Kiedy oczekiwany zysk z akcji koreluje z ryzykiem?

Zazwyczaj rozpatrujemy średnią (wartość oczekiwaną) i wariancję jako niezależne od siebie parametry rozkładu prawdopodobieństwa. Czasami niektórzy wiążą oba parametry poprzez CAPM, jednak jest to podejście błędne. Jeśli ktoś nie rozumie tego błędu, to krótko wyjaśnię. Dla przypomnienia, CAPM-CML mówił ile można inwestować w aktywa ryzykowne, a w ile bez ryzyka. Poniższy rysunek to ilustruje:

Oczekiwana stopa zwrotu z mojego portfela jest oznaczona na osi pionowej, a ryzyko , czyli odchylenie standardowe na osi poziomej. Tak jak widać oczekiwany zysk jest liniową funkcją ryzyka. Ale w każdym punkcie CML znajduje się inny portfel, tzn. portfel o innym składzie. Jeżeli będziemy utrzymywać ten sam skład portfela, np. 70% indeksu i 30% obligacji skarbowych, to oczekiwany zysk nie będzie korelował z ryzykiem.

Niemal identyczna sytuacja występuje dla CAPM-SML, tylko odchylenie standardowe zostaje zastąpione betą, a punktami na SML nie są już różne udziały indeksu i obligacji skarbowych, ale różne aktywa, np. akcje. Te aktywa nie mają większej średniej stopy zwrotu, gdy jest większe odchylenie standardowe, ale ta stopa jest większa tylko wtedy gdy beta jest większa. Natomiast beta będzie dotyczyła (przede wszystkim) związku pomiędzy tą akcją a indeksem giełdowym.

Pytając o korelację oczekiwanego zysku z akcji a jej ryzykiem miałem na myśli zmiany w czasie. Aby odpowiedzieć na to pytanie, trzeba na początku rozdzielić parametry warunkowe, jak warunkowa wartość oczekiwana i warunkowa wariancja od parametrów niewarunkowych. A więc od razu mówię, że nie zajmuję się w tym artykule warunkowymi parametrami rozkładu.

Przechodząc do rzeczy, zacznę od Lukacsa [1], który w 1942 r. stwierdza:

Potrzebnym i wystarczającym warunkiem dla normalności rozkładu populacji jest to, aby rozkłady z próbki średniej i wariancji były wzajemnie niezależne.

Zhang [2] parafrazuje to zdanie Lukacsa:

Jeżeli wariancja (lub drugi moment) z rozkładu populacji istnieje, wtedy potrzebnym i wystarczającym warunkiem dla normalności rozkładu populacji jest to, aby średnia arytmetyczna dla próby i wariancja dla próby były wzajemnie niezależne.

Z tego twierdzenia wynika, że jeśli stopa zwrotu ma rozkład normalny, to oczekiwana stopa zwrotu i ryzyko (wariancja) są niezależne od siebie.

Powstaje pytanie czy średnia i wariancja są nadal niezależne od siebie, jeżeli rozkład stopy nie jest gaussowski? Odpowiedź brzmi: nie. Oznaczając oczekiwaną stopę zwrotu oraz wariancję dla próby odpowiednio:

gdzie R(t) to stopa zwrotu w okresie t oraz T to zakres próby, Zhang dowodzi, że (dla dowolnego rozkładu prawdopodobieństwa) jeśli trzeci moment centralny z populacji istnieje, który oznaczymy:

to spełniona jest zależność:

(1)

Z tego wzoru wynika, że dla dowolnego rozkładu:
1. zależność pomiędzy średnim zyskiem a ryzykiem zależy od skośności. Rozkład normalny ma zerową skośność (zerowy 3-ci moment centralny)
2. wraz ze wzrostem horyzontu inwestycyjnego, korelacja ryzyka i średniej stopy zwrotu zmniejsza się.

Powyższy problem można skomplikować. Analizując wzór (1) widać, że użyto założenia, że rozkład gęstości średniej i wariancji jest stały w czasie. Jeżeli parametr jest losowany K razy, to powstaje pewien rozkład gęstości (oznacza to K próbek i K*T stóp zwrotu). Można sobie wyobrazić, że po K-tym losowaniu następuje kolejnych K losowań, z których wyłania się inny rozkład parametrów (jeżeli jest N takich losowań, oznacza to N*K*T stóp zwrotu). Czy wtedy nadal będzie spełniona zależność (1) i nadal dla rozkładu normalnego będzie zachowana niezależność? Jeśli np. spółka się nagle zmieniła, czy pod wpływem wzrostu jej zadłużenia, a więc i ryzyka, oczekiwana stopa zwrotu nie powinna też wzrosnąć? Odpowiedź daje Trenkler [3], który podaje ogólniejszą wersję (1). Okazuje się, że że dla tak ogólnej sytuacji postać wzoru się zmienia. Ten nowy wzór jest dużo bardziej skomplikowany, bo operuje na macierzach. Aby oddać jego sens, intuicyjnie można go zapisać:

(2)

Czyli jednak średnia i wariancja mogą stać się zależne w niestacjonarnym rozkładzie normalnym. Jednakże nawet gdyby przyjąć duże parametry, jak średnia = 0,3, odchylenie st = 0,6, to próbując zastosować (2) dostajemy 2*0,3*0,6^2 = 0,216, co po podzieleniu przez T będzie mieć nieduży wpływ. Stąd (1) jest wystarczającym przybliżeniem.


Literatura:
[1] Lukacs, E., A Characterization of the Normal Distribution, 1942,
[2] Zhang, L., Sample Mean and Sample Variance: Their Covariance and Their (In)Dependence, 2007,
[3] Trenkler, G., Zhang, L. (2007), "Sample Mean and Sample Variance: Their Covariance and Their(In)Dependence," "The American Statistician," 61, 159-160: Comment by Trenkler, 2007.

Jak daleko możesz się odchylić?

Kupując akcje albo inne aktywa, każdy zawsze zastanawia się, jak daleko stopa zwrotu może się odchylić od średniej. Samo odchylenie standardowe nie wystarcza, aby to zmierzyć. Pewną pomocą jest nierówność Czebyszewa-Markowa (Czebyszewa-Bienayme), zgodnie z którą prawdopodobieństwo, że stopa zwrotu odchyli się o co najmniej x odchyleń standardowych, wynosi najwyżej 1/x^2. Np. szansa, że stopa zwrotu odchyli się min. o 2 odchylenia st., wynosi max 25%. Ogólnie nierówność ta jest zapisywana w postaci:

gdzie Pr - prawdopodobieństwo, m - wartość oczekiwana zmiennej X, s - odchylenie standardowe zmiennej X.

Twierdzenie to jednak daje słabą odpowiedź na pytanie na ile dana zmienna może się maksymalnie odchylić. Samuelson [1] w 1968 r. pokazał, że dodatkowa informacja w postaci liczebności populacji danej cechy może zwiększyć precyzję szacunków. Udowodnił on, że jeśli dana populacja zawiera n obserwacji, to żadna z nich nie może odchylić się o więcej niż (n - 1)^0.5 odchyleń standardowych od średniej. Jeśli przyjąć, że populacja na rynku ciągle rośnie, to znaczyłoby to, że możliwe odchylenie też rośnie. Jednak szybko zauważmy, że prawdopodobieństwo tego większego odchylenia spada. Połączmy bowiem tw. Samuelsona z tw. Czebyszewa-Markowa.

(1)

Z twierdzenia Czebyszewa-Markowa wynika, że jeżeli na świecie jest 7 mld ludzi, to prawdopodobieństwo, że wzrost jakiejś osoby przekroczy 7000000000^0,5 (=83666) odchylenia standardowego jest prawie zerowe. Ale twierdzenie Samuelsona mówi, że to prawdopodobieństwo jest dokładnie równe 0.

W artykule Odchylenie od nieznanej wartości oczekiwanej zrobiłem przykład obliczania odchylenia standardowego od nieznanej wartości oczekiwanej dla spółki LPP, gdzie było 10 obserwacji. Gdyby przyjąć, że to cała populacja, to podstawiając do (1), dostałbym informację, że stopa zmian EBIT może się odchylić od średniej o więcej niż 9^1/2 = 3 odchylenia st z szansą mniej niż 1/9. Jednakże dzięki tw. Samuelsona dostaję już informację, że stopa zmian EBIT może się maksymalnie odchylić od średniej o 3 odchylenia st. Wynika z tego, że niezależnie od tego z jakim rozkładem częstości mamy do czynienia (jednak muszą istnieć 2 pierwsze momenty centralne) prawo 3 sigm zadziała przy n = 10.

Niestety przyjęcie założenia, że obserwujemy pełną populację jest sztuczne albo po prostu nieprawdziwe. Wolkowicz i Styan [2], a potem Farnum [3] rozszerzyli twierdzenie Samuelsona na minimalną i maksymalną granicę k-tej obserwacji w populacji n-elementowej.

(2)

gdzie k = 1, 2, ..., n

Dla k = n, wzór (2) sprowadza się do tw. Samuelsona.
Trzeba zwrócić uwagę, że kolejne obserwacje od 1 do n zostały ustawione w kolejności rosnącej, a nie wylosowanej Tak więc, jeśli k = 1/2n , to znaczy, że x = mediana. Wtedy podstawiając do (2) widać, że mediana będzie zawsze większa od średniej pomniejszonej o jedno odchylenie standardowe oraz zawsze mniejsza od średniej powiększonej o prawie jedno odchylenie standardowe. Jeśli natomiast k = 3/4n, to x = trzeci kwartyl. Wtedy ten kwartyl zawsze będzie większy od średniej pomniejszonej o 0,58*odchylenia standardowego oraz zawsze mniejszy od średniej powiększonej o ((3n-4)/(n+1))^0,5 odchylenia standardowego (dla dużego n 1,73 odchylenia st).

Niestety praktyczne zastosowanie wzoru (2) może być nadal ograniczone ze względu na zbyt dużą ogólność rozkładu prawdopodobieństwa oraz fakt, że dostajemy w nich przedział ufności, który rozciąga się na pełen rozkład prawdopodobieństwa (a więc cały możliwy przedział odchylenia, nawet mało prawdopodobny). Pukelsheim [4] wzmocnił tw. Czebyszewa-Markowa pokazując (wcześniej dowiedli to Vysochanskij i Petuni), że dla dowolnego rozkładu jednomodalnego (tzn. zawierającego tylko jedną dominantę - wartość najczęstszą) w uproszczeniu:

(3)

gdzie s może być odchyleniem standardowym pobranym z próby.

Podstawmy do (3) np. d = 2s:

dla każdego d.

Czyli zmienna dowolnego rozkładu z jedną modą może się odchylić na 2 odchylenia standardowe z szansą nie większą niż 1/9. Jest to znaczna poprawa precyzji w stosunku do Czebyszewa, gdzie otrzymano 1/4.

Wzór (3) przedstawiłem w formie uproszczonej. W rzeczywistości jest on bardziej ogólny. Ma to ogromne znaczenie dla rynków. Dotychczasowe rezultaty wymagały nie tylko istnienia wartości oczekiwanej oraz odchylenia standardowego (i wariancji), ale też ich znajomości w populacji generalnej (niektóre rozkłady stabilne nie mają dobrze zdefiniowanych momentów centralnych). Natomiast wzór (3) wcale tego nie wymaga. W (3) użyłem średniej i wariancji, aby zachować spójność z poprzednimi przykładami. Jednak w ogólnym przypadku Pukelsheim podał następującą postać:

(4)

gdzie

v to jakieś centrum (średnia, mediana czy dominanta) zmiennej X,

W praktyce będziemy najczęściej wykorzystywać wzór (4) podstawiając d = cq:

(5)

gdzie c stanowi część q, którą zmienna ma pokonać.

Ogólność (5) pozwala w pewnym stopniu użyć go dla samej ceny. Np. wyobraźmy sobie, że kurs ma lokalną dominantę / medianę / wartość oczekiwaną  v i lokalne q. Wtedy, aby Pr = 0,5, c musi wynieść (8/5)^0,5 = 1,26 (drugi wzór, bo c = 1,26 < 1,63). Z kolei dla Pr = 1, c wynosi 1 (drugi wzór, bo c = 1 < 1,63). Można wyciągnąć wniosek, że najbardziej prawdopodobne c znajdzie się w zakresie od 1 do 1,26. Stąd najbardziej prawdopodobne odchylenie od centrum (v) będzie się mieścić pomiędzy q a 1,26q. Identyczny wniosek będzie oczywiście dla stopy zwrotu: będzie się ona odchylać od mediany, średniej lub dominanty w przedziale 1-1,26q z prawdopodobieństwem co najmniej 0,5.

Ciekawszą jednak implikacją tej formuły będzie chyba użycie jej dla celów analizy technicznej, w której posługujemy się oscylatorami. Poziom 1,26q wyznacza bowiem najbardziej prawdopodobny obszar odchylenia od mediany. Temat ten poruszyłem oddzielnie w artykule
Poziomy wykupienia i wyprzedania w AT mogą być obiektywne.


Literatura:
[1] Samuelson, P. A., How Deviant Can You Be?, Dec. 1968
[2] Wolkowicz, H., Styan, G. P. H., Extensions of Samuelson's Inequality, Aug. 1979
[3] Farnum, N. R., An Alternate Proof of Samuelson's Inequality and Its Extensions, Feb. 1989
[4] Pukelsheim, F., The Three Sigma Rule, May, 1994

Jakie państwo? Jaki kapitalizm?

W internecie pojawiła się bardzo ciekawa lektura autorstwa Leszka Balcerowicza (w formie pytań i odpowiedzi), którą można wysłuchać na stronach załączonych poniżej:

Jakie państwo?

Jaki kapitalizm?

Lekkość tej lektury połączona z wielką wiedzą ekonomiczną autora sprawia, że słucha się jej z przyjemnością, a jednocześnie dostarcza ona klarownych odpowiedzi na wiele ważnych pytań.

Cash flow kontra free cash flow - wzajemne zależności

Inwestorzy przed zakupem aktywów dokonują zawsze pewnej analizy fundamentalnej (AF) spółki, mniej lub bardziej szczegółowej (nie mówię tu o spekulantach). Przeglądają bilans, rachunek zysków i strat oraz przepływów pieniężnych. I wtedy zaczyna się kłopot. Chociaż taka analiza daje pojęcie o finansowej kondycji spółki, to nie przedstawia teoretycznego powiązania tych 3 składników z wyceną w jedną całość. Dlatego teoria finansów stworzyła koncepcję wolnych przepływów pieniężnych - free cash flow (FCF). Mimo iż koncepcja ta jest znana od dawna, książki poświęcone wyłącznie analizie fundamentalnej nie zajmują się tym zagadnieniem we właściwy sposób. Przez właściwy sposób rozumiem tu nacisk na powiązanie księgowości z teorią wyceny. Sądzę, że są 2 tego powody, Po pierwsze AF wyraźnie rozdziela sferę wartości kapitału od sfery pieniężnej. Wskazuje się tu na pułapki obliczania zysku, który może być albo sztucznie napompowany, albo jednorazowy. Natomiast przepływy pieniężne (CF) są trudne do manipulacji i dlatego powinny one stać się podstawą porównań z okresami poprzednimi. Niestety analitycy fundamentalni, nie mając dostatecznej wiedzy z teorii wyceny, nie zauważają, że zyski jako elementy memoriałowe zawierają często już informacje o przyszłych przepływach pieniężnych(!), które stanowią tylko elementy kasowe. Potem ci sami analitycy dziwią się, że rynek reaguje bardziej na zysk, a nie na zmiany gotówki, tłumacząc to nieracjonalnością inwestorów. Tak więc zyski odnoszą się często do przyszłości, a CF zawsze do przeszłości. Ponieważ gotówki nie da się oszukać, w AF należy porównywać zarówno zyski, jak i CF.

Po drugie AF ma zastosowanie nie tylko dla inwestorów, ale także dla księgowości zarządczej i zewnętrznych podmiotów wystawiających oceny (ratingi) danej spółce. Podmiotom tym nie są potrzebne do niczego wolne przepływy pieniężne.

W. Petty i J. Rose [1] pokazują zależności pomiędzy przepływami pieniężnymi i wolnymi przepływami pieniężnymi. Najpierw wprowadzają tożsamość:

(1)

Powyższa tożsamość nie jest definicją wolnych przepływów pieniężnych, ale informuje nas, że są one tą zmianą gotówki, którą otrzymują rzeczywiście inwestorzy. Na logikę - free cash flow musi być to ta zmiana gotówki z działalności operacyjnej, która nie jest reinwestowana przez firmę.

Prawą i lewą stronę (1) definiujemy następująco.

(2a) Lewa strona:

Free cash flow to przepływy operacyjne minus zmiana aktywów trwałych brutto minus zmiana kapitału pracującego netto. Zmiana aktywów trwałych brutto odnosi się do wydatków kapitałowych, inwestycyjnych (capital expenditures - CAPEX) i może być zdefiniowana inaczej jako zmiana aktywów trwałych netto + amortyzacja. Z kolei kapitał pracujący netto to aktywa krótkoterminowe minus zobowiązania krótkoterminowe.  Czyli zobaczmy ogólniej, że:

Free cash flow = Operating cash flow - (zmiana aktywów trwałych + amortyzacja + zmiana aktywów krótkoterminowych - zmiana zobowiązań krótkoterminowych).

Lub krócej:

Free cash flow = Operating cash flow - kwota (re)inwestowana.

W tym artykule udowodnimy, że rzeczywiście powyższa tożsamość jest prawdziwa.


2b) Prawa strona

Cash flow to investors, czyli przepływy do inwestorów, dzielą się na przepływy do wierzycieli (cash flow to debtholders) i na przepływy do akcjonariuszy (cash flow to stockholders).


Ok, to teraz połączmy 2a = 2b. To znaczy (1) można rozszerzyć do:

(3)

Niektóre z tych składników także osobno zdefiniujemy:

Jak wiadomo taxes to podatki, depreciation expense to amortyzacja. Zwróćmy uwagę, że operacyjny cash flow to po prostu EBITDA minus podatki, a więc jeśli np. stosujemy dane z portalu bankier.pl, gdzie nie ma podanego przepływu operacyjnego w tablicy okresowych wyników, możemy użyć wzoru EBITDA - (zysk brutto - zysk netto).
Accounts receivable to bieżące (krótkoterminowe) należności, inventories to zapasy, accounts payable to bieżące (krótkoterminowe) zobowiązania.
Przepływy do wierzycieli to interest expense (koszt odsetkowy) minus zmiana długu, ponieważ kredytodawca otrzymuje z jednej strony odsetki, z drugiej strony może dostarczać nowej pożyczki.
Analogicznie sprawa wygląda u akcjonariuszy - dostają dywidendy, ale też firma może emitować dla nich nowe akcje.

Następnie dzięki nowo zdefiniowanym wyrazom rozszerzamy (3):

które może być przedstawione w formie:

(4)

Ponieważ zysk netto (Net income) stanowi EBIT - odsetki - podatki, więc (4) można zapisać w postaci:

(5)

W końcu, trafnym jest spostrzeżenie, że 3 oddzielne składniki przepływów pieniężnych: operacyjne, inwestycyjne i finansowe da się zdefiniować następująco:

(6)

tak jak to jest czynione w sprawozdaniu finansowym. Jednakże wtedy podstawiając je do (5) musielibyśmy odjąć przepływy pieniężne z działalności inwestycyjnej zamiast dodać. Stanie się tak, ponieważ gross fixed assets zdefiniowaliśmy jako wydatki CAPEX a nie zwykłą zmianę z działalności inwestycyjnej. Początkowo w równaniu (2) odejmowaliśmy te wydatki, aby zachować spójność z definicją free cash flow. Jest to jednak kwestia konwencji, wobec czego zamiast odejmować możemy dodać (ujemną) zmianę. A wtedy podstawiając kolejno składniki z (6) do (5) dostaniemy:

 co jest dokładnym formatem w księgowym rachunku przepływów pieniężnych.

-------------------------------------------------------------------------------
Uwaga: Zauważmy, że operating cash flow to nie jest to samo co cash flow z działalności operacyjnej. Czym się różnią? Ten drugi:
- odejmuje koszty odsetek (zysk dla wierzycieli)
- dodaje zmianę zobowiązań krótkoterminowych (account payable)
- odejmuje zmianę należności krótkoterminowych (account receivable) oraz
- odejmuje zmianę zapasów.

To tylko z tego powodu w definicji FCF występuje zmiana kapitału pracującego netto: chodzi o sprowadzenie operacyjnego cash flow do cash flow z działalności operacyjnej (jakkolwiek to dziwnie brzmi).
-------------------------------------------------------------------------------

W ten sposób dowiedliśmy poprawności równania (2). Przeprowadzając taką analizę można całościowo zrozumieć różnicę pomiędzy cash flow a free cash flow: "free" oznacza tylko tyle, że odejmuje się te pieniądze, które firma w danym okresie wygenerowała i dalej je inwestuje, tzn. je reinwestuje. Po odjęciu tej kwoty dostaniemy wszystko to, co inwestor otrzymuje do ręki. A z tego wynika, że sam cash flow stanowi jakby przeciwieństwo free cash flow, bo to gotówka, która zostaje w spółce. Normalnie wtedy ktoś by zapytał, dlaczego FCF nie obliczamy poprzez odjęcie kwoty reinwestycji od CF, tylko od CFO (cash flow operacyjnego). W rzeczywistości tak prawie robimy. Po kolei:
 - Weźmy najpierw CFI (cash flow inwestycyjny). Przecież w FCF już on siedzi, a jego odjęcie, jak już pisałem, to kwestia konwencji. W ogólnym przypadku znak CFI może być dowolny, ale gdy mówimy o wydatkach (CAPEX), to jasne, że musimy je odjąć (bo wydatki są rozumiane jako wartość bezwzględna).
- Weźmy teraz CFF (cash flow finansowy), który odejmuje dywidendę i dodaje emisje papierów. Jest to bardziej skomplikowana sytuacja, na którą można spojrzeć z dwóch perspektyw. Po pierwsze CFF oznacza przekształcenia po stronie pasywów, a nie aktywów. A skoro aktywa = pasywa, to gdzieś te zapisy muszą się odbić  w aktywach. Np. nowe emisje zwiększyłyby CAPEX, który przecież mieliśmy odjąć. Po dodaniu CFF efekt byłby zerowy, tak jak byśmy w ogóle niczego nie odjęli.
Druga perspektywa rozjaśnia ten problem. CFF jest to przeciwieństwo tego co dostaje inwestor. Dywidenda trafia do akcjonariusza, więc po jej odjęciu trzeba byłoby ją z powrotem dodać. Jednocześnie traci gotówkę, gdy spółka emituje dla niego papiery wartościowe. Stąd trzeba by znowu odjąć te emisje. Z tego wynika, że jeśli nie dokonamy odpowiednich korekt, to efekt będzie zerowy, tak samo jak w pierwszej perspektywie. I ten sposób oba spojrzenia pokrywają się.

Od teraz przełączanie się między CF a FCF nie powinno dla nas stanowić większego problemu.


Literatura:
[1] J. W. Petty, J. T. Rose - Free Cash Flow, the Cash Flow Identity, And the Accounting Statement of Cash Flows, Fall 2009.