Analiza dyskryminacyjna. Przykład dla Getin

W czasach, gdy giełda zachowuje się słabo, a stopy oprocentowania lokat są bardzo niskie, popularnym sposobem na inwestowanie stają się obligacje korporacyjne, które oferują często 5-6% rentowności. Również w czasach hossy metoda ta stanowi dobre rozwiązanie w celu dywersyfikacji portfela. Niemniej inwestor, który nie zamierza handlować tymi papierami na rynku, a jedynie czeka na zwrot kapitału z odsetkami, musi wyjątkowo się liczyć z ryzykiem utraty wszystkich albo większości włożonych pieniędzy. Musi brać w rachubę ryzyko upadłości czy bankructwa spółki. W przypadku akcji sytuacja jest trochę inna. W długim terminie oczywiście występuje to samo ryzyko, ale akcjonariusz jest wystawiony dużo bardziej na straty. Spółka przecież do niczego się nie zobowiązuje wobec niego, może więc wykazywać ciągle zyski, ale coraz mniejsze, a nawet straty i normalnie funkcjonować - jednak w takich okolicznościach dodatni zwrot z kapitału jest mało prawdopodobny.  Poza tym spółka może utrzymywać stabilną pozycję finansową, a i tak na skutek czynników makroekonomicznych czy politycznych, niska wycena będzie dominować na długie lata, tak że nie uda się odzyskać kapitału, nie mówiąc o zysku. Jeżeli chcemy wyeliminować te dodatkowe ryzyka, powinniśmy wybrać obligacje.

Aby zminimalizować ryzyko utraty kapitału, powinniśmy ocenić prawdopodobieństwo upadku firmy albo po prostu ocenić zagrożenie upadłości. Do tego najczęściej używa się analizy wskaźnikowej oraz analizy dyskryminacyjnej. Analiza wskaźnikowa jest najprostsza i chyba najczęściej stosowana przez inwestorów indywidualnych. Jej wadą jest m.in. niejednoznaczność, bo jeden wskaźnik może zaprzeczać drugiemu. Bardziej profesjonalną metodą jest analiza dyskryminacyjna, która stanowi źródło ratingów (tzw. Z-Score). Niewątpliwie zaletą tej analizy jest prostota. Jej modeli prawie nie trzeba tłumaczyć komuś kto zna pojęcie regresji liniowej. Wadą są z kolei:
1) arbitralne ustalenie wielkości parametrów (na podstawie testów na innych próbach z przeszłości),
2) arbitralne ustalenie punktu granicznego, po przekroczeniu którego firmę należy uznać za zagrożoną upadłością (także na podstawie empirycznych porównań innych prób z przeszłości).


Pierwszy model Altmana

Pierwszym modelem dyskryminacyjnym, który szybko znalazł zastosowanie w praktyce finansów (bo w innych dziedzinach już był wcześniej podobny stosowany) był model Altmana [1] o postaci:

Z = 1,2*X1 + 1,4*X2 + 3,3*X3+ 0,6*X4 + 0,99*X5

gdzie:
Z - wskaźnik zagrożenia upadłością (Z-score)
X1 = kapitał obrotowy / aktywa,
X2 = zyski zatrzymane / aktywa,
X3 = wynik finansowy przed odsetkami i podatkiem / aktywa
X4 = wartość rynkowa kapitału własnego / wartość księgowa zobowiązań
X5 = przychody ze sprzedaży / aktywa

Dla Z = 1,81 lub mniej zagrożenie upadłością jest bardzo wysokie, a gdy Z = 2,99 lub więcej - zagrożenie jest minimalne. Wartości pomiędzy nimi dają wynik neutralny. Gdyby obrazowo to opisać, powiedziałbym, że:
* poniżej 1,8 to kolor czerwony -> zagrożenie
* 1,8-3 to kolor żółty -> neutralny, ale ostrzeżenie
* powyżej 3 to kolor zielony - brak zagrożenia.

3 uwagi. Po pierwsze model Altmana został opracowany dla rynku amerykańskiego, stąd nie musi on automatycznie przekładać się na rynek np. polski. Po drugie został przetestowany tylko dla spółek produkcyjnych, nie-finansowych. Po trzecie dotyczył tylko spółek giełdowych.


Model Altmana dla rynków rozwijających się

Altman po latach skonstruował także model przeznaczony dla rynków rozwijających się (Emerging Markets, EM), który także można zastosować dla firm nieprodukcyjnych [2]. Elementem wspólnym wszystkich firm wziętych pod uwagę była emisja przez nie obligacji. Są tu dwie części:
1) Pierwsza część modelu ma postać:

EM Score = 6,56*X1 + 3,26*X2 + 6,72*X3 +1,05*X4 + 3,25

gdzie:
X1 = kapitał obrotowy / aktywa,
X2 - zyski zatrzymane / aktywa,
X3 - zysk operacyjny / aktywa,
X4 - wartość księgowa / zobowiązania.

Zwróćmy uwagę, że w tym modelu pojawia się dodatkowo stała (3,25).

Poniższa tabela przedstawia różne przedziały poziomów bezpieczeństwa w zależności od EM Score

Źródło: Altman, E. I., [Sep 2005]

2) Drugi etap to dostosowanie EM Score do interakcji firmy z makro-otoczeniem. Wzięto pod uwagę 5 zmiennych:
a) wrażliwości przychodów firmy na zmiany kursu walutowego. Przy dużej wrażliwości odejmujemy nawet 3 stopnie, np. z BB+ na B+. Przy średniej wrażliwości odejmujemy 1 stopień, np. BB+ na BB.
b) wrażliwość na zmiany w przemyśle. Jeśli nasz rating z pierwszego etapu wynosi BBB, a rating całego przemysłu BBB-, BB+ albo BB, wtedy od ratingu otrzymanego w (2a) odejmujemy jeden stopień (tj. na BBB-). Przy większych różnicach między ratingiem firmy a przemysłem odejmujemy jeszcze więcej
c) dostosowanie ze względu na pozycję konkurencyjną firmy. W tym przypadku rating możemy podnieść lub obniżyć w zależności od wielkości firmy, wpływów politycznych, jakości zarządzania. Możemy też nic nie zmieniać, jeśli jest to pozycja neutralna
d) podano także dodatkowe zmienne takie jak zapewnienie pewnej formy gwarancji zwrotu, np. bona fide, tj. oferty w dobrej wierze (formalnej, co w kontekście skandalu z Getback ma znaczenie), a także poziom na obligacjach (im mniejszy tym większe zaufanie inwestorów).

Czyli po uzyskaniu ratingu z punktu 1, powinniśmy go teraz odpowiednio skorygować.


Model Mączyńskiej-Zawadzkiego

Powstały także różne wersje analizy dyskryminacji dla rynku polskiego. Przykładem często stosowanym jest model Mączyńskiej i Zawadzkiego (M-Z). Z wielu różnych wskaźników wyselekcjonowali oni pod kątem istotności (stąd "dyskryminacja" pozostałych) następujące [3] :

Ostatecznie ekonomiści przedstawili aż 7 modeli: w pierwszym, oznaczonym PAN-A (skrót od Polska Akademia Nauk) wykorzystano wszystkie 12 wskaźników, w kolejnym 11, w PAN-C - 9. Stopniowo zmniejszano liczbę wskaźników do 4.

Ujemne wartości oznaczają zagrożenie, a dodatnie - bezpieczeństwo.
Wg autorów zastosowanie tych modeli umożliwiłoby identyfikację zagrożeń w działalności gospodarczej - z wyprzedzeniem 3-4 letnim.

Który z tych siedmiu jest najlepszy? M-Z uznali, że wszystkie są równorzędne, bo wszystkie miały wysoką trafność. "Wszystkie analizowane warianty modelu dyskryminacyjnego dokonywały klasyfikacji przedsiębiorstw nie zagrożonych upadłością z trafnością powyżej 95%. Każdy z modeli wykazywał co najmniej 75%-owa trafność klasyfikacji przedsiębiorstw upadłych". Inwestorom, którzy chcą mieć konkretne rozwiązania, to nie pomaga. Sięgnąłem jednak do pracy Kisielińskiej i Waszkowskiego [4], którzy wyszukiwali najlepsze modele dyskryminacyjne różnych polskich autorów. Okazało się, że PAN-F poradził sobie najlepiej ze wszystkich (jeden jeszcze model innego autora miał taką samą trafność). Może być zaskoczeniem, że modele, które uwzględniają zmiany przychodu, nie dostarczają dodatkowej informacji.

Przykład:  
Grupa Kapitałowa Getin Holding S.A.:
Kurs GTN ostatnimi czasy zachowuje się tak jakby spółce groziło bankructwo. Zweryfikujmy tę tezę za pomocą modelu EM i M-Z. Ten pierwszy model wydaje się tu idealny, bo GTN działa właśnie w krajach rozwijających się (Polska, Rosja, Białoruś, Ukraina, Rumunia). Do wzoru podstawiałem najnowsze dane z bilansu za 1 kwartał 2018, natomiast wyniki finansowe annualizowałem (1 kw 2018 minus 1 kw 2017 plus cały rok 2017). Dane są w tys zł.

A) EM Score

EM Score = 6,56*X1 + 3,26*X2 + 6,72*X3 +1,05*X4 + 3,25

X1 = kapitał obrotowy/aktywa = (Aktywa Obrotowe – Zobowiązania Bieżące)/Aktywa
X1 = (25 288 888 - 23 492 963)/28 093 866 = 6,4%

Przy X2 na chwilę się zatrzymam. X2 to zyski zatrzymane / aktywa. Dlaczego nie po prostu zysk? Po angielsku "earnings" zapisuje się jakby w liczbie mnogiej, chociaż na polski tłumaczy się po prostu jako "zysk". Ale gdybyśmy chcieli zapisać "zyski" po ang. to nie napisalibyśmy przecież "earningses", tylko znowu "earnings". Może to prowadzić do nieporozumień. Altman [1] definiuje "zyski zatrzymane" jako całkowitą wielkość reinwestowanych zysków lub strat  firmy w przeciągu całego jej (dotychczasowego) życia. W sprawozdaniu finansowym GTN nie znajdziemy pozycji "zyski z lat ubiegłych" jaką znamy z bilansu. Ale w punkcie SKONSOLIDOWANE ZESTAWIENIE ZMIAN W KAPITALE WŁASNYM znajdziemy pozycję "Kapitał zapasowy i zyski zatrzymane". Jest to dokładnie to czego szukamy.

X2 = zyski zatrzymane/aktywa = 1 692 055/28 093 866 = 6%

Zatrzymam się też na moment przy X3. Jak pamiętamy po uzyskaniu pierwotnego ratingu poiwinniśmy dokonać odpowiednich korekt, m.in. wrażliwości na zmiany kursu walutowego. Aby uprościć tę korektę, mój pomysł jest następujący. Jeśli dochód całkowity jest niższy od zysku netto na skutek rewaluacji kursu walutowego, to za zysk operacyjny bierzemy stosunek dochodu całkowitego do zysku netto pomnożony przez zysk operacyjny. Jeśli natomiast dochód całkowity przekracza zysk netto na skutek rewaluacji, to bierzemy zwykły zysk operacyjny.

Jeśli założymy, że różnica pomiędzy dochodem całkowitym a zyskiem netto powstaje w wyniku wszystkich korekt opisanych w punktach 2a-d, wtedy uzyskamy uproszczoną wersję korekt wymaganą przez Altmana. Czyli dostaniemy prostą formułę:
- gdy dochód < zysk, wtedy zysk operacyjny skorygowany = dochód / zysk * zysk operacyjny,
- gdy dochód > zysk, wtedy zysk operacyjny skorygowany = zysk operacyjny.


W przypadku GTN dochód całkowity < zysk netto. Przekształćmy więc teraz X3:

X3 = zysk operacyjny/aktywa = (dochód całk / zysk netto * zysk operacyjny) / aktywa = (208 490 / 282 955 * 389 415) / 28 093 866 = 1,02%

X4 = wartość księgowa/zobowiązania = 3 199 924/24 893 942 = 12,85%.

W sumie dostaniemy:

EM Score = 6,56*6,4% + 3,26*6% + 6,72*1,02% +1,05*12,85% + 3,25 = 4,07.

Zatem GTN znajduje się w górnej strefie zagrożenia.

B) M-Z score:
Zgodnie z sugestią [4] budujemy model PAN-F:

M-Z score = 9,48*WO/A + 3,61*KW/A + 3,25*(WN+AM)/Z + 0,46*MO/ZKT + 0,8*P/A - 2,48.

WO/A = 389 415 / 28 093 866 = 1,39%.
Zwracam uwagę, że tutaj za zysk operacyjny podstawiam faktyczny zysk operacyjny.

KW/A = 3 199 924/28 093 866 = 11,39%.
(WN+AM)/Z = (282 955 + 57 628) / 24 893 942 = 1,37%.
MO/ZKT = 25 288 888 / 23 492 963 = 107,64%.
P/A = 2 030 137 / 28 093 866 = 7,23%.
Za przychody ze sprzedaży przyjąłem sumę przychodów z tytułu odsetek i przychodów z tytułu prowizji i opłat.

M-Z score = 9,48*1,39% + 3,61*11,39% + 3,25*1,37% + 0,46*107,64% + 0,8*7,23% - 2,48 = -1,34.

Wskaźnik jest ujemny, więc z tej perspektywy GTN po raz kolejny okazuje się rzeczywiście zagrożony upadłością... Drastyczny spadek akcji miałby wtedy swoje uzasadnienie. Z drugiej strony M-Z został sporządzony dla spółek produkcyjnych, usługowych i handlowych. Główny element - WO/A - będzie zazwyczaj bardzo niski w sektorze bankowym. Prawdopodobnie dla banków należy zmienić niektóre parametry, bo podejrzewam, że większość banków (jeśli nie wszystkie) zostałaby uznana za zagrożone.  Niemniej pamiętajmy, że EM score został skonstruowany dla różnych typów działalności, w tym nieprodukcyjnej. Ten wskaźnik rzucił "pomarańczowe światło" na GTN i jest bardziej obiektywny. Temat na pewno nie jest zamknięty.

Literatura:
[1] Altman, E. I., Financial Ratios, Discriminant Analysis and the Prediction of Corporate Bankruptcy, Sep., 1968;
[2] Altman, E. I., An emerging market credit scoring system for corporate bonds, Sep 2005;
[3] Mączyńska, E., Zawadzki, M., Dyskryminacyjne Modele Predykcji Bankructwa Przedsiębiorstw, Ekonomista, 2006;
[5] Kisielińska, J., Waszkowski, A., Polskie modele do prognozowania bankructwa przedsiębiorstw i ich weryfikacja, 2010.

Ujemna autokorelacja podnosi długookresową oczekiwaną stopę zwrotu, dodatnia obniża

Jak dotąd rozważałem problem długookresowej stopy zwrotu z akcji w sytuacji, gdy nie mamy do czynienia z autokorelacjami. Wiadomo jednak, że autokorelacje często występują, zarówno dodatnie (o częstotliwości miesięcznej) jak i ujemne (kilkuletniej, gdy odwraca się trend). Wtedy stosowanie znanych estymatorów obciążone jest błędem.
Gdy nie znamy rzeczywistej oczekiwanej stopy zwrotu oraz stopy zwrotu posiadają rozkład zbliżony do normalnego, ale bez autokorelacji, wtedy możemy zastosować formułę Blume'a:

(1)

gdzie:
M^N - skumulowana długookresowa oczekiwana stopa zwrotu
T - okres przeszłości dla danych historycznych
N - okres przyszłości (horyzont inwestycyjny)
A - średnia arytmetyczna stopa brutto (liczona dla danych z okresu T)
G - średnia geometryczna stopa brutto (liczona dla danych z okresu T)

Jeżeli jednak stopy zwrotu posiadają rozkład log-normalny i także nie zawierają autokorelacji, wtedy powinniśmy użyć formuły Jacqiuera-Kane'a-Marcusa (JKM):

(2)

Podniesienie do potęgi N ma znaczenie, ponieważ w ten sposób jednoznacznie wskazujemy, że chodzi o skumulowaną oczekiwaną stopę zwrotu. Wyciągnięcie pierwiastka N-tego stopnia może sugerować, że dostaniemy zwykłą średnią arytmetyczną, która przecież stanowi oczekiwaną stopę zwrotu, gdy N = 1 (dla formuły Blume'a dokładnie, a dla JKM bardzo zbliżoną). Dla uproszczenia zapiszemy (2) bez potęgowania, pamiętając, że przez M rozumiemy prawdziwą oczekiwaną stopę zwrotu w dowolnym pod-okresie.

(3)

JKM podali także wzór w sytuacji, gdy dodatkowo występują autokorelacje [1]. Ponieważ w tej analizie mamy podział na dwa okresy: przeszłości (T) oraz przyszłości (N), to także autokorelacja formalnie powinna zostać podzielona na takie części. Ponadto jest jeszcze jedna kwestia komplikująca analizę: autokorelację zazwyczaj rozumiemy jako autokorelację pierwszego rzędu, ale ogólnie może być też drugiego, trzeciego itd. Powoduje to, że autokorelacja staje się wektorem a w zapisie macierzowym - macierzą. Taką notację na macierzach stosują JKM.

Macierz autokorelacji 1-go rzędu wygląda następująco:

(4)

gdzie a(1) to współczynnik autokorelacji 1-go rzędu.

Macierz autokorelacji T-go rzędu wygląda więc następująco:

(5)

gdzie a(T) to współczynnik autokorelacji T-tego rzędu.

Jedynki na głównej przekątnej są oczywiście wynikiem tego, że niektóre wiersze i kolumny mają ten sam numer, więc stopa zwrotu koreluje sama ze sobą.

Macierz C(T) przekształci się w liczbę, gdy przemnożymy ją z lewej strony przez wektor jednostkowy transponowany (oznaczony I "prim"), a z prawej przez wektor jednostkowy:

(6)

Gdy wszystkie współczynniki autokorelacji są równe 0, liczba z (6) będzie równa T.

Analogicznie sytuacja będzie wyglądać dla autokorelacji w przyszłości, czyli dla N: literka T zostaje zamieniona na N we wzorach (4)-(6).

JKM stosują następujący wzór:

(7)

który można zapisać w skrócie:

(8)

gdzie:

F(T) = I(T)' C(T) I(T) / T
F(N) = I(N)' C(N) I(N) / N


Zróbmy teraz 4 teoretyczne przykłady. We wszystkich T = 4 i N = 3.
1) Dla C(T) współczynnik autokorelacji 1-rzędu wynosi -0.4, a pozostałe 0. Oznacza to, że stopa zwrotu 0-wego rzędu będzie korelować ze stopą zwrotu 1-go rzędu tak samo jak 2-go rzędu z 1-m rzędem oraz 3-go z 2-m rzędem. Stąd: 

Dla C(N) współczynnik autokorelacji 1-rzędu nie zmieni się. Dostaniemy:

Teraz obliczmy F(T) i F(N):
F(T) = 1,6 / 4 = 0,4
F(N) = 1,4 / 3 = 0,47

Uzyskujemy F(T)/F(N) = 0.86.

2) Dla C(T) współczynnik autokorelacji 1-rzędu wynosi -0.6. Otrzymamy:

Dla C(N) współczynnik autokorelacji 1-rzędu nie zmieni się. Dostaniemy:

Obliczmy F(T) i F(N):
F(T) = 0,4 / 4 = 0,1
F(N) = 0,6 / 3 = 0,2

Uzyskujemy F(T)/F(N) = 0.5.


3) Dla C(T) współczynnik autokorelacji 1-rzędu wynosi 0.4. Otrzymamy:

Dla C(N) współczynnik autokorelacji 1-rzędu nie zmieni się. Dostaniemy:

Ponownie obliczmy F(T) i F(N):
F(T) = 6,4 / 4 = 1,6
F(N) = 4,6 / 3 = 1,53

Uzyskujemy F(T)/F(N) = 1,04.


4) Dla C(T) współczynnik autokorelacji 1-rzędu wynosi 0.6. Otrzymamy:

 Dla C(N) współczynnik autokorelacji 1-rzędu nie zmieni się. Dostaniemy:

Tak jak poprzednio obliczamy F(T) i F(N):
F(T) = 7,6 / 4 = 1,9
F(N) = 4,6 / 3 = 1,8

Uzyskujemy F(T)/F(N) = 1,06.


Wniosek: Z dodatnią autokorelacją stosunek F(T) / F(N) > 1, natomiast w ujemną autokorelacją F(T) / F(N) < 1.


W artykule Jak prawidłowo obliczać procenty składane dla niepewnych aktywów? twierdziłem, że raczej nie powinniśmy używać N > T, bo prowadzi to nadmiernego obniżania oczekiwanej długookresowej stopy zwrotu. Jeżeli N < T, wówczas formuła (8) będzie prowadzić do ważnej konkluzji. Tej konkluzji jednak jeszcze nie widać z następującego powodu. Chociaż zazwyczaj średnia arytmetyczna jest większa niż geometryczna, to ze wzoru (2) i (7) tak nie wynika. W praktyce może się zdarzyć, że G > A. Jednak wzór (2) powstał jak pamiętamy z założenia, że rozkład stóp zwrotu jest log-normalny. W rozkładzie log-normalnym G zawsze jest mniejsza od A. W artykule W poszukiwaniu nieznanej wartości oczekiwanej - część 2 są podane następujące dwa wzory (oznaczone tam odpowiednio numerami 4 i 7):

gdzie
g - średnia geometryczna stopa kapitalizacji ciągłej w rozkładzie lognormalnym, wyznaczona z okresu od 1 do T,
σ^2 - wariancja logarytmicznej stopy (z okresu od 1 do T),

co jednoznacznie wskazuje, że G < A. 


W ten sposób ujawnia się następująca konkluzja. Dopóki N < T:
- jeśli autokorelacja jest dodatnia, to obniża ona (długookresową) oczekiwaną stopę zwrotu (stosunek F(T) / F(N) > 1, zatem G będzie mieć wyższy udział, natomiast A niższy, a G jest mniejsza od A);
- jeśli autokorelacja jest ujemna, to podwyższa ona (długookresową) oczekiwaną stopę zwrotu (stosunek F(T) / F(N) < 1, zatem G będzie mieć niższy udział, natomiast A wyższy, a G jest mniejsza od A) .


Przykład nr 1. Miesięczne stopy zwrotu sWIG80 luty 2007 - czerwiec 2018 (T = 137).

Korelogram stóp zwrotu ujawnia bardzo wysoką dodatnią autokorelację rzędu 1 (0,38), a wg PACF także delikatnie ujemną rzędu 12-tego (tj. rok do roku, -0,23):

Należy zwrócić uwagę, że to PACF jest ważniejsze w analizie autokorelacji konkretnych rzędów. ACF pokazuje siłę i kierunek całej drogi od 12-tego rzędu do 0-wego rzędu, a PACF siłę i kierunek samego 12-tego rzędu w stosunku do 0-wego rzędu. W naszym przypadku ACF pokazuje, że pomiędzy dzisiejszą zmianą a zmianą 12-tego rzędu jest linia płaska, brak zależności. Natomiast PACF pokazuje, że dzisiejsza zmiana korelowała ujemnie ze zmianą 12-tego rzędu. Dlatego ACF lepiej nadaje się do badania niestacjonarności niż autokorelacji.

Z drugiej strony JKM stosują jedynie ACF i nie wspominają o PACF. Dlatego użyjemy tej samej co oni metody. Stąd, aby uzyskać wartości teoretyczne, zastąpiłem wszystkie współczynniki autokorelacji, za wyjątkiem rzędu 1, zerami.

Średnia geometryczna netto, g = -0,09% oraz brutto, G = 0,9991. Średnia arytmetyczna netto, a = +0,09% oraz brutto, A = 1,0009. Gdyby autokorelacje nie występowały, wtedy użylibyśmy wzoru (1) lub (2). Zakładamy lognormalność, czyli wybieramy (2). Dostalibyśmy wtedy dla:
* 1 roku naprzód, tj. N = 12, M^12 = 1,0089, czyli netto 0,89%,
* 2 lata naprzód, tj. N = 24, M^24 = 1,0141, czyli netto 1,41%,
* 3 lata naprzód, tj. N = 36, M^36 = 1,0155, czyli netto 1,55%,
* 4 lata naprzód, tj. N = 48, M^48 = 1,013, czyli netto 1,3%,
* 5 lat naprzód, tj. N = 60, M^60 = 1,0067, czyli netto 0,67%,
* 6 lat naprzód, tj. N = 72, M^72 = 0,9967, czyli netto -0,33%.

Dane te przeniosłem na wykres:

Zatem 3-letnia inwestycja przynosi najwyższy oczekiwany profit. Dzieje się tak dlatego, że na początku ujawnia się mechanizm kapitalizacji, czyli procentu składanego - zyski się kumulują. Jednak ta kumulacja staje się coraz wolniejsza na skutek niepewności, która daje o sobie znać tym silniej, im dłużej aktywa są wystawiane na ryzyko. W pewnym momencie skumulowana oczekiwana stopa zwrotu "nie wytrzymuje presji niepewności" i zaczyna spadać. Należy tu jednak dodać, że nie dzieje się tak zawsze. Istotna jest wielkość G. Im jest ona mniejsza w stosunku do A, tym szybciej nastąpi maksimum. 

Teraz uwzględnimy autokorelację, czyli podstawiamy dane do (8). Obliczamy więc najpierw F(T) i F(N). Wiemy, że T = 137, więc:
F(137) = I(137)'*C(137)*I(137) / 137 = 1,73.

Następnie obliczamy to samo, ale dla kolejnych N:
* 1 roku naprzód, tj. N = 12, F(12) = 1,67. Zatem F(137) / F(12) = 1,033. M^12 = 1,0089, czyli netto 0,89%,
* 2 lata naprzód, tj. N = 24, F(24) = 1,706. Zatem F(137) / F(24) = 1,0148. M^24 = 1,014, czyli netto 1,4%,
* 3 lata naprzód, tj. N = 36, F(137) / F(36) = 1,009. M^36 = 1,0153, czyli netto 1,53%,
* 4 lata naprzód, tj. N = 48, F(137) / F(48) = 1,006. M^48 = 1,013, czyli netto 1,3%,
* 5 lat naprzód, tj. N = 60, F(137) / F(60) = 1,004. M^60 = 1,0065, czyli netto 0,65%.
* 6 lat naprzód, tj. N = 72, F(137) / F(72) = 1,003. M^60 = 0,9964, czyli netto -0,36%.

Autokorelacja minimalnie obniżyła oczekiwaną stopę zwrotu. Jest to różnica nieistotna, więc wykres dla autokorelacji będzie identyczny z tym bez autokorelacji. Nadal 3 lata inwestycji pozostaje optymalnym horyzontem inwestycyjnym.


Przykład nr 2. Roczne stopy zwrotu S&P 500, 1981-2017 (T = 37).

Korelogram stóp zwrotu ujawnia istotną ujemną autokorelację rzędu 5-tego, C = -0,42:

Pozostałe parametry to A = 1,094 (a = 9,4%) i G = 1,082 (g = 8,2%). Zakładając lognormalność stóp i brak autokorelacji, użylibyśmy wzoru (2) i dostalibyśmy dla:
* 1 roku naprzód, tj. N = 1, M^1 = 1,094, czyli netto 9,4%,
* 5 lat naprzód, tj. N = 5, M^5 = 1,555, czyli netto 55,5%,
* N = 6, M^6 = 1,7, czyli netto 70%,
* N = 10, M^10 = 2,38, czyli netto 138%,
* N = 15, M^15 = 3,6, czyli netto 260%,
* N = 20, M^20 = 5,35, czyli netto 435%,
* N = 25, M^25 = 7,84, czyli netto 684%,
* N = 30, M^30 = 11,32, czyli netto 1032%,
* N = 35, M^35 = 16,11, czyli netto 1511%.

Przypomnijmy, że T = 37, więc nie powinniśmy już zwiększać N.

W przeciwieństwie do poprzedniego przykładu, M^N nie osiąga tym razem maksimum. Średnia geometryczna okazuje się zbyt bliska arytmetycznej , aby tak się stało. Z tej perspektywy nie istnieje optymalny horyzont inwestycyjny.

Następnie uwzględnimy autokorelację, czyli podstawmy dane do (8). Aby uzyskać wartości teoretyczne w macierzy autokorelacji, zastąpiłem wszystkie współczynniki autokorelacji zerami - za wyjątkiem rzędu 5-tego.
Poszukujemy najpierw F(T), a potem F(N). Ponieważ T = 37, to uzyskałem:
F(37) = I(37)'*C(37)*I(37) / 37 = 0,27.

Dostaniemy wtedy dla:
* 1 roku naprzód, tj. N = 1, F(1) = 0,27. Zatem F(37) / F(1) = 1. M^1 = 1,094, czyli netto 9,4%,
* N = 5, F(5) = 0,27. Zatem F(37) / F(5) = 1. M^5 = 1,555, czyli netto 55,5%,
* N = 6, F(6) = 0,86. Zatem F(37) / F(6) = 0,313. M^6= 1,71, czyli netto 71%,
* N = 10, F(10) = 0,58. Zatem F(37) / F(10) = 0,465. M^10= 2,42, czyli netto 142%,
* N = 15, F(37) / F(15) = 0,62. M^15= 3,69, czyli netto 269%,
* N = 20, F(37) / F(20) = 0,734. M^20 = 5,53, czyli netto 453%,
* N = 25, F(37) / F(25) = 0,83. M^25 = 8,1, czyli netto 710%,
* N = 30, F(37) / F(30) = 0,91. M^30 = 11,6, czyli netto 1061%,
* N = 35, F(37) / F(35) = 0,98. M^35 = 16,23, czyli netto 1523%, 


W tym przypadku autokorelacje nieco zwiększyły oczekiwane zyski, a największą różnicę dostajemy dla 30 lat (ok. 30 pkt proc.). Zauważalna różnica pojawia się dopiero dla 10-letniej inwestycji, dla której nadwyżka zwrotu wynosi 4 pkty proc. Z długiej perspektywy obydwie formuły dają podobny obraz, a przebieg obu scenariuszy ilustrują poniższe wykresy:

Teraz pewna dygresja. W poprzednim artykule zasugerowałem sposób na optymalizację horyzontu inwestycyjnego, wykorzystując CAPM i formułę Blume'a. Tymczasem w Przykładzie nr 1 z sWIG80 znów pokazałem, że istnieje optymalny horyzont inwestycyjny, ale bez użycia CAPM. Z kolei Przykład nr 2 zaprzecza tej metodzie. Czytelnik może poczuć się zagubiony w tej teoretycznej plątaninie. Wyjaśnienie jest proste. Pierwszy przykład rzeczywiście umożliwił znalezienie optymalnego horyzontu, ale stało się to możliwe tylko dzięki temu, że historyczne średnie z ostatnich lat były niskie, a geometryczna średnia nawet ujemna. Gdybyśmy wzięli znacznie dłuższy okres niż od 2007, to sytuacja zmieniłaby się i zbliżyła do tego co zaobserwowaliśmy na indeksie USA. Przedstawiony przykład z swig80 jest po prostu szczególnym przypadkiem wskazującym na możliwość dywersyfikacji czasowej.

Uzyskany poprzednio "optymalny" horyzont inwestycyjny za pomocą CAPM (4 lata), nie powinien być w takiej sytuacji w ogóle brany pod uwagę, bo formalnie odpowiadał on na pytanie jaki musi być minimalny udział aktywów ryzykownych w portfelu przy danym horyzoncie inwestycyjnym. Zakłada się więc wtedy, że minimum udziału to jakby optimum udziału, a więc że towarzyszący mu horyzont także jest optymalny.
Pozostaje w takim razie pytanie dlaczego uzyskane "optymalne" horyzonty inwestycyjne (3-4 lata) są tak bardzo zbliżone do siebie w obydwu podejściach, chociaż obydwa są niezależne od siebie? Być może to przypadek, jednak trzeba przyznać, że w pewnym sensie zgodny rezultat staje się bardziej wiarygodny, a dwie różne metody wzmacniają się nawzajem. Czy to oznacza, że powinniśmy naprawdę trzymać akcje najwyżej 4 lata? Oczywiście że nie, przedstawiona analiza jest tylko pewną symulacją opartą na ostatnich 10 latach giełdy. Możemy traktować to jako punkt zaczepienia, gdy z góry chcemy ustalić okres inwestycji.

Wnioski końcowe:
Okazuje się, że jeśli inwestujemy długoterminowo, to lepiej szukać aktywów, które posiadają ujemną autokorelację stóp zwrotu. Jednak zauważalna różnica pojawia się dopiero dla długich horyzontów, np. ok. 10-letniej inwestycji (w przypadku S&P 500 dostaliśmy +4 pkty proc.). Dla 15-letniej nadwyżka to już ok. 10 pktów proc.
Odwrotnych efektów możemy się spodziewać dla walorów o dodatniej autokorelacji. Można by więc powiedzieć, że lepiej unikać takich walorów na długi okres. Jednakże jeśli inwestujemy w takie walory do 5 lat, to nie odczujemy negatywnych skutków, gdyż ujemny wpływ będzie zaniedbywalny.
Z tej perspektywy dobrym pomysłem jest ustalanie horyzontów inwestycyjnych. Jeśli nasze akcje zachowują się tak jak sWIG80, czyli posiadają dużą pozytywną autokorelację, to wydaje się dobrym pomysłem trzymanie ich nie dłużej niż 4-5 lat, bo po pierwsze ostatnia historia wskazuje, że to optimum, a po drugie później zaczynają coraz silniej oddziaływać ujemne efekty dodatniej autokorelacji. Jeśli z kolei nasze walory zachowują się tak jak S&P 500, czyli posiadają ujemną autokorelację któregoś rzędu, to 10 lat może okazać się minimum, aby otrzymać "nagrodę za cierpliwość".


Literatura:
[1] E. Jacqiuer, A. Kane, A. Marcus, Optimal Forecasts of Long-Term Returns and Asset Allocation: Geometric, Arithmetic, or Other Means?, October 31, 2002.

Optymalny horyzont inwestycyjny to 4-5 lat?

CAPM-CML rzadko bywa używany w praktyce. Zazwyczaj jest traktowany tylko jako punkt odniesienia do stopy zwrotu z indeksu giełdowego, ale sam dla inwestora niewiele wnosi (w przeciwieństwie do CAPM-SML). Ostatnio wykorzystałem go jednak, aby oszacować minimalny udział indeksu giełdowego w całym portfelu. Okazało się, że w zależności od indeksu, powinniśmy trzymać indeks w udziale przynajmniej 15-30%, a resztę w aktywa bez ryzyka rynkowego. Niestety w tym badaniu niejawnie zakładałem, że:
- trzymamy portfel tylko przez 1 rok, albo
- parametry rozkładu stóp zwrotu są znane.

Jeśli któryś z tych dwóch założeń byłby spełniony, to nasze oszacowania byłyby prawidłowe. W rzeczywistości parametry rozkładu stóp zwrotu na giełdzie są nieznane. Poza tym akcje są często (zazwyczaj?) trzymane dłużej niż rok, jeśli stosujemy analizę portfelową. W związku z tym musimy dostosować nasz model do rzeczywistości. Jak to zrobić? Najpierw zapiszmy CML:

(1)

gdzie:
Rp - oczekiwana stopa zwrotu z całego portfela
Rf -  stopa wolna od ryzyka (systematycznego)
Rm - stopa zwrotu z portfela rynkowego
D - odchylenie standardowe całego portfela
D(M) - odchylenie standardowe portfela rynkowego

Powiedzmy, że chcemy zainwestować pewną część pieniędzy w indeks giełdowy, a pozostałą w obligacje skarbowe. Cała inwestycja ma trwać 5, 10 lub 15 lat i chcemy znaleźć optymalną proporcję udziału indeksu giełdowego do udziału obligacji skarbowych. Zastanówmy się nad parametrami CML.

Stopa wolna od ryzyka rynkowego:
Stopa R(f) nie jest całkowicie wolna od ryzyka, ponieważ zależy od stóp procentowych, które się zmieniają (natomiast nie zależy od indeksu giełdowego). Jest to jedna z przyczyn, dla której obligacje o dłuższym okresie zapadalności mają wyższą rentowność niż obligacje o krótszym okresie: większą zmienność stóp procentowych musi skompensować większa stopa rentowności. Jeśli dla rocznych obligacji skarbowych USA przyjąłem Rf pomiędzy 2,5% a 3%, to dla 5-letniej obligacji powinno być to pomiędzy 3 a 3,5%, dla 10-letniej 3,5 do 4%, zaś 20-letniej 4 do 4,5%.  

Stopa zwrotu z indeksu giełdowego:
Najprostszym i prawidłowym sposobem jest uzyskanie historycznych 5-letnich, 10-letnich lub 15-letnich stóp zwrotu i obliczenie odpowiednio 5-letniej, 10-letniej lub 15-letniej średniej arytmetycznej. Gdy posiadamy dużo danych, to taki sposób jest dobry, ale gorzej, gdy liczba obserwacji jest niewielka. Dlatego możemy posłużyć się estymatorem Blume'a (wyprowadzenie - tutaj):

(2)

czyli średniorocznie:

(3)

gdzie:
T - okres przeszłości; liczba obserwacji do próby
N - okres przyszłości, w tym przypadku 5, 10 lub 15 lat,
A - średnia arytmetyczna stopa brutto (liczona dla danych z okresu T). Zapisalibyśmy ją A = 1 + a, gdzie a to średnia arytmetyczna netto, czyli zwykła średnia średnia arytmetyczna.
G - średnia geometryczna stopa brutto (liczona dla danych z okresu T). Zapisalibyśmy ją G = 1 + g, gdzie g to średnia geometryczna netto, czyli zwykła średnia średnia geometryczna.

Dodatkową zaletą zastosowania estymatorów tego typu jest to, że do oszacowania długoterminowej stopy zwrotu potrzebujemy krótkoterminowych stóp o dowolnych częstościach. Aby uzyskać 5, 10 czy 15-letnią stopę, wystarczy, że będziemy operować np. rocznymi danymi. Jedynie zmieniamy N na odpowiedni okres inwestycji.

Należy tu zwrócić uwagę, że:

(4)

Oznacza to, że Rm to stopa zwrotu netto. Trzeba uważać co podstawiamy do wzorów, żeby nie popełnić błędu: do CML wstawiamy stopy netto, a do estymatorów długoterminowej średniej stopy zwrotu i wariancji (którą za chwilę omówię), stopy brutto.

Odchylenie standardowe stopy zwrotu z indeksu giełdowego:
Identyczna sytuacja co poprzednio ma miejsce w przypadku odchylenia standardowego. Mając dostateczną liczbę danych można oszacować 5-cio, 10-cio lub 15-letnie odchylenie od wartości oczekiwanej M^N. W przypadku małej liczby obserwacji, trzeba posłużyć się estymatorem. W artykule Odchylenie od nieznanej wartości oczekiwanej pokazałem, że estymatorem długoterminowej wariancji będzie:

(5)

A więc długoterminowe odchylenie standardowe wyraża wzór:

(6)

Odchylenie standardowe stopy zwrotu portfela
W poprzednim artykule zastąpiłem odchylenie standardowe średnią procentową stratą (albo czymś co nazwałem pseudo-semi-odchyleniem standardowym), SDs. Przy założeniu, że inwestorzy wymagają, aby oczekiwany zysk skompensował w całości poniesioną stratę, dostałem 2 równania. Pierwsze z nich:

(7)

Z tego równania chcielibyśmy uzyskać SDs. Są dwa rozwiązania względem SDs, ale wybieramy to, które będzie przyjmować wartości dodatnie:

(8) 
SDs = (Rf - Rm + SDs(M) + Rf*SDs(M) - (Rf^2*SDs(M)^2 - 2*Rf^2*SDs(M) + Rf^2 + 2*Rf*Rm*SDs(M) - 2*Rf*Rm + 2*Rf*SDs(M)^2 + 2*Rf*SDs(M) + Rm^2 - 2*Rm*SDs(M) + SDs(M)^2)^(1/2))/(2*(Rf - Rm))

Drugie równanie to:

 (9)

Podstawiając do niego (8), dostaniemy rozwiązanie x:

(10) 
x = -(Rm + (Rf - Rm + SDs(M) + Rf*SDs(M) - (Rf^2*SDs(M)^2 - 2*Rf^2*SDs(M) + Rf^2 + 2*Rf*Rm*SDs(M) - 2*Rf*Rm + 2*Rf*SDs(M)^2 + 2*Rf*SDs(M) + Rm^2 - 2*Rm*SDs(M) + SDs(M)^2)^(1/2))/((2*Rf - 2*Rm)*((Rf - Rm + SDs(M) + Rf*SDs(M) - (Rf^2*SDs(M)^2 - 2*Rf^2*SDs(M) + Rf^2 + 2*Rf*Rm*SDs(M) - 2*Rf*Rm + 2*Rf*SDs(M)^2 + 2*Rf*SDs(M) + Rm^2 - 2*Rm*SDs(M) + SDs(M)^2)^(1/2))/(2*Rf - 2*Rm) - 1)))/(Rf - Rm)

Jest to minimalny udział aktywa bez ryzyka, a więc minimalny udział indeksu giełdowego to 1-x.

Przykład 1. S&P 500

Powróćmy do przykładu S&P 500 w okresie 1941-2017 (77 obserwacji). Średnia arytmetyczna wyniosła a = 8,7%, zaś średnia geometryczna g = 7,5%. Odchylenie standardowe wyniosło  D = 16,3%, a średnia strata SDs = 16,1%. Czyli odchylenie standardowe jest praktycznie równe średniej stracie.  Dlatego zrównamy D = SDs, a to będzie oznaczać, że długoterminowe SDs będzie także równe długoterminowemu odchyleniu standardowemu (wzór 6).

Obliczmy oczekiwaną stopę zwrotu z indeksu dla 5, 10 i 15-letniej inwestycji. Dla:

N = 5, stopa brutto M^5 = 1,51 => M = 1,086. Stopa netto Rm(5) = M^5 - 1 = 51%,

N = 10, M^10 = 2,27 => M = 1,0856. Stopa netto Rm(10) = M^10 - 1 = 127%,

N = 15, M^15 =  3,4 => M = 1,085. Stopa netto Rm(15) = M^15 - 1 = 240%.

Następnie obliczmy długoterminowe odchylenie standardowe (D = SDs), stosując (6). Dla:

N = 5, SDs = 88%,

N = 10, SDs = 114%,

N = 15, SDs = 214%.

Kolejną sprawą jest rentowność obligacji skarbowych. Powiedziałem wcześniej, że dla dłuższych inwestycji będzie większa rentowność. Przyjmiemy następujące wielkości. Dla:

N = 5, Rf = 3%. Oznacza to, że 5-letnia stopa wolna od ryzyka wyniesie (1,03)^5 - 1 = 15,9%. Czyli Rf(5) = 16%,

N = 10, Rf = 3,5%. 10-letnia stopa wolna od ryzyka wyniesie (1,03)^10 - 1. Czyli Rf(10) = 41%,

N = 15, Rf = 4%. Czyli Rf(15) = 80%.

Teraz możemy podstawić odpowiednie wartości do wzoru (10) na x w zależności od długości trwania inwestycji. I tak dla:

N = 5, x = 0,53. Czyli minimalny udział indeksu S&P 500 to 1 - x = 47%,

N = 10, x = 0,63. Czyli minimalny udział indeksu S&P 500 to 1 - x = 37%,

N = 15, x = 0,74. Czyli minimalny udział indeksu S&P 500 to 1 - x = 26%.

Widać, że im dłużej trwa inwestycja, tym udział akcji powinien maleć. Dlaczego? Bo w dłuższym okresie początkową stratę coraz lepiej może skompensować obligacja skarbowa. Dlaczego nie indeks giełdowy?

Zauważmy, że początkowa strata nie jest krótkookresowa, z jednego roku. Wzór (7) wskazuje, że oczekiwana stopa zwrotu jest tym większa, im większa jest średnia procentowa strata, SDs. Ale przecież strata powstaje jedynie na skutek obsunięcia kapitału, zainwestowanego w indeks giełdowy (pozostałe aktywa są wolne od ryzyka). Natomiast wzór na D(M), czyli SD(M)s, przedstawiał długoterminowe odchylenie standardowe właśnie indeksu giełdowego. Wynika z tego, że średnia początkowa strata w całym portfelu to pokłosie długoterminowej straty z indeksu giełdowego. 

I teraz uwaga, która wymaga głębszego zastanowienia: przecież zgodnie ze wzorem (6) im dłuższa inwestycja, tym większe jest odchylenie standardowe portfela i tym większa jest początkowa strata. Albo możemy powiedzieć inaczej: im większa początkowa strata, tym dłuższy będzie okres inwestycji. Ale tę zależność można "przerwać". Rzecz w tym, że na samym początku założyliśmy, że chcemy pokryć początkową stratę nie tyle poprzez czas trzymania akcji, co przez odpowiedni udział indeksu giełdowego. Z jednej strony indeks giełdowy posiada dodatnią oczekiwaną stopę zwrotu, która skompensuje stratę, z drugiej strony udział indeksu nie może być zbyt duży, jeśli odchylenia indeksu (w sensie straty) są zbyt drastyczne. Posiadanie w portfelu aktywów bez ryzyka zmniejsza całkowitą stratę. 

Ten skomplikowany mechanizm uwidacznia się, gdy spojrzymy co się dzieje z "optymalnym" udziałem, gdy zmniejszymy N poniżej 5. Przypomnę, że dla N = 1 dostałem poprzednio (1-x) ok. 25%. Natomiast teraz dla N = 5, 1-x = 47%, dla N = 10, udział ten spada do 37% i dla N = 15 dalej spada. Wygląda na to, że początkowo udział indeksu rośnie, a następnie zaczyna spadać. Rzeczywiście, gdy przeanalizujemy dokładnie co się dzieje z udziałem dla N = 1, 2,... 10, to zobaczymy, że dla N = 5, udział 1-x osiąga maksimum. Pokazuje to tabela:

Tabelę tę możemy przenieść na wykres. Wykres udziału indeksu S&P 500 (1-x) w portfelu:

Początkowo indeks pokrywa "coraz lepiej" początkową stratę, tak że przy 1-rocznej inwestycji musimy posiadać 25% indeksu, 2-letniej inwestycji 40%, 3-letniej 45%, aż do 4-5 lat 47%. Dla większych N udział indeksu można już stopniowo obniżać. Dla 10 lat będzie to 37%, 15 lat 26%, a 20 lat 17%. 

Wynik ten jest efektem tego, że początkowo SD(M)s rośnie wolniej niż Rm(N), ale od 5 roku zaczyna rosnąć coraz szybciej, tak że już dla N > 25 rośnie szybciej od Rm(N). Dobrze widać to na logarytmach tych zmiennych:

Z ekonomicznego punktu widzenia można to interpretować w ten sposób, że początkowo potrzeba większego udziału indeksu, aby pokryć stratę poniesioną przed okresem inwestycji, ale po 5 latach potencjalna strata staje się zbyt duża. Indeks giełdowy zaczyna wpływać negatywnie na portfel, gdyż w dłuższym okresie silniej się odchyla, doprowadzając do większych potencjalnych strat. Dlatego dla dłuższych inwestycji musimy zmniejszyć udział indeksu, ograniczając jednocześnie straty. Jednocześnie pamiętamy, że gdy zmniejszamy udział indeksu, to zwiększamy udział obligacji skarbowych, a więc tym samym obniżamy całkowitą stopę zwrotu z portfela. Można więc powiedzieć, że okres inwestycji 4-5 lat jest optymalny pod kątem maksymalizacji zysku, a właściwie odzyskania utraconego kapitału. Oznaczałoby to, że dla 4-letniej inwestycji optymalny udział portfela akcji to niecałe 50% (47%). Dla N < 5 inwestor nie potrzebuje trzymać większego udziału indeksu, bo do pokrycia strat wystarczy duży udział aktywów bez ryzyka. Dla N > 5 inwestor nie potrzebuje trzymać większego pakietu akcji, bo odchylenie ich wartości może być na tyle niekorzystne, że oczekiwany z nich zysk nie będzie w stanie pokryć potencjalnych strat.

Przykład 2. WIG

Analogicznie powróćmy do przykładu WIG w latach 1997-2017 (22 obserwacje). Średnia arytmetyczna wyniosła a = 10,6%, zaś średnia geometryczna g = 7,4%. Odchylenie standardowe wyniosło  D = 25,4%, a SDs = 27,5%. Podobnie jak przy S&P 500 założymy, że D = SDs. Przyjmiemy D = SDs = 25,4%. 

Obliczmy oczekiwaną stopę zwrotu z indeksu dla 5, 10 i 15-letniej inwestycji. Dla:

N = 5, stopa brutto M^5 = 1,61 => M = 1,1. Stopa netto Rm(5) = M^5 - 1 = 61%.

N = 10, M^10 = 2,44 => M = 1,093. Stopa netto Rm(10) = M^10 - 1 = 144%.

N = 15, M^15 =  3,46 => M = 1,086. Stopa netto Rm(15) = M^15 - 1 = 246%.

Następnie obliczmy długoterminowe odchylenie standardowe (D = SDs). Dla:

N = 5, SDs = 88%. 

N = 10, SDs = 203%.

N = 15, SDs = 382%.

Kolejną sprawą jest rentowność obligacji skarbowych. Dla uproszczenia przyjmiemy te same wielkości co przy indeksie USA. Dla:

N = 5, Rf = 3%. Oznacza to, że 5-letnia stopa wolna od ryzyka wyniesie (1,03)^5 - 1 = 15,9%. Czyli Rf(5) = 16%.

N = 10, Rf = 3,5%. 10-letnia stopa wolna od ryzyka wyniesie (1,03)^10 - 1. Czyli Rf(10) = 41%.

N = 15, Rf = 4%. Czyli Rf(15) = 80%.

Teraz możemy podstawić odpowiednie wartości do wzoru na x w zależności od długości trwania inwestycji. I tak dla:

N = 5, x = 0,76. Czyli minimalny udział indeksu S&P 500 to 1 - x = 24%,

N = 10, x = 0,81. Czyli minimalny udział indeksu S&P 500 to 1 - x = 19%,

N = 15, x = 0,87. Czyli minimalny udział indeksu S&P 500 to 1 - x = 13%.

Podobnie jak dla S&P 500 uwidacznia się schemat, w którym dla małych N udział indeksu rośnie, osiąga maksimum dla N = 4 i dla N > 4 spada. Prezentuje to tabela i wykres niżej:

Podobnie jak dla USA, trzymając polski indeks przez 4 lata, będziemy maksymalizować udział tego indeksu. Ponieważ większy udział indeksu oznacza większy oczekiwany zysk, to, sugerując się zasadą maksymalizacji zysków, powinniśmy przez 4 lata trzymać WIG w proporcji 25:75 w stosunku do walorów bez ryzyka, aby pokryć początkową stratę.

Widać dużą różnicę w porównaniu do S&P500, gdzie maksymalny udział portfela rynkowego był szacowany na prawie 50%. W przypadku WIG sytuacja jest gorsza, bo występują większe odchylenia i trudniej uzyskać tak dużą stopę zwrotu, która skompensowałaby w pełni straty. Wydaje się rozsądne uznać, że lokując pieniądze tylko na GPW na kilka lat, inwestor powinien zastosować udział 25%, natomiast mając portfel międzynarodowy, niecałe 50%. Jednak niezależnie od typu indeksu, horyzont 4-5-letni wydaje się optymalny, jeśli w poprzednich latach ponieśliśmy straty. Nawet jeśli ich nie ponieśliśmy, to nadal model może być przydatny, bo możemy się postawić w pozycji stratnego inwestora. Ten abstrakcyjny inwestor szacuje, kiedy wyjdzie na zero. Natomiast dla nas będzie to punkt maksymalizacji zysków. Takie podejście staje się zgodne z inwestowaniem w oparciu o cykl koniunkturalny, który wynosi właśnie ok. 4 lat (zob. Prognoza PKB na 2018 czterema metodami. oraz Prognoza WIG dwiema metodami).