CAPM - Security Market Line (SML)

Jak już zostało powiedziane, CAPM (Capital Assets Pricing Model) składa się z dwóch zależności: linii rynku kapitałowego (Capital Market Line - CML) oraz linii rynku papierów wartościowych (Security Market Line - SML). Pierwszą zależność przedstawiłem w poprzednim poście. Obecnie zajmę się drugą.

Przedsiębiorczy inwestor poszukuje najlepszych, tj. przynoszących największe zyski, walorów na rynku. Gdyby był inwestorem pasywnym, maksymalnie dywersyfikowałby portfel, co znaczyłoby, że nie wierzy w możliwość zainwestowania w najlepsze spółki i opierałby się na teorii efektywności rynku - teorii portfela Markowitza oraz CAPM-CML. Czy jest racjonalne bycie przedsiębiorczym inwestorem czy raczej pasywnym? Odpowiedź zależy od tego czy rynek jest efektywny czy nie. Jeśli jest efektywny, to jedynie racjonalne jest bycie inwestorem pasywnym (co jest oczywiście paradoksem, bo gdyby wszyscy byli racjonalni, nikt nie dyskontowałby nowych informacji, a więc rynek nie byłby efektywny; o tym paradoksie warto byłoby jeszcze podyskutować). Jeśli nie jest efektywny, wtedy warto być inwestorem przedsiębiorczym. Wynika z tego, że trzeba najpierw sprawdzić hipotezę efektywności rynku, a następnie obrać odpowiednią postawę.

Model SML pozwala właśnie sprawdzić czy rynek jest efektywny czy nie. Jest to bowiem model "wyceny" dowolnego aktywa kapitałowego, na przykład pojedynczych papierów wartościowych. Jeśli aktywo nie leży na SML, rynek nie jest efektywny. Przypomnijmy, że model CML dotyczył jedynie portfeli leżących na granicy portfeli efektywnych, a więc służył jedynie inwestorowi pasywnemu. W tym sensie model SML staje się bardziej ogólny od CML. Interpretacja SML jest następująca:

zysk z aktywów = cena czasu + cena jednostki ryzyka rynkowego*ilość ryzyka rynkowego.

Postać SML wyznacza równanie:



gdzie:

μ(i) - oczekiwana stopa zwrotu inwestycji w i-ty walor lub portfel ryzykowny w warunkach równowagi
R(f) - stopa wolna od ryzyka
μ(M) - oczekiwany zysk portfela rynkowego
beta(i) - współczynnik ryzyka systematycznego (rynkowego) i-tego waloru dany wzorem:



gdzie:

cov - kowariancja
σ(M)^2 - wariancja portfela rynkowego
R(M) - zysk portfela rynkowego
R(i) - stopa zwrotu inwestycji w i-ty walor lub portfel ryzykowny

Współczynnik beta staje się wskaźnikiem ryzyka (ilość ryzyka), zastępując tym samym odchylenie standardowe w modelu CML. Wielkość R(M)-R(f) nazywana jest premią za ryzyko. Premia za ryzyko stanowi więc cenę jednostki ryzyka.

Można udowodnić, że w warunkach równowagi (rynku efektywnego), kiedy wszyscy inwestorzy wybierają portfele znajdujące się na CML, stopy zwrotu poszczególnych portfeli ryzykownych (w tym również pojedynczych walorów) są wyznaczane przez równanie SML.

1. Wyprowadzenie modelu

Przypomnijmy metodę tworzenia linii CML. Na poniższym rysunku widać krzywą minimalnego ryzyka, na której leży portfel rynkowy M, zaś CML powstaje poprzez dołączenie do tego portfela instrumentu bez ryzyka rynkowego F, co graficznie powoduje utworzenie się linii prostej łączącej F z M:



Pamiętajmy, że ta krzywa powstaje w oparciu o wszystkie ryzykowne aktywa kapitałowe. Dzięki temu dywersyfikacja ryzyka jest maksymalna dla aktywów ryzykownych, co powoduje, że krzywa minimalnego ryzyka przesunięta jest maksymalnie w lewo.

Jednym z aktywów ryzykownych jest walor A widoczny na rysunku. Możemy zrobić następujący zabieg: potraktować portfel M jak zwykły walor i stworzyć portfele złożone z dwóch walorów: A i M. Taki schemat pokazano na poniższym rysunku:



Należy zauważyć, że powstała krzywa musi mieć nachylenie równe CML. Dlaczego? Spójrzmy na sytuację, gdy krzywa jest nachylona na lewo od punktu M:



A teraz na prawo od M:



W obydwu przypadkach nowa zakreskowana CML jest mocniej nachylona niż pierwotna, co zostaje spowodowane innym nachyleniem krzywej minimalnego ryzyka. Staje się więc możliwe uzyskanie wyższej oczekiwanej stopy zwrotu przy danym ryzyku, albowiem nowa CML okazuje się być bardziej efektywna. Ale to przeczy logice: pierwotna krzywa minimalnego ryzyka optymalizuje portfele składające się ze wszystkich ryzykowanych walorów, zatem również powstająca w oparciu o nią CML musi być najlepszą z możliwych. Wynika z tego, że nowa krzywa minimalnego ryzyka musi mieć w punkcie M nachylenie równe pierwotnej CML.

Na naszym rysunku widoczny jest portfel P1 złożony z A i M. Oczekiwana stopa zwrotu P1 (μ(P1)) jest dana wzorem:

(1)


gdzie:

x - udział waloru A, μ(A) - oczekiwana stopa zwrotu waloru A, μ(M) - oczekiwana stopa zwrotu portfela rynkowego M.

Z kolei odchylenie standardowe stopy zwrotu P1 (σ(P1)) jest równe:

(2)


σ(A)^2 - wariancja stopy zwrotu A, σ(M)^2 - wariancja stopy zwrotu M, Cov(A,M) - kowariancja stóp zwrotu A i M.

Rozważmy nachylenie krzywej minimalnego ryzyka w punkcie P1, z którym ściśle związany jest tangens kąta nachylenia tej krzywej. Tangens kąta jest to pochodna μ(P1) względem σ(P1). Jednocześnie μ(P1) oraz σ(P1) są funkcjami zależnymi od udziału x. Zatem pochodna μ(P1) względem σ(P1) jest pochodną zewnętrzną, natomiast zarówno pochodna μ(P1) względem x jak i σ(P1) względem x jest pochodną wewnętrzną. Aby wyznaczyć pochodną zewnętrzną, wyznaczamy najpierw wewnętrzną zgodnie ze wzorem:

(3)


Na podstawie (1) dostajemy:

(4)


Na podstawie (2) dostajemy

(5)


Kolejny krok polega na tym, że przesuwamy po krzywej portfel P1 w stronę M. W punkcie M udział x wynosi 0. Uwzględniając to i podstawiając (4) i (5) do (3) otrzymujemy:

(6)


Przedostatni krok polega na spostrzeżeniu, że w punkcie M nachylenie krzywej minimalnego ryzyka jest równe nachyleniu CML. Przypomnijmy, że wzór na oczekiwaną stopę zwrotu portfela CML jest dany wzorem:

(7)


Dla przypomnienia - tutaj wyprowadzam CML.

Zatem tangens kąta nachylenia krzywej jest równy współczynnikowi kierunkowemu CML:



Po przekształceniu tego równania otrzymujemy:



Upraszczając to zapisujemy:



Ostatni krok polega na zauważeniu, że powyższą procedurę możemy powtarzać dla każdego i-tego waloru. Zastąpimy A literką i:



I to jest właśnie równanie SML.

Ponieważ beta(i) i μ(i) będą zmieniać swoje wartości dla różnych i-tych aktywów, natomiast R(f) i μ(M) są stałe, to możemy potraktować SML jako zwykłą funkcję liniową. Wielkość R(f) - μ(M) to współczynnik kierunkowy SML. Graficznie SML przedstawia rysunek:



Teraz udowodnimy, że SML stanowi uogólnienie CML. Wzór na betę zawiera kowariancję. Przypomnijmy, że kowariancja może być wyrażona za pomocą wzoru:



gdzie ρ(i,M) to współczynnik korelacji liniowej pomiędzy walorem i oraz M.

Zatem równanie SML można wyrazić w postaci:

Łatwo zauważyć, że gdy współczynnik korelacji równa się 1, wtedy SML = CML. Dokładnie tak; SML staje się CML, ponieważ walor i zmienia się dokładnie z taką samą siłą i kierunkiem jak M. W końcu w CML siedzi zawsze pewna część M, natomiast drugą część stanowi niezmienna stopa zwrotu wolna od ryzyka R(f).

Należy rozumieć, że SML jest rozszerzeniem CML na wszelkie aktywa kapitałowe. Portfele CML były efektywne w sensie Markowitza. Portfele SML muszą być dobrze wycenione, a nie muszą być efektywne.

2. Współczynnik beta

Współczynnik beta jest często określany mianem ryzyka systematycznego (rynkowego), gdyż wskazuje na wrażliwość zmiany ceny aktywa na zmiany ceny portfela rynkowego. Współczynnik beta decyduje o tym, jaką część premii za ryzyko rynku stanowi premia za ryzyko z tytułu inwestycji w portfel ryzykowny. Można bowiem zapisać, że


Jeżeli beta=0, wówczas stopa zwrotu i-tego waloru nie zależy od zmian koniunktury giełdowej. Jeżeli 0 < beta < 1, wówczas poprawie koniunktury na giełdzie mierzonej przyrostem tempa wzrostu portfela rynkowego (przybliżanego indeksem giełdowym) o 1% towarzyszy przyrost stopy zwrotu i-tego waloru o mniej niż 1%. W przypadku, gdy beta=1 stopa zwrotu z analizowanego waloru wzrasta w takim samym tempie jak indeks giełdowy. Jeżeli beta > 1, wtedy poprawa koniunktury giełdowej mierzona przyrostem tempa wzrostu indeksu giełdowego o 1% wywołuje przyrost stopy zwrotu i-tego waloru o więcej niż 1%. Ujemna wartość współczynnika beta może być interpretowana jako przejaw kształtowania się stopy zwrotu wbrew tendencji panującej na rynku, czyli oznacza jej spadek o beta% w sytuacji poprawy koniunktury o 1%.

Z jednej strony, jeśli akcje są silniej skorelowane z rynkiem, to rośnie beta. Z drugiej strony, jeśli zmienność akcji rośnie szybciej niż zmienność rynku, wtedy też rośnie beta. Beta nazywa się ryzykiem systematycznym, ponieważ nie ma sposobu na jego dywersyfikację - będzie systematycznie towarzyszyć inwestycji.

4. Równowaga na rynku kapitałowym

Co by się stało, gdyby oczekiwana stopa zwrotu nie leżała na linii rynku papierów wartościowych?

a) Leży powyżej SML

μ(i) > R(f)+ β[μ(m) - R(f)] => μ(i)- β[μ(m) - R(f)] > R(f).

Aktywa te stanowią bardzo dobry interes. Po skorygowaniu ich stopy zwrotu o ryzyko przynoszą wciąż wyższy przychód niż aktywa wolne od ryzyka. Jeśli inwestorzy odkryją, że takie aktywa istnieją, zechcą je kupić. Ktoś musi im sprzedać, kto również widzi tę zależność. Żeby więc inwestor mógł kupić aktywa, będzie musiał podnieść swoją cenę. Ponieważ stopa zwrotu to (cena 1 - cena 0)/(cena 0), cena 0 wzrośnie, a więc stopa zwrotu spadnie, tak że nadwyżka zysku zostanie zredukowana.

b) Leży poniżej SML

μ(i) < R(f)+ β[μ(m) - R(f)] => μ(i) - β[μ(m) - R(f)] < R(f).

Wszystko na odwrót. Aktywa te stanowią bardzo zły interes. Po skorygowaniu ich stopy zwrotu o ryzyko przynoszą niższy przychód niż aktywa wolne od ryzyka. Jeśli inwestorzy odkryją, że takie aktywa istnieją, zechcą je sprzedać. Ktoś musi od nich kupić, kto również widzi tę zależność. Żeby więc inwestor mógł sprzedać aktywa, będzie musiał obniżyć swoją cenę 0, co oznacza wzrost stopy zwrotu, czyli redukcję niepożądanej straty.

Rynek powinien więc dążyć do równowagi, czyli do spełnienia równania SML, μ(i) = R(f)+ β[μ(m)-R(f)]

5. Problemy praktyczne

Jeśli oczekiwana stopa zwrotu nie będzie leżeć na linii SML, to CAPM stwierdza, że rynek nie jest efektywny. Należy być jednak ostrożnym w stawianiu tezy o nieefektywności rynku, bo założenie o jednorodności i niezależności parametrów w czasie mogą być nieprawdziwe. (Należy wykorzystać wtedy uogólniony model CAPM).

W końcu trzeba znów podkreślić, że na dziś CAPM jest nieweryfikowalny. Portfel rynkowy bowiem zawiera wszelkie, nawet bardzo specyficzne aktywa na rynku (przy założeniu, że posiadają mierzalne parametry stopy zwrotu), będąc przy tym efektywnym w sensie Markowitza. Portfel indeksu giełdowego, który ma zastępować portfel rynkowy, nie musi być efektywny. Jeśli jakiś walor (portfel) uzyskuje stopę zwrotu średnio większą od indeksu giełdowego, to tylko w tym sensie oceniamy, że przynosi on ponadprzeciętne zyski. Jeśli słyszymy, że jakieś badanie wykazało, że CAPM nie sprawdza się w praktyce, to możemy być pewni, że badacz wcale tego nie udowodnił (na dziś). W istocie portfel rynkowy będzie stanowił indeks giełdowy tylko przy założeniu, że wszyscy inwestorzy będą racjonalni (pełne wyjaśnienie tego zagadnienia we wpisie: Dlaczego indeks ważony kapitalizacją uważany jest za benchmark? ).

6. Podsumowanie

CAPM-SML stanowi swego rodzaju uogólnienie CAPM-CML, rozszerzając go na wszelkie aktywa kapitałowe. Model ma na celu prawidłowo wycenić dowolny walor poprzez wyznaczenie optymalnej struktury zysku jaki on generuje i ryzyka systematycznego towarzyszącego mu. Jest to model zupełnie różny od CML z dwóch związanych ze sobą powodów. Po pierwsze nie służy on inwestorowi pasywnemu, który jedynie dywersyfikuje portfel, lecz przedsiębiorczemu, aby mógł sprawdzić hipotezę rynku efektywnego. Na podstawie SML inwestor może oszacować czy walor jest przewartościowany, niedowartościowany czy dobrze wyceniony. Po drugie zapis SML - choć na pierwszy rzut oka bardzo podobny do CML - znaczy kompletnie co innego. W modelu CML inwestor kupuje w pewnych proporcjach wolne od ryzyka na przykład obligacje skarbowe i portfel rynkowy. Ograniczają go jedynie jego możliwości kapitałowe, stąd wyznacza on własną kombinację zysku wolnego od ryzyka i oczekiwanego zysku z portfela rynkowego. W modelu SML nie musi kupować żadnych obligacji skarbowych ani też portfela rynkowego. Instrumenty te stają się jedynie punktem zaczepienia przy osiąganiu stopy zwrotu z akcji czy innych aktyw kapitałowych. Implikacją jest to, że na efektywnym rynku, czyli na linii SML, giełda pozwala zarobić na dowolnym papierze wartościowym lub portfelu dokładnie tyle ile daje papier wolny od ryzyka (cena za czas) plus tyle ile wynosi premia za ryzyko przemnożona przez ilość ryzyka (cena ryzyka).


P.S. Chociaż CAPM został uogólniony na model APT (Teorię Arbitrażu Cenowego wprowadzoną przez Stephana Rossa), to jednak ten drugi nie jest już modelem tak zwartym teoretycznie jak CAPM. CAPM chociażby teoretycznie (a może nawet kiedyś praktycznie) jest falsyfikowalny, a APT nawet teoretycznie nie jest. Jego uogólnienie polega po prostu na uogólnieniu czynników ryzyka, nie mówi się jednak jakie są to czynniki. Jajuga podaje, że na amerykańskim rynku takimi czynnikami są m.in. zmiany PKB, zmiany stopy bezrobocia, zmiany stopy inflacji, zmiany indeksu produkcji przemysłowej, zmiany w różnicy stóp dochodu obligacji o wysokim i niskim ryzyku itp. W sumie więc wszelkie wskaźniki ekonomiczne. Oczywiście przy większej liczbie zmiennych objaśniających, linia SML (tutaj nazywana linią arbitrażu cenowego) staje się hiperpłaszczyzną. W modelu APT nie musi być wcale oczekiwanego zysku portfela rynkowego. Można powiedzieć, że został on rozbity na wiele czynników, bowiem już ten zysk powinien mieć zakodowaną informację o wszystkich przedstawionych elementach wpływających na zmiany kursu. APT jest to model do eksperymentowania, nie do weryfikowania.

W ten sposób zakończyliśmy klasyczną teorię rynków kapitałowych. Należy jednak powiedzieć wprost - to jedynie wstęp do modeli uogólnionych.

Źródło:

1. T. Bołt, Rynki finansowe, część II, rok akademicki 2004/2005;
2. H. R. Varian, Mikroekonomia, W-wa 2002.
3. K. Jajuga, T. Jajuga, Inwestycje. Instrumenty finansowe, ryzyko finansowe, inżynieria finansowa, 2006.

CAPM - Capital Market Line (CML)

Teoria efektywnego rynku mówi prosto i zwięźle: nie można oczekiwać od portfela efektywnego więcej niż dają instrumenty pewne (wolne od ryzyka), jeśli nie uwzględnimy ryzyka związanego z transakcją.
Zgodnie z tą tezą oczekiwana stopa zwrotu z efektywnego portfela aktywów jest równa stopie zwrotu z instrumentu bez ryzyka rynkowego (cenie czasu) skorygowanej o stopę zwrotu z ryzyka (cenę ryzyka). Czyli:

zysk z portfela aktywów kapitałowych = cena czasu + cena ryzyka portfela.

Cenę ryzyka portfela można wyobrazić sobie jako cenę pewnej ilości produktów danego rodzaju. Cena ta zawiera dwa składniki: cenę jednostki produktu (ryzyka) oraz ilość produktu (ryzyka portfela):

zysk z portfela aktywów kapitałowych = cena czasu + cena jednostki ryzyka*ilość ryzyka portfela.

Model wyceny aktywów kapitałowych (Capital Assets Pricing Model - CAPM) ma właśnie taką interpretację. Został on wprowadzony przez Williama Sharpe'a, Johna Lintnera i Jana Mossina. Podstawą CAPM są dwie zależności i zajmiemy się obecnie pierwszą. Jest to linia rynku kapitałowego (Capital Market Line - CML), która wyraża się wzorem:



μ(p) - oczekiwana stopa zwrotu z portfela P
R(f) - stopa wolna od ryzyka (zysk z obligacji skarbowych, bonów skarbowych, lokat)
μ(M) - oczekiwana stopa zwrotu z tzw. portfela rynkowego
σ(M) - odchylenie standardowe stopy zwrotu z portfela rynkowego
σ(p) - odchylenie standardowe stopy zwrotu z portfela P

Wyprowadzenie modelu

1. Parametry portfela

CML wyprowadza się poprzez uogólnienie modelu Markowitza. Model Markowitza optymalizował ryzyko portfela składającego się z aktywów ryzykownych przy danym poziomie oczekiwanej stopy zwrotu. Przy różnych poziomach wymaganej oczekiwanej stopy zwrotu tworzył granicę portfeli efektywnych. Szczególnym przypadkiem aktywów ryzykownych są aktywa wolne od ryzyka. Jeśli portfel został powiększony o takie aktywo, standardowa granica efektywnych portfeli zmieni kształt.

Ponieważ jednak aktywa bez ryzyka mają nieco inny status niż z ryzykiem, nie tworzymy portfela bezpośrednio zawierającego aktywo wolne od ryzyka, ale rozdzielamy: tworzymy kombinację liniową portfela utworzonego za pomocą metody Markowitza i aktywa pozbawionego ryzyka. Takie podejście nie zmienia w ogóle parametrów portfela (oczekiwanego zysku i ryzyka), czyli jest równoważne temu, gdybyśmy potraktowali zwyczajnie aktywo bez ryzyka i wstawili je w skład portfela akcji. Wynika to z twierdzenia o podziale funduszy (Mutual fund separation theorem) - dowód na to twierdzenie można znaleźć np. u Mertona (zob. źródła poniżej).

Załóżmy, że inwestor chce skonstruować portfel inwestycyjny składający się z waloru ryzykownego, którym jest nasz portfel uprzednio konstruowany metodą Markowitza oraz waloru przynoszącego zysk pewny. Stopą zwrotu portfela o takiej strukturze jest:



natomiast wartością oczekiwaną



Wartość oczekiwana stopy wolnej od ryzyka jest równa tej stopie. Zatem wariancją stopy zwrotu tak skonstruowanego portfela jest:



Zatem ryzyko portfela zawierającego walor pewny wynosi:



Czyli odpowiednio podstawiając do wzoru na stopę zwrotu:



Stopa zwrotu z portfela jest funkcją liniową, której współczynnik kierunkowy jest równy:



Tak samo wyprowadzamy dla oczekiwanej stopy zwrotu i otrzymujemy



Z modelu Markowitza wiemy, że walor C musi leżeć na granicy portfeli efektywnych. Uwzględniając walor wolny od ryzyka, dostaniemy nową granicę portfeli efektywnych. Jest to linia prosta, co ukazuje poniższy rysunek:



Zwiększając udział papierów pozbawionych ryzyka w portfelu zmniejszamy ryzyko portfela. Wniosek jest oczywisty. Odcinek FC definiuje dwuskładnikowe kombinacje ryzykownego waloru C oraz waloru pewnego F. Punkty P, P', P'' na tym odcinku oznaczają portfele o różnej strukturze. Pierwszy z nich oznacza portfel o większym udziale papieru ryzykownego, drugi oznacza portfel równomierny, natomiast trzeci o większym udziale papieru pozbawionego ryzyka.
Punkt C oznacza portfel w sytuacji, gdy x(f)=0, czyli jest to portfel ryzykowny C. Przesuwając się od punktu C w kierunku punktu F otrzymujemy portfele zawierające coraz większy udział papierów pewnych. Portfele takie mają coraz mniejsze ryzyko i coraz mniejszą wartość oczekiwaną. Posuwając się od punktu F w górę po odcinku FC otrzymujemy portfele o coraz mniejszym udziale papierów pewnych. Zatem są one coraz bardziej ryzykowne lecz przynoszą większy oczekiwany zysk.

Należy zwrócić uwagę, że uwzględnienie waloru pewnego zmniejsza ryzyko, nie zmniejszając oczekiwanej stopy zwrotu. Tak definiowaliśmy dywersyfikację, którą teraz udoskonaliliśmy. Żeby to zobaczyć, wystarczy spojrzeć na linię oraz krzywą oddaloną na prawo lub na lewo od punktu C. Widać, że ta część linii prostej leży powyżej krzywej Markowitza. Oznacza to, że albo oczekiwany zysk można zwiększyć przy tym samym poziomie ryzyka lub zmniejszyć ryzyko przy tym samym poziomie oczekiwanego zysku. 

2. Pożyczanie

Powstaje pytanie co się dzieje na prawo od punktu C. Gdy przesuwamy się na prawo od tego punktu, na przykład do punktu P''', waga waloru pewnego x(f) staje się ujemna, a więc jest to sytuacja, gdy nie my pożyczamy komuś pieniądze, lecz to nam udziela się kredytu. Na lewo od punktu C przez fakt zakupu obligacji - inwestor pożycza rządowi swoje pieniądze oczekując pewnego zysku w wysokości R(f), a rząd w tym czasie finansuje swoje projekty. Odwrotnie jest, gdy inwestorowi się pożycza pieniądze, które przeznacza na dodatkową inwestycję w walor C. Oczywiście dzięki dodatkowym środkom, można jeszcze więcej zarobić, ale i jeszcze więcej stracić ze względu na konieczność zwrócenia pożyczonych pieniędzy wraz z odsetkami. Jest to więc podobna sytuacja do krótkiej sprzedaży, z jaką mieliśmy do czynienia w modelu Markowitza.

Sztucznie założyliśmy, że stopa procentowa kredytu, pożyczki jest równa stopie wolnej od ryzyka. W rzeczywistości będzie sporo wyższa. Dlatego na prawo od punktu C, linia zmniejszy nachylenie, tak, że oczekiwany zysk inwestora spadnie. W tym temacie kwestia ta jednak nas nie interesuje i zakładamy, że obie stopy procentowe są sobie równe.

3. Portfel rynkowy

Jeśli portfel C zawiera wszystkie walory ryzykowne handlowane na rynku, wtedy nazywamy go portfelem rynkowym. Ponieważ jednocześnie znajduje się on na granicy portfeli efektywnych, jest on doskonale zdywersyfikowany. Portfel rynkowy jest zatem reprezentantem rynku. Taki portfel będziemy oznaczać literką M, która zastępuje C.
Prosta przechodząca przez punkty FM nazywa się linią rynku kapitałowego (Capital Market Line - CML).

W takim razie, wzór na CML jest następujący:



co chcieliśmy wyprowadzić.

Poniższy rysunek przedstawia właśnie CML:

4. Problemy techniczne

Powstaje pytanie jak można interpretować portfel rynkowy z praktycznego punktu widzenia. Gdybyśmy mieli wygenerować taki portfel za pomocą metody Markowitza, to choć teoretycznie jest to możliwe, w praktyce pomysł ten rodzi wielkie komplikacje. Jeśli na rynku występuje n spółek, konieczne jest wyznaczenie n(n-1)/2 wartości współczynników korelacji par akcji (wynika z wzoru na liczbę kombinacji bez powtórzeń). Obecnie na podstawowym rynku jest 319 spółek, a więc musimy obliczyć 50721 współczynników korelacji. Ale pamiętajmy, że portfel rynkowy ma uwzględniać wszystkie walory. Powinniśmy więc uwzględnić w nim wszystkie możliwe i handlowane na całym świecie, nawet bardzo egzotyczne, walory - nie tylko spółki. Już gdyby tylko uwzględnić dodatkowo S&P500, to dostajemy (319+500)(319+500-1)/2 = 334971 kombinacji.

Powyższy problem omija się, zakładając, że indeks giełdowy ważony kapitalizacją dobrze odzwierciedla portfel rynkowy. Trochę to jest niebezpieczne, bo duża kapitalizacja sprawi, że będziemy trzymać dużą część spółek dużych z WIG20, co może być nieadekwatne do ponoszonego ryzyka. Ale coś za coś. Takie rozwiązanie pozwala bardzo szybko obliczyć oczekiwaną stopę zwrotu z CML. Dlaczego wybieramy akurat indeks ważony kapitalizacją? Ponieważ, jeśli wszyscy racjonalnie inwestują w spółki w oparciu o CML, to wszyscy muszą posiadać portfel rynkowy M. Wówczas M staje się indeksem ważonym kapitalizacją. Szerzej wyjaśniłem ten problem w artykule Dlaczego indeks ważony kapitalizacją uważany jest za benchmark?.

5. Wybór portfela

Podobnie jak w teorii Markowitza inwestor dokonuje wyboru kombinacji oczekiwanego zysku z portfela μ(p)* i ryzyka mu towarzyszącego σ(p)*. Oczywiście wybiera albo pewien poziom zysku i przygląda się odpowiadającemu mu ryzyku, albo pewien poziom ryzyka, któremu odpowiada jakiś zysk. Preferencje zależą od funkcji użyteczności, którą reprezentują krzywe obojętności, już wcześniej definiowane (z matematycznego punktu widzenia są to warstwice funkcji). Od kształtu krzywej obojętności zależy, który punkt zostanie wybrany. Punkt styczności krzywej obojętności z CML jest właśnie punktem optymalnym. Krzywa obojętności, która styka się z CML leży możliwie najdalej od początku układu współrzędnych, tak jak to pokazuje poniższy rysunek.



Inwestor wybiera ile chce rynku aktywów ryzykownych, a ile instrumentu bez ryzyka. Model CAPM wprowadza więc dodatkowo substytucyjność pomiędzy dwoma dobrami. Trzeba przyznać, bardzo elegancki model.

6. Podsumowanie

Reasumując, CAPM-CML pozwala wyznaczyć optymalną kombinację zysku wolnego od ryzyka oraz zysku generowanego przez rynek aktywów ryzykownych, przy czym ten ostatni jest aproksymowany przez indeks giełdowy ważony kapitalizacją. W jeszcze większym skrócie, wyznacza optymalny zysk na całym rynku kapitałowym, gdy rynek pozostaje efektywny.

Źródło:
1. T. Bołt, Rynki finansowe, część II, rok akademicki 2004/2005;
2. K. Jajuga, T. Jajuga, Inwestycje. Instrumenty finansowe, ryzyko finansowe, inżynieria finansowa.
3. R. C. Merton, An Analytic Derivation of the Efficient Portfolio Frontier. Sep., 1972

Giełda nie jest normalna

Dziś napisałem dwa posty, a ten jest bardzo krótki. Sprawdziłem czy w poprzedniej analizie metodą Markowitza stopy zwrotu mogły być przybliżane rozkładem normalnym. Ogólnie mówiąc test Shapiro-Wilka wykazał, że w 2009 r. dla większości spółek nie można było odrzucić hipotezy o normalności rozkładów tygodniowych stóp zwrotu. Wyjątkiem był INK, który nie miał z pewnością rozkładu normalnego, a IEA był na granicy i raczej też nie (na poziomie istotności 0,05). Zresztą potwierdzają to dane o kurtozie i współczynniku asymetrii, które dla tych spółek istotnie różnią się od 0 (dla rozkładu Gaussa równe są zero). Oczywiście brak istotności co do odrzucenia hipotezy wynikło głównie z faktu, iż tygodniowych danych było jedynie 30. Gdy zbadałem KGH od 2000 r. rozkład okazał się daleki od normalnego i leptokurtyczny (kurtoza > 0). To samo WIG - im większy zakres danych, tym bardziej uwidacznia się leptokurtoza. Warto wiedzieć, że rozkłady leptokurtyczne są dobrze opisywane przez rozkłady Levy'ego. Rozkład ten jednak posiada nieskończoną wariancję. Oznacza to, że wariancja nie zbiega do żadnej średniej. Wszystko to sprawia, że model Markowitza w formie standardowej nie może być poprawnym modelem minimalizującym ryzyko portfela dla akcji. Należałoby go zmodyfikować lub uogólnić.

Markowitz w praktyce

Na tym blogu ważna jest teoria, ale jeszcze ważniejsza praktyka. Dlatego sporządziłem analizę portfela akcji kilku spółek na warszawskiej giełdzie w oparciu o teorię portfela Markowitza. W sumie postawiłem 2 cele: odnaleźć wagi portfelowe, przy których ryzyko byłoby najmniejsze dla wymaganej stopy zwrotu w danym okresie oraz sprawdzić czy obliczone wagi faktycznie warto byłoby ekstrapolować w przyszłość.

Wybrałem 5 spółek z różnych sektorów. Są to: KGHM Polska Miedź SA (przemysł metalowy) (KGH), PKN Orlen (PKN) (przemysł paliwowy), Instal Kraków (budownictwo) (INK), ING Bank Śląski (BSK) (banki), Immoeast AG (IEA) (deweloperzy). Intuicyjnie domyślamy się, że przemysł metalowy będzie dość mocno korelował z budownictwem, budownictwo z bankami oraz z deweloperami. Czy tezy te okażą się słuszne?

Dane objęły okres od 2.03.2009 do 31.12.2009, a więc od początku hossy na WIG-ach do końca 2009 r - 10 miesięcy (jednak jak widać niektóre spółki zaczęły wcześniej hossę). Popatrzmy na zachowania wybranych spółek.



Od drugiej połowy jedynie INK traci impet ze względu na stagnację/osłabienie rynku budowlanego (jednak sektor ten gwałtownie odbija na giełdzie od końca 2009) Generalnie WIG-BUDOWNICTWO przeżywa dużą korektę od drugiej połowy roku, jednak na jego tle INK trzyma się i tak całkiem nieźle. Mimo wszystko pokazuje to, że przy inwestycji w akcje pewnej spółki po pierwsze należy ocenić ją na tle WIG20 (oraz indeksów światowych) i WIG, po drugie na tle indeksu sektora, do którego należy dana spółka, po trzecie dopiero wówczas jej własną sytuację. Chodzi przede wszystkim o to, że koniunktura na zewnątrz prędzej czy później wpłynie na koniunkturę samej spółki.

Aby zrealizować 2 powzięte cele, podzieliłem analizę na dwa etapy: pierwszy dotyczy 7 kolejnych miesięcy - od 02.03.09 do 29.09.09, a drugi całego okresu badań, po to by na końcu porównać wyniki z obu okresów. Interesowały mnie tygodniowe i miesięczne stopy zwrotu. Tak więc każdy z dwu etapów jest podzielony na dwie części: analizę tygodniowych oraz miesięcznych stóp zwrotu.

ETAP 1 (od 02.03.09 do 29.09.09).

a) Tygodniowe stopy zwrotu.

Oczekiwana stopa zwrotu z akcji została aproksymowana do średniej arytmetycznej stopy zwrotu(%). Wektor średnich stóp zwrotu μ ma postać:



Odchylenie standardowe z akcji:



Tu warto na chwilę się zatrzymać. Zgodnie z teorią, większemu oczekiwanemu zyskowi z danego waloru powinno towarzyszyć większe ryzyko. Jednak dane pokazują, iż jest to prawda tylko w przypadku skrajnych średnich zysków. Zależności te ilustruje poniższy rysunek. Niebieski kolor oznacza odchylenie standardowe waloru. brązowy - średnią stopę zwrotu.



Ciekawym przypadkiem jest BSK, który przynosi bardzo duże tygodniowe średnie zyski, bo aż 6,2% przy 6,4% ryzyku (odchyleniu standardowym). W porównaniu z resztą aktywów kurs porusza się niemal po linii prostej. Kiedy spojrzymy na wykres, zobaczymy, że tak jest w istocie. Inaczej już jest z IEA, którego średni tygodniowy zysk to aż 8%, lecz już przy 13,9% ryzyku. I to również widać po kursie jak mocno się odchyla. Łatwo się więc domyślić, że BSK będzie zajmował w portfelu dużą część, jeśli wymagana stopa zwrotu będzie niezbyt niska.

Macierz korelacji:



Korelacja pomiędzy KGH (p. metalowy) a INK (budownictwo) rzeczywiście jest silna, wynosi ponad 0,6 i jest najwyższa ze wszystkich. Jednak pomiędzy INK a IEA (deweloperzy) korelacja jest nieco ujemna. W ogóle IEA zachowuje się w sposób odwrotny do reszty spółek. Najsilniejsza ujemna korelacja występuje pomiędzy KGH a IEA (-0,2).

Znając parametry możemy obliczyć wagi portfelowe przy minimalnym ryzyku, wykorzystując podane wzory w poprzednim wykładzie, które można tutaj odnaleźć. W jaki sposób wyprowadza się te wzory, można zobaczyć tutaj.

I tak chcąc uzyskać średnio 6% tygodniowo przy 4,66% ryzyku, wagi powinny być w przybliżeniu następujące: 8% KGH, -0,5% PKN, 19,2% INK, 54% BSK, 19,2% IEA. Ujemna waga PKN oznacza więc, że aby uzyskać 6% tygodniowo minimalnie przy tym ryzykując, potrzeba wykorzystać krótką sprzedaż. Im większą chcemy oczekiwać stopę zwrotu, tym więcej musielibyśmy sprzedać "krótko". Niestety nie uwzględniamy tutaj, że krótka sprzedaż jest rodzajem oprocentowanej pożyczki, a więc ryzyko takiej transakcji się zwiększa, a model komplikuje. Aby model mógł być realistyczny, powinniśmy więc wymagać nieco mniejszą stopę zwrotu niż 6%, na przykład 5,5%. Wtedy wagi wynoszą: 1,74%; 9,4%; 26,3%; 46,6%; 16%. Przy takich wagach odchylenie standardowe wynosi 4,6%. Pojawienie się krótkiej sprzedaży przy niewygórowanym zysku wynika z występowania słabej korelacji pomiędzy oczekiwaną stopą zwrotu a wariancją (współczynnik korelacji = 0,5). Niejako "pozbywamy się" "gorszych" walorów, aby więcej inwestować w "lepsze" (jak BSK). W sumie nieopłacalne było trzymanie PKN w tym okresie w porównaniu z innymi akcjami.

Należy odnotować, że gdybyśmy podzielili wszystkie udziały walorów po równo, czyli stworzyli arytmetyczną średnią oczekiwaną stopę zwrotu z portfela, zarabialibyśmy tygodniowo średnio 5% przy 5,17% odchylenia. Ten sam zysk, lecz przy odchyleniu 4,74% uzyskalibyśmy, gdybyśmy przyjęli wagi: -4,5%; 19,3%; 33,5%; 39%; 12,7%, a więc już przy krótkiej sprzedaży KGH - po pierwsze spółka ta posiada trzecią co do wysokości wariancję, po drugie ważną rolę odgrywają korelacje. Graficzne relacje pomiędzy oczekiwanymi zyskami z portfela a minimalnym ryzykiem (odchyleniem standardowym) w procentach, czyli krzywą minimalnego ryzyka ilustruje poniższy rysunek:



b) Miesięczne stopy zwrotu.

Średnie arytmetyczne stopy zwrotu(%) z akcji jako wektor μ mają postać:


Odchylenie standardowe z akcji:



Zależności średni zysk-ryzyko ilustruje poniższy rysunek.



Tym razem jedynie BSK zachowuje się "nieefektywnie".

Macierz korelacji:



Sytuacja "się normuje", IEA koreluje dodatnio ze wszystkimi spółkami z wyjątkiem INK, z którym nie jest skorelowana. Warto zwrócić uwagę na korelację pomiędzy KGH a INK, która wynosi prawie 1.

Średnia miesięczna stopa zwrotu portfela (wszystkie udziały akcji po równo) wyniosła 28% przy 17% ryzyka. Ten sam zysk można uzyskać przy 12,7% ryzyka stosując wagi(%): 22,9; 12,4; 17,8; 59,5; -0,12. Krzywą minimalnego ryzyka przedstawia poniższy rysunek:



ETAP 2 (od 02.03.09 do 31.12.09).

a) Tygodniowe stopy zwrotu.

Średnie arytmetyczne stopy zwrotu(%) z akcji jako wektor μ mają postać:


Odchylenie standardowe (z populacji) z akcji:



Macierz korelacji:



Średnia tygodniowa stopa zwrotu portfela (wszystkie udziały akcji po równo) wyniosła 3,86% przy 4,9% ryzyka. Ten sam zysk można uzyskać przy 4,43% ryzyka stosując wagi(%): -2; 16,4; 32,4; 40,9; 12,3.

Możemy porównać wyniki z okresu 02.03.09-29.09.09 z wynikami z okresu 02.03.09-31.12.09. Czy sporządzone optymalne wagi portfelowe dla pierwszego z tych okresów byłyby również optymalne dla drugiego, czyli całego okresu badań? Poniższy rysunek ilustruje, że krzywa minimalnego ryzyka znacznie przesuwa się, gdy uwzględnimy cały zakres danych. Różowymi kropkami oznaczono krzywą granicy minimalnego ryzyka dla okresu 02.03.09-29.09.09 (to co być powinno - dlatego na różowo, dla optymistów), zaś niebieskimi dla 02.03.09-31.12.09 (to co jest).



Okazuje się, że dla całego okresu oczekiwany zysk jest mniejszy, przesunięcie krzywej jest niekorzystne dla inwestora, gdyż na granicy efektywnej przy danym oczekiwanym zysku ponosi on większe ryzyko.

b) Miesięczne stopy zwrotu.

Średnie arytmetyczne stopy zwrotu(%) μ mają postać:


Odchylenie standardowe (z populacji) z akcji:



Macierz korelacji:



Równoważona średnia miesięczna stopa zwrotu z portfela wyniosła 18,1% przy 17,3% ryzyku. A więc w stosunku do okresu z pierwszego etapu zysk spada o 10 pkt proc., a ryzyko pozostaje prawie na tym samym poziomie. Jednak ten zysk 18,1% można uzyskać przy 1,2% ryzyku stosując wagi(%): 51,9; 29,6; -20,15; 70; -31.

Porównajmy wyniki z okresu 1 etapu 02.03.09-29.09.09 z wynikami z okresu 2 etapu 02.03.09-31.12.09. Poniższy rysunek ilustruje, że krzywa minimalnego ryzyka nie tylko teraz znacznie przesuwa się, ale także zmienia nachylenie. Różowymi kropkami oznaczono krzywą granicy minimalnego ryzyka dla okresu 02.03.09-29.09.09 (to co być powinno - widok przez różowe okulary), zaś niebieskimi dla 02.03.09-31.12.09 (to co jest).



Przesunięcie jest znacznie niekorzystne dla inwestora. Z różowego rysunku wynika, że inwestor mógłby na przykład wymagać spokojnie 30% zysku miesięcznie przy 12,7% ryzyka, ale w rzeczywistości aby wymagać takiego średniego zysku musiałby ponieść średnio ryzyko 20,6%. Gdyby zastosował wagi, które są rozwiązaniem różowego modelu dla 30-procentowej stopy zwrotu ponosiłby ryzyko nie 12,7%, lecz 15,2% i jego średnia stopa zwrotu wyniosłaby 23%, a nie 30%, jak tego oczekiwał. Może się wydawać, że to nie są aż wielkie odchylenia, ale trzeba pamiętać, że wybrany okres charakteryzował się względną stabilnością. Gdyby w okresie październik-grudzień przyszła duża korekta, model kompletnie by się nie sprawdził.

Wnioski.

Od początku było oczywiste, że optymalne wagi wynikające z próby losowej będą różnić się od optymalnych wag z populacji. Powstaje jednak pytanie czy różnice pomiędzy parametrami z próbki i populacji wynikają jedynie z tego, że długość próbki może być niewystarczająca czy raczej z tego, że parametry zmieniają się wraz z przesunięciem w czasie. Wiadomo, że na rynkach parametry zmieniają się, ale nie znaczy to, że w pewnych okresach nie mogą być stałe. Jednak stałość i zmienność parametrów to jedynie pewne konwencje, skoro zawsze można z danego okresu wyłuskać stałe albo dzieląc okresy na podokresy otrzymywać różne parametry. Obserwuję, że w jednym podejściu autorzy odchodzą od pojęcia zwykłej wariancji rynkowych stóp zwrotu, stwierdzając, że jest ona nieskończona lub nieokreślona, a w każdym razie niejednorodna w czasie. Inni korzystają ciągle z klasycznego ujęcia wariancji, przy czym wprowadzają zależności od wariancji z poprzednich okresów - jest to wariancja warunkowa. Ogólnie problem parametrów rozkładów jest trudny i głęboki.

Ponadto teoria portfela Markowitza jest rozszerzana, uogólniana, "poprawiana". Choćby z tego względu nie należy z niej szybko rezygnować.

Poprzednio stwierdziłem, że same parametry rozkładu wyliczone z pewnej próby nie są aż tak istotne dla inwestora, którego interesuje przyszłość, a nie przeszłość. Parametry jednak musi wyliczyć, aby mieć pewien punkt zaczepienia, kontekst. Wówczas powinien dokonać ewentualnych korekt tych parametrów w oparciu o swoje techniki. Może obrać tutaj naukowe podejście, które podsuwa znów statystyka. Istnieje nowa metodyka badań wpływu wydarzeń na wartość firmy zwana analizą zdarzeń. Mimo że podstawy analizy zdarzeń zostały sformułowane w latach 70-tych XX w. to najszybszy rozwój tej dziedziny możemy obserwować w latach 90-tych. Jest jej poświęcona duża literatura, która jednak jest nadal mało znana. W Polsce nową pozycją jest "Analiza zdarzeń na rynkach akcji" Henryka Gurgula.

Czasami jest wysuwane zastrzeżenie co do teorii portfela, że przecież wagi portfelowe, które są udziałami pieniężnymi w portfelu, równe są udziałom akcji w portfelu, lecz liczba akcji jest zawsze całkowita, a więc idealne dobranie liczby akcji może nie być możliwe. Może to spowodować, że inwestor przyjmie wagi dalekie od optymalności. Im większy kapitał posiada inwestor, tym zastrzeżenie to traci na znaczeniu.

..................................................................................
UWAGA

W badaniu okresu od 02.03.2009 do 29.09.2009 oraz od 2.03.2009 do 31.12.2009 odchylenia standardowe, a więc i wariancje liczyłem inaczej. Dla drugiego okresu wariancja i-tego waloru było zadana wzorem:



ponieważ dane z całego okresu badawczego potraktowałem jako populację generalną.

Z kolei dla pierwszego okresu wariancja i-tego waloru było dane wzorem:



ponieważ dane z tego okresu należały do "wylosowanej" próbki.

Zastosowany wzór na wariancję z próbki wynika z celu pracy. Zadaniem było ekstrapolowanie parametrów modelu w przyszłość, czyli przybliżanie populacji poprzez próbkę. Wariancję waloru z populacji powinna więc przybliżać wariancja waloru z próbki. Pytanie brzmi: jaka miara daje najlepsze to przybliżenie, oszacowanie? Jeśli Twoja odpowiedź stanowi: "jest to po prostu wzór na wariancję" (i pokazujesz pierwszy wzór pod słowem UWAGA), to znaczy, że nie zastanowiłeś się nad pytaniem. Poprawna odpowiedź jednak jest całkiem prosta i logiczna. Nasza próbka jest dowolnie wylosowaną próbką, nie musi więc mieć tej samej struktury co populacja (a Ty ukrycie założyłeś, że tak jest). Jeśli tak nie jest, to obliczona w ten sam sposób wariancja z próbki jak dla populacji może się daleko od niej różnić. Aby można było zastosować ten sam wzór, próbka musiałaby dobrze aproksymować cechy populacji. Kiedy tak jest? Intuicja podpowiada, że wtedy, gdy próbka będzie duża lub wiele ich pobierzemy, co wychodzi na jedno. I rzeczywiście tak jest. Dzieje się tak za sprawą prawa wielkich liczb, zgodnie z którym średnia z dużych próbek dąży do średniej z populacji generalnej.
Wyobraźmy sobie, że pobieramy wiele takich próbek. Każdej próbce będzie towarzyszyć jej własny rozkład prawdopodobieństwa, który jest charakteryzowany przez jego parametry. Czyli z każdym losowaniem próbki otrzymujemy wylosowane parametry. Oznacza to, że parametr próbki sam staje się zmienną losową - z własnym rozkładem. A zatem możemy wyciągać parametry z rozkładu tych parametrów - na przykład wartość oczekiwaną. Zgodnie z prawem wielkich liczb wraz ze zwiększaniem liczby prób wartość oczekiwana próby będzie zbliżać się do wartości oczekiwanej populacji generalnej. Teraz intuicyjna odpowiedź na pytanie o najlepsze dopasowanie miary wariancji z próby do wariancji z populacji wydaje się brzmieć: jest to taka miara, że jej wartość oczekiwana jest równa wariancji z populacji. Wynika z tego, że stawiasz pytanie: czy moja zwykła wylosowana wariancja, liczona tak samo jak wariancja z populacji, posiada wartość oczekiwaną równą wariancji z populacji? Widzisz, okazuje się, że odpowiedź jest negatywna. Wartość oczekiwana Twojej domniemanej wariancji jest równa (n-1)/n razy wariancja z populacji, a nie samej wariancji. Dopiero trochę przekształcona Twoja domniemana wariancja staje się wariancją z próbki, której wartość oczekiwana jest równa wariancji z populacji. Wzór na nią to właśnie drugi wzór pod słowem UWAGA. Żeby nie mylić nazw, mówimy, że pierwszy wzór wyraża po prostu wariancję (z populacji), zaś drugi estymator wariancji populacji. Co słuszne, tak liczony estymator przyjmuje większe wartości od estymatora, który przyjmowałby ten sam wzór co wariancja z populacji.