje w t-tym okresie
r - oczekiwana stopa zwrotu; stopa dyskontowa

Przypomnijmy następnie, że powyższy wzór powstał w oparciu o następującą zależność:



gdzie I(t) = n(t-1)*I(t), X(t) = n(t-1)*X(t), D(t) = n(t-1)*D(t), n(t-1) - liczba akcji w okresie t-1, m(1)P(1) - nowy kapitał powstały z okresowej emisji akcji, m(1) - liczba nowo wyemitowanych akcji w okresie 1.

Oznaczyliśmy również I(t) = k*X(t), ponieważ inwestycje stanowią pewną część zysku netto. k może być nawet większe od 1. Skoro I(t) zostało rozdzielone na dwie części, to k także powinno:



n(t-1) redukuje się, więc:



gdzie:

kr - część zysku netto zatrzymanego w każdym okresie (retained profit)
ke - ilość zewnętrznego kapitału rosnąca w każdym okresie, wyrażona jako część zysku netto w okresie (external profit)


Jednocześnie dowiedziono poprzednio, że przy założeniu stałego średniego tempa wzrostu zysku netto spółki = k*ROE, wartość akcji jest dana wzorem:



A teraz uwzględniając k = kr + ke:



Następnie, skoro zysk netto rośnie w stałym tempie, to możemy założyć, że dywidenda także rośnie średnio w stałym tempie g. Prowadzi to do doskonale poznanego przez nas dywidendowego modelu Gordona:



Czym jest dywidenda? Jest pewna część zysku netto. Akcjonariusze wybierają jaką część zysku zatrzymać w spółce, a jaką wypłacić w formie dywidendy. Jednak zysk zatrzymany powyżej zdefiniowaliśmy jako:



Czyli dywidenda jest to zysk netto minus zysk zatrzymany:



Zysk netto w okresie 0 rośnie w tempie k*ROE, wobec czego zysk netto w okresie 1 wynosi:



W konsekwencji dywidendowy model Gordona zapiszemy w postaci:




Łącząc cashflowowy model z modelem Gordona otrzymujemy relację w postaci równania:



Z tego równania wyznaczamy g:



Jest to wzór na stopę wzrostu wartości wewnętrznej akcji lub dywidendy. Zwróćmy uwagę, że jeśli ke = 0, czyli spółka nie finansuje inwestycji kapitałem zewnętrznym, wtedy g = k*ROE = w, czyli akcje i dywidendy rosną w tempie wzrostu zysku spółki.

Jeśli spółka wypłaca konsekwentnie dywidendy, wówczas określenie kr nie jest trudne. Jeśli zaś dywidendy są bardzo nieregularne, można je pominąć, co oznacza, że kr = 1. Zauważmy, że w takiej sytuacji g = r. Jest to oczywiste: skoro cały zysk netto spółki pozostaje w spółce, to dywidendy nie są wypłacane, a więc całkowity zysk dla inwestora pochodzi jedynie z aprecjacji kursu akcji. W artykule Teoria ekonomii jak filozofia Wschodu pokazano natomiast, że całkowita stopa zwrotu inwestora to właśnie stopa dyskontowa r. Tym samym w przypadku braku dywidend całkowita stopa zwrotu równa się g = r.

Jeżeli chodzi o ke, to jest to wielkość abstrakcyjna i trudna do określenia dla inwestora. Możemy się jej pozbyć.

Wiedząc, że



możemy podstawić do wzoru na g:



Przekształcając go, otrzymamy wzór:





Przykłady.

Z praktycznego punktu widzenia zarówno w, ROE jak i r są to dane empiryczne. W poniższych przykładach założymy, że są to stałe o wartościach:

w = 0.07
ROE = 0.16
r = 0.105

Przykład 1.
kr = 0.1

Podstawiając dane do wzoru na g dostajemy g = 0.049.

Zatem dywidendy i akcje rosną w tym przypadku wolniej niż zysk spółki.


Przykład 2.
kr = 0.6.

Podstawiając do wzoru na g, dostaniemy g = 0.08. Zatem tym razem akcje i dywidendy rosną szybciej niż zysk spółki. Dzieje się tak, ponieważ ke staje się ujemne (spółka nabywa swoje akcje). Może wystąpić szczególny przypadek, gdy ke > 0, a pomimo tego wartość wewnętrzna akcji i dywidenda będą rosły szybciej niż zysk spółki. Mianowicie, będzie to sytuacja, gdy cena akcji jest ujemna. Ponieważ ten przypadek nie istnieje na rzeczywistym rynku (a szkoda), to wnioskujemy, że...

Jeżeli ke > 0, to stopa wzrostu ceny akcji i dywidendy będzie mniejsza od stopy wzrostu zysku spółki. Jeżeli ke < 0, to stopa wzrostu ceny i dywidendy będzie większa od stopy wzrostu zysku spółki.

Przykład 3.
kr = 0.438

Obliczamy g = 0.07

Zauważmy, że g = w, czyli w tym przypadku zyski inwestora rosną dokładnie tak samo jak zyski spółki. Wynika to stąd, że:

ke = w/ROE - kr = 0.07/0.16 - 0.0438 = 0


Widzimy, że jeżeli nowo wyemitowany kapitał nie występuje, tj. ke = 0, to kurs i dywidenda rośnie dokładnie w tempie wzrostu zysku spółki. Jak tylko jednak ten kapitał się pojawia, dywidenda i akcja rosną w tempie różnym od zysku spółki.

Z praktycznego punktu widzenia najważniejsze nie jest jednak to co się dzieje przez ke, ponieważ jest to wielkość, która i tak została przez nas ukryta w ostatnim wyprowadzonym wzorze, więc nas nie interesuje. Najistotniejsze jest to, że za pomocą kr można manipulować stopą wzrostu wartości wewnętrznej akcji i dywidendy. Pomimo tej manipulacji całkowity zysk z akcji jednak się nie zmieni, dopóki stopa r = const.


Literatura:

1. M. H. Miller, F. Modigliani, Dividend Policy, Growth, and the Valuation of Shares, The Journal of Business, Volume 34, Issue 4, October 1961, 411-433;