Jak daleko możesz się odchylić?

Kupując akcje albo inne aktywa, każdy zawsze zastanawia się, jak daleko stopa zwrotu może się odchylić od średniej. Samo odchylenie standardowe nie wystarcza, aby to zmierzyć. Pewną pomocą jest nierówność Czebyszewa-Markowa (Czebyszewa-Bienayme), zgodnie z którą prawdopodobieństwo, że stopa zwrotu odchyli się o co najmniej x odchyleń standardowych, wynosi najwyżej 1/x^2. Np. szansa, że stopa zwrotu odchyli się min. o 2 odchylenia st., wynosi max 25%. Ogólnie nierówność ta jest zapisywana w postaci:

gdzie Pr - prawdopodobieństwo, m - wartość oczekiwana zmiennej X, s - odchylenie standardowe zmiennej X.

Twierdzenie to jednak daje słabą odpowiedź na pytanie na ile dana zmienna może się maksymalnie odchylić. Samuelson [1] w 1968 r. pokazał, że dodatkowa informacja w postaci liczebności populacji danej cechy może zwiększyć precyzję szacunków. Udowodnił on, że jeśli dana populacja zawiera n obserwacji, to żadna z nich nie może odchylić się o więcej niż (n - 1)^0.5 odchyleń standardowych od średniej. Jeśli przyjąć, że populacja na rynku ciągle rośnie, to znaczyłoby to, że możliwe odchylenie też rośnie. Jednak szybko zauważmy, że prawdopodobieństwo tego większego odchylenia spada. Połączmy bowiem tw. Samuelsona z tw. Czebyszewa-Markowa.

(1)

Z twierdzenia Czebyszewa-Markowa wynika, że jeżeli na świecie jest 7 mld ludzi, to prawdopodobieństwo, że wzrost jakiejś osoby przekroczy 7000000000^0,5 (=83666) odchylenia standardowego jest prawie zerowe. Ale twierdzenie Samuelsona mówi, że to prawdopodobieństwo jest dokładnie równe 0.

W artykule Odchylenie od nieznanej wartości oczekiwanej zrobiłem przykład obliczania odchylenia standardowego od nieznanej wartości oczekiwanej dla spółki LPP, gdzie było 10 obserwacji. Gdyby przyjąć, że to cała populacja, to podstawiając do (1), dostałbym informację, że stopa zmian EBIT może się odchylić od średniej o więcej niż 9^1/2 = 3 odchylenia st z szansą mniej niż 1/9. Jednakże dzięki tw. Samuelsona dostaję już informację, że stopa zmian EBIT może się maksymalnie odchylić od średniej o 3 odchylenia st. Wynika z tego, że niezależnie od tego z jakim rozkładem częstości mamy do czynienia (jednak muszą istnieć 2 pierwsze momenty centralne) prawo 3 sigm zadziała przy n = 10.

Niestety przyjęcie założenia, że obserwujemy pełną populację jest sztuczne albo po prostu nieprawdziwe. Wolkowicz i Styan [2], a potem Farnum [3] rozszerzyli twierdzenie Samuelsona na minimalną i maksymalną granicę k-tej obserwacji w populacji n-elementowej.

(2)

gdzie k = 1, 2, ..., n

Dla k = n, wzór (2) sprowadza się do tw. Samuelsona.
Trzeba zwrócić uwagę, że kolejne obserwacje od 1 do n zostały ustawione w kolejności rosnącej, a nie wylosowanej Tak więc, jeśli k = 1/2n , to znaczy, że x = mediana. Wtedy podstawiając do (2) widać, że mediana będzie zawsze większa od średniej pomniejszonej o jedno odchylenie standardowe oraz zawsze mniejsza od średniej powiększonej o prawie jedno odchylenie standardowe. Jeśli natomiast k = 3/4n, to x = trzeci kwartyl. Wtedy ten kwartyl zawsze będzie większy od średniej pomniejszonej o 0,58*odchylenia standardowego oraz zawsze mniejszy od średniej powiększonej o ((3n-4)/(n+1))^0,5 odchylenia standardowego (dla dużego n 1,73 odchylenia st).

Niestety praktyczne zastosowanie wzoru (2) może być nadal ograniczone ze względu na zbyt dużą ogólność rozkładu prawdopodobieństwa oraz fakt, że dostajemy w nich przedział ufności, który rozciąga się na pełen rozkład prawdopodobieństwa (a więc cały możliwy przedział odchylenia, nawet mało prawdopodobny). Pukelsheim [4] wzmocnił tw. Czebyszewa-Markowa pokazując (wcześniej dowiedli to Vysochanskij i Petuni), że dla dowolnego rozkładu jednomodalnego (tzn. zawierającego tylko jedną dominantę - wartość najczęstszą) w uproszczeniu:

(3)

gdzie s może być odchyleniem standardowym pobranym z próby.

Podstawmy do (3) np. d = 2s:

dla każdego d.

Czyli zmienna dowolnego rozkładu z jedną modą może się odchylić na 2 odchylenia standardowe z szansą nie większą niż 1/9. Jest to znaczna poprawa precyzji w stosunku do Czebyszewa, gdzie otrzymano 1/4.

Wzór (3) przedstawiłem w formie uproszczonej. W rzeczywistości jest on bardziej ogólny. Ma to ogromne znaczenie dla rynków. Dotychczasowe rezultaty wymagały nie tylko istnienia wartości oczekiwanej oraz odchylenia standardowego (i wariancji), ale też ich znajomości w populacji generalnej (niektóre rozkłady stabilne nie mają dobrze zdefiniowanych momentów centralnych). Natomiast wzór (3) wcale tego nie wymaga. W (3) użyłem średniej i wariancji, aby zachować spójność z poprzednimi przykładami. Jednak w ogólnym przypadku Pukelsheim podał następującą postać:

(4)

gdzie

v to jakieś centrum (średnia, mediana czy dominanta) zmiennej X,

W praktyce będziemy najczęściej wykorzystywać wzór (4) podstawiając d = cq:

(5)

gdzie c stanowi część q, którą zmienna ma pokonać.

Ogólność (5) pozwala w pewnym stopniu użyć go dla samej ceny. Np. wyobraźmy sobie, że kurs ma lokalną dominantę / medianę / wartość oczekiwaną  v i lokalne q. Wtedy, aby Pr = 0,5, c musi wynieść (8/5)^0,5 = 1,26 (drugi wzór, bo c = 1,26 < 1,63). Z kolei dla Pr = 1, c wynosi 1 (drugi wzór, bo c = 1 < 1,63). Można wyciągnąć wniosek, że najbardziej prawdopodobne c znajdzie się w zakresie od 1 do 1,26. Stąd najbardziej prawdopodobne odchylenie od centrum (v) będzie się mieścić pomiędzy q a 1,26q. Identyczny wniosek będzie oczywiście dla stopy zwrotu: będzie się ona odchylać od mediany, średniej lub dominanty w przedziale 1-1,26q z prawdopodobieństwem co najmniej 0,5.

Ciekawszą jednak implikacją tej formuły będzie chyba użycie jej dla celów analizy technicznej, w której posługujemy się oscylatorami. Poziom 1,26q wyznacza bowiem najbardziej prawdopodobny obszar odchylenia od mediany. Temat ten poruszyłem oddzielnie w artykule
Poziomy wykupienia i wyprzedania w AT mogą być obiektywne.


Literatura:
[1] Samuelson, P. A., How Deviant Can You Be?, Dec. 1968
[2] Wolkowicz, H., Styan, G. P. H., Extensions of Samuelson's Inequality, Aug. 1979
[3] Farnum, N. R., An Alternate Proof of Samuelson's Inequality and Its Extensions, Feb. 1989
[4] Pukelsheim, F., The Three Sigma Rule, May, 1994