O nieliniowej uporczywości kursów

Zanim przejdę do rozkładów Levy'ego i ich połączenia z ułamkowym ruchem Browna, dokończę sprawę ułamkowego ruchu Browna, która jest na tyle zawikłana i interesująca, że należy chwilę poświęcić jej czas.

Mówiliśmy wielokrotnie, że jeśli wykładnik Hursta > 0,5, szereg czasowy charakteryzuje się persystencją, czyli uporczywością podążania w danym kierunku obserwacji. Intuicyjnie każdy rozumiałby to w taki sposób, że występuje trend. Trend wydaje się stanowić miarę pamięci procesu. Problem polega na tym, że pamięć tego procesu jest w dłuższych okresach coraz słabsza. Oznacza to, że wpływ wydarzenia w dalekiej przeszłości zanika. Po długim czasie proces będzie nierozróżnialny od błądzenia przypadkowego, tak że H będzie dążył do 0,5. W tej sytuacji oczywiste również, że wartość oczekiwana będzie dążyć do zera.

Tak więc statystyka Hursta wiąże się z teorią chaosu dwojako: poprzez początkowe obciążenie (efekt motyla) oraz zanik pamięci długoterminowej (niemożliwość przewidywania w długim okresie). Objawia się tu nieliniowa autokorelacja pomiędzy danymi. Z tego powodu nie może być tu stosowana miara korelacji liniowej.

Co się właściwie tutaj dzieje? Logiczne, że efekty motyla występują w każdym momencie. Jeśli H > 0,5 i początkowo są wzrosty, tak że utrzymuje się trend zwyżkujący, lecz raz przypadkowo następuje spadek, to ten spadek będzie oddziaływał w każdym kolejnym okresie. Jeśli nawarstwi się trochę spadków, to dojdzie do "katastrofy" - efekt motyla zacznie przeważać w drugą stronę, czyli w stronę spadków, ponieważ bliższa przeszłość ma większe znaczenie niż dalsza. Następuje zmiana trendu na zniżkujący.

Przyjrzymy się poniższym rysunkom:

H = 0,2:



H = 0,5:



H = 0,8:



Dla H = 0,2 szereg szybciej zmienia kierunek niż dla standardowego ruchu Browna, dla H = 0,5 zachowuje się zgodnie ze standardowym ruchem Browna, dla H = 0,8 wolniej zmienia kierunek.
Ale widać, że we wszystkich przypadkach następuje mniej więcej w tym samym czasie zmiana kierunku "trendu", co przeczy intuicji że dla H > 0,5 trend powinien być najdłuższy.

Przykład ten także pokazuje, że H jest nie tyle prawdopodobieństwem warunkowym znaku kolejnej zmiany obserwacji, co miarą zmienności.

Doświadczamy więc jak subtelna różnica jest pomiędzy zwykłym błądzeniem przypadkowym a jego obciążonym odpowiednikiem. W tym drugim przypadku w długim okresie czasu pamięć o początkowym trendzie spada niemal do zera, tak że nie będziemy w stanie przewidzieć, w którą stronę zmienna podąży.

Wcześniej napisałem, że wartość oczekiwana przyrostów ułamkowego procesu ruchu Browna równa się zero, gdyż nie wiemy, po której stronie skrzydła motyla wywołają huragan. Obecnie dodaję, że motyl lata bez przerwy. Kiedyś może odwrócić się trend, tak że wartość oczekiwana przyrostów równać się będzie zero.

Z powyższego widać, jak dobrze ułamkowy ruch Browna odpowiada światowi rynków kapitałowych. Bo z jednej strony kursy rzeczywiście wydają się być przylepione do danego kierunku, z drugiej strony nie dają się raczej przewidywać w długim okresie czasu.

Płyną z tego wnioski. Po pierwsze lepiej kupować akcje, które rosną, gdyż istnieje większa szansa, że będą dalej rosnąć. Jednocześnie lepiej sprzedawać akcje, które spadają, gdyż istnieje większa szansa, że będą dalej spadać. Po drugie warto wspomagać się długoterminową średnią kroczącą, która może wskazać moment, po którym nastąpiła "katastrofa" i zmiana trendu. Po trzecie warto kupować akcje spółek o niskiej osiągalności, tj. niskim ryzyku osiągalności. Pisałem o tym ryzyku tutaj:
http://gieldowyracjonalista.blogspot.com/2009/07/ryzyko-osiagalnosci_13.html
Niska osiągalność jest zbawienna psychologicznie, gdyż odciąża nas od pokusy sprzedaży akcji, gdy te szybko spadają lub szybko rosną. Ryzyko to wydaje się być lepszą miarą niż odchylenie standardowe, które może być teoretycznie nieskończone. Będzie tak w sytuacji, gdy trajektoria kursu nie będzie ułamkowym ruchem Browna, ale ułamkowym ruchem Levy'ego.
Innym sposobem na zmniejszenie ryzyka jest zwykła dywersyfikacja. Dzięki niej osiągalność portfela spadnie. Prawdopodobnie taki portfel będzie miał większy wykładnik Hursta, gdyż trajektoria kursu portfela ulegnie wygładzeniu.
Po czwarte trzeba jednak sprawdzić czy to co widzimy to nie przypadek, czyli że H > 0,5. Metoda liczenia H jest jednak trudna, więc najlepiej posłużyć się odpowiednim programem. Na marginesie należy wspomnieć, że jeśli będziemy mieć taki program i wrzucimy do niego surowe dane i dostaniemy wynik H = 0,75, to znowu trzeba być ostrożnym w formułowaniu wniosku, że nasz kurs jest persystentny. Przede wszystkim należy pamiętać o wpływie inflacji, dlatego w długim szeregu czasowym należy dane odfiltrować od inflacji. Drugą kwestią jest pytanie czy program taki pomaga użytkownikowi w określeniu istotności empirycznego H. Jest on istotny, gdy jest większy od teoretycznego H przynajmniej o (1/N)^(1/2), gdzie N to liczba obserwacji. Teoretyczny H jest dany dość skomplikowanym wzorem, dlatego najlepiej jeśli taki program ma wbudowany algorytm obliczający go.

Źródło:

1. E.E. Peters, Teoria chaosu a rynki kapitałowe, W-wa 1997
2. J. Strecker, Fractional Brownian Motion Simulation: Observing Fractal Statistics in the Wild and Raising Them in Captivity, 2004.

O ułamkowym ruchu Browna i jego komercyjnym charakterze

Wielu z nas - inwestorów - kupiło książkę E. Petersa "Teoria chaosu a rynki kapitałowe". Z pewnością wielu było pod olbrzymim wrażeniem przedstawionej tam teorii oraz ilości dowodów, że rynki finansowe są chaotyczne. Uważam jednak, że jest potrzebny głos z zewnątrz, który naprostowałby nieścisłości, a nawet błędy zawarte w tej książce.

Peters napisał książkę, która moim zdaniem wsławiła się umiejętnym połączeniem podręcznika popularno-naukowego i pracy naukowej, niemalże doktorskiej. Peters, idąc śladem Hawkinga ("Krótka historia czasu"), nie epatuje czytelnika skomplikowanymi wzorami, lecz najpierw wykłada przyzwoicie teorię, tak aby laik mógł zrozumieć, potem wskazuje różne fakty empiryczne odkryte przez badaczy, a następnie przedstawia własne przemyślenia i w końcu - najważniejsze - własne badania.

Wiadomo, że chodzi o pieniądze. Gdyby miało być skomplikowanie, to kto by to czytał? Z drugiej strony zbytnie upraszczanie wprowadza w błąd czytelnika. Tak niestety się dzieje w przypadku książki Petersa.

Peters trochę spłaszcza to wszystko. Dzieli świat teorii rynków na dwie części:

(1) jeśli rynek jest efektywny, to stopy zwrotu są losowe i niezależne od siebie, mają rozkład normalny;
(2) jeśli rynek nie jest efektywny, to stopy zwrotu są nielosowe, zależne od siebie i nie mają rozkładu normalnego.

Na stronie 15 Peters pisze:

"Gdyby okazało się, że rynkowe stopy zwrotu spełniają warunki rozkładu normalnego, wtedy hipoteza efektywności oraz jej konsekwencje byłyby uprawnione".

Dalej głosi:

"Stare metody trzeba zastąpić nowymi - takimi, które nie będą oparte na niezależności zdarzeń, rozkładzie normalnym i skończonej wariancji. Nowe metody muszą objąć teorię faktali oraz dynamikę nieliniową (...)".

Na str. 17 pada stwierdzenie:

"Siódme założenie Osborne'a jest konkluzją założeń od trzeciego do szóstego. Stwierdza się w nim, że ponieważ zmiany cenowe są zdarzeniami niezależnymi (to znaczy podlegają błądzeniu przypadkowemu), można spodziewać się, że ich rozkład będzie rozkładem normalnym ze stabilną średnią i skończoną wariancją. Wniosek taki wynika z centralnego twierdzenia granicznego rachunku prawdopodobieństwa, czyli prawa wielkich liczb."

Wszystkie powyższe zdania zawierają błędy merytoryczne. Za chwilę je objaśnię, a teraz tylko mała uwaga: prawo wielkich liczb nie jest centralnym twierdzeniem granicznym. W tym kontekście być może stają się równoznaczne, ale laik nie dostrzeże tych subtelności i potraktuje oba twierdzenia jako tożsame.

Następnie Peters przedstawia wyniki badań, które sugerują, że stopy zwrotu mają rozkład Pareta, inaczej Levy'ego, które nazywa fraktalnymi. Po tym dowodzi istnienia struktur fraktalnych na giełdach, wprowadzając pojęcie obciążonego błądzenia przypadkowego, czyli z wykładnikiem Hursta różnym od 0,5. W końcu spogląda na wszystko przez pryzmat dynamiki nieliniowej, czyli chaosu deterministycznego.

W sumie punkt (1) zostaje obalony, zaś punkt drugi może zostać zastąpiony zdaniem:
rynek nie jest efektywny, ale chaotyczny, losowo fraktalny, stopy zwrotu są nielosowe, zależne od siebie (obciążone błądzenie przypadkowe, ułamkowy ruch Browna) i mają rozkład fraktalny. Wszystko na rynku staje się fraktalem.

Czy tak jest? Nie, tak nie jest.

Przypomnijmy wzór na ułamkowy proces ruchu Browna:



gdzie t > 0, t > s, B - standardowy proces ruchu Browna, H - wykładnik Hursta, 0 < H < 1.

Dla aplikacji wzór ten został uproszczony przez P. Levy'ego do postaci:



Teoria całek stochastycznych jest trudna (całkiem nowa), jest to matematyka zaawansowana i nie będziemy na razie się w nią wgłębiać. Jak będzie coś potrzebne, to dotkniemy tematu.

Warto jednak już teraz dostrzec głębię wzoru: standardowy ruch Browna dB jest przemnożony przez funkcję różnic pewnych chwil czasu, gdyż ułamkowy ruch Browna zależy od tych chwil. Dla H = 0,5, dostajemy całkę z dB, czyli faktycznie zwykłe błądzenie przypadkowe. Wartość funkcji gamma jest tylko stałą, więc pełni tu rolę podrzędną.

Po pierwsze ułamkowy (fraktalny) ruch Browna jest procesem gaussowskim! Oznacza to, że stopy zwrotu w takim procesie mają rozkład normalny.

Po drugie oczekiwana stopa zwrotu jest równa zero. Nie zgadzacie się z tym, bo przecież dodatnia obciążoność sprawia, że kolejne przyrosty będą mieć większą szansę otrzymać ten sam znak co za poprzednim razem. Ale czy ktoś ustanawia kierunek od początku? Jeśli zacznie się ruch w górę (dół), to w następnym ruchu można spodziewać się także kierunku w górę (dół). To jest właśnie ów efekt motyla. Globalnie średnio rzecz biorąc oba kierunki znoszą się, bo nie wiadomo, w którą stronę motyl zatrzepocze. (Natomiast nie należy tego mylić z warunkową oczekiwaną stopą zwrotu, która może być większa od zera!).

Po trzecie przyrosty są stacjonarne, wariancja i odchylenie standardowe przyrostów są oczywiście (ze względu na normalność) skończone i odpowiednio wynoszą:



gdzie B(H)-ułamkowy proces ruchu Browna, t - dowolna chwila czasu.

W literaturze wariancję zapisuje się także w postaci:



Jedyną różnicą pomiędzy błądzeniem przypadkowym a obciążonym błądzeniem przypadkowym jest to, że w tym drugim przypadku kolejne przyrosty są skorelowane. Funkcją kowariancji dla dowolnych chwil t i s, t > s, jest:



Teraz więc wyjaśniło się dlaczego potrzebne jest nie tylko t, ale i s: ich funkcje, czyli kolejne wartości lub zmiany procesu ułamkowego ruchu Browna są skorelowane.

Wystarczająco duże H oznacza, że mamy do czynienia z rzeczywistym trendem, nie iluzją.

Ale jeśli kolejne zmiany są od siebie zależne, a jednocześnie mogą mieć rozkład Gaussa, to z przerażeniem odkrywamy, że to co badaliśmy w poprzednim poście - losowość przyrostów arytmetycznego i geometrycznego procesu ruchu Browna poprzez sprawdzanie gaussowskości było błędne!!!

Co to jest właściwie losowość? Przez losowość zmiennej możemy rozumieć niezależność kolejnych obserwacji od innych obserwacji (zmiennych).

Żeby sprawdzić losowość musimy użyć odpowiednich testów na istnienie losowości. Na szczęście wszystkie testy losowości, których użyłem do tamtych obserwacji jasno wskazują, że nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy o losowości procesu. Czyli rzeczywiście kształt trendu był przypadkowy.

W sumie więc, jeśli chcemy zbadać czy dany proces jest błądzeniem przypadkowym, musimy zrobić dwa testy: na normalność przyrostów oraz na losowość. Dlaczego nie wystarczy na losowość, którą utożsamiliśmy z niezależnością od reszty obserwacji? Dlatego, że niezależność zmiennych nie pociąga za sobą normalności.

Rozkład Levy'ego jest również rozkładem zmiennej losowej (niezależnej). Różnica będzie tylko taka, że zmienna będzie mogła mieć w tym przypadku nieskończoną wariancję. Nie musi mieć to nic wspólnego z zależnością kolejnych obserwacji. Wynika z tego, że stopy zwrotu na rynku efektywnym nie muszą mieć rozkładu Gaussa.

Podsumujmy. Zmienne losowe lub nie do końca losowe mogą mieć różne rozkłady prawdopodobieństwa. Może być to rozkład Levy'ego - jeśli wariancja będzie skończona, będzie to rozkład normalny. Przyrosty błądzenia przypadkowego zazwyczaj łączymy ze zmienną (niezależną) losową o rozkładzie normalnym. Fraktalny proces ruchu Browna jest gaussowski.

Bardzo mało prawdopodobne, żeby Peters nie znał tych faktów, które tutaj przedstawiłem. Nie chciał mieszać w głowach czytelników, aby wyszła mu książka przejrzysta, ładnie opowiedziana i komercyjna, czyli chodziło o pieniądze. Fraktale są modne, więc wszystko trzeba było wtłoczyć w ich ramy.

O co chodzi z tą gmatwaniną? Wydawałoby się po prostu, że Peters napisał niektóre bzdury dla komercji. Dowiedzieliśmy się, że fraktalne ruchy Browna wcale nie muszą mieć rozkładów fraktalnych. Ale uwaga - mogą mieć. Kwestia ta wymaga dalszych wyjaśnień, które przeprowadzę w następnym odcinku.

Ponadto szerokie badania wykazują, że stopy zwrotu indeksów giełdowych nie mają rozkładu normalnego. Oznacza to - uwaga - że stopy zwrotu nie są ułamkowym ruchem Browna. Są jak już multiułamkowym ruchem Browna, a te nie muszą mieć rozkładu normalnego. Tak czy inaczej, trzeba było rozszerzyć pojęcie ułamkowego ruchu Browna dla rozkładów niegaussowskich. Peters, tak po cichu, bez tłumaczeń, wskazał ten kierunek.


Źródło:

1. B.B. Mandelbrot, Fractional Brownian Motions, Fractional Noises and Applications, 1968
2. A.Mastalerz-Kodzis, Modelowanie procesów na rynku kapitałowym za pomocą multifraktali, 2003
3. E.E. Peters, Teoria chaosu a rynki kapitałowe, W-wa 1997
4. D. Nualart, Fractional Brownian motion: stochastic calculus and applications, 2000.

O fraktalnej naturze liczby Phi. Dlaczego liczba ta jest lepsza niż inne?

Jak na razie nie udaje mi się napisać wpisu o cyklach i fraktalach. Im więcej o tym myślę i czytam, tym więcej dostrzegam subtelności. Nie jest to prosty temat. Pojawia się na przykład problem liczby Phi, (1+5^0,5)/2=1,618, wynikającej z ciągu Fibonacciego, która jest arytmetycznym fraktalem



Każdą liczbę rzeczywistą można zapisać w postaci



gdzie ai - pewna liczba naturalna. Ale Phi okazuje się najbardziej "fraktalny", ponieważ dla ai = 1 wzór ten zbiega najwolniej do swojej granicy ze wszystkich innych liczb (fraktal dąży w nieskończoności do 1,618). Złota proporcja związana z liczbą Phi jest optymalna, bo na przykład ograniczona przestrzeń może być dzięki niej wypełniona najbardziej wydajnie w porównaniu z innymi proporcjami. Wynika to właśnie z faktu, że wzór 1+1/(1+1/(... aby osiągnąć granicę (1+5^0,5)/2, musi zostać "nasycony" największą ilością "podułamków". Rekurencyjne wypełnianie otoczenia pewnego stałego punktu będzie maksymalne. Stąd liczbę Fibonacciego uważa się czasami za liczbę magiczną.

Aby zrozumieć, o co tu chodzi warto zobaczyć, jak powstaje wzór 1+1/(1+1/(... Ciąg Fibonacciego jest określony następująco:



Jeśli będziemy dzielić każdy kolejny wyraz przez poprzedni, to taki ciąg ilorazów będzie dążył do liczby 1,618...

Możemy zapisać:



Widać, że w końcowym wyniku mianownik drugiego składnika jest identyczny co początkowe wyrażenie [b(n-2)-b(n-1)]/[b(n-3)-b(n-3)], z tym że cyfra indeksu przesunęła się o 1. Można zatem mianownik przedstawić jako końcowy wynik pierwszego przekształcenia, co w sumie daje:



Można więc powtarzać przedstawioną operację w nieskończoność, co da nam wzór 1+1/(1+1/(...

A teraz zobaczmy, jak powstaje ciąg Fibonacciego przez rysowanie kolejnych kwadratów o długościach występujących w ciągu:



Jeśli rozpatrujemy ciąg rosnących rozmiarów kwadratów, aby dowolny ciąg zapełnił jak największą przestrzeń, stosunek długości boków musi zmierzać do liczby 1,618..., gdyż wtedy uzyskujemy najwolniejszą zbieżność do tej granicy. Ciąg będzie musiał "wykonać" najwięcej iteracji, czyli liczba kwadratów o rosnących długościach boków będzie rosła.

Z powyższego wynika, że jeśli rozpatrujemy pewien ograniczony obszar, to dla ciągu Fibonacciego zostanie on bardzo szybko wypełniony kwadratami. Jest to więc bardzo wydajny pod względem czasu sposób wykorzystania danej przestrzeni.

Pozwolę sobie zacytować Piotra Lasonia, który wskazuje przykład maksymalnych korzyści wynikających z istnienia ciągu Fibonacciego w świecie przyrody.

Ciąg Fibonacciego i złote proporcje są bardzo dobrze widoczne również w świecie flory. Zjawisko zwane spiralną filotaksją cechuje bardzo wiele gatunków drzew i roślin. W przypadku drzew chodzi tutaj o strukturę gałęzi układających się spiralnie wokół pnia, w świecie roślin mamy na myśli liście. Gdyby ponumerować gałęzie zgodnie z wysokością na jakiej wyrosły wówczas okaże się, że liczba gałęzi sąsiadujących pionowo jest liczbą Fibonacciego, a ponadto liczba gałęzi pomiędzy gałęziami sąsiadującymi pionowo również jest liczbą Fibonacciego. Jeśli spojrzymy w dół na roślinę wówczas zauważymy, że liście wzajemnie się nie zasłaniają, co umożliwia maksymalne wykorzystanie energii słońca oraz zebranie największej ilości deszczu, który spływa po liściach do pnia i korzenia. Reguła spiralnej filotaksji umożliwia ponadto maksymalne wykorzystanie posiadanego miejsca. (Op. cit. http://www.open-mind.pl/Ideas/LiczbyM1.php, P. Lasoń, Liczby magiczne cz. II: Asembler Natury)

Jeśli rynek kapitałowy dąży do maksymalnego wypełniania swojej przestrzeni kapitału, to można doszukiwać się za pomocą dość racjonalnych przesłanek takich proporcji na rynkach. "Dość" oznacza, że jednak ciągle pozostaje to intuicyjną hipotezą. Udowodniono już, że na rynkach występują multifraktale czyli sploty fraktali, a więc fraktale rynkowe zmieniają swoje parametry w czasie. Dlatego można się doszukiwać określonych złotych proporcji, ale nie należy ich brać zbytnio na serio, po pierwsze dlatego, że fraktale o których mowa są to losowe fraktale, które dotyczą rozkładu prawdopodobieństwa, po drugie nawet te losowe fraktale w przyszłości mogą nie obowiązywać.

Dlaczego to (raczej) tylko korekta?

Na giełdzie obserwujemy ostatnio spadki, które musiały wreszcie przyjść: prognozowałem je w poście "Hossa się zaczęła. Ale wkrótce spadki przyjdą". I jeszcze raz przytoczę to, co stwierdziłem wtedy: Hossę uzasadniam tym, że ludzie i duże instytucje grające na giełdzie, stopniowo wchodzą, gdyż po tym, co zaszło, boją się ryzykować. Nie są więc jeszcze tak pazerni, jak będą pod koniec tej hossy.



Korekta, moim zdaniem, świadczy paradoksalnie o trwaniu rynku byka. Część inwestorów się wykrusza, zaczyna się bać, nie ma u nich jeszcze tzw. nadmiernej pewności siebie. Również niektóre systemy mechaniczne, oparte na analizie technicznej generują sygnał sprzedaży. Na przykład popatrzmy na utworzoną ostatnio dywergencję na INGBSK (pod wykresem kursu RSI i STS):



Warto zastanowić się nad sprzedażą ING, by przeznaczyć na pewien okres pieniądze gdzie indziej, a potem taniej odkupić.

Jeśli jednak ktoś ma cierpliwość, to sądzę, że może nie wykonywać żadnego ruchu i czekać na dalsze wzrosty.

Spróbuję uszczegółowić argumentację swojego przypuszczenia. Od początku zakładam, że gracze są nadal "powściągliwi".

Pomińmy elementy mechaniczne (techniczne) i fundamentalne. Skoro uważam, że gracze ciągle się boją (choć już nie tak bardzo jak wcześniej), to logiczne jest, że szybciej sprzedają akcje. Na ich miejsce wchodzą inni, którzy również się boją i szybko sprzedają. Jednak ze względu na fakt, że po pierwsze nie wchodzą od razu z dużym kapitałem, po drugie szybko realizują zysk, to spadek cen akcji, choć cykliczny, jest słaby. Jeśli pojawiają się straty, to również są małe. Powoduje to, że generalnie spadki cen akcji są słabe. Właśnie dzięki temu, że występują cykliczne małe spadki, akcje posiadają potencjał wzrostu.

Dokonując inwersji, dostaniemy, że duże spadki na giełdzie przychodzą wtedy, gdy gracze przestają się bać, są agresywni i nadmiernie pewni siebie. Powoduje to bowiem dwoistą sytuację: pazerność wywołuje silne wzrosty i jednocześnie pazerność wywołuje chęć realizacji wysokich zysków.

Wystarczy, że zabraknie (nawet chwilowo) kapitału podtrzymującego trend, a spowoduje to lawinę w dół.

Oczywiście jest tu mowa o długoterminowym charakterze giełdy. Wydaje się, że każdy okres można podzielić na krótsze okresy, dla których powinniśmy otrzymywać ten sam schemat (swego rodzaju fraktalność). Powyższy wykres ING pokazuje, że w średnim lub krótkim okresie inwestorzy już poczuli pewność siebie. To powinno sprowokować minibessę.

Sądzę, że obserwujemy dziś na WIG-ach minibessę, po której przyjdzie dalsza część hossy.

Chaos a przypadek

Parę lat temu przedstawiłem pewnemu matematykowi parafrazę cytatu znajdującego się w nagłówku bloga : przypadek to porządek w nieporządku, natomiast chaos to nieporządek w porządku. Stwierdził, że się mylę, że jest odwrotnie. Jednak to on się mylił, być może nie rozumiejąc istoty chaosu.

Gdyby wyobrazić sobie przestrzeń, w której znajduje się zbiór przyciągania trajektorii - atraktor, w modelu losowym po pewnym czasie cała przestrzeń byłaby wypełniona trajektoriami. Przypominałoby to gaz rozchodzący się w całej przestrzeni. Jednak długo obserwując częstości pojawiania się trajektorii, zauważylibyśmy powstawanie praw probabilistycznych; trajektorie dążyłyby do pewnej średniej (Prawo Wielkich Liczb), a ta średnia jako zmienna losowa otrzymałaby rozkład gęstości prawdopodobieństwa zbiegający do normalnego (Centralne Twierdzenie Graniczne). Prawa probabilistyczne byłyby więc "wtórne" w stosunku do losowego charakteru samych wartości zmiennych. Porządek jest zawarty w nieporządku.

W modelu chaotycznym wszystkie wartości układu są całkowicie zdeterminowane i wzajemnie skorelowane. Trajektorie zamiast wypełniać całą przestrzeń, wypełniają fraktalnie (ułamkowo) tylko jej część. Przypominałoby to ciało stałe (w której cząsteczki są ze sobą powiązane) zanurzone w przestrzeni. Jednak precyzyjne określenie danej trajektorii jest fizycznie niemożliwe z faktu, że pomiar warunku początkowego musi być dokonany z nieskończoną dokładnością, co jest fizycznie niemożliwe. Starając się startować za każdym razem od tego samego punktu, nie udaje nam się powtórzyć eksperymentu. [Wówczas jedynie można rozpatrywać pewne średnie w czasie cechy charakterystyczne trajektorii chaotycznych. "Taką cechą charakterystyczną może być np. długość trajektorii T w określonym małym obszarze przestrzeni fazowej." (J. Awrejcewicz, Tajemnice nieliniowej dynamiki, Łódź 1997 str. 26). Pojawiają się więc prawa probabistyki tak jak byśmy mieli do czynienia z układem stochastycznym]. Jednak losowość byłaby wtedy wtórna w stosunku do zdeterminowanego charakteru układu. Nieporządek jest zawarty w porządku.

Dlaczego w modelu chaotycznym nieskończona dokładność jest niemożliwa? Wyjaśnienie dotyka mechaniki kwantowej: zasady nieoznaczoności Heisenberga oraz zasady Maxa Bohra. "Każdy stan realny układu określony jest zawsze z pewną niedokładnością i dlatego powinien być opisywany nie za pomocą liczb lecz rozkładu prawdopodobieństwa." (ibidem, str. 1).

W ekonometrii modele dzielą się ogólnie na dwa rodzaje: deterministyczne oraz stochastyczne. Modele dynamiczne, w tym nieliniowe, często utożsamiane z chaotycznymi, są w pełni zdeterminowane. Modele te najczęściej są równaniami różniczkowymi (gdy czas jest ciągły) lub różnicowymi (gdy czas jest okresowy - dyskretny). Popatrzmy na jeden z najstarszych modeli tego typu, układ Lorenza, czyli układ trzech nieliniowych równań różniczkowych modelujący w możliwie najprostszy sposób zjawisko konwekcji termicznej w atmosferze (proces przenoszenia ciepła).



gdzie:

X - amplituda ruchu wywołanego konwekcją
Y - różnica temperatur pomiędzy prądami wstępującymi i zstępującymi
Z - odchylenie spadku temperatury od przebiegu liniowego.
Parametry stojące przy zmiennych są bezwymiarowe i wyrażają kombinację pewnych stałych fizycznych.

Taki układ przejawia chaos, to znaczy jest wrażliwy na zmianę warunków początkowych, tylko przy odpowiednich parametrach.

Pomyślmy, czy analogiczny układ może zostać stworzony dla rynku kapitałowego? W poście "Czy na giełdzie panuje chaos? W kontekście wykładników Lapunowa" opisałem wyniki badań Petersa, które dowodziły istnienia kilkuwymiarowego atraktora na giełdach światowych. Układ Lorenza składa się z 3 wymiarów-zmiennych, podobnie jak rynek amerykański. Peters zauważa, że zmienne obecne w układach fizycznych, takie jak temperatura, ciśnienie powietrza czy gęstość stanowią sumę reakcji układu na inne siły zewnętrzne. Są to jednak globalne zmienne w miarę poddające się pomiarowi. Gorzej jest z rynkami. "Dlatego też trzy zmienne dynamiczne oddziałujące na amerykański rynek akcji (liczba 3 wynika z wymiaru fraktalnego równego w tym przypadku 2,33) nie okażą się łatwymi do identyfikacji lokalnymi czynnikami, takimi jak wskaźnik P/E lub PNB. Siły wprawiające w ruch rynek są raczej globalnymi charakterystykami łączącymi czynniki fundamentalne i techniczne."

Czyli zauważmy dwie rzeczy:

1. Realny nieliniowy układ dynamiczny jest nieprzewidywalny w dłuższym okresie czasu;
2. Nie znamy nawet jednego równania opisującego fluktuację kursów akcji (a muszą być co najmniej 3 równania, co wynika z Twierdzenia Poincare-Bendixona - wyjaśnienie w poście "Czy na giełdzie panuje chaos?")

W związku z dwoma wymienionymi problemami niewątpliwie użyteczne jest stosowanie modeli stochastycznych. Podobnie jak w przypadku modeli deterministycznych, powstały tzw. stochastyczne równania różniczkowe. Są tym bardziej użyteczne, że dają się dość łatwo rozwiązywać w przeciwieństwie nieliniowych modeli dynamicznych, gdzie jak pamiętamy rozwiązań szczególnych (czyli przy danym warunku początkowym) w postaci orbit okresowych jest nieskończenie wiele. (Natomiast istnieje dokładnie jedno rozwiązanie szczególne równania chaotycznego w postaci orbity nieokresowej, lecz nie jesteśmy w stanie podać wzoru na to rozwiązanie ze względu na ową nieokresowość).
Przy czym mówiąc o stochastycznych równaniach należy pamiętać, że przy danym warunku początkowym nie otrzymujemy rozwiązania w postaci konkretnej trajektorii ruchu, ale trajektorię stochastyczną, losową.

Poniższe wzory zaczerpnąłem z książki A.M-Kodzis Modelowanie procesów na rynku kapitałowym za pomocą multifraktali.

Stochastycznym równaniem różniczkowym procesu stochastycznego X(t) nazywamy równanie postaci:



gdzie to wartość oczekiwana, a to odchylenie standardowe.

dB(t) = B(t+dt) - B(t)
B(t) = B(t-1) + z(t)

B(t) - błądzenie losowe,
z(t) - zmienna losowa reprezentująca zakłócenia losowe, ma standardowy rozkład normalny, z(t)~N(0,1).

Prostym stochastycznym równaniem różniczkowym, w którym wartość oczekiwana i odchylenie standardowe są niezależne od przesunięcia w czasie (czyli stałe podczas przesunięcia w czasie) jest tzw. arytmetyczny ruch Browna:



Warto zauważyć, że powyższe równanie ma ekonomiczną interpretację:

zmiana ceny akcji = zmiana procesu "systematycznego" (wartość oczekiwana) + zmiana procesu "losowego" (odchylenie standardowe).

W rzeczywistości oba rozdzielone procesy są losowe, stąd wziął się cudzysłów.

Rozwiązaniem arytmetycznego ruchu Browna (przy danym warunku początkowym X(0) jest arytmetyczny proces ruchu Browna:



Za X(t) możemy przyjąć cenę akcji w t-tym okresie czasu.

Zwykły proces Browna okazuje się niedobrym opisem fluktuacji giełdowych, gdyż kursy w tym modelu mogą przyjmować ujemne wartości.

Jeśli założymy, że wartość oczekiwana (dryf) i zmienność są liniowymi funkcjami zmiennej X(t), wówczas dostajemy tzw. geometryczny ruch Browna:



którego rozwiązaniem przy X(0)>0 jest geometryczny proces ruchu Browna:



Przedstawione stochastyczne równania różniczkowe poprawnie modelują fluktuacje kursów tylko w sytuacji, gdy zmiany cen akcji posiadają rozkład normalny. Wtedy można opisywać stopy zwrotu jedynie za pomocą dwóch parametrów: wartości oczekiwanej i odchylenia standardowego.

Jednak, jeśli mamy do czynienia z układami chaotycznymi, wówczas może się zdarzyć, że stopy zwrotu nie podlegają rozkładowi Gaussa, lecz rozkładowi leptokurtycznemu, to znaczy takiemu, w którym wartości mało prawdopodobne dla rozkładu normalnego występują stosunkowo często. Obserwuje się również, że rozkłady te są prawostronnie skośne, co oznacza, że wzrosty kursów są częstsze niż spadki. Występują także inne własności stóp zwrotu, jak na przykład zjawisko grupowania wariancji, które polega na tym, że zarówno małe, jak i duże zmiany kursu danego instrumentu finansowego występują seriami. (Op.cit. J. Brzeszczyński, R. Kelm, Ekonometryczne modele rynków finansowych, W-wa 2002, str. 37).

W związku z istnieniem odchyleń w rozkładach stóp zwrotu oraz różnorodnością ich cech, powstało wiele modeli, mających zadanie "poprawić" geometryczny proces ruchu Browna. Na przykład K. Jajuga stwierdza, że szeregi czasowe stóp zwrotu charakteryzują się rzadkimi, ale znacznymi wahaniami. W celu wyeliminowania problemu Jajuga proponuje stosować pewne uogólnienie geometrycznego ruchu Browna, który w połączeniu z procesem Poissona potrafi lepiej odzwierciedlić dynamikę cen giełdowych. Proces taki w ekonomicznej interpretacji można zapisać następująco (Zob. K. Jajuga, Ogólny model dynamiki cen finansowych, Dynamiczne modele ekonometryczne, Toruń 2001, artykuł zamieszczony w Internecie, str. 9-11):

zmiana ceny akcji = zmiana procesu “systematycznego” (wartość oczekiwana)
+zmiana procesu „losowego” o częstych, niewielkich wahaniach (wariancja „zwykła”)
+zmiana procesu „losowego” o rzadkich, silnych wahaniach (wariancja „szokowa”).

Z drugiej strony w literaturze przedmiotu podnoszone są głosy, że wariancje stóp zwrotu instrumentów finansowych cechują się wieloma własnościami, a w szczególności niejednorodnością (niestałością w czasie). Na tej bazie powstało wiele konkurencyjnych modeli klasy ARCH (a także ich uogólnienie - GARCH), czyli opartych na procesie autoregresyjnym z warunkową heteroskedastycznością. Heteroskedastyczność oznacza, że wariancja składnika losowego jest zmienna w czasie.

Problem z tymi modelami polega na tym, że nie zakłada się istnienia rozkładu normalnego zmiennej losowej, ale wykorzystuje się parametr w postaci wariancji. Natomiast już wcześniej stwierdziłem, że tam gdzie zmienne losowe nie posiadają rozkładu normalnego lub jego pochodnych (jak np. rozkład t-studenta), tam wariancja i odchylenie standardowe są parametrami sztucznymi.

Albert Einstein odkrył, że w procesie błądzenia przypadkowego droga cząsteczki jest proporcjonalna do pierwiastka czasu:

droga cząsteczki = c*t^0,5, gdzie c - stała.

Łatwo zauważyć podobieństwo tego wzoru do wzoru na odchylenie standardowe.

Jednak Hurst wykazał, że większość zjawisk naturalnych, takich jak wylewy rzek, temperatury, opady, plamy słoneczne, podlega obciążonemu błądzeniu przypadkowemu. (Op. cit. E.E. Peters, Teoria chaosu a rynki kapitałowe, str. 65). Po przeskalowaniu wahań wokół średniego poziomu, powyższy wzór na s nie będzie zawierał liczby 0,5, lecz inną, nazywaną wykładnikiem Hursta, H. Liczba H jest miarą zmienności danej zmiennej. Jeśli 0 < H < 0,5 to system jest antypersystentny, to znaczy jeśli w danym okresie system wychylił się w górę, jest bardziej prawdopodobne, że w następnym okresie wychyli się w dół i na odwrót. Gdy 0,5 < H < 1, mamy do czynienia z szeregiem persystentnym, czyli wzmacniającym trend. Jeśli w danym okresie szereg osiągał dodatnie (ujemne) wartości, to istnieją szanse, że w następnym okresie będą one również dodatnie (ujemne). (Peters, ibidem, str. 67). Dla H = 0,5 brak korelacji pomiędzy obserwacjami.

W standardowym procesie Browna dla "zachowania kształtu" wykresu podczas poszerzania wzdłuż osi czasu a-krotnie, amplitudę należało zwiększyć (a^0,5)-krotnie ("dzwon Gaussa" rozciągał się). Istnieją jednak procesy, dla których podczas poszerzania osi czasu a-krotnie, amplitudę należy powiększyć (a^H)-krotnie, przy czym H mieści się w przedziale (0,1). (Op.cit. A.Mastalerz-Kodzis, ibidem). Właśnie taki proces stochastyczny nazywany jest ułamkowym procesem ruchu Browna. Wzór na ułamkowy (fraktalny) proces ruchu Browna jest "przerażający":



dla t większego lub równego 0.

(Gdyby ktoś chciał wiedzieć co znaczy symbol F bez dolnej kreski już mówię: to funkcja gamma).

Jednak, jak łatwo się domyślić, i te procesy przestały wystarczać w skomplikowanym świecie ruchów cen akcji. Stosunkowo niedawno uogólniono ułamkowy proces ruchu Browna na multiułamkowy proces ruchu Browna. Powstaje on przez zastąpienie wykładnika Hursta, stałego dla całego procesu, funkcją zwaną funkcją Holdera zależną od czasu. (Por. ibidem, str.80). Proces ten generuje tzw. multifraktale. Multifraktal to splot różnych fraktali. Ostatnie lata badań pokazują, że fluktuacje finansowe tworzą o wiele bardziej skomplikowane struktury niż pojedynczy fraktal - multifraktale. W tym sensie można powiedzieć, że klasyczny ruch Browna jest monofraktalem. Należy podkreślić, że mamy na myśli nie fraktal w ścisłym sensie, ale tzw. fraktal losowy. Oznacza to, że na przykład proces ruchu Browna jest procesem samopodobnym: przy powiększeniu części obserwacji zawsze dostajemy dokładnie ten sam rozkład prawdopodobieństwa.
Multiułamkowy proces ruchu Browna jest zdefiniowany wzorem:



W końcu, również model multifraktalny został uogólniony na tzw. uogólniony multiułamknowy proces ruchu Browna. Równanie tego procesu na razie sobie daruję.

Jak widać przechodzimy do coraz to bardziej skomplikowanych modeli. Możliwe, że równania te dalej będą uogólniane. Zauważmy, że płynnie przeszliśmy od pojęcia czystej losowości (klasyczny ruch Browna, który jest szczególnym przypadkiem ułamkowego ruchu Browna) do geometrii fraktalnej (ułamkowy i multiułamkowy ruch Browna). Fraktale okazują się być łącznikiem pomiędzy procesami losowymi a procesami chaotycznymi. W szczególności atraktor chaotyczny jest fraktalem (nie jest to jednak fraktal losowy z powodu deterministycznego charakteru układów chaotycznych). Jak na razie wydaje się, że stochastyczne równania różniczkowe są lepszą drogą do "opanowania" chaosu na giełdzie niż równania nieliniowej dynamiki, których postacie leżą poza naszym zasięgiem.

Teoria logperiodyczna

Dziś chciałbym pobieżnie zweryfikować jedną teorię naukową - teorię funkcji logperiodycznej. Najpierw jednak zacytuję dwa fragmenty artykułów poświęconych ekonofizyce. W artykułach tych fizycy szczycą się swoimi osiągnięciami w prognozowaniu cen instrumentów finansowych. Czy rzeczywiście nie muszą zachowywać pokory?

Fragment artykułu z serwisu Racjonalista.pl (strona http://www.racjonalista.pl/index.php/s,38/t,8977):

Fizycy chronią nasze portfele (18-09-2006)

Na początku maja tego roku warszawska giełda przeżyła kryzys. Dzięki analitykom finansowym inwestorzy nie stracili fortun, a kryzys nie zamienił się w krach gospodarczy. "To również zasługa fizyków" - przekonywał uczestników X Festiwalu Nauki prof. UW dr hab. Ryszard Kutner z Instytutu Fizyki Doświadczalnej. Kiedy narastający giełdowy bąbel pękł, ceny walorów finansowych drastycznie spadły. Te zdarzenia były oczekiwane i jeszcze zanim nastąpił spadek, inwestorom można było powiedzieć, jak mają się zachować.

"Dziś wiemy, że najlepszą strategią kryzysową jest strategia przetrwania. Najlepiej nie robić nic i czekać, aż rynek wróci do normy po okresie załamania" - mówi Kutner. Jak podkreśla, skuteczne i precyzyjne przewidywanie zdarzeń na światowych giełdach od setek lat stanowiło marzenie naukowców - nie tylko matematyków czy ekonomistów, ale również fizyków.

Ekonofizyka jako wydzielona dziedzina wiedzy, pojawiła się w drugiej połowie lat 80-tych. Dziś liczne grono ekonofizyków, opierając się na regułach matematyczno-fizycznych, analizuje układy złożone, jakimi są rynki finansowe, i ruchy masowe, jakie się tam odbywają.

Obrazowym przykładem zastosowania praw fizyki do analizy rynkowej, są badania nad zjawiskiem relaksacji, czyli reakcji na osiągnięcie przez indeks giełdowy punktu maksymalnego. "Porównujemy zachowania inwestorów do reakcji biopolimeru, na przykład ciasta makowcowego, na rozciąganie. Na tej podstawie budujemy wzór funkcji, która doskonale opisuje to zjawisko giełdowe" - tłumaczy Kutner.

Wkład fizyków w badania nad rynkiem finansowym datuje się już na XVI wiek. Profesor przypomina m.in. dokonania Mikołaja Kopernika, czy Isaaca Newtona. "Jestem w stanie przewidzieć ruchy planet we Wszechświecie, ale nie ludzkie emocje" - miał powiedzieć Newton, oceniając giełdę w kategorii zjawisk nieprzewidywalnych. "Zdanie wypowiedziane przez ojca współczesnej fizyki, po tym, jak przegrał na giełdzie cały swój majątek, sparafrazowane stanowi podstawową zasadę giełdy: +Nie ma zysku bez ryzyka+" - mówi Kutner.

Kolejni wielcy fizycy próbowali zmienić to powszechne przekonanie. Poprzez skomplikowane funkcje i wykresy opisywali owe nieprzewidywalne emocje. Karl Gauss (Niemiec) stworzył pierwszy w historii fundusz powierniczy (fundusz wdów po profesorach). Sformułował zasadę budowy i dywersyfikacji portfela giełdowego, która pozwala zminimalizować ryzyko operacji finansowych. Włoch Vilifredo Pareto odkrył z kolei, że zjawiska rynkowe podlegają pewnym określonym zasadom matematycznym. Wszystko, co jest odchyleniem od tej zasady (rozkładu Pareto) świadczy to tym, że zadziałały czynniki pozarynkowe.
Louis Bachelier (Francuz) dokonał przełomu w analizie rynków finansowych, opracowując metodę precyzyjnej analizy giełdy. Cenę uznał za cząstkę, a inwestorów przyrównał do atomów, które cząstce tej oddają swój pęd. W zależności od kierunku ruchu atomów, cena rośnie lub maleje.
Na tworzenie coraz lepszych instrumentów giełdowych również niebagatelny wpływ mieli fizycy. To oni stworzyli opcje (instrumenty, które dają szansę zarobienia, nie zobowiązując jednocześnie do zawarcia nieopłacalnej transakcji).

"Wszystkie te teorie, choć ułatwiły analizę finansową, pozwalają jedynie zmniejszyć ryzyko i je oszacować. Nie podają jednak recepty na zarobienie pieniędzy" - podsumowuje Kutner. "Dziś łatwiej nam przewidywać kryzysy i hossy. Potrafimy wyciągać wnioski z analizy zachowań inwestorów w czasie. Udało się stworzyć funkcje, które niemal bezbłędnie opisują ludzkie emocje" - dodaje.


Tekst z drugiej połowy 2006 r. Nikt wtedy jeszcze "nie marzył" o takiej bessie, jaka przyszła rok później. Czy fizycy ją przewidzieli? Niestety nie natrafiłem na taką wypowiedź.

A teraz danie główne, czyli teoria logperiodyczna. Zacytuję wywiad zamieszczony na stronie http://www.forum.gpwinfo.pl/showthread.php?t=2227:

Fizycy twierdzą, że potrafią prognozować wartość indeksów giełdowych

Rozmawiał: Mariusz Zawadzki 31-07-2003, ostatnia aktualizacja 31-07-2003 17:16

Wywiad z pionierem ekonofizyki w Polsce, profesorem Stanisławem Drożdżem.

Mariusz Zawadzki: Dlaczego fizycy nagle uwierzyli że mają szansę zrozumieć rynki finansowe lepiej niż zawodowi ekonomiści?

Prof. Stanisław Drożdż*: - To nie jest kwestia wiary. Od dawna wiemy, że świat finansów zachowuje się podobnie jak natura. Np. zmiany cen na rynkach finansowych. Przypominają ruch cząsteczki umieszczonej w cieczy i poddawanej ogromnej liczbie przypadkowych "kopnięć" otaczających ją cząstek.

Ale to trochę rozczarowujące: zatem giełda to zupełny chaos, podobnie jak ruch cząsteczek?

- Natura lubi chaos...

Tylko że w chaosie trudno o prognozy...

- Ale ja nie twierdzę, że łatwo! Zacznijmy od przykładu. Pokażę panu dwa wykresy pracy serca: pierwszy - regularny sinusoidalny i drugi - trochę zakłócony, nieregularny, zygzakowaty. Zdrowe serce opisuje ten drugi.

Chaos jest receptą na zdrowie?

- Właśnie. Praca serca powinna mieć składową regularną, której się spodziewamy, ale powinna mieć też składową chaotyczną. Serce musi być elastyczne - np. kiedy zdenerwujemy się, musi przeskoczyć z jednego typu aktywności do drugiego, dostarczyć więcej tlenu do mózgu. Udział składowej chaotycznej okazuje się w tym przypadku zbawienny.

Ale w pracy serca regularność dominuje nad chaosem. Tymczasem wykresy giełdowe często przypominają bazgroły trzylatka...

- Fakt. Choć w przypadku rynku finansowego trudniej jest wychwycić składową regularną i na tej podstawie prognozować przyszłość, to jednak jest to możliwe. Krachu roku 2000 spodziewałem się już rok wcześniej.

Ale dlaczego giełda miałaby podlegać prawom natury? Może po prostu podąża za gospodarką i polityką?

- Myślę, że giełda to znacznie więcej, niż zwykliśmy sądzić. Kiedy mówię o giełdzie, myślę o liczbach. A te liczby odzwierciedlają globalną społeczną świadomość. Jeśli przyjmiemy, że coś takiego istnieje.

Czym miałaby być?

- Spróbujmy porównać ludzkość do mózgu. Świadomość jest atrybutem całego mózgu, nie pojedynczych neuronów, których mamy kilkanaście miliardów. Neurony są dość przypadkowo połączone, ale każde dwa kontaktują się przez najwyżej kilku pośredników. Te połączenia są najbardziej istotne. One powodują, że powstają globalne wzorce aktywności. Świadomość w mózgu jest dopiero globalna.

Teraz spojrzyjmy na nas. Jesteśmy takimi odpowiednikami neuronów. Podobnie jak neuron - każdy z nas jest tylko nieświadomym uczestnikiem globalnych zdarzeń. Podobnie jak neurony - i nas liczy się w miliardach. Ostatnie badania pokazują, że człowiek od człowieka jest oddalony o pięć do sześciu podań ręki. Były takie symulacje: losowo wybierano dwóch ludzi i sprawdzano, ilu pośredników potrzebują, żeby się skontaktować.

- Badając mózg, nasłuchujemy fal mózgowych, którymi porozumiewają się neurony. Dla mnie jedynym odpowiednikiem tych fal, jeśli chodzi o społeczności ludzkie, przynajmniej jedynym dostępnym dla nas w postaci liczb, są parametry finansowe. Być może, nasłuchując ich kiedyś, nauczymy się docierać do faktów, które istnieją w globalnej świadomości. Świadomości niedostępnej dla pojedynczych osobników.

Co z tego w praktyce wynika? Jak wy, ekonofizycy, przewidujecie trendy giełdowe?

- Rynek finansowy, podobnie jak natura, balansuje na granicy między porządkiem a chaosem. Cała sztuka to wychwycić ów porządek. Najlepsze kwalifikacje mają ku temu fizycy. Są doświadczeni w badaniu złożonych układów dynamicznych, np. górskich lawin czy ruchów skorupy ziemskiej prowadzących do trzęsień ziemi. A mechanizm tych zjawisk jest dość podobny do krachów giełdowych. Trzęsienie ziemi to nagłe uwolnienie naprężeń skorupy ziemskiej. Naprężenia na giełdzie są wtedy, kiedy wszyscy inwestorzy czują, że hossa się kończy, że wszystko zmierza w jednym kierunku. W kierunku punktu krytycznego.

Co to jest punkt krytyczny?

- To punkt, gdzie układ jest bardzo wrażliwy nawet na minimalną zmianę parametrów. Taka wrażliwość jest możliwa na styku regularności i chaosu. Ideę krytyczności dobrze oddaje pryzma piasku. Gdy usypujemy górę z ziarenek, nic z początku się nie dzieje. Aż do czasu, gdy góra osiągnie maksymalne nachylenie i bardziej stroma już nie będzie. To nachylenie krytyczne. Teraz wystarczy ziarenko piasku, by spowodować lawinę. I choć częściej będziemy mieli małe "lokalne" lawinki, to raz na jakiś czas jedno jedyne ziarenko spowoduje wielką "globalną" lawinę. Pryzma staje się układem w stanie krytycznym. Jedno ziarenko może odmienić wszystko.

Ale jak punkt krytyczny, czyli krach, przewidzieć?

- Jedną z dróg jest teoria log-periodyczności, którą się zajmuję. Pewne fragmenty wykresu indeksu giełdowego powtarzają się cyklicznie - to one stanowią czynnik deterministyczny. Wykresy notowań indeksów giełdowych wahają się w górę i w dół. Ale im bliżej krachu, tym wahania są częstsze, a kolejne lokalne minima są bliżej siebie. Choć wykres idzie generalnie w górę, gracze wykazują coraz większą nerwowość. Z moich badań wynika, że skoro różnica między aktualnym minimum a poprzednim wynosiła np. cztery lata, to kolejne może nastąpić po okresie dwa razy krótszym, czyli po dwóch latach. Jeszcze kolejne - po roku itd. W ten sposób pojedyncze wahnięcia (powtarzające się fragmenty wykresu) są coraz krótsze, aż zbliżają się do zera. Wtedy jesteśmy w punkcie krytycznym.

To podejrzanie proste...

- Ale to nie koniec niespodzianek. Wykresy indeksów giełdowych mają cechę samopodobieństwa: ich fragmenty mogą być jakby miniaturką całości. Kiedyś zrobiłem eksperyment z finansistą, który zajmuje się krótkoterminową spekulacją w dużym banku europejskim. Pokazałem mu dwa wykresy zmian indeksu: jeden w skali trzech godzin, drugi w skali roku. Nie odgadł, który jest który. Jeśli do fragmentu wykresu wieloletniego przyłożymy lupę, widzimy to samo i takie same prawa tam obowiązują. Krachy w skali mikro i makro można prognozować, używając tych samych technik.

Czy Pan gra na giełdzie?

Proszę o następne pytanie.

Jakie ma Pan dla nas prognozy na najbliższe lata?

- Zrobiłem analizę od roku 1800. Za podstawę wziąłem amerykański indeks Standard&Poor 500, który jest obliczany od lat 30. ubiegłego wieku. We wcześniejszym okresie użyłem indeksu zrekonstruowanego przez historyków ekonomii. Wszystkie krachy w latach 1800-2003 znajdziemy "przewidziane" na krzywej log-periodycznej. Bieżąca recesja jest głęboka i może potrwać aż do końca 2004. Najbliższe maksimum, znacznie wyższe niż to z roku 2000, osiągniemy po roku 2010. Około roku 2025 możemy się spodziewać dramatycznego punktu krytycznego i recesji nieporównywalnej z jakąkolwiek znaną z historii.

Co to może oznaczać?

- Być może koniec systemu finansowego w obecnej postaci. Kiedyś pieniądz był oparty na parytecie złota, teraz w ogóle nie ma żadnego parytetu. Staje się coraz bardziej nierzeczywisty, plastikowy, już go prawie nie oglądamy. W Ameryce zadłużenie społeczeństwa (tzw. mortgage debt) przekroczyło pięć bilionów dolarów, podwajając się w ciągu ostatnich dziesięciu lat. To nie może trwać w nieskończoność. Ta pęczniejąca bańka musi kiedyś pęknąć.

Patrzy pan na giełdę w oderwaniu od wskaźników gospodarczych. Nie boi się Pan posądzenia o szarlatanerię?

- Powtarzam - giełda to nie tylko gospodarka. Czynników mających na nią wpływ są miliony. Pewnie zresztą dlatego, że jest tych czynników tak nieprawdopodobnie wiele, to cechy systemów złożonych spotykanych w fizyce się tu manifestują. Jak w przypadku ruchów skorupy ziemskiej. Ale ze względu na liczbę czynników, nie ma sensu analizować ich z osobna.

Również na tej stronie został przedstawiony wykres indeksu S&P500 od roku 1800:



Gdy popatrzymy na ostatnią częśc wykresu i porównamy z faktycznym stanem:



Zgodnie z teorią logperiodyczną pomiędzy rokiem 2000 a 2020 wystąpił jeden krach - ten z lat 2000-2002, ale gdzie się podział ten NASZ wielki krach rozpoczęty w 2007? "Bieżąca recesja jest głęboka i może potrwać aż do końca 2004. Najbliższe maksimum, znacznie wyższe niż to z roku 2000, osiągniemy po roku 2010. Około roku 2025 możemy się spodziewać dramatycznego punktu krytycznego i recesji nieporównywalnej z jakąkolwiek znaną z historii." Profesor kompletnie się pomylił: nowa hossa zaczęła się od początku 2003 r, trwała prawie 5 lat i wtedy się rozpoczęła katastrofa.

Warto jednak zauważyć coś paradoksalnego - gdy pada pytanie o to, co znaczyć będzie owa recesja, profesor mówi o rzeczy niesamowicie aktualnej (sztuczność pieniądza, zadłużenie), lecz jest to prognoza makroekonomiczna, a nie oparta na wykresach. Profesor nie przewidział, że zapaść nastąpi o wiele szybciej.

I jeszcze na koniec przytoczę wykres z bloga W. Białka, który w jednym poście również przytacza powyższy cytat, tyle że w kontekście ropy naftowej:



A faktyczny wykres ropy jest następujący:



I znowu podobnie - wszystko działało dopóki teoria logperiodyczna nie ujrzała światła dziennego. A może to przypadek? Nie będziemy się w to zagłębiać. Wiemy na pewno, że teoria słabo zadziałała - nie przewidziała ceny baryłki dochodzącej do 140 $, ani potężnego spadku, gdy cena dochodziła do 30 $. Można niby bronić teorii, że pokazała pewną średnią, ale co pożytecznego w takiej prognozie?

Wątpię, żeby teoria logperiodyczna przestała działać ze względu na brak uwzględnienia "samej siebie". To co się stało na rynkach finansowych w 2007 i 2008 r. było odzwierciedleniem nadchodzącego kryzysu finansowego, aż w końcu ogólnogospodarczego (prawdopodobnie efekt spadku dostarczania kredytów firmom i indywidualnym osobom przez banki). Po prostu teoria ta jest dużym (zbytnim?) uproszczeniem rzeczywistości. Wystarczy porównać dokładniej wykresy indeksu S&P500 i funkcji logperiodycznej w poprzednich latach. Lata 1920-1933 również nie zostały dobrze wyprognozowane. W innych okresach jest również wiele odstępstw. Należy jednak przyznać, że pomimo tych odstępstw giełda w jakiś sposób powracała w okolicę ścieżki wyznaczonej przez teorię.