Załóżmy najpierw, że spełnione są założenia teorii portfela, o których można przeczytać w skrócie we wpisie Teoria portfela. Model Markowitza - Wprowadzenie W rzeczywistości warunki te nie muszą być w pełni spełnione, ponieważ klasyczną teorię portfela Markowitza można uogólnić, np. na niegaussowskie rozkłady, o czym można poczytać we wpisie Klasyka żyje i ma się dobrze (dlatego teoria portfela jest szerszym pojęciem od teorii Markowitza). Niemniej muszą istnieć warunki pozwalające na to, aby stopa zwrotu z instrumentu finansowego posiadała dwa parametry: ryzyko oraz oczekiwaną stopę zwrotu (wartość oczekiwaną).
Następnie załóżmy, że wszyscy inwestorzy są w pełni racjonalni. Wynikają z tego dwa wnioski. Po pierwsze stosują oni teorię portfela (ponieważ jej założenia są spełnione). Pamiętamy o co w niej chodzi - istnieją walory (np. akcje), które włączamy do portfela i zadanie polega na znalezieniu portfela o minimalnym ryzyku przy wybranej oczekiwanej stopie zwrotu. Logika podpowiada, że im wyższe ryzyko, tym wyższa powinna być oczekiwana stopa zwrotu. Jednak jest to logika ekonomiczna, a nie matematyczna. Poniżej widzimy krzywą minimalnego ryzyka (na mapie ryzyko-oczekiwana stopa zwrotu, przy czym ryzyko jest tu odchyleniem standardowym, tj. pierwiastkiem z wariancji), na której leżą ich portfele - każdy inwestor wybiera portfel na tej krzywej wedle swoich preferencji (wybiera portfel o jakiejś oczekiwanej stopie zwrotu i patrzy jakie ryzyko jej towarzyszy):
Dolna część krzywej jest zakreskowana ponieważ jest to część nieefektywna, którą racjonalni inwestorzy odrzucają (bo wraz ze wzrostem ryzyka oczekiwana stopa zwrotu portfela spada). Górna część krzywej nazywana jest granicą portfeli efektywnych.
Po drugie inwestorzy wykorzystują w pełni wszystkie istotne informacje rynkowe, w tym możliwość pełnej dywersyfikacji portfela. Przypomnijmy definicję dywersyfikacji ryzyka:
Dywersyfikacja ryzyka jest to inaczej rozproszenie (zmniejszenie) ryzyka portfela na skutek włączenia doń dużej liczby różnych walorów bez obniżenia oczekiwanej stopy zwrotu portfela.
Częstym błędem inwestorów jest twierdzenie, że dywersyfikując portfel zmniejszamy ryzyko, ale przy tym także oczekiwaną stopę zwrotu. A właśnie istota dywersyfikacji polega na nie zmniejszaniu oczekiwanej stopy zwrotu. Jest to możliwe dzięki "oczyszczeniu" walorów z wzajemnych korelacji (wtedy kombinacje liniowe walorów stają się niezależnymi stopniami swobody). Istotę dywersyfikacji przedstawia poniższy rysunek znany już z wpisu Teoria portfela Markowitza. Portfel złożony z K walorów:
Widzimy 3 krzywe minimalnego ryzyka. Krzywa N1A jest granicą efektywnych portfeli trzyskładnikowych (ABC), przy czym N1(1,05; 5,9) jest portfelem o globalnie minimalnej wariancji. Krzywa N2B jest granicą efektywną portfeli dwuskładnikowych (BC), przy czym N2(2,47; 4,41) jest portfelem o minimalnej wariancji. Z kolei krzywa N3A jest granicą efektywną portfeli dwuskładnikowych tworzonych z (AB), zaś N3(3,12; 8,78) jest portfelem o minimalnej wariancji. Zatem figura CN1AN3BN2 jest zbiorem portfeli dominujących nad wszystkimi innymi portfelami dwuskładnikowymi.
Stąd granica efektywnych portfeli 3-składnikowych jest bardziej opłacalna od 2-składnikowych.
Im więcej walorów uwzględni się w portfelu, tym ryzyko zostanie bardziej zdywersyfikowane. Wykorzystując możliwie najwięcej walorów na rynku można stworzyć krzywą minimalnego ryzyka, która znajdzie się możliwie najbliżej osi pionowej. Wszyscy inwestorzy mają więc taką samą krzywą minimalnego ryzyka i ich portfele giełdowe znajdują się gdzieś na tej krzywej.
Jednakże rynek kapitałowy to nie tylko akcje, ale także obligacje. Wprawdzie ryzykowne obligacje mogą zostać potraktowane jak akcje, jednakże obligacje rządowe zazwyczaj uznawane są za walory wolne od ryzyka. (Modna obecnie Grecja to nadal skrajność). Mogą także występować wysoko oprocentowane lokaty. Dzięki włączeniu waloru wolnego od ryzyka maksymalnie zdywersyfikujemy portfel. Włączmy zatem walor wolny od ryzyka (F) do portfela. Inwestor dzieli kapitał na dwie części: ryzykowną oraz bez ryzyka. Oczekiwana stopa zwrotu portfela jest więc pewną kombinacją liniową oczekiwanej stopy zwrotu z giełdy i stopy zwrotu z waloru wolnego od ryzyka. Jeżeli sztucznie założymy, że inwestor może także pożyczać od kogoś aktywa po stopie procentowej wolnej od ryzyka, to wizualnie kombinacja ta daje linię prostą (jeśli zaś realnie założymy, że stopa procentowa pożyczki będzie wyższa, to od pewnego punktu linia zmniejszy nachylenie ze względu na dodatkowe koszty - kwestia ta jednak jest głównie techniczna i jej nie omawiam, gdyż niepotrzebnie komplikowałaby ideę zagadnienia). Ale uwaga. Na początku inwestor wybierał dowolny ryzykowny portfel na krzywej minimalnego ryzyka zgodnie ze swoimi preferencjami. Wynikałoby z tego, że po połączeniu z walorem wolnym od ryzyka, może powstać wiele klas kombinacji liniowych. Jednakże szybko spostrzegamy, że istnieje tylko jedna efektywna klasa kombinacji liniowych, tak że tylko jeden portfel (M) leżący na krzywej minimalnego ryzyka może zostać wybrany do tej kombinacji:
Najlepszą linią jest ta która przynosi najwyższą możliwą oczekiwaną stopę zwrotu przy danym ryzyku. Zatem ta linia reprezentuje najlepszą klasę linii, zaś te zakreskowane należy odrzucić, bo są nieefektywne. Dlatego właśnie portfel KAŻDEGO inwestora składa się częściowo z aktywa wolnego od ryzyka F oraz częściowo z portfela M. Portfel M nazywamy portfelem rynkowym, bo zawiera wszystkie ryzykowne walory na rynku kapitałowym.
Powstała linia nazywana jest linią rynku kapitałowego (Capital Market Line - CML).
Łatwo zauważyć, że CML staje się nową granicą portfeli efektywnych, którą inwestorzy będą teraz stosować:
Inwestor wybiera jakiś portfel leżący na CML według swoich preferencji. Tworzy w ten sposób portfel o oczekiwanej stopie zwrotu μ(P), która składa się w proporcji x z oczekiwanej stopy zwrotu portfela rynkowego μ(M) oraz w proporcji 1-x ze stopy wolnej od ryzyka Rf:
(Dla zainteresowanych pełne omówienie CML tutaj).
Wniosek? Z punktu widzenia samego rynku giełdowego WSZYSCY inwestorzy posiadają ten sam skład portfela M! (Różnić się będą jedynie wagami portfela ryzykownego i nieryzykownego). Powstaje pytanie czy można szybko znaleźć skład tego jednego jedynego portfela M? Skoro każdy posiada M, to znaczy, że wszystkich inwestorów giełdowych możemy potratować jak jednego inwestora. Waga waloru A należącego do portfela M jest zdefiniowana jako:
Wszystkie pieniądze na giełdzie (F) to po prostu kapitalizacja giełdowa. Natomiast pieniądze przeznaczone tylko na walor A (F_A), czyli cena waloru A razy ich liczba to właśnie kapitalizacja waloru A. Czyli:
To samo oczywiście dzieje się z kolejnymi walorami B,C itd. Wagi portfela M są ustawiane w porządku od najwyższej do najniższej, ponieważ taki jest algorytm optymalizacji.
A więc dostajemy dokładnie skład indeksu ważonego kapitalizacją. Każdy inwestor będzie kupował indeks giełdowy. Jeśli więc wyłamujemy się z takiej strategii, czyli nie inwestujemy w oparciu o CML, to powinniśmy porównywać swoje wyniki z indeksem giełdowym.
Czy rzeczywiście jednak indeks giełdowy jest prawdziwym benchmarkiem?
Cała powyższa logika będzie w pełni prawidłowa przy dwóch początkowych założeniach:
-że są spełnione założenia teorii portfela oraz
-że wszyscy inwestorzy są racjonalni.
Któreś z tych założeń niestety nie jest spełnione. Skąd to wiadomo? Bo jak dobrze wiemy NIE WSZYSCY inwestorzy stosują teorię portfela. To już wystarczy, by stwierdzić, że indeks giełdowy nie musi być prawdziwym benchmarkiem.
Czy spełnione są założenia teorii portfela? Byłbym ostrożny w formułowaniu kategorycznych stwierdzeń typu: nie są spełnione założenia, więc teoria portfela nie działa. Przede wszystkim należy pamiętać o różnego rodzaju uogólnieniach tej teorii (np. na rozkład Levy'ego. Taki rozkład uwzględnia leptokurtozę, która oznacza, że nietypowe zmiany są częstsze niż dla rozkładu normalnego). Intuicja podpowiada, że dla możliwości zastosowania teorii portfela rozkład stopy zwrotu powinien być symetryczny (ryzyko powinno się równomiernie rozkładać na plus jak i minus). W rzeczywistości rozkłady te są prawostronnie skośne, co oznacza, że wzrosty kursów występują częściej niż spadki. Ale i ten aspekt nie może dezaktualizować teorii portfela, ponieważ sam Markowitz stworzył również alternatywną wersję swojej teorii, w której za ryzyko nie przyjmował wariancji, ale semiwariancję. W innej wersji semiwariancję zastąpiono wartością zagrożoną (Value at Risk - VaR). Istnieją bowiem dwie koncepcje pojmowania ryzyka:
1. z jednej strony jako zagrożenie, z drugiej jako szansa (odpowiednik to zmienność)
2. tylko jako zagrożenie (możliwość, że coś może się nie udać).
Później uogólniono VaR na warunkową wartość zagrożoną (CVaR (Conditional VaR), ponieważ ta pierwsza nie spełnia warunku subaddytywności, co oznacza, że VaR policzona dla zdywersyfikowanego portfela może być większa niż suma VaR-ów policzona dla instrumentów składowych. W wyniku dywersyfikacji zamiast spadku można otrzymać wzrost ryzyka. CVar jest pozbawiona tej wady.
Dodatkowo teoria portfela została zgeneralizowana na zmienne skorelowane (autokorelacja zmienności, autokorelacja stóp zwrotu, korelacja zmienności i stóp zwrotu), pojęcia z zakresu fraktali i multifraktali oraz wielookresowe modele i niestacjonarność struktury danych. J.F Muzy, D. Sornette, J. Delour i A. Arneodo w pracy "Multifractal returns and Hierarchical Portfolio Theory" konstruują wielowymiarowy multifraktalny model budowy portfela, radząc sobie także z kurtozą. Taki model uwzględnia zmienność parametrów w czasie. Widać więc, że sama teoria portfela nie może być tak zwyczajnie odrzucona. Te najnowsze są to jednak bardzo skomplikowane modele i zwykły inwestor nie ma na razie szans ich zastosować. Być może w przyszłości powstaną oprogramowania umożliwiające samodzielne wykorzystanie takich narzędzi.
No dobrze, ale przecież jest jeszcze jeden kontrowersyjny punkt naszego rozumowania. Portfel rynkowy powinien zgodnie z teorią zawierać wszystkie walory na rynku posiadające oczekiwaną stopę zwrotu i zmienność, włączając w to ryzykowne obligacje, nieruchomości i towary, natomiast popularne indeksy zawierają tylko niektóre akcje. Niektórzy inwestorzy posiadają w portfelach egzotyczne walory, które dodatkowo dywersyfikują ryzyko, a tym samym przesuwają krzywą minimalnego ryzyka w lewo. Tak więc można byłoby sądzić, że to z góry przekreśla uznanie indeksu za benchmark.
Jednakże walory na rynku najczęściej są jakoś skorelowane dodatnio, a wtedy... przypomnę ten oto rysunek z wpisu Teoria portfela Markowitza. Portfel złożony z K walorów:
K to liczba składników portfela, natomiast ryzyko jest tutaj mierzone jako procentowy udział ryzyka portfela do oczekiwanego (przeciętnego) ryzyka portfela jednoskładnikowego. Widzimy, że ryzyko spada coraz wolniej aż do pewnej granicy, która stanowi ryzyko niedywersyfikowalne - tutaj stanowi ono średnią kowariancję stóp zwrotu wszystkich walorów (dla klasycznej teorii Markowitza). Tak więc pewnym momencie nie opłaca się już dołączać nowych walorów do portfela. Tutaj leży właśnie źródło tzw. przedywersyfikowania, tj. sytuacji, gdy koszty zwiększania składników portfela są większe niż korzyści w postaci spadku ryzyka.
Możliwe, że to właśnie z tego powodu oczekiwane stopy zwrotu z różnych indeksów giełdowych (różnych krajów) mają podobne wartości. Jeśli to prawda, to otrzymalibyśmy dość silny argument za traktowaniem indeksów jako benchmarki, choćby plus minus parę procent.
Zatem głównie fakt, iż nie wszyscy inwestorzy stosują (lub że duża większość nie stosuje) ściśle teorii portfela sprawia, że indeksu ważonego kapitalizacją (o dużej liczbie walorów) nie należy zbyt poważnie uznawać za benchmark.
Zupełnie odrębną sprawą jest możliwość uzyskania wyższej oczekiwanej stopy zwrotu od portfela rynkowego przy wyższym od niego ryzyku - w tym przypadku to jedynie szczęście powoduje pozorną wygraną z rynkiem, ponieważ ryzyko ma swoją cenę w postaci "premii za ryzyko". (Z punktu widzenia CML aby tak się stało portfel musi mieć ujemną wagę waloru wolnego od ryzyka, co oznacza zaciągnięcie przez inwestora kredytu, za który kupuje dodatkowy udział portfela rynkowego; to oczywiście niesie większe ryzyko, a więc i większy oczekiwany zysk). Główny problem polega właśnie na mierzeniu ryzyka. Nowsze modele radzą sobie z tym coraz lepiej, również dlatego, że uciekają od formalnej efektywności rynku i często zbliżają się w kierunku bardziej ogólnym. Czar inwestowania na giełdzie polega na tym, że zawsze znajdzie się miejsce na wiarę w to, że istotne pokonanie indeksu zostało spowodowane nieefektywnością rynku.
