Mówiliśmy wielokrotnie, że jeśli wykładnik Hursta > 0,5, szereg czasowy charakteryzuje się persystencją, czyli uporczywością podążania w danym kierunku obserwacji. Intuicyjnie każdy rozumiałby to w taki sposób, że występuje trend. Trend wydaje się stanowić miarę pamięci procesu. Problem polega na tym, że pamięć tego procesu jest w dłuższych okresach coraz słabsza. Oznacza to, że wpływ wydarzenia w dalekiej przeszłości zanika. Po długim czasie proces będzie nierozróżnialny od błądzenia przypadkowego, tak że H będzie dążył do 0,5. W tej sytuacji oczywiste również, że wartość oczekiwana będzie dążyć do zera.
Tak więc statystyka Hursta wiąże się z teorią chaosu dwojako: poprzez początkowe obciążenie (efekt motyla) oraz zanik pamięci długoterminowej (niemożliwość przewidywania w długim okresie). Objawia się tu nieliniowa autokorelacja pomiędzy danymi. Z tego powodu nie może być tu stosowana miara korelacji liniowej.
Co się właściwie tutaj dzieje? Logiczne, że efekty motyla występują w każdym momencie. Jeśli H > 0,5 i początkowo są wzrosty, tak że utrzymuje się trend zwyżkujący, lecz raz przypadkowo następuje spadek, to ten spadek będzie oddziaływał w każdym kolejnym okresie. Jeśli nawarstwi się trochę spadków, to dojdzie do "katastrofy" - efekt motyla zacznie przeważać w drugą stronę, czyli w stronę spadków, ponieważ bliższa przeszłość ma większe znaczenie niż dalsza. Następuje zmiana trendu na zniżkujący.
Przyjrzymy się poniższym rysunkom:
H = 0,2:
H = 0,5:
H = 0,8:
Dla H = 0,2 szereg szybciej zmienia kierunek niż dla standardowego ruchu Browna, dla H = 0,5 zachowuje się zgodnie ze standardowym ruchem Browna, dla H = 0,8 wolniej zmienia kierunek.
Ale widać, że we wszystkich przypadkach następuje mniej więcej w tym samym czasie zmiana kierunku "trendu", co przeczy intuicji że dla H > 0,5 trend powinien być najdłuższy.
Przykład ten także pokazuje, że H jest nie tyle prawdopodobieństwem warunkowym znaku kolejnej zmiany obserwacji, co miarą zmienności.
Doświadczamy więc jak subtelna różnica jest pomiędzy zwykłym błądzeniem przypadkowym a jego obciążonym odpowiednikiem. W tym drugim przypadku w długim okresie czasu pamięć o początkowym trendzie spada niemal do zera, tak że nie będziemy w stanie przewidzieć, w którą stronę zmienna podąży.
Wcześniej napisałem, że wartość oczekiwana przyrostów ułamkowego procesu ruchu Browna równa się zero, gdyż nie wiemy, po której stronie skrzydła motyla wywołają huragan. Obecnie dodaję, że motyl lata bez przerwy. Kiedyś może odwrócić się trend, tak że wartość oczekiwana przyrostów równać się będzie zero.
Z powyższego widać, jak dobrze ułamkowy ruch Browna odpowiada światowi rynków kapitałowych. Bo z jednej strony kursy rzeczywiście wydają się być przylepione do danego kierunku, z drugiej strony nie dają się raczej przewidywać w długim okresie czasu.
Płyną z tego wnioski. Po pierwsze lepiej kupować akcje, które rosną, gdyż istnieje większa szansa, że będą dalej rosnąć. Jednocześnie lepiej sprzedawać akcje, które spadają, gdyż istnieje większa szansa, że będą dalej spadać. Po drugie warto wspomagać się długoterminową średnią kroczącą, która może wskazać moment, po którym nastąpiła "katastrofa" i zmiana trendu. Po trzecie warto kupować akcje spółek o niskiej osiągalności, tj. niskim ryzyku osiągalności. Pisałem o tym ryzyku tutaj:
http://gieldowyracjonalista.blogspot.com/2009/07/ryzyko-osiagalnosci_13.html
Niska osiągalność jest zbawienna psychologicznie, gdyż odciąża nas od pokusy sprzedaży akcji, gdy te szybko spadają lub szybko rosną. Ryzyko to wydaje się być lepszą miarą niż odchylenie standardowe, które może być teoretycznie nieskończone. Będzie tak w sytuacji, gdy trajektoria kursu nie będzie ułamkowym ruchem Browna, ale ułamkowym ruchem Levy'ego.
Innym sposobem na zmniejszenie ryzyka jest zwykła dywersyfikacja. Dzięki niej osiągalność portfela spadnie. Prawdopodobnie taki portfel będzie miał większy wykładnik Hursta, gdyż trajektoria kursu portfela ulegnie wygładzeniu.
Po czwarte trzeba jednak sprawdzić czy to co widzimy to nie przypadek, czyli że H > 0,5. Metoda liczenia H jest jednak trudna, więc najlepiej posłużyć się odpowiednim programem. Na marginesie należy wspomnieć, że jeśli będziemy mieć taki program i wrzucimy do niego surowe dane i dostaniemy wynik H = 0,75, to znowu trzeba być ostrożnym w formułowaniu wniosku, że nasz kurs jest persystentny. Przede wszystkim należy pamiętać o wpływie inflacji, dlatego w długim szeregu czasowym należy dane odfiltrować od inflacji. Drugą kwestią jest pytanie czy program taki pomaga użytkownikowi w określeniu istotności empirycznego H. Jest on istotny, gdy jest większy od teoretycznego H przynajmniej o (1/N)^(1/2), gdzie N to liczba obserwacji. Teoretyczny H jest dany dość skomplikowanym wzorem, dlatego najlepiej jeśli taki program ma wbudowany algorytm obliczający go.
Źródło:
1. E.E. Peters, Teoria chaosu a rynki kapitałowe, W-wa 1997
2. J. Strecker, Fractional Brownian Motion Simulation: Observing Fractal Statistics in the Wild and Raising Them in Captivity, 2004.
Brak komentarzy:
Prześlij komentarz