sobota, 29 marca 2014

Istota i znaczenie logarytmicznej stopy zwrotu

Logarytmiczna stopa zwrotu jest niewątpliwie użytecznym narzędziem w ekonomii. Jednak jej użyteczność polega na pośrednictwie podczas wyznaczania faktycznej stopy zwrotu. Nie jest to przecież intuicyjna miara, tak jak prosta stopa zwrotu, którą posługujemy się aby ocenić zmiany procentowe w czasie lub przestrzeni, np. pomiędzy różnymi akcjami. Z powodu tej nieintuicyjności nie jest wcale oczywiste, dlaczego definiujemy logarytmiczną stopę zwrotu jako:

(1)
gdzie r to zwykła stopa zwrotu (arytmetyczna lub geometryczna).


Aby ściśle zrozumieć ten wzór, spójrzmy na roczny WIG od początku 1995 do końca 2013 r.:

Rys. 1.
Średnioroczna arytmetyczna stopa zwrotu wynosi 15,1%. Potęgowy wykres wskazuje, że obecnie, w 2014 WIG wydawać się może niedowartościowany. Średnioroczna geometryczna stopa zwrotu wynosi 10,07%.

Arytmetyczna stopa zwrotu uwzględnia wszystkie wewnętrzne wahania, co może sztucznie zawyżać średnią stopę zwrotu. Aby zobaczyć jak bardzo, dla ćwiczenia zwiększyłem wahania indeksu w poszczególnych okresach zachowując tylko pierwszą wartość 7473,1 i ostatnią 51284,25. Dostałem rys. 2:

Rys. 2
Średnioroczna arytmetyczna stopa zwrotu nagle wynosi tu 37,9%. Podczas gdy średnioroczna geometryczna stopa zwrotu pozostała niezmienna, czyli 10,07%. Skąd wynikają tak olbrzymie różnice? Geometryczna stopa zwrotu nie uwzględnia w ogóle wartości wewnątrz przedziału czasu, tylko pierwszą wartość i ostatnią. Okazuje się, że jest ona w przybliżeniu równa arytmetycznej stopie zwrotu pomniejszonej o połowę wariancji [1]. Geometryczna stopa zwrotu jest więc zawsze mniejsza od arytmetycznej lub jej równa.

Z kolei ze średnią arytmetyczną wiąże się problem odwrotny: często przypadkowe odchylenia, np. spowodowane dodatnią kurtozą lub zbyt małą próbą, mogą zawyżać lub zaniżać średnią. W krótkim okresie czasu stopa zwrotu może przyjmować wartości skrajne, podczas gdy zgodnie z prawem wielkich liczb w długim okresie najczęściej będzie przyjmować wartości średnie.

Można dojść do wniosku, że najwłaściwszą metodą wyznaczenia oczekiwanej stopy zwrotu jest oparcie się na regresji liniowej, która po pierwsze wyśrodkowuje poszczególne wartości na wykresie, a po drugie łączy wszystkie okresy zmian niejako w jeden wielki okres, tworząc średnią zależną od wszystkich okresów jednocześnie, przez co nie pozwala na to, aby skrajne wartości sztucznie zawyżały średnią. Powstaje jednak pytanie jak zbudować taką linię regresji?

Aby jasno i logicznie zrozumieć zależność pomiędzy regresją a oczekiwaną stopą zwrotu, najpierw bez wyjaśnienia przekształćmy wartości indeksu WIG z rys. 1 w logarytm, czyli wyciągamy logarytm naturalny z WIG:

Rys. 3.

Zauważamy, że wykres się spłaszczył, odchylenia się zmniejszyły i bardziej naturalne staje się wyznaczenie trendu liniowego.

W ogólnym przypadku tworzymy więc następujący model trendu:

LN(Pt) = a + b*t + e

gdzie Pt to cena w okresie t,
a, b - stałe parametry,
e -składnik losowy

Logarytmiczna prognozowana cena będzie wtedy modelem o postaci:


co oznacza, że:


W okresie t+1 analogicznie:


Prognozowaną stopę zwrotu możemy więc zapisać w postaci:

(2)

Wzór (1) definiował logarytmiczną stopę zwrotu. Zwykła stopa zwrotu jest więc określona wzorem:

(3)

Łącząc (2) z (3), dostajemy zależność:



Stąd widać czym w istocie jest logarytmiczna stopa zwrotu - jest to nachylenie linii trendu logarytmicznej ceny i mówi o tym, jak zmienia się przeciętnie logarytmiczna cena w okresie t (patrz Rys. 3). Ponieważ możemy szybko przekształcić logarytmiczną stopę w zwykłą stopę, to na podstawie modelu trendu jesteśmy w stanie precyzyjnie wyznaczyć oczekiwaną stopę zwrotu.

Tutaj na chwilę się zatrzymam. Sama transformacja exp(b) nie stanowi wartości oczekiwanej stopy zwrotu, ale raczej jej medianę (wartość środkową). Aby uzyskać wartość oczekiwaną, trzeba przemnożyć exp(b) przez exp(0,5var), gdzie var to wariancja logarytmicznej stopy zwrotu (która w przypadku regresji liniowej może być interpretowana jako błąd standardowy reszt do kwadratu). Dlaczego? Powiedzmy, że nasza logarytmiczna stopa zwrotu ma rozkład normalny. Okazuje się, że wtedy zwykła stopa zwrotu ma rozkład logarytmicznie normalny, a ten charakteryzuje się powyższymi własnościami [2].

W naszym przypadku dostałem następujące parametry modelu trendu E(LN(WIG)) = a + b*t

a = 0,53, St. Error = 0,124, Sign. [0,00]
b = 0,0986, St. Error = 0,01, Sign. [0,00]

A zatem średnia stopa - mediana - dla WIG wynosi
r = exp(b) -1 = exp(0,0986) - 1 = 10,36%

Po uwzględnieniu prowizji na podstawie wzoru (1) w artykule Czy stop lossy są opłacalne? (na podstawie Stopa zwrotu po potrąceniu prowizji) będzie to przy prowizji 0,39% ok. 9,5%.

Warto mieć na uwadze różnicę pomiędzy początkowo, wydawałoby się ogromną stopą zwrotu 15,1% a końcowym efektem. Różni doradcy czy fundusze inwestycyjne manipulują liczbami, chwaląc się wysokimi arytmetycznymi stopami zwrotu, które naturalnie są zawyżone. Dopiero analiza regresji i ujęcie wszystkich kosztów prowizyjnych dostarcza solidnej i obiektywnej informacji.


Literatura:
[1] D. Mindlin, On the Relationship between arithmetic and geometric return, 2011
[2] https://en.wikipedia.org/wiki/Log-normal_distribution

Źródło danych:
stooq.pl

Brak komentarzy:

Prześlij komentarz