Zgodnie z tą tezą oczekiwana stopa zwrotu z efektywnego portfela aktywów jest równa stopie zwrotu z instrumentu bez ryzyka rynkowego (cenie czasu) skorygowanej o stopę zwrotu z ryzyka (cenę ryzyka). Czyli:
zysk z portfela aktywów kapitałowych = cena czasu + cena ryzyka portfela.
Cenę ryzyka portfela można wyobrazić sobie jako cenę pewnej ilości produktów danego rodzaju. Cena ta zawiera dwa składniki: cenę jednostki produktu (ryzyka) oraz ilość produktu (ryzyka portfela):
zysk z portfela aktywów kapitałowych = cena czasu + cena jednostki ryzyka*ilość ryzyka portfela.
Model wyceny aktywów kapitałowych (Capital Assets Pricing Model - CAPM) ma właśnie taką interpretację. Został on wprowadzony przez Williama Sharpe'a, Johna Lintnera i Jana Mossina. Podstawą CAPM są dwie zależności i zajmiemy się obecnie pierwszą. Jest to linia rynku kapitałowego (Capital Market Line - CML), która wyraża się wzorem:
μ(p) - oczekiwana stopa zwrotu z portfela P
R(f) - stopa wolna od ryzyka (zysk z obligacji skarbowych, bonów skarbowych, lokat)
μ(M) - oczekiwana stopa zwrotu z tzw. portfela rynkowego
σ(M) - odchylenie standardowe stopy zwrotu z portfela rynkowego
σ(p) - odchylenie standardowe stopy zwrotu z portfela P
Wyprowadzenie modelu
1. Parametry portfela
CML wyprowadza się poprzez uogólnienie modelu Markowitza. Model Markowitza optymalizował ryzyko portfela składającego się z aktywów ryzykownych przy danym poziomie oczekiwanej stopy zwrotu. Przy różnych poziomach wymaganej oczekiwanej stopy zwrotu tworzył granicę portfeli efektywnych. Szczególnym przypadkiem aktywów ryzykownych są aktywa wolne od ryzyka. Jeśli portfel został powiększony o takie aktywo, standardowa granica efektywnych portfeli zmieni kształt.
Ponieważ jednak aktywa bez ryzyka mają nieco inny status niż z ryzykiem, nie tworzymy portfela bezpośrednio zawierającego aktywo wolne od ryzyka, ale rozdzielamy: tworzymy kombinację liniową portfela utworzonego za pomocą metody Markowitza i aktywa pozbawionego ryzyka. Takie podejście nie zmienia w ogóle parametrów portfela (oczekiwanego zysku i ryzyka), czyli jest równoważne temu, gdybyśmy potraktowali zwyczajnie aktywo bez ryzyka i wstawili je w skład portfela akcji. Wynika to z twierdzenia o podziale funduszy (Mutual fund separation theorem) - dowód na to twierdzenie można znaleźć np. u Mertona (zob. źródła poniżej).
Załóżmy, że inwestor chce skonstruować portfel inwestycyjny składający się z waloru ryzykownego, którym jest nasz portfel uprzednio konstruowany metodą Markowitza oraz waloru przynoszącego zysk pewny. Stopą zwrotu portfela o takiej strukturze jest:
natomiast wartością oczekiwaną
Wartość oczekiwana stopy wolnej od ryzyka jest równa tej stopie. Zatem wariancją stopy zwrotu tak skonstruowanego portfela jest:
Zatem ryzyko portfela zawierającego walor pewny wynosi:
Czyli odpowiednio podstawiając do wzoru na stopę zwrotu:
Stopa zwrotu z portfela jest funkcją liniową, której współczynnik kierunkowy jest równy:
Tak samo wyprowadzamy dla oczekiwanej stopy zwrotu i otrzymujemy
Z modelu Markowitza wiemy, że walor C musi leżeć na granicy portfeli efektywnych. Uwzględniając walor wolny od ryzyka, dostaniemy nową granicę portfeli efektywnych. Jest to linia prosta, co ukazuje poniższy rysunek:
Zwiększając udział papierów pozbawionych ryzyka w portfelu zmniejszamy ryzyko portfela. Wniosek jest oczywisty. Odcinek FC definiuje dwuskładnikowe kombinacje ryzykownego waloru C oraz waloru pewnego F. Punkty P, P', P'' na tym odcinku oznaczają portfele o różnej strukturze. Pierwszy z nich oznacza portfel o większym udziale papieru ryzykownego, drugi oznacza portfel równomierny, natomiast trzeci o większym udziale papieru pozbawionego ryzyka.
Punkt C oznacza portfel w sytuacji, gdy x(f)=0, czyli jest to portfel ryzykowny C. Przesuwając się od punktu C w kierunku punktu F otrzymujemy portfele zawierające coraz większy udział papierów pewnych. Portfele takie mają coraz mniejsze ryzyko i coraz mniejszą wartość oczekiwaną. Posuwając się od punktu F w górę po odcinku FC otrzymujemy portfele o coraz mniejszym udziale papierów pewnych. Zatem są one coraz bardziej ryzykowne lecz przynoszą większy oczekiwany zysk.
Należy zwrócić uwagę, że uwzględnienie waloru pewnego zmniejsza ryzyko, nie zmniejszając oczekiwanej stopy zwrotu. Tak definiowaliśmy dywersyfikację, którą teraz udoskonaliliśmy. Żeby to zobaczyć, wystarczy spojrzeć na linię oraz krzywą oddaloną na prawo lub na lewo od punktu C. Widać, że ta część linii prostej leży powyżej krzywej Markowitza. Oznacza to, że albo oczekiwany zysk można zwiększyć przy tym samym poziomie ryzyka lub zmniejszyć ryzyko przy tym samym poziomie oczekiwanego zysku.
2. Pożyczanie
Powstaje pytanie co się dzieje na prawo od punktu C. Gdy przesuwamy się na prawo od tego punktu, na przykład do punktu P''', waga waloru pewnego x(f) staje się ujemna, a więc jest to sytuacja, gdy nie my pożyczamy komuś pieniądze, lecz to nam udziela się kredytu. Na lewo od punktu C przez fakt zakupu obligacji - inwestor pożycza rządowi swoje pieniądze oczekując pewnego zysku w wysokości R(f), a rząd w tym czasie finansuje swoje projekty. Odwrotnie jest, gdy inwestorowi się pożycza pieniądze, które przeznacza na dodatkową inwestycję w walor C. Oczywiście dzięki dodatkowym środkom, można jeszcze więcej zarobić, ale i jeszcze więcej stracić ze względu na konieczność zwrócenia pożyczonych pieniędzy wraz z odsetkami. Jest to więc podobna sytuacja do krótkiej sprzedaży, z jaką mieliśmy do czynienia w modelu Markowitza.
Sztucznie założyliśmy, że stopa procentowa kredytu, pożyczki jest równa stopie wolnej od ryzyka. W rzeczywistości będzie sporo wyższa. Dlatego na prawo od punktu C, linia zmniejszy nachylenie, tak, że oczekiwany zysk inwestora spadnie. W tym temacie kwestia ta jednak nas nie interesuje i zakładamy, że obie stopy procentowe są sobie równe.
3. Portfel rynkowy
Jeśli portfel C zawiera wszystkie walory ryzykowne handlowane na rynku, wtedy nazywamy go portfelem rynkowym. Ponieważ jednocześnie znajduje się on na granicy portfeli efektywnych, jest on doskonale zdywersyfikowany. Portfel rynkowy jest zatem reprezentantem rynku. Taki portfel będziemy oznaczać literką M, która zastępuje C.
Prosta przechodząca przez punkty FM nazywa się linią rynku kapitałowego (Capital Market Line - CML).
W takim razie, wzór na CML jest następujący:
co chcieliśmy wyprowadzić.
Poniższy rysunek przedstawia właśnie CML:
4. Problemy techniczne
Powstaje pytanie jak można interpretować portfel rynkowy z praktycznego punktu widzenia. Gdybyśmy mieli wygenerować taki portfel za pomocą metody Markowitza, to choć teoretycznie jest to możliwe, w praktyce pomysł ten rodzi wielkie komplikacje. Jeśli na rynku występuje n spółek, konieczne jest wyznaczenie n(n-1)/2 wartości współczynników korelacji par akcji (wynika z wzoru na liczbę kombinacji bez powtórzeń). Obecnie na podstawowym rynku jest 319 spółek, a więc musimy obliczyć 50721 współczynników korelacji. Ale pamiętajmy, że portfel rynkowy ma uwzględniać wszystkie walory. Powinniśmy więc uwzględnić w nim wszystkie możliwe i handlowane na całym świecie, nawet bardzo egzotyczne, walory - nie tylko spółki. Już gdyby tylko uwzględnić dodatkowo S&P500, to dostajemy (319+500)(319+500-1)/2 = 334971 kombinacji.
Powyższy problem omija się, zakładając, że indeks giełdowy ważony kapitalizacją dobrze odzwierciedla portfel rynkowy. Trochę to jest niebezpieczne, bo duża kapitalizacja sprawi, że będziemy trzymać dużą część spółek dużych z WIG20, co może być nieadekwatne do ponoszonego ryzyka. Ale coś za coś. Takie rozwiązanie pozwala bardzo szybko obliczyć oczekiwaną stopę zwrotu z CML. Dlaczego wybieramy akurat indeks ważony kapitalizacją? Ponieważ, jeśli wszyscy racjonalnie inwestują w spółki w oparciu o CML, to wszyscy muszą posiadać portfel rynkowy M. Wówczas M staje się indeksem ważonym kapitalizacją. Szerzej wyjaśniłem ten problem w artykule Dlaczego indeks ważony kapitalizacją uważany jest za benchmark?.
5. Wybór portfela
Podobnie jak w teorii Markowitza inwestor dokonuje wyboru kombinacji oczekiwanego zysku z portfela μ(p)* i ryzyka mu towarzyszącego σ(p)*. Oczywiście wybiera albo pewien poziom zysku i przygląda się odpowiadającemu mu ryzyku, albo pewien poziom ryzyka, któremu odpowiada jakiś zysk. Preferencje zależą od funkcji użyteczności, którą reprezentują krzywe obojętności, już wcześniej definiowane (z matematycznego punktu widzenia są to warstwice funkcji). Od kształtu krzywej obojętności zależy, który punkt zostanie wybrany. Punkt styczności krzywej obojętności z CML jest właśnie punktem optymalnym. Krzywa obojętności, która styka się z CML leży możliwie najdalej od początku układu współrzędnych, tak jak to pokazuje poniższy rysunek.
Inwestor wybiera ile chce rynku aktywów ryzykownych, a ile instrumentu bez ryzyka. Model CAPM wprowadza więc dodatkowo substytucyjność pomiędzy dwoma dobrami. Trzeba przyznać, bardzo elegancki model.
6. Podsumowanie
Reasumując, CAPM-CML pozwala wyznaczyć optymalną kombinację zysku wolnego od ryzyka oraz zysku generowanego przez rynek aktywów ryzykownych, przy czym ten ostatni jest aproksymowany przez indeks giełdowy ważony kapitalizacją. W jeszcze większym skrócie, wyznacza optymalny zysk na całym rynku kapitałowym, gdy rynek pozostaje efektywny.
Źródło:
1. T. Bołt, Rynki finansowe, część II, rok akademicki 2004/2005;
2. K. Jajuga, T. Jajuga, Inwestycje. Instrumenty finansowe, ryzyko finansowe, inżynieria finansowa.
3. R. C. Merton, An Analytic Derivation of the Efficient Portfolio Frontier. Sep., 1972
Brak komentarzy:
Prześlij komentarz