sobota, 28 kwietnia 2018

Jak prawidłowo obliczać procenty składane dla niepewnych aktywów?

Różni analitycy kuszą ludzi inwestowaniem na giełdzie, przedstawiając im zasadę działania procentu składanego. Najnowszy wpis z tej serii pojawił się dziś na blogu https://pokonacgielde.blogspot.com/2018/04/efekty-procentu-skadanego-w-dugim.html. W tym przypadku autor dodatkowo błędnie przypisuje siłę inflacji do napędzania giełdy. W artykule Czy inflacja jest dobra dla akcji?  podałem dowody empiryczne, że stopy zwrotu są ujemnie skorelowane z inflacją. Ale to akurat osobny temat.

Zastanawialiście się kiedyś czy do procentu składanego wyznaczającego przyszły zysk brać średnią arytmetyczną czy geometryczną? Intuicyjnie wydaje się, że geometryczna jest poprawniejsza. Nie jest to do końca prawda. Gdyby oczekiwana stopa zwrotu była znana (a stopy zwrotu niezależne od siebie), to powinniśmy stosować średnią arytmetyczną. Gdy mamy do czynienia z lokatami, to średnia arytmetyczna staje się równa średniej geometrycznej i dlatego obydwa podejścia są tożsame. Sytuacja się zmienia na instrumentach ryzykownych. W tym przypadku oczekiwana stopa zwrotu może być znana albo nieznana. Jeśli jest znana, to, jak wyżej napisałem, stosujemy średnią arytmetyczną. Jeśli jest nieznana - jak to ma miejsce najczęściej na rynkach - sytuacja się komplikuje. W uproszczeniu, gdy mamy do czynienia z niepewnością, porada jest następująca:
* jeśli interesuje nas krótki okres czasu, to nadal stosujemy średnią arytmetyczną,
* jeśli interesuje nas średni okres czasu, to stosujemy średnią ważoną ze średniej arytmetycznej i geometrycznej,
* jeśli interesuje nas długi okres czasu, to stosujemy średnią geometryczną,
* jeśli interesuje nas bardzo długi okres czasu, tak długi, że przekracza długość próby historycznej, to stosujemy "ukaraną średnią geometryczną" z powodu niepewności co do przyszłości.

Przypomnę, że w artykule W poszukiwaniu nieznanej wartości oczekiwanej - część 1 przeprowadziłem cały dowód (na podstawie rozumowania Blume'a), że w przypadku, gdy nie znamy krótkookresowej oczekiwanej stopy zwrotu, długookresowa oczekiwana stopa zwrotu brutto (tj. zwykła, netto, po powiększeniu o 1) w przybliżeniu będzie dana wzorem:

(1)

gdzie:
T - okres przeszłości; liczba obserwacji do próby
N - okres przyszłości
A - średnia arytmetyczna stopa brutto (liczona dla danych z okresu T). Zapisalibyśmy ją A = 1 + a, gdzie a to średnia arytmetyczna netto, czyli zwykła średnia średnia arytmetyczna.
G - średnia geometryczna stopa brutto (liczona dla danych z okresu T). Zapisalibyśmy ją G = 1 + g, gdzie g to średnia geometryczna netto, czyli zwykła średnia średnia geometryczna.


Przykład: PEKAO SA (PEO).
Okres: od końca 2007 do końca 2017 r., czyli T = 10. Dane roczne ze stooq.pl, który uwzględnia dywidendy, tzn. stopy zwrotu są powiększone o dywidendy brutto. Uzyskane parametry to:
a = 1,08%
A = 1,0108
g = -0,68%
G = 1-0,0068 = 0,9932

* Jeżeli interesuje nas krótki okres, to N = 1 i wtedy wzór (1) sprowadza się do M = A. Czyli rzeczywiście dostajemy średnią arytmetyczną, tj. m = a = 1,08% rocznie.

* Jeżeli interesuje nas średni okres, np. N = 5, wtedy wzór (1) daje M^5 = 1,0157, czyli roczna oczekiwana stopa netto wynosi m = 1,0157^(1/5) - 1 = 0,3% średniorocznie.

* Jeżeli interesuje nas długi okres, np. N = 10 i wtedy wzór (1) sprowadza się do M = G. Czyli rzeczywiście dostajemy średnią geometryczną, tj. m = g = -0,68% rocznie.

* Jeżeli interesuje nas bardzo długi okres, np. N = 20, wtedy wzór (1) daje M^20 = 0,46, czyli roczna oczekiwana stopa netto wynosi m = 0,46^(1/20) - 1 = -3,8% średniorocznie.

Ogólnie biorąc N > T powoduje, że stopa zwrotu jest coraz mniejsza w sposób sztuczny, bo zostaje ukarana za to, że chcemy szacować przyszłość, nie mając wystarczającej liczby danych. Dlatego zalecałbym, aby maksymalnie N = T. Co de facto oznacza, że dla długich okresów czasu stosujemy rzeczywiście średnią geometryczną.

Gdyby występowało ryzyko inwestycji, ale ogólnie roczna oczekiwana stopa zwrotu byłaby znana, to wzór (1) sprowadziłby się do M = A.
(Łatwo zauważymy, że tak będzie, gdy spojrzymy na formułę nr (4) z artykułu, gdzie wyprowadzałem ten wzór - losowy czynnik e(t) wyniesie 0, więc M musi sprowadzić się do średniej arytmetycznej).

I teraz powrócę do tego wpisu bloga, gdzie autor propaguje rachunek procentu składanego. Autorowi wyszła roczna oczekiwana stopa zwrotu PEO równa 6,7% w przeciągu 30 kolejnych lat. Ogólnie teraz widać, gdzie popełnia on błąd (zakłada, że prawdziwa oczekiwana stopa M jest znana) ale zwrócę uwagę na dodatkowy aspekt. Otóż popełnił teoretyczny błąd polegający na włączeniu inflacji do geometrycznej stopy zwrotu. Stopa inflacji to średni wzrost cen z roku na rok. Czyli z punktu widzenia wzoru (1) jest to wzrost 1 rok naprzód. Jeśli podstawimy N = 1, to dostaniemy M = A. Oznacza to, że stopa inflacji wyraża średnią arytmetyczną stopę wzrostu. Ale w takim razie, aby obliczyć M dla PEO autor nie mógł szacować 30 lat naprzód, tj. nie mógł użyć N = 30, a tylko 1. Przypominam, że użycie średniej arytmetycznej jako składanej oczekiwanej stopy zwrotu jest możliwe tylko w trzech sytuacjach:
- oczekiwana stopa zwrotu jest znana,
- N = 1
- T jest bardzo duże, a N niewielkie w stosunku do T. Np. jeśli T = 1000, a N = 10, to z (1) wynika, że M będzie praktycznie równe A.

Nawet jeśli przyjmiemy, że oczekiwana stopa inflacji jest znana (ok. 2%) i wówczas moglibyśmy obliczyć długookresową oczekiwaną stopę inflacji za pomocą średniej arytmetycznej, to już oczekiwana stopa zwrotu z akcji jest nieznana, więc nie możemy połączyć tych dwóch stóp ze sobą. To są po prostu dwie różne kategorie.

Z drugiej strony ktoś zapyta tak, dlaczego nie można uwzględnić inflacji, przecież jeśli przyjmiemy równowagową wersję stopy zwrotu, tj. CAPM, to właśnie powinniśmy ująć inflację, która zawiera się w stopie wolnej od ryzyka, a ta z kolei siedzi w CAPM. To prawda, możemy przyjąć dwa modele jednocześnie: formułę (1) oraz CAPM. One się nie kłócą. Tylko że aby się one ze sobą zgadzały, to CAPM musi także stanowić nieznaną oczekiwaną stopę zwrotu, a skoro powiedzieliśmy, że inflacja siedzi w CAPM, to ta inflacja musi zostać przekształcona w nieznaną oczekiwaną inflację. Ponieważ nieznaną wartość oczekiwaną wyraża wzór (1), to znaczy, że inflacja także musi jemu podlegać. W sumie musimy posiadać dwa rodzaje stóp inflacji: krótkookresową - arytmetyczną oraz długoookresową - geometryczną. Obie byłyby potrzebne do użycia modelu (1). W tym sensie CAPM zostaje podzielony na dwie części: krótkookresową i długookresową. Część krótkookresowa dotyczy średniej arytmetycznej, a długookresowa - geometrycznej.

Nie zawsze da się prosto wyliczyć średnią geometryczną. Normalnie, gdy mamy same stopy, jak w przypadku inflacji, to dodajemy do każdej wartości 1, aby uzyskać stopy brutto, a następnie używamy np. formuły Excela na średnią geometryczną. Sprawa się komplikuje w przypadku zysków, które nie rzadko stają się ujemne. Wtedy nie możemy obliczyć średniej geometrycznej w taki sposób.  Zamiast tego możemy wykorzystać przybliżenie na geometryczną stopę zwrotu, które tutaj wyprowadziłem (nie mylić oznaczeń: w tamtym A to tutaj a). Wzór (1) będzie poprawny dla rozkładu normalnego, toteż ze 4-ch wyprowadzonych przybliżeń, G2 powinien być najlepszy. Przy założeniu normalności rozkładu:

(2)


gdzie V - wariancja.
Częściej interesuje nas odchylenie standardowe, stąd (2) zapiszemy:

(3)


gdzie S - odchylenie standardowe z próby.

Aby wstawić tę formułę do (1), zapiszemy:

(4)


Wstawimy (4) do (1):

(5)


W ostatnich 10 latach (T = 10) średnia inflacja (a) wyniosła 2,02%, tj. A = 1,0202, a odchylenie standardowe (S), 2,03% (Bank Światowy). Podstawmy te dane dla różnych N, aby uzyskać wgląd w oczekiwania na temat inflacji:
* dla N = 1, m = 2,02% = średnia arytmetyczna inflacji,
* dla N = 5, m = 2,01%,
*dla N = 10, m = 2% -> jest to przybliżona średnia geometryczna inflacja,
*dla N = 20, m = 1,98%
*dla N = 30, m = 1,95%.

Jedynie krótkookresowy wzrost, dla N = 1, pozwala na zastosowanie zwykłej średniej stopy inflacji. Dla dłuższych okresów, musi ona zostać odpowiednio pomniejszona. W tym przypadku akurat różnica nie jest duża, ciągle to ok. 2%. Jednak w ogólnym przypadku, gdybyśmy chcieli dodać wzrost zysków, proste łączenie arytmetycznego z geometrycznym tempem wzrostu, okazuje się błędne.

2 komentarze:

  1. Generalnie, mamienie procentem składanym w przypadku inwestycji giełdowych to chybiony pomysł, pomijając to, że używanie statystyk to też takie jedzenie zupy pałeczkami. Jednak jak się to już robi to trzeba to robić rzetelnie, jak tutaj.

    OdpowiedzUsuń
    Odpowiedzi
    1. Jeśli występują jakieś rodzaje zależności (w średniej, wariancji itp) albo niestacjonarności, to wszystko się komplikuje. Z drugiej strony, trzeba mieć na uwadze, że giełda to nie jest zwykła ruletka. Tutaj wartość oczekiwana musi być dodatnia dla inwestorów fundamentalnych, którzy mają awersję do ryzyka. Ze względu na ryzyko zdyskontują wartość rynkową w stosunku do kapitału własnego. Gdyby po roku firma została zlikwidowana, to cały kapitał wł musiałby zostać podzielony pomiędzy akcjonariuszy. Im bliżej daty tej likwidacji, to siłą rzeczy cena akcji musiałaby zbliżyć się do kapitału wł (inaczej powstałaby możliwość zysku bez ryzyka). Kapitał własny mógłby stać w miejscu przez ten rok, cena akcji i tak musiałaby się do niego zbliżać. Stąd po roku cena musiałaby wzrosnąć o tę wielkość, która dyskontowała początkowo wartość rynkową. Jeśli termin likwidacji przeniesiemy np. 30 lat do przodu, to sytuacja jest podobna, po prostu wzrost będzie rozłożony na 30 lat. Różnica jest taka, że kapitał wł przez 30 lat będzie podlegał zmianom, a więc jeśli za rok spadnie, to po roku musi nastąpić ponowny proces dyskontowania ceny, zaczynając go od początku. Jeśli wzrośnie, to aby zachować stałe dyskonto ceny do kapitału, akcje muszą wzrosnąć. Jeśli nie będzie się zmieniał, to cena musi nieco zbliżyć się do kapitału, aby po 30 latach się z nim zrównać. W ten sposób uzyskamy oczekiwaną stopę zwrotu, która jest równa stopie dyskontowej, która zawsze musi być dodatnia, aby zachować ekonomiczny sens inwestycji. Rozsądne jest więc uznanie, że stabilny biznes, jak bank, będzie miał stopę dyskontową zbliżoną do tej z przeszłości, a skoro stopa dysk = oczekiwana stopa zwrotu, to znaczy, że szacowanie średniej stopy za pomocą procentu składanego ma jak najbardziej sens.

      Usuń