Wartość akcji dla dowolnej liczby lat przy stałej stopie wzrostu. Przykład wyceny Amiki

Wzór na wartość akcji dla dowolnej liczby lat oraz dowolnej stopy wzrostu już kiedyś wyprowadziłem ( Uogólniony model Grahama-Dodda ) natomiast warto mieć gdzieś zapisany wzór na wartość, gdy dodatkowo stopa wzrostu zysku / dywidendy jest stała w czasie. Z punktu widzenia dywidend model

gdzie:

D - oczekiwana dywidenda w 1 okresie

r - stopa dyskontowa

g - oczekiwana stopa wzrostu dywidendy

n - liczba przyszłych dywidend / okresów.

sprowadza się do postaci:

(1)

jeśli tylko g jest różne od r.

Należy zauważyć, że:

1. stopa g może być większa od r w przeciwieństwie do wzoru Gordona;

2. dla niedużego n (np. do 30) stopa g może być praktycznie rzecz biorąc równa r (z dokładnością do wielu miejsc po przecinku) w przeciwieństwie do wzoru Gordona, w którym wartość skacze do nieskończoności. Dla większego n (np. między 30 a 100) wartość wydaje się być zbyt wysoka, gdy g jest prawie równe r. Gdy n jest bardzo duże, wartość staje się zbyt wielka. Jednak w praktyce okres 30 lat jest tak długi, że może nawet stanowić oczekiwany okres życia firmy;

3. pierwsza dywidenda D = D0*(1+g0), gdzie 

D0 - dywidenda, która mogłaby zostać teoretycznie wypłacona dziś,

g0 - stopa wzrostu dywidendy D0 do okresu 1.

Konkretny przykład: AMICA (AMC) (dane z bankier.pl, stooq.pl):

1 PRZEDZIAŁ CZASU:

Średnia geometryczna stopa wzrostu EBIT w latach 2001-2016 równa się g= 9,7%. Również zarząd spółki prognozuje podobny roczny wzrost przychodów aż do 2023 r.

W 2017 prognozowany jest wzrost 7-8% wzrostu EBIT. (źródło: https://stooq.pl/n/?f=1170200&search=+amica). Stąd przyjmiemy g0 = 7,5%.

Ostatnio AMC wypłaciła dywidendę 5,5 zł za 2016, czyli D0 = 5,5. Założymy, że dywidendy będą rosły w tempie zysku EBIT. Założymy też, że spółka będzie funkcjonować jeszcze 30 lat, tj. n = 30. 

Oszacowanie kosztu kapitału własnego jest jak zawsze najtrudniejsze. Punktem wyjścia niech będzie ROE = Z(t)/WK(t-1), gdzie Z(t) - zysk netto w okresie t oraz WK(t-1) - wartość księgowa w okresie t-1. W latach 2002-2016 średnia ROE wyniosła 9,4%. Bezrefleksyjne przyjęcie takiej stopy jest jednak błędne. Spójrzmy na wykres ROE 2002-2016:

ROE wydaje się być raczej niestacjonarne i w latach 2011-2016 średnia zwiększyła się do 18,9%.

Dobrym pomysłem wydaje się  być usunięcie wewnętrznych wahań poprzez użycie trendu liniowego logarytmicznej WK. Nachylenie stopy wzrostu kapitału będzie wyrażać właśnie ROE skorygowane o wahania (odejmowana dywidenda dotyczy roku poprzedniego więc nie należy jej dodawać, aby dostać cały zysk netto). W przybliżeniu WK(1) = WK(0) + Z(1) = WK(0) + Z(1)/WK(0)*WK(0) = WK(0)*(1 + Z(1)/WK(0)) = WK(0)*(1 + ROE). Czyli wzrost WK może aproksymować ROE.

Aby uzyskać trend liniowy, logarytmujemy WK (zob. Istota i znaczenie logarytmicznej stopy zwrotu). Graficzna reprezentacja trendu WK jest następująca:

Nachylenie trendu = 0,07197. Aby uzyskać prostą stopę zwrotu, stosujemy exp(0,07197) - 1 = 7,5%. Jest to mediana, która mogłaby już posłużyć za ROE. Aby uzyskać wartość oczekiwaną można skorzystać z estymatora Meulenberga (zob. Transformacja lognormalnego modelu z nieznanym parametrem) lub Duana (Smarujący estymator). Ponieważ ten drugi jest bardziej ogólny (nie zawiera założenia rozkładu), zastosujemy go. Ma on postać:

gdzie b z falką to estymator MNK z modelu ln(P) = b*T + składnik losowy.

Za pomocą tego wzoru uzyskałem ROE = 9,1%. Jest to więc wartość nieco niższa niż wcześniejsza 9,4%, ale przez to lepiej będzie aproksymować stopę dyskontową r. Podstawmy do (1):

Ponieważ zdyskontowaliśmy tę wartość za dużo o 3/4 roku do początku 2017, to powinniśmy ją zaktualizować o 3 kwartały:

Na moment obecny akcje kosztują 153 zł, co sugerowałoby niedowartościowanie (Uwaga: sprawę podatku od dywidendy zostawiłem na koniec - powyższa wartość musi zostać skorygowana o podatek 19%).

2 PRZEDZIAŁY CZASU:

Taka wycena jest optymistyczna biorąc pod uwagę, że przez 30 lat spółka potrafiłaby uzyskiwać wzrosty powyżej kosztu kapitału. Ponieważ koszt ten przybliżamy pewną średnią ROE, to możemy dokonać analizy tempa wzrostu. Ogólnie wzrost powyżej ROE jest możliwy w dwóch przypadkach:

a) samo ROE byłoby wielkością niestacjonarną i ciągle by rosło (zob. Analiza tempa wzrostu zysku firmy).

b) występowałaby zmienność zysków ponadnormalnych, np. monopolistycznych (zob. Kiedy większa niepewność zwiększa wartość akcji?).

W zasadzie obydwa przypadki są do siebie zbliżone. Wykorzystanie informacji fundamentalnych może pomóc w podjęciu decyzji co zrobić z tą zmiennością. Przecież wiadomo z poprzednich danych, że Zarząd prognozuje wzrost do 2023. Ten okres niech będzie najbardziej wzrostowy. Natomiast od 2024 r. przyjmijmy, że spółka traci siłę monopolistyczną, tak że tempo wzrostu zostanie obliczone po prostu jako k*ROE, gdzie k to część zysku zatrzymanego (Analiza tempa wzrostu zysku firmy).  

Biorąc pod uwagę, że wypłacona dywidenda w latach 2013-2017 stanowiła średnio 40% zysku netto (z poprzedniego roku), to przyjęty zostanie k = 60%. Zatem g = k*ROE = 60%*9,1% = 5,5%.

Jeżeli dzielimy wzrost na dwie fazy, to mamy sumę dwóch wyrażeń. Pierwsze zawiera 7 lat (2017-2023), a drugie 23 lata (2024-2046). Pierwsze wyrażenie jest identyczne jak poprzednie rozwiązanie, z tym że zmieniamy n = 7. Drugie wyrażenie zaczyna się od dywidendy za 2024 rok, która powinna już odpowiednio wzrosnąć. Przeanalizujmy stopę wzrostu w tym drugim:

7,5% na 2017: 1 rok

9,7% na 2018-2023: 6 lat

5,5% na 2024: 1 rok.

Dywidenda w 2024 wyniesie więc 5,5*(1+7,5%)*(1+9,7%)^6*(1+5,5%).

Przyszła wartość musi zostać  sprowadzona do wartości obecnej, stąd dyskontujemy ją 7 lat (od początku 2024 do początku 2017). Reszta jest identyczna jak poprzedni wzór z tym że za g podstawiamy 5,5% oraz n = 23.

A precyzyjniej 3 kwartały do przodu, bo dziś jest koniec września:

Dostalibyśmy wartość dużo niższą niż w wersji optymistycznej. 

3 PRZEDZIAŁY CZASU:

Akcjonariuszy Amiki chcę jednak uspokoić: ta wartość jest zdecydowanie za niska. Ona zakłada, że spółka po 30 latach zostaje zlikwidowana, a my nie dostajemy ani grosza po podziale. A przecież nie zakładamy bankructwa, tylko czystą likwidację, która automatycznie polega na podzieleniu kapitału pomiędzy akcjonariuszy.

Dlatego musi się pojawić trzecie wyrażenie z wartością księgową na akcję w momencie likwidacji.  Zgodnie z podaną wcześniej definicją:

WK(t) = Zysk(t+1) / ROE. W roku 2016 zysk na akcję wyniósł 14 zł. Jednak to 14 zł zostanie powiększone o:

7,5% na 2017: 1 rok

9,7% na 2018-2023: 6 lat

5,5% na 2024-2046: 23 lata

2,5% na 2047: 1 rok.

W sumie zysk w 2047 r. wyniesie 14*(1+7,5%)*(1+9,7%)^6*(1+5,5%)^23*(1+2,5%).

Ostatnie powiększenie 2,5% należy objaśnić. Na koniec roku 2046 minie 30 lat od początku 2017. Wobec tego likwidacja następuje w 2047. To co się dzieje w tym roku, to już zależy od naszej wyobraźni i kwestii prawnych. Jeśli zakładamy, że WK zostaje podzielona na początku 2047, to WK trafia na konto akcjonariusza. Z ekonomicznego punktu widzenia należałoby podać przyczynę likwidacji: np. pełna amortyzacja środków materialnych i niematerialnych oraz brak zgody pomiędzy akcjonariuszami co zrobić ze środkami pieniężnymi. Na pierwszy rzut oka ROE w ostatnim roku jest zerowa: Zysk netto z 2047 = 0 zł. Jednakże skoro nastąpiła pełna amortyzacja, to aktywami pozostały same środki pieniężne, które zwyczajnie trafiają na konta akcjonariuszy. Zakładając, że po roku na lokacie inwestor otrzyma 2,5% zysku, zysk w 2047 o tyle właśnie rośnie.

Nadal jesteśmy w punkcie obliczania WK(2046). Mamy już zysk netto w 2047, ale nadal brakuje ROE na ten rok. Czy możemy podstawić pod nie 9,1%? Nie, bo w tym roku rentowność się zmienia ze względu na likwidację. Możemy jednak je obliczyć z następującego układu równań:

Zatem ROE w 2047 = 8,55%.

Tutaj zwróćmy uwagę na drobny szczegół. W 2046 r. współczynnik zatrzymania nie wyniesie już 60% jak dotychczas, dlatego że w 2047 spółka nie wypłaci już dywidendy, bo na początku 2047 nastąpi likwidacja. Stąd k(2046) = 100%.

Pamiętajmy o zdyskontowaniu WK o 30 lat (od początku 2047 do początku 2017).

Posiadając wszystkie dane, podstawiamy do trzeciego wyrażenia WK(2046) = Zysk(2047) / ROE(2047) powyższe dane. Wszystkie 3 wyrażenia dadzą zapis:

Ale to nie wszystko. Sprowadzamy wartość do końca 3 kwartału 2017:

A więc wydawałoby się, że obecna cena 153 dostarcza ogromnego dyskonta w stosunku do rzeczywistej wartości. Niestety jest to ciągle wartość brutto. Zauważmy, że wszystkie dywidendy, jak ostatni zysk z lokaty nie zostały skorygowane o podatek 19%. Fakt, że inwestor jest podwójnie opodatkowany jest wysoce niesprawiedliwe, ale z drugiej strony można sobie wyobrazić oszustów, którzy tworzą sztuczne straty, nie płacąc podatku od zysku, a wypłacają sobie dywidendy z kapitału własnego. W każdym razie, musimy odjąć 19%:

Wartość wewnętrzna AMC wynosi na dziś ok. 177 zł. Oznacza to, że akcje są prawdopodobnie na dziś niedowartościowane o 24 zł, co daje 15% zysku bez ryzyka.