Wstęga Bollingera - ujęcie praktyczne

Poprzedni wywód o wstędze Bollingera miał charakter teoretyczny. Obecnie skupię się na przekonaniu czytelników, że wstęga jest słabym miernikiem analizy technicznej. Oto wykres WIG20 w przeciągu 2 ostatnich lat (początek czerwca 2007-początek czerwca 2009), wraz z nałożoną nań wstęgą Bollingera i odchyleniem standardowym indeksu:



Czerwony wykres to 20-dniowa wstęga Bollingera, czyli ta sugerowana przez J.J. Murphy'ego. Niebieski wykres to 20-dniowe odchylenie standardowe, a czarny to WIG20. Pierwszy rzut oka może dać przeświadczenie, że wstęga jest wspaniałym miernikiem, bowiem indeks prawie zawsze pozostaje w jej obrębie.

Jest to błędne myślenie. Nieświadomie używamy heurystyk, które często sprowadzają nasze sądy na manowce.

Porównajmy wykres WIG20, wstęgi i odchylenia standardowego. Zauważamy, że gdy tylko indeks zmienia kierunek krótkoterminowego trendu, odchylenie standardowe wzrasta. A ponieważ wzrasta, to cała wstęga rozszerza się. Kurs może iść więc zarówno w górę, jak i w dół, a wstęga go obejmie. Im kurs silniej zmieni kierunek, tym większe prawdopodobieństwo, że nastąpi korekta - zmiana w przeciwną stronę. Ale odchylenie standardowe już szybciej rośnie i wstęga mocniej zwiększa zasięg, co powoduje, że niezależnie od kierunku zwrotu, kurs pozostanie w obrębie wstęgi. Jest to tym bardziej prawdopodobne, gdy wstęga zawiera dwa odchylenia standardowe. Nie ma to jednak wiele wspólnego z rozkładem normalnym, tylko ogólnym rachunkiem prawdopodobieństwa.

Używanie odchylenia standardowego jako miary zmienności samo w sobie zwiększa prawdopodobieństwo, że "ogarniemy" obszar wartości zmiennej. Nie jest to jednak podyktowane teoretyczną podstawą (jeśli rozkład gęstości nie jest normalny), a jedynie matematyczną ekwilibrystyką. Odchylenie to jest przypadkiem tzw. średniej potęgowej, w której wyrazy podnosi się do k-tej potęgi, dzieli przez liczbę wyrazów i z całości wyciąga pierwiastek k-tego rzędu. Oczywiste, że im większe k, tym większa powstanie średnia, a więc większe prawdopodobieństwo objęcia empirycznej zmienności. Stąd wydaje się, że odchylenie standardowe "działa", choć w rzeczywistości można byłoby użyć na przykład czwartej czy szóstej potęgi zamiast drugiej.

Jak duże jest prawdopodobieństwo, że wartość zmiennej trafi w obszar danego momentu centralnego niezależnie od rozkładu gęstości prawdopodobieństwa? Wprowadźmy twierdzenie Czebyszewa i jego szczególny przypadek - twierdzenie Markowa.

Twierdzenie Czebyszewa (Źródło: Wikipedia)

Dla każdej zmiennej losowej, X spełniającej warunek P{X<0}=0, o wartości oczekiwanej E(X), dla każdego e > 0 (e = epsilon) zachodzi:



Jeśli za wartość oczekiwaną indeksu WIG20 przyjmiemy średnią kroczącą = 1900 pkt, to prawdopodobieństwo, że indeks przekroczy na przykład e=2000 pkt jest mniejsze od 1900/2000=0,95.

Zauważmy, że jeśli e = wartość oczekiwana zmiennej X, to prawdopodobieństwo jej przekroczenia jest mniejsze od 1, jeśli e = 2*wartość oczekiwana, mniejsze od 0,5 itd.

Twierdzenie Markowa:

Dla każdej zmiennej losowej X o wartości oczekiwanej E(X) i dla każdego e>0 oraz p>0:



Dowód:

Nierówność Markowa wynika bezpośrednio z podstawienia w Nierówności Czebyszewa |X|^p zamiast X oraz e^p zamiast e.
Jest tak ponieważ |X|^p > e^p <=> X > e.


Gdy więc za p podstawimy 2, dostaniemy relację pomiędzy odchyleniem przeciętnym a wariancją. Czy jednak czemuś to konkretnemu służy? Nie bardzo, znów sztuka dla sztuki. Wystarczyłoby posługiwać się samym odchyleniem przeciętnym (twierdzeniem Czebyszewa) i stwierdzić, że prawdopodobieństwo przekroczenia dwóch odchyleń przeciętnych jest mniejsze niż 0,5, a trzech 0,33.

Ale jeśli chcemy, możemy tego samego podstawienia dokonać dla dowolnego momentu centralnego, a więc też ich pierwiastków. Tak więc prawdopodobieństwo, że odległość kursu od jego średniej kroczącej przekroczy na przykład dwa odchylenia standardowe jest mniejsze niż 0,5, a trzy mniejsze od 0,33. Tym samym dowodzimy, że (niezależnie od rozkładu gęstości prawdopodobieństwa kursu) prawdopodobieństwo, że kurs znajdzie się w zasięgu wstęgi Bollingera przy założeniu stałości średniej kroczącej, jest większe niż 0,5. Z poprzednich rozważań wynika, że prawdopodobieństwo to będzie większe niż w przypadku odchylenia przeciętnego. Nie zmienia to jednak faktu, że podejście oparte na odchyleniu standardowym pozostaje w tym kontekście sztuką dla sztuki.