O fraktalnej naturze liczby Phi. Dlaczego liczba ta jest lepsza niż inne?

Jak na razie nie udaje mi się napisać wpisu o cyklach i fraktalach. Im więcej o tym myślę i czytam, tym więcej dostrzegam subtelności. Nie jest to prosty temat. Pojawia się na przykład problem liczby Phi, (1+5^0,5)/2=1,618, wynikającej z ciągu Fibonacciego, która jest arytmetycznym fraktalem



Każdą liczbę rzeczywistą można zapisać w postaci



gdzie ai - pewna liczba naturalna. Ale Phi okazuje się najbardziej "fraktalny", ponieważ dla ai = 1 wzór ten zbiega najwolniej do swojej granicy ze wszystkich innych liczb (fraktal dąży w nieskończoności do 1,618). Złota proporcja związana z liczbą Phi jest optymalna, bo na przykład ograniczona przestrzeń może być dzięki niej wypełniona najbardziej wydajnie w porównaniu z innymi proporcjami. Wynika to właśnie z faktu, że wzór 1+1/(1+1/(... aby osiągnąć granicę (1+5^0,5)/2, musi zostać "nasycony" największą ilością "podułamków". Rekurencyjne wypełnianie otoczenia pewnego stałego punktu będzie maksymalne. Stąd liczbę Fibonacciego uważa się czasami za liczbę magiczną.

Aby zrozumieć, o co tu chodzi warto zobaczyć, jak powstaje wzór 1+1/(1+1/(... Ciąg Fibonacciego jest określony następująco:



Jeśli będziemy dzielić każdy kolejny wyraz przez poprzedni, to taki ciąg ilorazów będzie dążył do liczby 1,618...

Możemy zapisać:



Widać, że w końcowym wyniku mianownik drugiego składnika jest identyczny co początkowe wyrażenie [b(n-2)-b(n-1)]/[b(n-3)-b(n-3)], z tym że cyfra indeksu przesunęła się o 1. Można zatem mianownik przedstawić jako końcowy wynik pierwszego przekształcenia, co w sumie daje:



Można więc powtarzać przedstawioną operację w nieskończoność, co da nam wzór 1+1/(1+1/(...

A teraz zobaczmy, jak powstaje ciąg Fibonacciego przez rysowanie kolejnych kwadratów o długościach występujących w ciągu:



Jeśli rozpatrujemy ciąg rosnących rozmiarów kwadratów, aby dowolny ciąg zapełnił jak największą przestrzeń, stosunek długości boków musi zmierzać do liczby 1,618..., gdyż wtedy uzyskujemy najwolniejszą zbieżność do tej granicy. Ciąg będzie musiał "wykonać" najwięcej iteracji, czyli liczba kwadratów o rosnących długościach boków będzie rosła.

Z powyższego wynika, że jeśli rozpatrujemy pewien ograniczony obszar, to dla ciągu Fibonacciego zostanie on bardzo szybko wypełniony kwadratami. Jest to więc bardzo wydajny pod względem czasu sposób wykorzystania danej przestrzeni.

Pozwolę sobie zacytować Piotra Lasonia, który wskazuje przykład maksymalnych korzyści wynikających z istnienia ciągu Fibonacciego w świecie przyrody.

Ciąg Fibonacciego i złote proporcje są bardzo dobrze widoczne również w świecie flory. Zjawisko zwane spiralną filotaksją cechuje bardzo wiele gatunków drzew i roślin. W przypadku drzew chodzi tutaj o strukturę gałęzi układających się spiralnie wokół pnia, w świecie roślin mamy na myśli liście. Gdyby ponumerować gałęzie zgodnie z wysokością na jakiej wyrosły wówczas okaże się, że liczba gałęzi sąsiadujących pionowo jest liczbą Fibonacciego, a ponadto liczba gałęzi pomiędzy gałęziami sąsiadującymi pionowo również jest liczbą Fibonacciego. Jeśli spojrzymy w dół na roślinę wówczas zauważymy, że liście wzajemnie się nie zasłaniają, co umożliwia maksymalne wykorzystanie energii słońca oraz zebranie największej ilości deszczu, który spływa po liściach do pnia i korzenia. Reguła spiralnej filotaksji umożliwia ponadto maksymalne wykorzystanie posiadanego miejsca. (Op. cit. http://www.open-mind.pl/Ideas/LiczbyM1.php, P. Lasoń, Liczby magiczne cz. II: Asembler Natury)

Jeśli rynek kapitałowy dąży do maksymalnego wypełniania swojej przestrzeni kapitału, to można doszukiwać się za pomocą dość racjonalnych przesłanek takich proporcji na rynkach. "Dość" oznacza, że jednak ciągle pozostaje to intuicyjną hipotezą. Udowodniono już, że na rynkach występują multifraktale czyli sploty fraktali, a więc fraktale rynkowe zmieniają swoje parametry w czasie. Dlatego można się doszukiwać określonych złotych proporcji, ale nie należy ich brać zbytnio na serio, po pierwsze dlatego, że fraktale o których mowa są to losowe fraktale, które dotyczą rozkładu prawdopodobieństwa, po drugie nawet te losowe fraktale w przyszłości mogą nie obowiązywać.

Tak, na giełdzie panuje chaos. Ale nietrywialny

1. Pytanie w tytule artykułu "Czy na giełdzie panuje chaos? W kontekście wykładników Lapunowa" sugerowało, że istnieje brak pewności co do chaotyczności naszej giełdy. Jednak okazuje się, że już dość stara publikacja N. Siemieniuka potwierdza stanowisko o chaosie. Dlatego poprawiłem tamten wpis o następujący akapit.

Na dziś można powiedzieć, że polski rynek kapitałowy jest chaotyczny, co wynika z analiz N. Siemieniuka w pracy "Fraktalne właściwości polskiego rynku kapitałowego", Wydawnictwo Uniwersytetu w Białymstoku, Białystok 2001, s. 163. Autor ze względu na dużo mniejszą liczbę danych w porównaniu z zagranicznymi giełdami, brał za okres 1 tydzień. Największy wykładnik Lapunowa został oszacowany na poziomie 0,0046/tydzień. Rynek tracił pamięć po średnio 51 miesiącach, czyli po nieco ponad 4 latach stawał się nieprzewidywalny.

Nietrywialność chaosu na giełdzie polega na istnieniu bardzo małych wartości największego wykładnika Lapunowa. W kontekście procesów stochastycznych występuje długoterminowa pamięć rynku
(0,5 < H < 1). Występują nieokresowe cykle, tj. niemające określonej długości ani skali czasowej. Możemy jedynie wyciągać z nich pewne średnie.

Małe wartości wykładnika Lapunowa świadczą o możliwości przewidywania kierunku giełdy w ciągu danego cyklu. W badaniach Petersa długość cyklu wyniosła ok. 4 lat dla USA i Japonii, jednak należy pamiętać, że była to liczba przeciętna w ciągu długiego okresu badań i dawała jedynie uśrednione wyobrażenie na temat długości cyklu. Zauważmy już przy tym, że takie nazwy jak nadzieja matematyczna czy wartość oczekiwana sama w sobie jest fałszem dla konkretnego wyniku, tutaj długości cyklu. Podobnie jak gra o równym prawdopodobieństwie wygranej i przegranej daje wartość oczekiwaną 0, to w danej grze nigdy nie uzyskamy zera, zawsze albo wygramy, albo przegramy. Musimy wielokrotnie zagrać, aby wyjść na 0. Podobnie powinniśmy patrzeć na badania statystyczne. Musielibyśmy grać wielokrotnie w kolejnych cyklach, aby faktycznie móc w pełni wykorzystać przeciętny 4-letni cykl hossy czy bessy. Ryzyko jest tu podwójne: nie dość, że zawsze płacimy koszty prowizji, których owe badania nie uwzględniają, to przecież nie żyjemy wiecznie i nawet najdalszy horyzont kiedyś się kończy.

2. Ponieważ większość ludzi, a więc i graczy giełdowych skupia się na krótkim horyzoncie czasowym, to właśnie dlatego tak trudno jest długotrwale zarabiać w krótkim okresie czasu. Owa krótkowzroczność wynika z co najmniej dwóch powodów. Pierwszy łączę z umysłem i myśleniem - łatwiej jest wyobrazić sobie najbliższą przyszłość niż dalszą. Dalsza przyszłość staje się coraz bardziej abstrakcyjna i niepewna. Bliska przyszłość jest wyrazista, a przez to wydaje się bardziej rzeczywista. Drugi fakt łączę z emocjonalnością - zarówno najbliższa przeszłość jak i przyszłość silniej wpływa na nastrój i uczucia niż dalsza. Większe emocje są bardziej wyraziste, a przez to wydają się bardziej rzeczywiste. Te więc będą silniej podsuwać decyzje w najbliższej przyszłości. (W ten sposób docieramy do pojęcia heurystyk, o których będę pisał).

3. Podsumowując, ciekawa sytuacja. W krótkim terminie istnieje na giełdzie duży szum, być może uniemożliwiający trwałe zarabianie. W długim terminie wydaje się to bardziej prawdopodobne, jednak tylko w określonych przedziałach czasu (cyklach). Strategia kup i trzymaj bez spoglądania na cykle skazuje nas na ślepy los czy właśnie chaos, gdyż chaotyczność układu po pewnym czasie zaczyna dominować. Wynika z tego, że do trwałych zysków potrzebne jest racjonalne zarządzanie portfelem w dłuższym horyzoncie inwestycyjnym.

Pokazuje to, że giełda to nie prosty układ rozumiany przez ekonomistów jako błądzenie przypadkowe. Twierdzenie, że rynek kapitałowy jest efektywny, bo tak podpowiada logika, jest błędne. Historia nauki już nie raz dowiodła, że "chłopski rozum" to rozum intuicyjny, często posługujący się błędnymi przeświadczeniami, oparty na heurystycznym myśleniu. Przykładem jest mechanika kwantowa i jej nielokalność (zachowania dwóch cząstek oddalonych od siebie na dowolną odległość pozostają ze sobą skorelowane; cząstki są ze sobą splątane pomimo, że nie występuje pomiędzy nimi żadne obserwowalne oddziaływanie) oraz dualny charakter cząstek-fal (cząstka jest jednocześnie falą; w zależności od sytuacji przyjmuje własności cząstki bądź fali). Jeśli chodzi o ekonomię, to już wiemy, że modele liniowe, tak proste i eleganckie, są błędne. Potrzebne jest rozwinięcie w sobie nowej intuicji uwzględniającej nieliniowe zależności i sprzężenia zwrotne, prowadzące do tego, że niewielkie zmiany warunków początkowych wpływają wykładniczo na ewolucję obserwowanego obiektu.