Gdyby wyobrazić sobie przestrzeń, w której znajduje się zbiór przyciągania trajektorii - atraktor, w modelu losowym po pewnym czasie cała przestrzeń byłaby wypełniona trajektoriami. Przypominałoby to gaz rozchodzący się w całej przestrzeni. Jednak długo obserwując częstości pojawiania się trajektorii, zauważylibyśmy powstawanie praw probabilistycznych; trajektorie dążyłyby do pewnej średniej (Prawo Wielkich Liczb), a ta średnia jako zmienna losowa otrzymałaby rozkład gęstości prawdopodobieństwa zbiegający do normalnego (Centralne Twierdzenie Graniczne). Prawa probabilistyczne byłyby więc "wtórne" w stosunku do losowego charakteru samych wartości zmiennych. Porządek jest zawarty w nieporządku.
W modelu chaotycznym wszystkie wartości układu są całkowicie zdeterminowane i wzajemnie skorelowane. Trajektorie zamiast wypełniać całą przestrzeń, wypełniają fraktalnie (ułamkowo) tylko jej część. Przypominałoby to ciało stałe (w której cząsteczki są ze sobą powiązane) zanurzone w przestrzeni. Jednak precyzyjne określenie danej trajektorii jest fizycznie niemożliwe z faktu, że pomiar warunku początkowego musi być dokonany z nieskończoną dokładnością, co jest fizycznie niemożliwe. Starając się startować za każdym razem od tego samego punktu, nie udaje nam się powtórzyć eksperymentu. [Wówczas jedynie można rozpatrywać pewne średnie w czasie cechy charakterystyczne trajektorii chaotycznych. "Taką cechą charakterystyczną może być np. długość trajektorii T w określonym małym obszarze przestrzeni fazowej." (J. Awrejcewicz, Tajemnice nieliniowej dynamiki, Łódź 1997 str. 26). Pojawiają się więc prawa probabistyki tak jak byśmy mieli do czynienia z układem stochastycznym]. Jednak losowość byłaby wtedy wtórna w stosunku do zdeterminowanego charakteru układu. Nieporządek jest zawarty w porządku.
Dlaczego w modelu chaotycznym nieskończona dokładność jest niemożliwa? Wyjaśnienie dotyka mechaniki kwantowej: zasady nieoznaczoności Heisenberga oraz zasady Maxa Bohra. "Każdy stan realny układu określony jest zawsze z pewną niedokładnością i dlatego powinien być opisywany nie za pomocą liczb lecz rozkładu prawdopodobieństwa." (ibidem, str. 1).
W ekonometrii modele dzielą się ogólnie na dwa rodzaje: deterministyczne oraz stochastyczne. Modele dynamiczne, w tym nieliniowe, często utożsamiane z chaotycznymi, są w pełni zdeterminowane. Modele te najczęściej są równaniami różniczkowymi (gdy czas jest ciągły) lub różnicowymi (gdy czas jest okresowy - dyskretny). Popatrzmy na jeden z najstarszych modeli tego typu, układ Lorenza, czyli układ trzech nieliniowych równań różniczkowych modelujący w możliwie najprostszy sposób zjawisko konwekcji termicznej w atmosferze (proces przenoszenia ciepła).
gdzie:
X - amplituda ruchu wywołanego konwekcją
Y - różnica temperatur pomiędzy prądami wstępującymi i zstępującymi
Z - odchylenie spadku temperatury od przebiegu liniowego.
Parametry stojące przy zmiennych są bezwymiarowe i wyrażają kombinację pewnych stałych fizycznych.
Taki układ przejawia chaos, to znaczy jest wrażliwy na zmianę warunków początkowych, tylko przy odpowiednich parametrach.
Pomyślmy, czy analogiczny układ może zostać stworzony dla rynku kapitałowego? W poście "Czy na giełdzie panuje chaos? W kontekście wykładników Lapunowa" opisałem wyniki badań Petersa, które dowodziły istnienia kilkuwymiarowego atraktora na giełdach światowych. Układ Lorenza składa się z 3 wymiarów-zmiennych, podobnie jak rynek amerykański. Peters zauważa, że zmienne obecne w układach fizycznych, takie jak temperatura, ciśnienie powietrza czy gęstość stanowią sumę reakcji układu na inne siły zewnętrzne. Są to jednak globalne zmienne w miarę poddające się pomiarowi. Gorzej jest z rynkami. "Dlatego też trzy zmienne dynamiczne oddziałujące na amerykański rynek akcji (liczba 3 wynika z wymiaru fraktalnego równego w tym przypadku 2,33) nie okażą się łatwymi do identyfikacji lokalnymi czynnikami, takimi jak wskaźnik P/E lub PNB. Siły wprawiające w ruch rynek są raczej globalnymi charakterystykami łączącymi czynniki fundamentalne i techniczne."
Czyli zauważmy dwie rzeczy:
1. Realny nieliniowy układ dynamiczny jest nieprzewidywalny w dłuższym okresie czasu;
2. Nie znamy nawet jednego równania opisującego fluktuację kursów akcji (a muszą być co najmniej 3 równania, co wynika z Twierdzenia Poincare-Bendixona - wyjaśnienie w poście "Czy na giełdzie panuje chaos?")
W związku z dwoma wymienionymi problemami niewątpliwie użyteczne jest stosowanie modeli stochastycznych. Podobnie jak w przypadku modeli deterministycznych, powstały tzw. stochastyczne równania różniczkowe. Są tym bardziej użyteczne, że dają się dość łatwo rozwiązywać w przeciwieństwie nieliniowych modeli dynamicznych, gdzie jak pamiętamy rozwiązań szczególnych (czyli przy danym warunku początkowym) w postaci orbit okresowych jest nieskończenie wiele. (Natomiast istnieje dokładnie jedno rozwiązanie szczególne równania chaotycznego w postaci orbity nieokresowej, lecz nie jesteśmy w stanie podać wzoru na to rozwiązanie ze względu na ową nieokresowość).
Przy czym mówiąc o stochastycznych równaniach należy pamiętać, że przy danym warunku początkowym nie otrzymujemy rozwiązania w postaci konkretnej trajektorii ruchu, ale trajektorię stochastyczną, losową.
Poniższe wzory zaczerpnąłem z książki A.M-Kodzis Modelowanie procesów na rynku kapitałowym za pomocą multifraktali.
Stochastycznym równaniem różniczkowym procesu stochastycznego X(t) nazywamy równanie postaci:
gdzie
to wartość oczekiwana, a 
to odchylenie standardowe. dB(t) = B(t+dt) - B(t)
B(t) = B(t-1) + z(t)
B(t) - błądzenie losowe,
z(t) - zmienna losowa reprezentująca zakłócenia losowe, ma standardowy rozkład normalny, z(t)~N(0,1).
Prostym stochastycznym równaniem różniczkowym, w którym wartość oczekiwana i odchylenie standardowe są niezależne od przesunięcia w czasie (czyli stałe podczas przesunięcia w czasie) jest tzw. arytmetyczny ruch Browna:
Warto zauważyć, że powyższe równanie ma ekonomiczną interpretację:
zmiana ceny akcji = zmiana procesu "systematycznego" (wartość oczekiwana) + zmiana procesu "losowego" (odchylenie standardowe).
W rzeczywistości oba rozdzielone procesy są losowe, stąd wziął się cudzysłów.
Rozwiązaniem arytmetycznego ruchu Browna (przy danym warunku początkowym X(0) jest arytmetyczny proces ruchu Browna:
Za X(t) możemy przyjąć cenę akcji w t-tym okresie czasu.
Zwykły proces Browna okazuje się niedobrym opisem fluktuacji giełdowych, gdyż kursy w tym modelu mogą przyjmować ujemne wartości.
Jeśli założymy, że wartość oczekiwana (dryf) i zmienność są liniowymi funkcjami zmiennej X(t), wówczas dostajemy tzw. geometryczny ruch Browna:
którego rozwiązaniem przy X(0)>0 jest geometryczny proces ruchu Browna:
Przedstawione stochastyczne równania różniczkowe poprawnie modelują fluktuacje kursów tylko w sytuacji, gdy zmiany cen akcji posiadają rozkład normalny. Wtedy można opisywać stopy zwrotu jedynie za pomocą dwóch parametrów: wartości oczekiwanej i odchylenia standardowego.
Jednak, jeśli mamy do czynienia z układami chaotycznymi, wówczas może się zdarzyć, że stopy zwrotu nie podlegają rozkładowi Gaussa, lecz rozkładowi leptokurtycznemu, to znaczy takiemu, w którym wartości mało prawdopodobne dla rozkładu normalnego występują stosunkowo często. Obserwuje się również, że rozkłady te są prawostronnie skośne, co oznacza, że wzrosty kursów są częstsze niż spadki. Występują także inne własności stóp zwrotu, jak na przykład zjawisko grupowania wariancji, które polega na tym, że zarówno małe, jak i duże zmiany kursu danego instrumentu finansowego występują seriami. (Op.cit. J. Brzeszczyński, R. Kelm, Ekonometryczne modele rynków finansowych, W-wa 2002, str. 37).
W związku z istnieniem odchyleń w rozkładach stóp zwrotu oraz różnorodnością ich cech, powstało wiele modeli, mających zadanie "poprawić" geometryczny proces ruchu Browna. Na przykład K. Jajuga stwierdza, że szeregi czasowe stóp zwrotu charakteryzują się rzadkimi, ale znacznymi wahaniami. W celu wyeliminowania problemu Jajuga proponuje stosować pewne uogólnienie geometrycznego ruchu Browna, który w połączeniu z procesem Poissona potrafi lepiej odzwierciedlić dynamikę cen giełdowych. Proces taki w ekonomicznej interpretacji można zapisać następująco (Zob. K. Jajuga, Ogólny model dynamiki cen finansowych, Dynamiczne modele ekonometryczne, Toruń 2001, artykuł zamieszczony w Internecie, str. 9-11):
zmiana ceny akcji = zmiana procesu “systematycznego” (wartość oczekiwana)
+zmiana procesu „losowego” o częstych, niewielkich wahaniach (wariancja „zwykła”)
+zmiana procesu „losowego” o rzadkich, silnych wahaniach (wariancja „szokowa”).
Z drugiej strony w literaturze przedmiotu podnoszone są głosy, że wariancje stóp zwrotu instrumentów finansowych cechują się wieloma własnościami, a w szczególności niejednorodnością (niestałością w czasie). Na tej bazie powstało wiele konkurencyjnych modeli klasy ARCH (a także ich uogólnienie - GARCH), czyli opartych na procesie autoregresyjnym z warunkową heteroskedastycznością. Heteroskedastyczność oznacza, że wariancja składnika losowego jest zmienna w czasie.
Problem z tymi modelami polega na tym, że nie zakłada się istnienia rozkładu normalnego zmiennej losowej, ale wykorzystuje się parametr w postaci wariancji. Natomiast już wcześniej stwierdziłem, że tam gdzie zmienne losowe nie posiadają rozkładu normalnego lub jego pochodnych (jak np. rozkład t-studenta), tam wariancja i odchylenie standardowe są parametrami sztucznymi.
Albert Einstein odkrył, że w procesie błądzenia przypadkowego droga cząsteczki jest proporcjonalna do pierwiastka czasu:
droga cząsteczki = c*t^0,5, gdzie c - stała.
Łatwo zauważyć podobieństwo tego wzoru do wzoru na odchylenie standardowe.
Jednak Hurst wykazał, że większość zjawisk naturalnych, takich jak wylewy rzek, temperatury, opady, plamy słoneczne, podlega obciążonemu błądzeniu przypadkowemu. (Op. cit. E.E. Peters, Teoria chaosu a rynki kapitałowe, str. 65). Po przeskalowaniu wahań wokół średniego poziomu, powyższy wzór na s nie będzie zawierał liczby 0,5, lecz inną, nazywaną wykładnikiem Hursta, H. Liczba H jest miarą zmienności danej zmiennej. Jeśli 0 < H < 0,5 to system jest antypersystentny, to znaczy jeśli w danym okresie system wychylił się w górę, jest bardziej prawdopodobne, że w następnym okresie wychyli się w dół i na odwrót. Gdy 0,5 < H < 1, mamy do czynienia z szeregiem persystentnym, czyli wzmacniającym trend. Jeśli w danym okresie szereg osiągał dodatnie (ujemne) wartości, to istnieją szanse, że w następnym okresie będą one również dodatnie (ujemne). (Peters, ibidem, str. 67). Dla H = 0,5 brak korelacji pomiędzy obserwacjami.
W standardowym procesie Browna dla "zachowania kształtu" wykresu podczas poszerzania wzdłuż osi czasu a-krotnie, amplitudę należało zwiększyć (a^0,5)-krotnie ("dzwon Gaussa" rozciągał się). Istnieją jednak procesy, dla których podczas poszerzania osi czasu a-krotnie, amplitudę należy powiększyć (a^H)-krotnie, przy czym H mieści się w przedziale (0,1). (Op.cit. A.Mastalerz-Kodzis, ibidem). Właśnie taki proces stochastyczny nazywany jest ułamkowym procesem ruchu Browna. Wzór na ułamkowy (fraktalny) proces ruchu Browna jest "przerażający":
dla t większego lub równego 0.
(Gdyby ktoś chciał wiedzieć co znaczy symbol F bez dolnej kreski już mówię: to funkcja gamma).
Jednak, jak łatwo się domyślić, i te procesy przestały wystarczać w skomplikowanym świecie ruchów cen akcji. Stosunkowo niedawno uogólniono ułamkowy proces ruchu Browna na multiułamkowy proces ruchu Browna. Powstaje on przez zastąpienie wykładnika Hursta, stałego dla całego procesu, funkcją zwaną funkcją Holdera zależną od czasu. (Por. ibidem, str.80). Proces ten generuje tzw. multifraktale. Multifraktal to splot różnych fraktali. Ostatnie lata badań pokazują, że fluktuacje finansowe tworzą o wiele bardziej skomplikowane struktury niż pojedynczy fraktal - multifraktale. W tym sensie można powiedzieć, że klasyczny ruch Browna jest monofraktalem. Należy podkreślić, że mamy na myśli nie fraktal w ścisłym sensie, ale tzw. fraktal losowy. Oznacza to, że na przykład proces ruchu Browna jest procesem samopodobnym: przy powiększeniu części obserwacji zawsze dostajemy dokładnie ten sam rozkład prawdopodobieństwa.
Multiułamkowy proces ruchu Browna jest zdefiniowany wzorem:
W końcu, również model multifraktalny został uogólniony na tzw. uogólniony multiułamknowy proces ruchu Browna. Równanie tego procesu na razie sobie daruję.
Jak widać przechodzimy do coraz to bardziej skomplikowanych modeli. Możliwe, że równania te dalej będą uogólniane. Zauważmy, że płynnie przeszliśmy od pojęcia czystej losowości (klasyczny ruch Browna, który jest szczególnym przypadkiem ułamkowego ruchu Browna) do geometrii fraktalnej (ułamkowy i multiułamkowy ruch Browna). Fraktale okazują się być łącznikiem pomiędzy procesami losowymi a procesami chaotycznymi. W szczególności atraktor chaotyczny jest fraktalem (nie jest to jednak fraktal losowy z powodu deterministycznego charakteru układów chaotycznych). Jak na razie wydaje się, że stochastyczne równania różniczkowe są lepszą drogą do "opanowania" chaosu na giełdzie niż równania nieliniowej dynamiki, których postacie leżą poza naszym zasięgiem.
Brak komentarzy:
Prześlij komentarz