Wycena akcji ze wszystkimi podatkami dochodowymi

Teoria finansów w ostatnich 60 latach posunęła się tak daleko, że większość z inwestorów i finansistów nie zdaje sobie z tego sprawy. Na przykład w literaturze polskiej praktycznie nie spotykana jest wycena akcji z podatkami osobistymi. Kwestia podatku od udziału w zysku właścicieli pojawia się w [17], choć nie jest wyjaśnione czy chodzi tu tylko o dywidendę. Bylibyśmy bardzo naiwni, gdybyśmy myśleli, że nasi naukowcy nie mają wiedzy na ten temat i dlatego nic o tym nie piszą. Jest na odwrót: wiedza w tym obszarze jest tak szeroka, a temat tak skomplikowany, że poważni autorzy starają się unikać go, aby nie popełnić gdzieś błędu, a ponadto trudno przebrnąć przez całą literaturę, bo są różne do niego podejścia i zupełnie inne wnioski. W ograniczonym zakresie temat podatków osobistych w kontekście rynku kapitałowego podjęli Miller i Modigliani [11, 12]. Bardziej precyzyjną analizę przeprowadził Lintner [14], a potem już nastąpił wysyp publikacji, chronologicznie: Farrar i Selvyn [7], Elton i Gruber [6], Pye [15], Stapleton [18], Stiglitz [20], Stapleton i Burke [19], King [10], Kay [9], Auerbach [1, 2, 3, 4], Feldstein, Green i Sheshinski [8], Poterba i Summers [16], Sinn [21, 22], Summers [23], Brooks i Edwards [5], Mayer [13] i wielu wielu innych autorów.   


Podzielę ten artykuł na dwie części, 1 - bezpośrednio wziętą z literatury oraz 2 - bardziej kreatywną, opartą o moją własną intuicję. 

CZĘŚĆ 1 - Wykorzystanie wzoru z pracy Auerbacha [3] oraz Stapletona [18].
W sytuacji gdy występują 3 rodzaje podatków dochodowych: od osób prawnych (CIT), od dywidendy (DT) oraz od osób fizycznych (PIT) koszt kapitału własnego jako wymagana stopa zwrotu akcjonariusza, r, przyjmuje postać:

(1)

gdzie:
D(1) - oczekiwana dywidenda brutto w okresie 1 (zawiera podatek)
V(0) - bieżąca wartość firmy po odjęciu długu
S(1) - wyemitowany kapitał akcyjny w okresie 1 (ze znakiem plus) lub wartość nabycia akcji własnych przez firmę (ze znakiem minus).

Wzór ten można spotkać np. u Auerbacha [3]. Odjęcie S(1) wynika z faktu, że nowy kapitał emisyjny nie jest opodatkowany. Jeżeli firma nabywa własne akcje, to znaczy, że jakiś akcjonariusz sprzedaje swoje akcje i tym samym będzie obłożony wyższym podatkiem PIT.
Jeżeli podzielimy V przez wszystkie akcje otrzymamy cenę jednostkową P. Z tego punktu widzenia nie jest istotne czy akcjonariusz faktycznie sprzedaje akcje czy nie. W rzeczywistości inwestycja stanowi odłożoną w przyszłość konsumpcję, a ponieważ inwestor może dokonać konsumpcji dopiero po sprzedaniu akcji, to znaczy, że zapłaci on podatek prędzej czy później. W rzeczywistości nie musi to być nawet on, bo akcje mogą przechodzić z pokolenia na pokolenie, ale i tak muszą zawierać informację o PIT, gdyż tylko sprzedana akcja ma wartość. Twierdzenie Warrena Buffeta, że "najlepszym przedziałem czasowym trzymania akcji jest wieczność" [24] - jest fałszywe. Akcja nie ma wartości sama w sobie - musi zostać jakoś skonsumowana, a więc sprzedana. Pomyślmy czy akcja byłaby cokolwiek warta gdyby PIT wyniósł 100%? Nikt by nie inwestował, więc musiałaby mieć zerową wartość.
W Dodatku do tego artykułu pokazałem, że suma podatków po wszystkich latach jest równa jednemu podatkowi za jeden duży (zsumowany) okres.

Jeśli założymy, że liczba akcji nie zmienia się, wtedy (1) sprowadza się do postaci:

(2)

gdzie P(0) - bieżąca wartość akcji.

Wzór ten można spotkać np. u Stapletona [18].

Z równania (2) możemy wyznaczyć wartość wewnętrzną akcji:

(3)

Oczywiście podatek DT = PIT (tak jest chyba w większości krajów). Wobec tego:

(4)

 Ale przecież w kolejnym okresie ktoś będzie wyceniać akcję w ten sam sposób:
(5)

 Podstawiając (5) do (4) dostajemy:

W okresie 2 analogicznie:

Znów podstawiamy P(2) do poprzedniego:

 Powtarzając tak w nieskończoność, otrzymamy:

(6)

Stąd widać, że stopa dyskontowa różni się od wymaganej stopy zwrotu, gdyż (6) możemy zapisać jako:

(7)

gdzie R = r - PIT.

Dywidendy brutto w każdym okresie mogą średnio rosnąć w tempie g. Dodatkowo podzielmy dla ułatwienia obie strony (7) przez 1-PIT:

(8)

Równanie (8) można zapisać w postaci:

(9)

gdzie (1+G) = (1+g)(1-PIT).

Zgodnie ze wzorem dla n okresów podanym w artykule Wartość akcji dla dowolnej liczby lat przy stałej stopie wzrostu. Przykład wyceny Amiki

prawą stronę (9) zapiszemy w postaci:

Czyli wartość wewnętrzna akcji jest dana wzorem:

(10)

Jeśli spojrzymy za wzór (10) jak na zwykłą wycenę, to widać, że dywidenda netto D1(1-PIT) rośnie w tempie G = (1+g)(1-PIT) - 1 (a nie g), a stopa dyskontowa równa się R = r - PIT (a nie r).

We wzorze (10) ukrywa się PIT, więc sprawdźmy co się stanie, gdy podstawimy z powrotem R = r - PIT oraz G = (1+g)(1-T) - 1 = g - T -Tg.

(11)

A teraz będzie niespodzianka. Zauważmy, że stopę r ze wzoru (2) możemy zapisać tak:

(12)

Jeśli PIT = 0, to dostaniemy stopę brutto (powiększoną o PIT). Oznaczmy ją:

(12')

Czyli (1-PIT) się skraca w (11):

(13)

Aby (13) zbiegało do skończonej wartości musi zostać spełniony warunek:

(14)

Ale wtedy:

(15)

Wygląda to na paradoks: podatki nie zmieniają w ogóle wartości akcji. Zaczęliśmy przecież od odjęcia podatków, a skończyliśmy na wycenie, gdzie występują same elementy brutto (tj. bez odejmowania podatków). Zresztą spójrzmy na to przekształcenie:

(16)

Końcowy wynik (16) pokazuje, że cena netto równa się cenie brutto. D(1) to dywidenda brutto, g to stopa wzrostu dywidendy brutto. Natomiast r(a) to wymagana stopa zwrotu, która nie uwzględnia PIT, a r to stopa zwrotu netto. Skąd taki dziwny wynik? Rozwiązanie leży w stopie zwrotu r(a). Jest to najbardziej tajemniczy element, bo nie oznacza wcale zysku w świecie bez PIT. Oznacza zysk w świecie z PIT, ale bez odejmowania tego podatku.

Dlaczego ma to znaczenie? Spójrzmy jeszcze raz na wzór (2). Nie zakładaliśmy niczego odnośnie ceny P(0). Nie wiadomo czy cena pod wpływem PIT miałaby się zmienić. Jeżeli od początku cena ta była stała, to nic dziwnego, że uzyskaliśmy taki a nie inny rezultat. Sami niejako wprowadziliśmy warunek, aby cena netto była równa cenie brutto.

CZEŚĆ 2 - moja koncepcja, uwaga - poprawiona

Jaki wpływ na cenę akcji ma podatek PIT? Czy cena byłaby inna gdyby go nie było?

W krótkim okresie komunikat o pojawieniu się wzrostu PIT spowoduje spadek cen akcji, ale w długim już nie. Negatywny komunikat dotyczy wszystkich spółek, a więc inwestorzy nie mogą przenieść się gdzie indziej (pomijam zagranicę). Jedynie co mogą zrobić to przenieść się na rynek dłużny. We wpisie Inwestor czy frajer? pokazałem już, że emisja akcji powinna być ostatecznością dla firmy, bo generuje podwójne opodatkowanie. To dług powinien stanowić całkowite albo główne źródło finansowania, dlatego że odsetki od niego są tylko raz opodatkowane, czyli firma może zachować więcej pieniędzy.

W praktyce kapitał własny nie spadnie do zera z powodu różnego rodzaju ograniczeń, jak zachowanie kontroli nad spółką przez większych inwestorów, konieczności zachowania rezerw czy też zwykłego zatrzymania zysków do inwestycji. W sumie będzie istnieć pewne optimum.

W sumie powstanie presja na to, by generować więcej zadłużenia, a zmniejszać emisję akcji. Spowoduje to spadek obecnej ceny akcji. Oczywiście nie dotyczy to firmy, która się likwiduje, bo optymalizacja struktury kapitału jej nie dotyczy.

Jeżeli jednak przeanalizujemy krok po kroku co się dzieje w sytuacji pojawienia się komunikatu o PIT, to zobaczymy, że wcale nie jest oczywiste, że cena spadnie dokładnie o wartość PIT. Akcjonariusze nie będą zmotywowani, by wszystko sprzedawać i szukać okazji na rynku dłużnym, choćby z powodu płaconych dwukrotnie kosztów transakcyjnych. Pomijając kwestię płynności, nowi kupujący mogą mieć trudności z kupowaniem obligacji, takich których oferowana cena nie urosłaby po tym komunikacie. Suma sumarum ceny akcji spadną, ale nie o wielkość PIT, tylko jego część. Np.  w [25] oszacowano, że wpływ podatku od dywidendy na wartość akcji zwykłych w Kanadzie po wprowadzeniu reform wynosiła od -25% do -37% wartości podatku, czyli u nas to spadek cen od 5 do 7% (-0,25*19 = -4,8; -0,37*19 = -7). Możemy przyjąć, że tak też będzie dla wszystkich zysków kapitałowych.

Powiedzmy, że w świecie bez PIT cena obecna wynosi P(0)*. Po reformie wchodzimy w świat PIT, także cena wynosi P(0) i jest niższa od P(0)* o pewien procent, np. 6%, jak wyżej uzasadniłem. Ale ten spadek jest tylko dlatego, że struktura kapitału staje się teraz nieoptymalna, dług powinien wypychać kapitał własny. Rynek będzie wywierał presję na spółki, aby zoptymalizowały tę strukturę. Tak więc w pewnym momencie spółka uzyskuje optymalną strukturę kapitału i jest on oznaczony jako T(optimum). Od tego momentu ceny z obydwu światów się zrównują. Oznacza to, że w długim okresie świat PIT nie ma wpływu na ceny akcji. Tak więc P(1)* to cena przyszła w świecie bez PIT, która jest równa cenie przyszłej P(1) w świecie z PIT.  W sumie moglibyśmy zobrazować ten mechanizm następująco:

Rysunek 1

 
Chociaż kapitał własny będzie relatywnie niższy w świecie z PIT niż bez PIT (np. o te 6%), to zauważmy, że kapitał własny na akcję się nie zmieni. Dlaczego? Oznaczmy KW kapitał własny w świecie z PIT na akcję, a KW* to samo w świecie bez PIT.  Wartość księgowa zmniejszy się o tyle samo co liczba akcji: KW = wartość księgowa (1-6%) / (liczba akcji (1-6%)) = wartość księgowa / liczba akcji = KW*.

Natomiast, gdybyśmy analizowali krótki okres, to cena P(1) przesunie się w dół:

Rysunek 2

Okres uzyskiwania optymalnej struktury będzie wiązał się z dodatkową niepewnością, wobec czego oczekiwana stopa zwrotu w tym okresie będzie wyższa od oczekiwanej stopy zwrotu po tym okresie. Nie oznacza to jednak wcale, że inwestorzy rekompensują sobie w 100% koszt podatkowy. Jak wyżej, będzie to tylko pewna część. Jeżeli cena spadłaby o 6%, to aby wrócić do tego poziomu, musi wzrosnąć 6,4%. Czyli inwestor rekompensuje sobie tylko 6,4 / 19 = 34% tego podatku.

Wróćmy teraz do ostatniego akapitu w Części 1. Zastanawiałem się co oznacza właściwie wzór (15). Teraz możemy dokładniej na to odpowiedzieć. Możemy tutaj rozróżnić dwie sytuacje.

Okres dochodzenia do optimum:
Cena w świecie z PIT będzie niższa od świata bez PIT, wobec czego stopa zwrotu r(a) nie będzie wcale odpowiadać stopie zwrotu w świecie bez PIT. Pomińmy na chwilę dywidendy. W świecie z PIT stopa zwrotu będzie tu równa wzrostowi od P(0) do P(1) na Rysunku 2. W świecie z PIT, ale bez odjęcia jeszcze PIT dostaniemy właśnie stopę r(a).  

Okres po uzyskaniu optimum:
Cena w świecie z PIT równa się ze światem bez PIT, wobec czego stopa zwrotu r(a) będzie odpowiadać stopie zwrotu w świecie bez PIT (zob. wzór 12'). Pomińmy znów dywidendy. W świecie z PIT stopa zwrotu będzie tu równa wzrostowi np. od P(1) w górę na Rysunku 1.

Cały opisany mechanizm będzie się komplikował, gdy uwzględnimy sytuację, gdy zmniejszenie kapitału emisyjnego zmniejszy płynność akcji. Spadek płynności powoduje większą niepewność czy uda się kupić/sprzedać po określonej cenie. W związku z tym stopa r(a) wzrośnie, a cena P(1) spadnie. Będzie to dotyczyło na pewno mniejszych spółek. Gdy porównamy średnie C/WK sWIG80 z WIG20 w okresie 2008-2019, to zauważymy, że istotnie małe spółki mają niższy wskaźnik od dużych, odpowiednio 1,3 i 1,48.

Pozornie wydaje się, że PIT będzie wpływał na wycenę mniejszych spółek, a dużych nie lub w niewielkim stopniu. Jednakże znów zauważmy, że to dotyczy tylko sytuacji, gdy PIT nie pożera większości zysków. Na logikę, co by się stało, gdyby PIT wyniósł 100%? Oczywiście akcje musiałyby spaść do 0, bo nikt by tym nie handlował. Ale spójrzmy z punktu widzenia opisanego modelu. Cena najpierw spada do zera. Następnie zgodnie z pierwszym modelem powinna wrócić do starych poziomów, jeżeli tylko spółka poprawi strukturę kapitału. Ale co jest optymalną strukturą kapitału tutaj? Oczywiście KW musi spaść do prawie 0, a dokładnie cały kapitał akcyjny trzeba wyzerować. Nie ma innej możliwości. Załóżmy dla uproszczenia że zostaje 1 akcja. Właściciel nie znajdzie na nią kupca, wobec tego koszt kapitału wzrasta do nieskończoności, a więc niezależnie od poziomu dywidendy cena spadnie do zera. Dowodzi to, że PIT będzie wpływał na wycenę wszystkich spółek, wpływ ten będzie tym większy im mniejsza spółka, a także im większy PIT.

To ostatnia sprawa: co by się stało, gdyby firma nie zdecydowała się na optymalizację podatkową, bo np. większość akcji jest w rękach Zarządu? Będzie to sygnał zarówno dla pozostałych akcjonariuszy, jak i obligatariuszy, że zachowuje się ona nieracjonalnie, a więc cena akcji może jeszcze mocniej spaść niż z powodu samego podatku. Skoro nie nastąpi optymalizacja, nie nastąpi też powrót do pierwotnej ceny. Przyszły kapitał własny na akcję będzie niższy w tej samej proporcji, tak że oczekiwana stopa zwrotu wzrośnie co najwyżej z powodu wspomnianej wyżej nieufności inwestorów.

Jak widzimy problem jest bardzo skomplikowany i wymaga dalszych analiz.

Literatura:
[1] Auerbach, A., Share Valuation and Corporate Equity Policy, 1978; 
[2] Auerbach, A., TAX INTEGRATION AND THE "NEW VIEW" OF THE CORPORATE TAX: A 1980'S PERSPECTIVE, 1981;
[3] Auerbach, A., Taxation and Corporate Financial Policy, February 2001;
[4] Auerbach, A., Taxation, Corporate Financial Policy and the Cost of Capital; Sep., 1983;
[5] Brooks L. D., Edwards, C. E.,  Marginal Stockholders and Implied Tax Rates, Nov., 1980;
[6] Elton, E. J., Gruber, M., Marginal Stockholder Tax Rates and the Clientele Effect, Feb., 1970;
[7] Farrar, D. F., Selvyn, L. L., TAXES, CORPORATE FINANCIAL POLICY AND RETURN TO INVESTORS, December 1967;
[8] Feldstein, M., Green J., Sheshinski E., Corporate Financial Policy and Taxation in a Growing Economy, 1979;
[9] Kay, J. A., The Taxation of Corporate Income and Capital Gains: A Theoretical Appraisal, Nov., 1974;
[10] King, M., Taxation and the Cost of Capital, Jan., 1974;
[11] Miller M., Modigliani, F., The Cost of Capital, Corporation Finance and the Theory of Investment, Jun., 1958;
[12] Miller M., Modigliani, F., Corporate Income Taxes and the Cost of Capital: A Correction, Jun., 1963;
[13] Mayer, C., Corporation Tax, Finance and the Cost of Capital, Jan. 1986;
[14] Lintner, J., Dividends, Earnings, Leverage, Stock Prices and the Supply of Capital to Corporations, Aug., 1962;
[15] Pye, G., Preferential Tax Treatment of Capital Gains, Optimal Dividend Policy, and Capital Budgeting, May, 1972;
[16] Poterba J. M., Summers, L. H,  Dividend Taxes, Corporate Investment, and Q, Dec. 1981;
[17] Sierpińska, M., Jachna, T., Ocena przedsiębiorstwa według standardów światowych, Wydanie 3 i uaktualnione, PWN, W-wa 2004, str. 303-304;
[18] Stapleton, R., C., Taxes, the Cost of Capital and the Theory of Investment, Dec., 1972;
[19] Stapleton, R., C., Burke, C. M., Taxes, the Cost of Capital and the Theory of Investment. A Generalisation to the Imputation System of Dividend Taxation, Dec., 1975;
[20] Stiglitz, J. E., Taxation, corporate financial policy and the cost of capital, 1973 ;
[21] Sinn H-W, T, Capital Income Taxation, Depreciation Allowances and Economic Growth: A Perfect-Foresight General Equilibrium Model, 1981;
[22] Sinn H-W, Taxation and the Cost of Capital: The "Old" View, the "New" View, and Another View, 1991;
[23] Summers, L. H., THE ASSET PRICE APPROACH TO THE ANALYSIS OF CAPITAL INCOME TAXATION, 1983;
[24] https://www.msp.gov.pl/pl/nauka-i-rozwoj/akcjonariat-obywatelski/dla-inwestora/dodatki-w-mediach-tekst/31158,Dlugodystansowcy.html
[25] McKenzie, K. J., Thompson, A. J., Dividend Taxation and Equity Value: The Canadian Tax Changes of 1986, May, 1995.


Dodatek:
Załóżmy, że kupuję akcję w roku 0 po cenie P0 i sprzedaję po dwóch latach po cenie P2.
-po roku mam zysk P1 - P0 = rP0, gdzie r to wymagana stopa zwrotu.
-po dwóch latach będzie to 
P2 - P0 = P0*(1+r)^2 - P0 = P0*((1+r)^2-1) = P0*(2r+r^2) = P0*(r(2+r)) = P0r*(1+r+1)  = P0r + P0*(1+r).
Od tej kwoty płacimy podatek. I teraz mała uwaga: zgodnie z prawem i księgowością, inaczej powstaje przychód, a inaczej koszt. Przychód powstaje "w momencie przeniesienia na kupującego własności papierów wartościowych (...) przy czym przychodem są kwoty należne, choćby nie zostały faktycznie otrzymane.", a koszt powstaje dopiero na końcu, czyli sprzedaży, czyli "koszt uzyskania przychodu z odpłatnego zbycia papierów wartościowych określa się na dzień uzyskania przychodu, co oznacza, że poniesione wydatki są kosztem uzyskania przychodu dopiero w momencie zbycia tych papierów" - źródło: Opodatkowanie przychodów (dochodów) z kapitałów pieniężnych . 
Odejmijmy więc podatek o stopie t:
(P0r + P0(1+r))*(1-t). Możemy to rozbić: P0r*(1-t) + P0*(1+r)*(1-t). Zauważmy, że pierwsza część P0r*(1-t) to zysk po opodatkowaniu 1 okresu, a druga P0(1+r)*(1-t) = P1*(1-t) to zysk po opodatkowaniu w drugim okresie, ale tak jakbyśmy trzymali tylko w tym drugim roku. Wynika z tego, że suma podatku od zysku z sumy okresów jest równa sumie podatków od zysków poszczególnych okresów. Inaczej mówiąc sprzedaż po wielu latach prowadzi do takiego samego podatku jak sprzedaż każdego roku. 
Gdybyśmy nie byli jeszcze tego pewni: dwa okresy łączymy i traktujemy jak jeden, nazywamy go np. 1', następnie bierzemy kolejny taki sam długi okres i nazywamy 2'. Okres 0 pozostaje bez zmian, bo to moment kupna. Odejmujemy P2' - P0, a więc powtarzamy całą operację co wyżej. Widzimy znów, że podatek z sumy okresów to suma podatków z okresu 1' i 2', tak jakbyśmy oddzielnie sprzedawali w każdym z tych okresów i płacili podatek. W ten sam sposób możemy zrobić dla wszystkich przyszłych okresów. A skoro tak, to znaczy, że podatek z jednego zysku bardzo długiego okresu musi być równy sumie poszczególnych podatków z małych okresów. A to oznacza, że dla modelu rezydualnego nasz zysk jako akcjonariusza wynosi r*Z(1-w/ROE)/(r-w)*(1-t) każdego roku, co oznacza to samo co r*Z*(1+w)^n*(1-w/ROE)/(r-w)*(1-t), gdzie Z*(1+w)^n to zysk netto po n latach (zob. Zysk inwestora nie równa się zyskowi spółki).

Polityka multi-kulti nie dla Polski

Jednym z najważniejszych kryteriów decyzyjnych Unii Europejskiej jest wzrost gospodarczy. Dlatego właśnie UE nie powinna nakładać na kraje członkowskie obowiązku przyjmowania uchodźców czy imigrantów. Co więcej, dla państw Europy Wschodniej i Środkowej powinna ona podejmować działania w kierunku zwiększania spójności i homogeniczności etnicznej. Zarówno badania empiryczne, jak i nowe teoretyczne modele wskazują, że kraje nie-najbogatsze rozwijają się tym szybciej, im są mniej rozwarstwione etnicznie.

Eisen i Veiga [1] wykazali za pomocą modelu ekonometrycznego (Uogólnionej Metody Momentów), że homogeniczność etniczna jest jednym z czynników wzrostu PKB. Zakres danych dotyczył aż 169 krajów w latach 1960-2004. Należy zaznaczyć, że głównym celem pracy było sprawdzenie wpływu niestabilności politycznej na wzrost realnego PKB per capita. Spójność etniczna należy do czynników instytucjonalnych, ponieważ im większa spójność, tym lepsza jakość instytucji, które z kolei determinują wzrost gospodarczy. A jednocześnie instytucje wpływają na stabilność polityczną. Co więcej, zależności między zmiennymi mogą pojawiać z pewnym opóźnieniem i mogą być skomplikowane. Dlatego ułożono tzw. panelowe modele dynamiczne - jest to swego rodzaju powiązanie szeregu czasowego z danymi przekrojowymi (a więc zmiennej czasowej z innymi zmiennymi, jak np. zmiany polityczne, praworządność, czynniki ekonomiczne), gdzie mogą występować także związki pomiędzy zmiennymi objaśniającymi.
W każdym razie na wzrost PKB per capita negatywnie oddziałuje:
-  rozpadanie się rządu lub zmiana rządu (zarówno dobrowolne jak i siłowe)
- wyższa inflacja
- większy udział wydatków rządowych w PKB
- mniejsza wolność gosp.
- wzrost populacji
- wyższy poziom demokratyzacji
- dywersyfikacja etniczna.

Zaskakujący może być negatywny wpływ wzrostu populacji oraz demokratyzacji. Pierwszy czynnik można tłumaczyć zasadą malejącej produktywności krańcowej. Drugi czynnik jest trudniejszy do wyjaśnienia, jednakże wpływ ten jest bardzo mały i na granicy istotności statystycznej. Co więcej, przypomnę, że dość niedawno wykazałem, że jeśli weźmiemy tylko kraje Europy dla lat 1989-1998, to otrzymamy całkiem silną dodatnią korelację między poziomem demokratyzacji a wzrostem PKB (zob. Czy PIS rozwali gospodarkę? Praworządność i demokracja vs PKB).  Prawdopodobnie wpływ demokratyzacji zależy też od kultury / poziomu cywilizacji.

Prawdopodobnie również ze względu na podobny poziom cywilizacyjny i kulturowy, a przez to mniejszą konfliktowość i lepsze zrozumienie, występuje ujemna zależność między rozwarstwieniem etnicznym a PKB. W ten sposób konserwatywna prawica otrzymuje silny argument za polityką anty-imigracyjną. Tyle że łatwo może ona przejść w protekcjonizm, który już ma negatywne skutki (wystarczy przywołać teorię przewagi komparatywnej, która jest nie do odrzucenia).

Lewica nie jest jednak stracona w tej dyskusji. Okazuje się, że zależność między spoistością etniczną a bogactwem jest nieliniowa, a więc skrajne głoszenie poglądów anty-imigranckich jest po prostu demagogią. Zacytuję fragment artykułu Tiemanna et. al. [2]:

"Przy niższym poziomie dochodu, państwa są bardziej zdywersyfikowane etnicznie. Gdy państwa stają się uprzemysłowione, ich populacja staje się bardziej etnicznie homogeniczna. W końcu, gdy państwa podążają w kierunku wyższego poziomu dochodu, ich populacja powraca do stanu bardziej zdywersyfikowanego. Rezultat jest tym, co nazywamy Etniczną Homogenicznością Krzywej Kuznetsa. Niesie to interesujące polityczne implikacje."

Nieliniowa relacja między homogenicznością etniczną a PKB na głowę została pokazana na poniższym wykresie:

 



Autorzy stawiają następującą hipotezę doszukując się analogii w związku między PKB a środowiskiem naturalnym. Przy niższym poziomie dochodu, ludzie przejmują się bardziej zatrudnieniem i zwiększaniem standardu swojego życia niż czystością środowiska. Gdy ich dochód i standard życia staje się odpowiednio wyższy, ich zainteresowania zmieniają się, tak że środowisko ma dla nich większą wartość.

Podobnie, gdy ludzie niewiele zarabiają ważniejsze jest dla nich wzajemne zaufanie i porozumienie. Ma to  największe znaczenie tam, gdzie praca musi być wykonana szybko i jednocześnie gdy pracownicy muszą się często ze sobą kontaktować. Szczególnie wrażliwa jest praca fizyczna, w której ludzie mniej wykwalifikowani muszą dobrze się komunikować. Z drugiej strony w kraju bogatym infrastruktura jest już gotowa, a przedsiębiorcy szukają specjalistów, których może nie być wśród rdzennej ludności. Praca staje się bardziej wyspecjalizowana i umysłowa. Specjalizacja konieczna jest do zwiększania produktywności w danej dziedzinie, ponieważ to co nie zostało jeszcze odkryte lub wynalezione, wynika w dużym stopniu z braku wiedzy. Oprócz wiedzy istotna zaczyna być kreatywność. Połączenie wiedzy i kreatywności rodzi innowacyjność, która stanowi klucz do wzrostu produktywności. Większa kreatywność może wynikać z innego, świeżego spojrzenia na daną sprawę, co może umożliwić dotarcie do rozwiązania. Taką świeżość i pomysłowość mogą zapewnić ludzie z innego kręgu kulturowego. Przykład: informatycy muszą się porozumiewać na odległość, tak że nie istnieje bariera kulturowa - ważne jest dla nich tylko rozwiązanie danego problemu.

Trzeba przy tym zauważyć, że w przeciwieństwie do [1], tutaj mówimy o poziomie, a nie wzroście PKB per capita. Mnie sam poziom nie przekonuje, bo widzę proste wyjaśnienie tych zależności. Do bogatego kraju przyjeżdża po prostu więcej imigrantów / uchodźców, co jest jedynie skutkiem a nie przyczyną większego bogactwa.
Można więc zadać pytanie czy te zależności odnoszą się też do wzrostu. Pewną odpowiedź dają badania Colliera et. al [3] dla lat 1960-90 ok. 100 krajów. Całkowity wpływ na wzrost PKB per capita dywersyfikacji etnicznej wyszedł znów ujemny. Jednakże w pełni rozwiniętych społeczeństwach demokratycznych, z pełnią praw obywatelskich, niekorzystne efekty nie występują, natomiast w dyktaturach "redukują wzrost o nie więcej niż 3 punkty proc.". Bogatsze społeczeństwa są bardziej demokratyczne, co odpowiadałoby tej części krzywej od Korei Południowej do USA, gdzie w zasadzie nie widać korelacji, ale można by założyć, że jest to część spadkowa i nieliniowa.

Polska (PKB per capita PPP current international $ = 27810,5 USD w 2016 - Bank Światowy) nie jest jednak ani Kanadą (44025 USD), ani USA (57467 USD). Również w rankingu demokracji jest dość daleko w tyle za tymi krajami (w 2016: Polska = 27, Kanada = 12, USA = 16 - http://democracyranking.org/wordpress/rank/democracy-ranking-2016/). Na tle Niemiec wypadamy jeszcze gorzej: PKB pc = 45552 usd oraz miejsce 8 w rankingu demokracji. Z Francją też nie lepiej. Dlatego polityka multi-kulti obecnie nie leży w interesie naszego kraju i nie powinna być nam narzucana.


Literatura:
[1] Ari Aisen, Francisco Jose Veiga,  How Does Political Instability Affect Economic Growth?, January 2011;
[2] Thomas Tiemann, Jayoti Das, Cassandra DiRienzo, A Note on an Ethnic Homogeneity Kuznets Curve, MARCH-APRIL 2006;
[3] Paul Collier, Patrick Honohan, Karl Ove Moene, Implications of Ethnic Diversity, Apr., 2001.

Wartość akcji dla dowolnej liczby lat przy stałej stopie wzrostu. Przykład wyceny Amiki

Wzór na wartość akcji dla dowolnej liczby lat oraz dowolnej stopy wzrostu już kiedyś wyprowadziłem ( Uogólniony model Grahama-Dodda ) natomiast warto mieć gdzieś zapisany wzór na wartość, gdy dodatkowo stopa wzrostu zysku / dywidendy jest stała w czasie. Z punktu widzenia dywidend model

gdzie:

D - oczekiwana dywidenda w 1 okresie

r - stopa dyskontowa

g - oczekiwana stopa wzrostu dywidendy

n - liczba przyszłych dywidend / okresów.

sprowadza się do postaci:

(1)

jeśli tylko g jest różne od r.

Należy zauważyć, że:

1. stopa g może być większa od r w przeciwieństwie do wzoru Gordona;

2. dla niedużego n (np. do 30) stopa g może być praktycznie rzecz biorąc równa r (z dokładnością do wielu miejsc po przecinku) w przeciwieństwie do wzoru Gordona, w którym wartość skacze do nieskończoności. Dla większego n (np. między 30 a 100) wartość wydaje się być zbyt wysoka, gdy g jest prawie równe r. Gdy n jest bardzo duże, wartość staje się zbyt wielka. Jednak w praktyce okres 30 lat jest tak długi, że może nawet stanowić oczekiwany okres życia firmy;

3. pierwsza dywidenda D = D0*(1+g0), gdzie 

D0 - dywidenda, która mogłaby zostać teoretycznie wypłacona dziś,

g0 - stopa wzrostu dywidendy D0 do okresu 1.

Konkretny przykład: AMICA (AMC) (dane z bankier.pl, stooq.pl):

1 PRZEDZIAŁ CZASU:

Średnia geometryczna stopa wzrostu EBIT w latach 2001-2016 równa się g= 9,7%. Również zarząd spółki prognozuje podobny roczny wzrost przychodów aż do 2023 r.

W 2017 prognozowany jest wzrost 7-8% wzrostu EBIT. (źródło: https://stooq.pl/n/?f=1170200&search=+amica). Stąd przyjmiemy g0 = 7,5%.

Ostatnio AMC wypłaciła dywidendę 5,5 zł za 2016, czyli D0 = 5,5. Założymy, że dywidendy będą rosły w tempie zysku EBIT. Założymy też, że spółka będzie funkcjonować jeszcze 30 lat, tj. n = 30. 

Oszacowanie kosztu kapitału własnego jest jak zawsze najtrudniejsze. Punktem wyjścia niech będzie ROE = Z(t)/WK(t-1), gdzie Z(t) - zysk netto w okresie t oraz WK(t-1) - wartość księgowa w okresie t-1. W latach 2002-2016 średnia ROE wyniosła 9,4%. Bezrefleksyjne przyjęcie takiej stopy jest jednak błędne. Spójrzmy na wykres ROE 2002-2016:

ROE wydaje się być raczej niestacjonarne i w latach 2011-2016 średnia zwiększyła się do 18,9%.

Dobrym pomysłem wydaje się  być usunięcie wewnętrznych wahań poprzez użycie trendu liniowego logarytmicznej WK. Nachylenie stopy wzrostu kapitału będzie wyrażać właśnie ROE skorygowane o wahania (odejmowana dywidenda dotyczy roku poprzedniego więc nie należy jej dodawać, aby dostać cały zysk netto). W przybliżeniu WK(1) = WK(0) + Z(1) = WK(0) + Z(1)/WK(0)*WK(0) = WK(0)*(1 + Z(1)/WK(0)) = WK(0)*(1 + ROE). Czyli wzrost WK może aproksymować ROE.

Aby uzyskać trend liniowy, logarytmujemy WK (zob. Istota i znaczenie logarytmicznej stopy zwrotu). Graficzna reprezentacja trendu WK jest następująca:

Nachylenie trendu = 0,07197. Aby uzyskać prostą stopę zwrotu, stosujemy exp(0,07197) - 1 = 7,5%. Jest to mediana, która mogłaby już posłużyć za ROE. Aby uzyskać wartość oczekiwaną można skorzystać z estymatora Meulenberga (zob. Transformacja lognormalnego modelu z nieznanym parametrem) lub Duana (Smarujący estymator). Ponieważ ten drugi jest bardziej ogólny (nie zawiera założenia rozkładu), zastosujemy go. Ma on postać:

gdzie b z falką to estymator MNK z modelu ln(P) = b*T + składnik losowy.

Za pomocą tego wzoru uzyskałem ROE = 9,1%. Jest to więc wartość nieco niższa niż wcześniejsza 9,4%, ale przez to lepiej będzie aproksymować stopę dyskontową r. Podstawmy do (1):

Ponieważ zdyskontowaliśmy tę wartość za dużo o 3/4 roku do początku 2017, to powinniśmy ją zaktualizować o 3 kwartały:

Na moment obecny akcje kosztują 153 zł, co sugerowałoby niedowartościowanie (Uwaga: sprawę podatku od dywidendy zostawiłem na koniec - powyższa wartość musi zostać skorygowana o podatek 19%).

2 PRZEDZIAŁY CZASU:

Taka wycena jest optymistyczna biorąc pod uwagę, że przez 30 lat spółka potrafiłaby uzyskiwać wzrosty powyżej kosztu kapitału. Ponieważ koszt ten przybliżamy pewną średnią ROE, to możemy dokonać analizy tempa wzrostu. Ogólnie wzrost powyżej ROE jest możliwy w dwóch przypadkach:

a) samo ROE byłoby wielkością niestacjonarną i ciągle by rosło (zob. Analiza tempa wzrostu zysku firmy).

b) występowałaby zmienność zysków ponadnormalnych, np. monopolistycznych (zob. Kiedy większa niepewność zwiększa wartość akcji?).

W zasadzie obydwa przypadki są do siebie zbliżone. Wykorzystanie informacji fundamentalnych może pomóc w podjęciu decyzji co zrobić z tą zmiennością. Przecież wiadomo z poprzednich danych, że Zarząd prognozuje wzrost do 2023. Ten okres niech będzie najbardziej wzrostowy. Natomiast od 2024 r. przyjmijmy, że spółka traci siłę monopolistyczną, tak że tempo wzrostu zostanie obliczone po prostu jako k*ROE, gdzie k to część zysku zatrzymanego (Analiza tempa wzrostu zysku firmy).  

Biorąc pod uwagę, że wypłacona dywidenda w latach 2013-2017 stanowiła średnio 40% zysku netto (z poprzedniego roku), to przyjęty zostanie k = 60%. Zatem g = k*ROE = 60%*9,1% = 5,5%.

Jeżeli dzielimy wzrost na dwie fazy, to mamy sumę dwóch wyrażeń. Pierwsze zawiera 7 lat (2017-2023), a drugie 23 lata (2024-2046). Pierwsze wyrażenie jest identyczne jak poprzednie rozwiązanie, z tym że zmieniamy n = 7. Drugie wyrażenie zaczyna się od dywidendy za 2024 rok, która powinna już odpowiednio wzrosnąć. Przeanalizujmy stopę wzrostu w tym drugim:

7,5% na 2017: 1 rok

9,7% na 2018-2023: 6 lat

5,5% na 2024: 1 rok.

Dywidenda w 2024 wyniesie więc 5,5*(1+7,5%)*(1+9,7%)^6*(1+5,5%).

Przyszła wartość musi zostać  sprowadzona do wartości obecnej, stąd dyskontujemy ją 7 lat (od początku 2024 do początku 2017). Reszta jest identyczna jak poprzedni wzór z tym że za g podstawiamy 5,5% oraz n = 23.

A precyzyjniej 3 kwartały do przodu, bo dziś jest koniec września:

Dostalibyśmy wartość dużo niższą niż w wersji optymistycznej. 

3 PRZEDZIAŁY CZASU:

Akcjonariuszy Amiki chcę jednak uspokoić: ta wartość jest zdecydowanie za niska. Ona zakłada, że spółka po 30 latach zostaje zlikwidowana, a my nie dostajemy ani grosza po podziale. A przecież nie zakładamy bankructwa, tylko czystą likwidację, która automatycznie polega na podzieleniu kapitału pomiędzy akcjonariuszy.

Dlatego musi się pojawić trzecie wyrażenie z wartością księgową na akcję w momencie likwidacji.  Zgodnie z podaną wcześniej definicją:

WK(t) = Zysk(t+1) / ROE. W roku 2016 zysk na akcję wyniósł 14 zł. Jednak to 14 zł zostanie powiększone o:

7,5% na 2017: 1 rok

9,7% na 2018-2023: 6 lat

5,5% na 2024-2046: 23 lata

2,5% na 2047: 1 rok.

W sumie zysk w 2047 r. wyniesie 14*(1+7,5%)*(1+9,7%)^6*(1+5,5%)^23*(1+2,5%).

Ostatnie powiększenie 2,5% należy objaśnić. Na koniec roku 2046 minie 30 lat od początku 2017. Wobec tego likwidacja następuje w 2047. To co się dzieje w tym roku, to już zależy od naszej wyobraźni i kwestii prawnych. Jeśli zakładamy, że WK zostaje podzielona na początku 2047, to WK trafia na konto akcjonariusza. Z ekonomicznego punktu widzenia należałoby podać przyczynę likwidacji: np. pełna amortyzacja środków materialnych i niematerialnych oraz brak zgody pomiędzy akcjonariuszami co zrobić ze środkami pieniężnymi. Na pierwszy rzut oka ROE w ostatnim roku jest zerowa: Zysk netto z 2047 = 0 zł. Jednakże skoro nastąpiła pełna amortyzacja, to aktywami pozostały same środki pieniężne, które zwyczajnie trafiają na konta akcjonariuszy. Zakładając, że po roku na lokacie inwestor otrzyma 2,5% zysku, zysk w 2047 o tyle właśnie rośnie.

Nadal jesteśmy w punkcie obliczania WK(2046). Mamy już zysk netto w 2047, ale nadal brakuje ROE na ten rok. Czy możemy podstawić pod nie 9,1%? Nie, bo w tym roku rentowność się zmienia ze względu na likwidację. Możemy jednak je obliczyć z następującego układu równań:

Zatem ROE w 2047 = 8,55%.

Tutaj zwróćmy uwagę na drobny szczegół. W 2046 r. współczynnik zatrzymania nie wyniesie już 60% jak dotychczas, dlatego że w 2047 spółka nie wypłaci już dywidendy, bo na początku 2047 nastąpi likwidacja. Stąd k(2046) = 100%.

Pamiętajmy o zdyskontowaniu WK o 30 lat (od początku 2047 do początku 2017).

Posiadając wszystkie dane, podstawiamy do trzeciego wyrażenia WK(2046) = Zysk(2047) / ROE(2047) powyższe dane. Wszystkie 3 wyrażenia dadzą zapis:

Ale to nie wszystko. Sprowadzamy wartość do końca 3 kwartału 2017:

A więc wydawałoby się, że obecna cena 153 dostarcza ogromnego dyskonta w stosunku do rzeczywistej wartości. Niestety jest to ciągle wartość brutto. Zauważmy, że wszystkie dywidendy, jak ostatni zysk z lokaty nie zostały skorygowane o podatek 19%. Fakt, że inwestor jest podwójnie opodatkowany jest wysoce niesprawiedliwe, ale z drugiej strony można sobie wyobrazić oszustów, którzy tworzą sztuczne straty, nie płacąc podatku od zysku, a wypłacają sobie dywidendy z kapitału własnego. W każdym razie, musimy odjąć 19%:

Wartość wewnętrzna AMC wynosi na dziś ok. 177 zł. Oznacza to, że akcje są prawdopodobnie na dziś niedowartościowane o 24 zł, co daje 15% zysku bez ryzyka.

Dlaczego wartość księgowa wyznacza przyszłość, a nie przeszłość?

Wielu inwestorów błędnie wyraża opinię, że wartość księgowa jest nieprzydatna do wyceny firmy, ponieważ dotyczy tylko przeszłości, a wycena powinna uwzględniać przyszłe prognozowane zyski. Błąd ten wynika z typowo księgowego podejścia do wartości: w bilansie aktywa wycenia się najczęściej po cenie nabycia przez przedsiębiorcę, a więc w transakcji z przeszłości. Nie zauważa się, że przecież przedsiębiorca zanim kupił aktywo, musiał dokonać kalkulacji czy to się opłaca, a więc musiał je wycenić i zażądać ceny nie wyższej od tej wartości. Aktualizacja wartości księgowej następuje co kwartał, zatem nie powstaje duża luka czasowa między wartością obecną a wartością księgową.

Ale ktoś zapyta, co jeśli przedsiębiorca sam wprowadza lub wytwarza wartość księgową, którą na przykład stanowi suma pieniężna? Co jeśli ten przedsiębiorca nie jest wcale taki "super-racjonalny" i nie dokonuje wyceny swojej firmy? Nie ma to najmniejszego znaczenia. Dlaczego?

Wyjdźmy od definicji rentowności kapitału własnego, ROE:

(1)

gdzie:
Z - oczekiwany zysk netto
WK - wartość księgowa kapitału własnego


Już sama rentowność niesie w sobie informację o wycenie. Wiadomo bowiem, że można ją przekształcić w strumień przyszłych (prognozowanych) zysków:

(2)

Matematycznie, suma składników nieskończonego szeregu geometrycznego w postaci dyskontowanych przyszłych zysków może zostać sprowadzona do króciutkiego wzoru, który okazuje się być wartością księgową kapitału własnego. 

Tutaj sprawa jest dość oczywista, ale sceptyk zauważyłby, że to przekształcenie dotyczy tylko sytuacji, gdy firma nie generuje wzrostu zysku. Można jednak łatwo pokazać, że wzrost nie ma żadnego znaczenia.

Powiedzmy, że firma dokonuje pewnych inwestycji, które generują wzrost wartości. Oznaczmy je przez I. Dodajmy i odejmijmy od zysku te inwestycje do (2), tak aby całość się nie zmieniła:

Stąd:

(3)

Wielkość inwestycji jest pewną częścią wartości księgowej. Oznaczmy ją przez g:

(4)

 

 Podstawmy (4) do (3) i przekształćmy:

Stąd:

(5)

Przy założeniu, że I < Z, wzór (5), podobnie jak (2), można przekształcić do postaci sumy przyszłych zdyskontowanych zysków skorygowanych o inwestycje:

(6)

 

Zatem wzrost nie zmienia wartości księgowej.

Wzór (5) pozostaje nadal niejasny dopóki nie zdefiniujemy dokładniej inwestycji I. Powiedzieliśmy jedynie, że inwestycje to jest to wszystko, co generuje wzrost zysku. Trzeba się więc zastanowić co można zainwestować? Ogólnie są to:
- zysk zatrzymany
- kapitał wyemitowany: akcyjny oraz dłużny
- inne zobowiązania
- amortyzacja oraz inne koszty nie stanowiące wydatku.

W najprostszym przypadku zysk napędza zysk zatrzymany. Wtedy inwestycje można zdefiniować w postaci:

(7)

gdzie:
D - oczekiwana dywidenda

Podstawiając (7) do (5) uzyskamy:

(8)

Następuje więc powrót do wzoru Gordona, który został wyprowadzony w inny sposób niż standardowo (por. Dlaczego stosujemy model Gordona?). Standardowe podejście dotyczy raczej samej wartości akcji niż jej wartości księgowej. Wzór (8) będzie odzwierciedlał wartość akcji tylko w sytuacji, gdy oczekiwana stopa zwrotu inwestora giełdowego zrówna się z ROE.

Podsumowując - wartość księgowa kapitału własnego stanowi sumę zdyskontowanych oczekiwanych zysków przedsiębiorcy, niezależnie od tego czy jest on racjonalnym czy nieracjonalnym inwestorem, i będzie zawsze stać w określonej relacji do wartości rynkowej kapitału własnego.

Nieprawda, że dla ARIMA najlepszym kryterium jest BIC. Nowy sprawdzian i prognoza WIG-u

Nawet jeśli BIC prawidłowo informuje o tym, że błądzenie przypadkowe jest faktycznie błądzeniem przypadkowym, to wcale nie oznacza jeszcze, że prawidłowo informuje czy proces ARMA jest procesem ARMA - i w dodatku odpowiedniego rzędu. Żeby się o tym przekonać, musimy wygenerować taki proces i wtedy poddać go testowi. Jednak zanim to zrobię, zrzucę dzienne dane WIG ze stooq.pl -  od 1.06.2006 do 18.08.2017 (1300 obserwacji, tyle samo co poprzednio ruchu Browna):

Testuję standardowo AR(1)-MA(1) w gretlu i dostaję:

Model sugeruje zastosowanie samego modelu MA, bo parametr AR(1) = phi_1 = -0,33 jest nieistotny, ale istotny pozostaje MA(1) = 0,41.

Aby sprawdzić czy ten model powinien zostać wybrany, wchodzę do dodatku armax w Gretlu (opisywanego w tym artykule), ustawiam np. max rząd = 12 (choć tak duża wartość sprawia, że trzeba długo czekać) dla części AR i MA i otrzymuję:

W tym zapisie p to rząd AR, zaś q to rząd MA. Jedynie BIC wskazuje, że najlepszym wyborem jest AR(0)-MA(1). Dla HQC najlepszy okazuje się AR(4)-MA(2), a dla AIC AR(8)-MA(6).

Jeszcze raz więc estymujemy ARIMA zgodnie z BIC, tym razem tylko MA(1). Dostaję:

theta_1 = 0,086.

Teraz wróćmy do wygenerowania procesu ARMA. Jak to zrobić? Na razie nie da się w Gretlu, więc skorzystamy z języka programowania R. Skoro zastosowany dla WIG model MA(1) dostarczył parametru 0,086, to również chcielibyśmy stworzyć taki proces dla tej samej liczby danych. Wygenerujmy 1300 losowej próby procesu MA(1). Aby to zrobić, można w panelu R wpisać przykładowo:

przyklad = arima.sim(n = 1300, list(ar = 0.0000001, ma = 0.086))

Aby zapisać te dane w formie kolumny w pliku csv wpiszemy:

przyklad = data.frame(przyklad)
write.csv(przyklad, file="przyklad.csv")

Plik zostanie zapisany najpewniej w folderze Dokumenty. Jeśli chcielibyśmy zmienić folder, np. na D:\ to przed kodem należy wpisać
setwd("D:/")
Ukośnik, który jest w drugą stronę, może być mylący.

Sam proces MA(1) jest to proces stacjonarny (tutaj skorelowany szum), więc żeby zobaczyć proces niestacjonarny, trzeba dodać do siebie obserwacje. Tak przekształcony proces ma w tym przypadku postać: 

Trzeba przyznać, że idealnie symuluje proces giełdowy.

Co mówi o nim dodatek armax? Znowu ustawiłem max p = 12 i q = 12.

Zaskoczenie. BIC błędnie wskazuje, że proces jest czysto losowy. Tym razem to HQC okazuje się najlepszy. AIC z kolei pokazuje jak zwykle dziwactwo - na grafice tego nie widać, bo jest zbyt duża do wklejenia - wyznacza p = 11 i q = 11.

Prawda okazuje się niejednoznaczna. O ile w pierwszej części testu BIC bezbłędnie sygnalizował błądzenie przypadkowe, o tyle tym razem przeszarżował. Wygląda na to, że to kryterium trochę zbyt restrykcyjnie ocenia proces jako nielosowy. Przypomnę, że mamy tu do czynienia z 1300-ma danymi, czyli nie powinno być już problemu długości próbki. Z drugiej strony wcześniej HQC rzadko, ale czasami mylnie sugerował, że ruch jest skorelowany. W tym teście prawidłowo się zachowuje.

W takim razie sprawdźmy model, który został wybrany przez HQC, tj. AR(4)-MA(2). Wyniki dla WIG są następujące:

Wszystkie współczynniki są istotne na poziomie 1%, co sugeruje, że rzeczywiście jest to dobry model.
Wykonajmy prognozę na następny tydzień, tj. na 21.08-25.08.2017:

Wg tej prognozy w poniedziałek będzie lekki wzrost, we wtorek zachmurzenie, a od środy nastąpi przejaśnienie.

Dla ARIMA najlepszym kryterium jest BIC?

Wrócę jeszcze na moment do kwestii wyboru kryterium, względem którego należy wybrać najlepszy model ARIMA. Ostatnio pisałem o dodatku armax w gretlu, gdzie stosuje się 3 kryteria: AIC, BIC i HQC. Do praktycznej analizy używałem HQC, zgodnie z rekomendacją Hannana i Quinna [1]. Teraz jednak doszedłem do wniosku, że BIC jest nieco lepszy. Wygenerowałem 1380 danych zwykłego ruchu Browna:

Ta próba posłużyła do dalszych testów oceny kryteriów w ARMA. Wiadomo, że najlepsze będzie to kryterium, które dla ruchu Browna wskaże AR(0)-MA(0), co oznacza nic innego jak błądzenie losowe. Ustawiłem maksymalny rząd = 7 zarówno dla części AR jak i MA. Testowałem powyższą próbę na różne sposoby: zarówno stosując metodę exact ML jak conditional ML, a także dzieląc próbę na różne podpróby (po 230, 500, 1000 obserwacji). I tak np. dla głównej próby stosując exact ML, otrzymałem dla AIC AR(2)-MA(3), a dla BIC i HQC AR(0)-MA(0). Dla wszystkich podprób BIC zawsze wskazywał prawdę: że najlepszym modelem jest błądzenie przypadkowe. Dla większości prób HQC wskazywał to samo co BIC, ale zdarzały się odstępstwa, tak że HQC wskazywał, że najlepszym modelem jest ARMA jakiegoś rzędu. Z kolei AIC prawie zawsze błędnie pokazywał ARMA jakiegoś rzędu. W metodzie conditional ML BIC i HQC zawsze prawidłowo wskazywały błądzenie losowe, a AIC często dawał mylne wyniki.

Mój wniosek byłby taki, że BIC okazuje się najlepszy dla ARMA. AIC, mimo iż jest najczęstszym kryterium wyboru w modelach ekonometrycznych, to tutaj okazuje się najgorszy. Wynika to z faktu, że zakłada, że nie znamy postaci prawdziwego modelu i jedynie minimalizujemy błąd dopasowania na podstawie danych empirycznych. Dlatego AIC idealnie spisuje się tam (biologii, psychologii, ekonomii), gdzie wiadomo, że jakaś relacja między zmienną zależną a niezależną istnieje, ale dokładnie nie wiadomo jaka oraz że mogą istnieć inne zmienne niezależne, których nie znamy. Jednakże w finansach powinniśmy z góry raczej założyć, że przeszłość nie wpływa na przyszłość i dopiero sprawdzić czy to prawda. To umożliwiają BIC i HQC, które zakładają, że można otrzymać prawdziwy model i że im większa próba, tym większe prawdopodobieństwo, że tak się stanie - za sprawą prawa wielkich liczb.

Logik szybko zauważyłby nieścisłość lub błąd w jednoznacznym stwierdzeniu, że BIC to kryterium najlepsze dla ARMA. Z faktu, iż najlepiej wykrywa błądzenie przypadkowe, nie wynika przecież, że najlepiej wykrywa inny proces. Kolejny artykuł wykaże, że rzeczywiście BIC nie można do końca ufać.


Literatura:
[1] Hannan, E. J., Quinn, B. G., The Determination of the Order of an Autoregression, 1979;
[2]  Aho K., Derryberry D., Peterson T., Model selection for ecologists: the worldviews of AIC and BIC, March 2014.