Optymalny horyzont inwestycyjny to 4-5 lat?

CAPM-CML rzadko bywa używany w praktyce. Zazwyczaj jest traktowany tylko jako punkt odniesienia do stopy zwrotu z indeksu giełdowego, ale sam dla inwestora niewiele wnosi (w przeciwieństwie do CAPM-SML). Ostatnio wykorzystałem go jednak, aby oszacować minimalny udział indeksu giełdowego w całym portfelu. Okazało się, że w zależności od indeksu, powinniśmy trzymać indeks w udziale przynajmniej 15-30%, a resztę w aktywa bez ryzyka rynkowego. Niestety w tym badaniu niejawnie zakładałem, że:
- trzymamy portfel tylko przez 1 rok, albo
- parametry rozkładu stóp zwrotu są znane.

Jeśli któryś z tych dwóch założeń byłby spełniony, to nasze oszacowania byłyby prawidłowe. W rzeczywistości parametry rozkładu stóp zwrotu na giełdzie są nieznane. Poza tym akcje są często (zazwyczaj?) trzymane dłużej niż rok, jeśli stosujemy analizę portfelową. W związku z tym musimy dostosować nasz model do rzeczywistości. Jak to zrobić? Najpierw zapiszmy CML:

(1)

gdzie:
Rp - oczekiwana stopa zwrotu z całego portfela
Rf -  stopa wolna od ryzyka (systematycznego)
Rm - stopa zwrotu z portfela rynkowego
D - odchylenie standardowe całego portfela
D(M) - odchylenie standardowe portfela rynkowego

Powiedzmy, że chcemy zainwestować pewną część pieniędzy w indeks giełdowy, a pozostałą w obligacje skarbowe. Cała inwestycja ma trwać 5, 10 lub 15 lat i chcemy znaleźć optymalną proporcję udziału indeksu giełdowego do udziału obligacji skarbowych. Zastanówmy się nad parametrami CML.

Stopa wolna od ryzyka rynkowego:
Stopa R(f) nie jest całkowicie wolna od ryzyka, ponieważ zależy od stóp procentowych, które się zmieniają (natomiast nie zależy od indeksu giełdowego). Jest to jedna z przyczyn, dla której obligacje o dłuższym okresie zapadalności mają wyższą rentowność niż obligacje o krótszym okresie: większą zmienność stóp procentowych musi skompensować większa stopa rentowności. Jeśli dla rocznych obligacji skarbowych USA przyjąłem Rf pomiędzy 2,5% a 3%, to dla 5-letniej obligacji powinno być to pomiędzy 3 a 3,5%, dla 10-letniej 3,5 do 4%, zaś 20-letniej 4 do 4,5%.  

Stopa zwrotu z indeksu giełdowego:
Najprostszym i prawidłowym sposobem jest uzyskanie historycznych 5-letnich, 10-letnich lub 15-letnich stóp zwrotu i obliczenie odpowiednio 5-letniej, 10-letniej lub 15-letniej średniej arytmetycznej. Gdy posiadamy dużo danych, to taki sposób jest dobry, ale gorzej, gdy liczba obserwacji jest niewielka. Dlatego możemy posłużyć się estymatorem Blume'a (wyprowadzenie - tutaj):

(2)

czyli średniorocznie:

(3)

gdzie:
T - okres przeszłości; liczba obserwacji do próby
N - okres przyszłości, w tym przypadku 5, 10 lub 15 lat,
A - średnia arytmetyczna stopa brutto (liczona dla danych z okresu T). Zapisalibyśmy ją A = 1 + a, gdzie a to średnia arytmetyczna netto, czyli zwykła średnia średnia arytmetyczna.
G - średnia geometryczna stopa brutto (liczona dla danych z okresu T). Zapisalibyśmy ją G = 1 + g, gdzie g to średnia geometryczna netto, czyli zwykła średnia średnia geometryczna.

Dodatkową zaletą zastosowania estymatorów tego typu jest to, że do oszacowania długoterminowej stopy zwrotu potrzebujemy krótkoterminowych stóp o dowolnych częstościach. Aby uzyskać 5, 10 czy 15-letnią stopę, wystarczy, że będziemy operować np. rocznymi danymi. Jedynie zmieniamy N na odpowiedni okres inwestycji.

Należy tu zwrócić uwagę, że:

(4)

Oznacza to, że Rm to stopa zwrotu netto. Trzeba uważać co podstawiamy do wzorów, żeby nie popełnić błędu: do CML wstawiamy stopy netto, a do estymatorów długoterminowej średniej stopy zwrotu i wariancji (którą za chwilę omówię), stopy brutto.

Odchylenie standardowe stopy zwrotu z indeksu giełdowego:
Identyczna sytuacja co poprzednio ma miejsce w przypadku odchylenia standardowego. Mając dostateczną liczbę danych można oszacować 5-cio, 10-cio lub 15-letnie odchylenie od wartości oczekiwanej M^N. W przypadku małej liczby obserwacji, trzeba posłużyć się estymatorem. W artykule Odchylenie od nieznanej wartości oczekiwanej pokazałem, że estymatorem długoterminowej wariancji będzie:

(5)

A więc długoterminowe odchylenie standardowe wyraża wzór:

(6)

Odchylenie standardowe stopy zwrotu portfela
W poprzednim artykule zastąpiłem odchylenie standardowe średnią procentową stratą (albo czymś co nazwałem pseudo-semi-odchyleniem standardowym), SDs. Przy założeniu, że inwestorzy wymagają, aby oczekiwany zysk skompensował w całości poniesioną stratę, dostałem 2 równania. Pierwsze z nich:

(7)

Z tego równania chcielibyśmy uzyskać SDs. Są dwa rozwiązania względem SDs, ale wybieramy to, które będzie przyjmować wartości dodatnie:

(8) 
SDs = (Rf - Rm + SDs(M) + Rf*SDs(M) - (Rf^2*SDs(M)^2 - 2*Rf^2*SDs(M) + Rf^2 + 2*Rf*Rm*SDs(M) - 2*Rf*Rm + 2*Rf*SDs(M)^2 + 2*Rf*SDs(M) + Rm^2 - 2*Rm*SDs(M) + SDs(M)^2)^(1/2))/(2*(Rf - Rm))

Drugie równanie to:

 (9)

Podstawiając do niego (8), dostaniemy rozwiązanie x:

(10) 
x = -(Rm + (Rf - Rm + SDs(M) + Rf*SDs(M) - (Rf^2*SDs(M)^2 - 2*Rf^2*SDs(M) + Rf^2 + 2*Rf*Rm*SDs(M) - 2*Rf*Rm + 2*Rf*SDs(M)^2 + 2*Rf*SDs(M) + Rm^2 - 2*Rm*SDs(M) + SDs(M)^2)^(1/2))/((2*Rf - 2*Rm)*((Rf - Rm + SDs(M) + Rf*SDs(M) - (Rf^2*SDs(M)^2 - 2*Rf^2*SDs(M) + Rf^2 + 2*Rf*Rm*SDs(M) - 2*Rf*Rm + 2*Rf*SDs(M)^2 + 2*Rf*SDs(M) + Rm^2 - 2*Rm*SDs(M) + SDs(M)^2)^(1/2))/(2*Rf - 2*Rm) - 1)))/(Rf - Rm)

Jest to minimalny udział aktywa bez ryzyka, a więc minimalny udział indeksu giełdowego to 1-x.

Przykład 1. S&P 500

Powróćmy do przykładu S&P 500 w okresie 1941-2017 (77 obserwacji). Średnia arytmetyczna wyniosła a = 8,7%, zaś średnia geometryczna g = 7,5%. Odchylenie standardowe wyniosło  D = 16,3%, a średnia strata SDs = 16,1%. Czyli odchylenie standardowe jest praktycznie równe średniej stracie.  Dlatego zrównamy D = SDs, a to będzie oznaczać, że długoterminowe SDs będzie także równe długoterminowemu odchyleniu standardowemu (wzór 6).

Obliczmy oczekiwaną stopę zwrotu z indeksu dla 5, 10 i 15-letniej inwestycji. Dla:

N = 5, stopa brutto M^5 = 1,51 => M = 1,086. Stopa netto Rm(5) = M^5 - 1 = 51%,

N = 10, M^10 = 2,27 => M = 1,0856. Stopa netto Rm(10) = M^10 - 1 = 127%,

N = 15, M^15 =  3,4 => M = 1,085. Stopa netto Rm(15) = M^15 - 1 = 240%.

Następnie obliczmy długoterminowe odchylenie standardowe (D = SDs), stosując (6). Dla:

N = 5, SDs = 88%,

N = 10, SDs = 114%,

N = 15, SDs = 214%.

Kolejną sprawą jest rentowność obligacji skarbowych. Powiedziałem wcześniej, że dla dłuższych inwestycji będzie większa rentowność. Przyjmiemy następujące wielkości. Dla:

N = 5, Rf = 3%. Oznacza to, że 5-letnia stopa wolna od ryzyka wyniesie (1,03)^5 - 1 = 15,9%. Czyli Rf(5) = 16%,

N = 10, Rf = 3,5%. 10-letnia stopa wolna od ryzyka wyniesie (1,03)^10 - 1. Czyli Rf(10) = 41%,

N = 15, Rf = 4%. Czyli Rf(15) = 80%.

Teraz możemy podstawić odpowiednie wartości do wzoru (10) na x w zależności od długości trwania inwestycji. I tak dla:

N = 5, x = 0,53. Czyli minimalny udział indeksu S&P 500 to 1 - x = 47%,

N = 10, x = 0,63. Czyli minimalny udział indeksu S&P 500 to 1 - x = 37%,

N = 15, x = 0,74. Czyli minimalny udział indeksu S&P 500 to 1 - x = 26%.

Widać, że im dłużej trwa inwestycja, tym udział akcji powinien maleć. Dlaczego? Bo w dłuższym okresie początkową stratę coraz lepiej może skompensować obligacja skarbowa. Dlaczego nie indeks giełdowy?

Zauważmy, że początkowa strata nie jest krótkookresowa, z jednego roku. Wzór (7) wskazuje, że oczekiwana stopa zwrotu jest tym większa, im większa jest średnia procentowa strata, SDs. Ale przecież strata powstaje jedynie na skutek obsunięcia kapitału, zainwestowanego w indeks giełdowy (pozostałe aktywa są wolne od ryzyka). Natomiast wzór na D(M), czyli SD(M)s, przedstawiał długoterminowe odchylenie standardowe właśnie indeksu giełdowego. Wynika z tego, że średnia początkowa strata w całym portfelu to pokłosie długoterminowej straty z indeksu giełdowego. 

I teraz uwaga, która wymaga głębszego zastanowienia: przecież zgodnie ze wzorem (6) im dłuższa inwestycja, tym większe jest odchylenie standardowe portfela i tym większa jest początkowa strata. Albo możemy powiedzieć inaczej: im większa początkowa strata, tym dłuższy będzie okres inwestycji. Ale tę zależność można "przerwać". Rzecz w tym, że na samym początku założyliśmy, że chcemy pokryć początkową stratę nie tyle poprzez czas trzymania akcji, co przez odpowiedni udział indeksu giełdowego. Z jednej strony indeks giełdowy posiada dodatnią oczekiwaną stopę zwrotu, która skompensuje stratę, z drugiej strony udział indeksu nie może być zbyt duży, jeśli odchylenia indeksu (w sensie straty) są zbyt drastyczne. Posiadanie w portfelu aktywów bez ryzyka zmniejsza całkowitą stratę. 

Ten skomplikowany mechanizm uwidacznia się, gdy spojrzymy co się dzieje z "optymalnym" udziałem, gdy zmniejszymy N poniżej 5. Przypomnę, że dla N = 1 dostałem poprzednio (1-x) ok. 25%. Natomiast teraz dla N = 5, 1-x = 47%, dla N = 10, udział ten spada do 37% i dla N = 15 dalej spada. Wygląda na to, że początkowo udział indeksu rośnie, a następnie zaczyna spadać. Rzeczywiście, gdy przeanalizujemy dokładnie co się dzieje z udziałem dla N = 1, 2,... 10, to zobaczymy, że dla N = 5, udział 1-x osiąga maksimum. Pokazuje to tabela:

Tabelę tę możemy przenieść na wykres. Wykres udziału indeksu S&P 500 (1-x) w portfelu:

Początkowo indeks pokrywa "coraz lepiej" początkową stratę, tak że przy 1-rocznej inwestycji musimy posiadać 25% indeksu, 2-letniej inwestycji 40%, 3-letniej 45%, aż do 4-5 lat 47%. Dla większych N udział indeksu można już stopniowo obniżać. Dla 10 lat będzie to 37%, 15 lat 26%, a 20 lat 17%. 

Wynik ten jest efektem tego, że początkowo SD(M)s rośnie wolniej niż Rm(N), ale od 5 roku zaczyna rosnąć coraz szybciej, tak że już dla N > 25 rośnie szybciej od Rm(N). Dobrze widać to na logarytmach tych zmiennych:

Z ekonomicznego punktu widzenia można to interpretować w ten sposób, że początkowo potrzeba większego udziału indeksu, aby pokryć stratę poniesioną przed okresem inwestycji, ale po 5 latach potencjalna strata staje się zbyt duża. Indeks giełdowy zaczyna wpływać negatywnie na portfel, gdyż w dłuższym okresie silniej się odchyla, doprowadzając do większych potencjalnych strat. Dlatego dla dłuższych inwestycji musimy zmniejszyć udział indeksu, ograniczając jednocześnie straty. Jednocześnie pamiętamy, że gdy zmniejszamy udział indeksu, to zwiększamy udział obligacji skarbowych, a więc tym samym obniżamy całkowitą stopę zwrotu z portfela. Można więc powiedzieć, że okres inwestycji 4-5 lat jest optymalny pod kątem maksymalizacji zysku, a właściwie odzyskania utraconego kapitału. Oznaczałoby to, że dla 4-letniej inwestycji optymalny udział portfela akcji to niecałe 50% (47%). Dla N < 5 inwestor nie potrzebuje trzymać większego udziału indeksu, bo do pokrycia strat wystarczy duży udział aktywów bez ryzyka. Dla N > 5 inwestor nie potrzebuje trzymać większego pakietu akcji, bo odchylenie ich wartości może być na tyle niekorzystne, że oczekiwany z nich zysk nie będzie w stanie pokryć potencjalnych strat.

Przykład 2. WIG

Analogicznie powróćmy do przykładu WIG w latach 1997-2017 (22 obserwacje). Średnia arytmetyczna wyniosła a = 10,6%, zaś średnia geometryczna g = 7,4%. Odchylenie standardowe wyniosło  D = 25,4%, a SDs = 27,5%. Podobnie jak przy S&P 500 założymy, że D = SDs. Przyjmiemy D = SDs = 25,4%. 

Obliczmy oczekiwaną stopę zwrotu z indeksu dla 5, 10 i 15-letniej inwestycji. Dla:

N = 5, stopa brutto M^5 = 1,61 => M = 1,1. Stopa netto Rm(5) = M^5 - 1 = 61%.

N = 10, M^10 = 2,44 => M = 1,093. Stopa netto Rm(10) = M^10 - 1 = 144%.

N = 15, M^15 =  3,46 => M = 1,086. Stopa netto Rm(15) = M^15 - 1 = 246%.

Następnie obliczmy długoterminowe odchylenie standardowe (D = SDs). Dla:

N = 5, SDs = 88%. 

N = 10, SDs = 203%.

N = 15, SDs = 382%.

Kolejną sprawą jest rentowność obligacji skarbowych. Dla uproszczenia przyjmiemy te same wielkości co przy indeksie USA. Dla:

N = 5, Rf = 3%. Oznacza to, że 5-letnia stopa wolna od ryzyka wyniesie (1,03)^5 - 1 = 15,9%. Czyli Rf(5) = 16%.

N = 10, Rf = 3,5%. 10-letnia stopa wolna od ryzyka wyniesie (1,03)^10 - 1. Czyli Rf(10) = 41%.

N = 15, Rf = 4%. Czyli Rf(15) = 80%.

Teraz możemy podstawić odpowiednie wartości do wzoru na x w zależności od długości trwania inwestycji. I tak dla:

N = 5, x = 0,76. Czyli minimalny udział indeksu S&P 500 to 1 - x = 24%,

N = 10, x = 0,81. Czyli minimalny udział indeksu S&P 500 to 1 - x = 19%,

N = 15, x = 0,87. Czyli minimalny udział indeksu S&P 500 to 1 - x = 13%.

Podobnie jak dla S&P 500 uwidacznia się schemat, w którym dla małych N udział indeksu rośnie, osiąga maksimum dla N = 4 i dla N > 4 spada. Prezentuje to tabela i wykres niżej:

Podobnie jak dla USA, trzymając polski indeks przez 4 lata, będziemy maksymalizować udział tego indeksu. Ponieważ większy udział indeksu oznacza większy oczekiwany zysk, to, sugerując się zasadą maksymalizacji zysków, powinniśmy przez 4 lata trzymać WIG w proporcji 25:75 w stosunku do walorów bez ryzyka, aby pokryć początkową stratę.

Widać dużą różnicę w porównaniu do S&P500, gdzie maksymalny udział portfela rynkowego był szacowany na prawie 50%. W przypadku WIG sytuacja jest gorsza, bo występują większe odchylenia i trudniej uzyskać tak dużą stopę zwrotu, która skompensowałaby w pełni straty. Wydaje się rozsądne uznać, że lokując pieniądze tylko na GPW na kilka lat, inwestor powinien zastosować udział 25%, natomiast mając portfel międzynarodowy, niecałe 50%. Jednak niezależnie od typu indeksu, horyzont 4-5-letni wydaje się optymalny, jeśli w poprzednich latach ponieśliśmy straty. Nawet jeśli ich nie ponieśliśmy, to nadal model może być przydatny, bo możemy się postawić w pozycji stratnego inwestora. Ten abstrakcyjny inwestor szacuje, kiedy wyjdzie na zero. Natomiast dla nas będzie to punkt maksymalizacji zysków. Takie podejście staje się zgodne z inwestowaniem w oparciu o cykl koniunkturalny, który wynosi właśnie ok. 4 lat (zob. Prognoza PKB na 2018 czterema metodami. oraz Prognoza WIG dwiema metodami).