Odchylenie od nieznanej wartości oczekiwanej

Tworząc portfel długoterminowy, np. fundusz emerytalny, powinniśmy być zainteresowani zarówno oczekiwaną stopą zwrotu, jak i możliwym odchyleniem od niej. W sytuacji gdy wartość oczekiwana jest znana, obliczenie odchylenia standardowego na podstawie próbki nie stanowi problemu. Jednak w rzeczywistym świecie wartość oczekiwana jest nieznana i wówczas sprawa się komplikuje.

Skoro potrafimy już oszacować samą wartość oczekiwaną, nawet gdy nie posiadamy pełnej o niej informacji (dwa ostatnie artykuły), obliczenie odchylenia staje się łatwiejsze. Hasbrouck [1] pokazuje, że wariancja portfela N-podokresowej przyszłej stopy zwrotu określona jest wzorem:

 (1)

gdzie:
R - stopa zwrotu brutto (zwykła stopa zwrotu plus jeden)
N - ostatni okres inwestycji (liczba przyszłych okresów inwestycji)
M - oczekiwana stopa zwrotu (wartość oczekiwana stopy zwrotu), która dla rozkładu normalnego wynosi (W poszukiwaniu nieznanej wartości oczekiwanej - część 1):

A - średnia arytmetyczna z próby
G - średnia geometryczna z próby

natomiast dla rozkładu log-normalnego, mimo że nie jest wersja bezpośrednia, to można zastosować (W poszukiwaniu nieznanej wartości oczekiwanej - część 2):

σ^2 - wariancja 1-okresowej stopy zwrotu brutto (z próby), tzn. dla N = 1.


W Dodatku przedstawiłem dowód, bo jego wyprowadzenie nie jest trudne, a poza tym widać wtedy dokładnie których parametrów w praktyce należy użyć.


Przykład.
Kontynuując przykład spółki LPP w okresie 2004-2014, mamy 10 rocznych stóp wzrostu EBIT i korzystając z danych w bankier.pl dla rozkładu log-normalnego otrzymałem M = 1,34 przy N = 5, co oznacza, że 5-letnia oczekiwana stopa wzrostu brutto wynosi M^5 = 4,32 (tj. stopa netto = 332%). Wiedząc to, chcemy się dowiedzieć, jak całkowita przyszła stopa może się odchylić od tej wartości oczekiwanej. Aby znaleźć odpowiedź, zastosujemy wzór (1). Do jego użycia brakuje nam wariancji dla N = 1, którą normalnie obliczamy z próby. Chociaż chodzi tu o wariancję stopy brutto, to jest ona równoważna wariancji stopy netto. W tym przykładzie wyniosła ona 0,63, czyli mówiąc prosto roczna stopa zmian EBIT miała wariancję 0,63. Podstawiając

Odchylenie standardowe jako pierwiastek z tej wariancji wynosi 8,08. Ostatecznie uzyskaliśmy odpowiedź, że po 5 latach EBIT LPP wzrośnie średnio o 332% +/- 808%. Dopiero teraz jesteśmy w stanie właściwie ocenić ryzyko inwestycyjne.


Dodatek:
Zadaniem jest wyznaczenie wariancji przyszłej stopy zwrotu R(N), która składa się z mniejszych, kapitalizowanych stóp zwrotu od okresu 1 do N. Każdą taką mniejszą stopę zwrotu możemy zapisać jako oczekiwaną stopę zwrotu M plus składnik losowy e(t). Kapitalizowana stopa zwrotu powstanie poprzez iloczyn tych mniejszych stóp zwrotu:

Składnik losowy e jest zmienną losową IID o wartości oczekiwanej równej 0.
Stąd wariancję możemy odpowiednio przekształcić:

(2)

Wykorzystujemy twierdzenie mówiące, że wartość oczekiwana iloczynu zmiennej losowej IID równa się iloczynowi wartości oczekiwanych tej zmiennej (zob. np. [2]), tzn. ogólnie:

Dzięki temu dwa przedostatnie wyrażenia we wzorze (2) zastąpimy odpowiednio przez:

Czyli podstawiając obydwa wyrazy do (2):

(3)

Na koniec zauważamy, że wariancja 1-okresowej stopy zwrotu (która jest znana) równa się wariancji składnika losowego:

Podstawiając ten wyraz do (3) dostajemy wzór (1).


Literatura:
[1] J. Hasbrouck, On Estimates of Long-Run Rates of Return: A Note, Dec., 1983
[2] P. Cheng, M. K. Deets, Statistical Biases and Security Rates of Return, Jun., 1971