piątek, 30 października 2009

Teoria portfela. Model Markowitza - Wprowadzenie

Każdy kto interesuje się rynkami finansowymi powinien znać model Markowitza. Z pewnością wielu słyszało o jego teorii portfela, ale niewielu wie o co w niej chodzi.

Model ten ogólnie opiera się na założeniu teorii efektywności rynku. Choć dziś wiemy, że teoria ta nie znajduje w pełni odzwierciedlenia w rzeczywistości, to jednak nie należy od razu odrzucać modeli na niej opartych. Dlaczego? Ponieważ teoria ta może stanowić dobre przybliżenie mechanizmów działania rynku, a jej modele mogą przybliżać optymalny sposób podejmowania decyzji inwestorskich.

Standardowo wyobrażamy sobie, że rynek stanowi analogię cieczy znajdującej się w jakimś naczyniu. Gracze stanowią analogię fizyczną cząsteczek cieczy, zaś kursy akcji - makrocząsteczek jakiejś substancji, na przykład pyłku roślinnego, zawartego w tej cieczy. Ciecz znajduje się w równowadze termodynamicznej, a więc energia układu jest stała i minimalna (nie dostarczamy energii z zewnątrz układu (spoza naczynia)). Pomimo braku zewnętrznego źródła energii makrocząsteczki nieprzerwanie zachowują się jak żywe (na przykład niczym komary), wykonując nieregularne ruchy. Początkowo wielu fizykom wydawało się niemożliwe, aby cząsteczki mogły poruszać się "same z siebie" w taki sposób. Albert Einstein i Marian Smoluchowski niezależnie od siebie udowodnili, że makrocząsteczka faktycznie może się poruszać całkowicie przypadkowo bez żadnej energii z zewnątrz układu na skutek nieustannych uderzeń w nią cząsteczek cieczy. Pamiętajmy, że nie było wówczas dowodu na istnienie atomów - pozornie samoistne ruchy pyłku okazały się pośrednio dowodzić ich istnienia. Ruchy te nazywamy ruchami Browna na cześć szkockiego botanika Roberta Browna, który badał to zjawisko już w 1827 r. Zsumowane w czasie ruchy Browna stanowią błądzenie przypadkowe.

Równowaga termodynamiczna na rynku kapitałowym oznacza, że nie przybywa na rynek nowy kapitał. Mieli się ciągle ten sam pieniądz. Wiemy jednak, że i w takiej sytuacji popyt i podaż będzie sprawiać, że kurs akcji nie będzie stał w miejscu.

Należy zauważyć, że równowaga termodynamiczna implikuje statystyczną izotropowość i jednorodność przestrzeni oraz jednorodność czasu. Mówiąc krótko (średnio rzecz biorąc) wszędzie i zawsze jest tak samo. Na rynku każdy inwestor może mieć wprawdzie inne preferencje, ale cel jest identyczny: maksymalizuje swoją użyteczność. Tutaj powinienem wspomnieć, że w kontekście ryzyka maksymalizacja użyteczności oznacza maksymalizowanie zysku przy danym poziomie ryzyka lub minimalizowanie ryzyka przy danym poziomie zysku. Jeśli znajdzie się co najmniej dwóch graczy o takich samych preferencjach co do oczekiwanego zysku lub ryzyka, powstanie konkurencja powodująca losowy charakter kursów. Dodatkowo należy przyjąć, że żaden inwestor nie ma przewagi informacyjnej nad innymi. Stąd nikt nie powinien mieć większej szansy na wygraną od reszty.

Powyższa analogia ruchów Browna do stóp zwrotu implikuje trzy kwestie. Po pierwsze stopy zwrotu stają się całkowicie losowe i niezależne od siebie - na ich ruch nie wpływa nic z zewnątrz, a jedynie przypadkowe wewnętrzne "uderzenia" graczy. Po drugie ze względu na identyczne warunki w przestrzeni i czasie rozkład prawdopodobieństwa stopy zwrotu jest zawsze taki sam. Po trzecie ze względu na niezależność stóp zwrotu oraz stałą ilość kapitału wariancja stopy zwrotu jest skończona (dąży do pewnej średniej).

Te trzy wnioski stają się przesłankami do zastosowania Centralnego Twierdzenia Granicznego. Właśnie te trzy założenia umożliwiają stwierdzić, że stopa zwrotu w uśrednieniu dąży do rozkładu normalnego. Wiemy, że rozkład ten charakteryzuje się tylko dwoma parametrami: wartością oczekiwaną (oczekiwaną stopą zwrotu) oraz wariancją (stopy zwrotu). Czyli wystarczą tylko te dwa parametry, by opisać stopę zwrotu.

Ale przecież już wiemy, że oczekiwana stopa zwrotu dla ruchu Browna jest równa. Jednakże jest to właściwe założenie jedynie dla klasycznego błądzenia przypadkowego. Jeśli dołożymy założenie o wystąpieniu dryfu, co w fizyce jest tożsame z istnieniem zewnętrznego pola, wtedy otrzymamy arytmetyczny ruch Browna. Z ekonomicznego punktu widzenia, im większa siła dryfu, tym wieksze powinny następować zaburzenia ruchu, tj. większe ryzyko inwestycji. Tak więc oczekiwanej stopie zwrotu towarzyszyło pewne ryzyko, które Markowitz utożsamił z odchyleniem standardowym stopy zwrotu, czyli pierwiastkiem z wariancji.

Jednak Markowitz zauważył, że ta zasada nie zawsze obowiązuje. Okazało się, że można stworzyć takie portfele akcji, których oczekiwana stopa zwrotu rosła, a odchylenie standardowe (ryzyko) malało. Jeśli jednak takie sytuacje mogły występować, to znaczyło to, że portfele mogą być lepsze i gorsze. Te najlepsze nazywamy portfelami efektywnymi, a te gorsze nieefektywnymi. Rzecz się więc sprowadzała do znalezienia portfeli efektywnych i w celu dokonania transakcji wyborze któregoś z nich.

Tutaj wyłania się problematyczność interpretacji fizycznej rynku efektywnego. W fizyce nie ma pojęcia portfela. Kursy akcji różnych spółek są mniej lub bardziej skorelowane ze sobą, czego nie można powiedzieć o cząsteczkach Browna. Makro-świat staje się bardziej różnorodny i skomplikowany niż świat mikro. Można więc zadać pytanie czy w takim razie należy poważnie traktować możliwość zastosowania Centralnego Twierdzenia Granicznego do stóp zwrotu. Jeśli bowiem kurs akcji danej spółki porusza się w sposób całkowicie losowy, to czy można zgodzić się z tym, że koreluje z kursem akcji innej spółki? Otóż tak, ale należy problem zmiennej losowej traktować szerzej. Jeśli dwie zmienne losowe korelują, to w rzeczywistości razem stanowią jedną zmienną - dwuwymiarową zmienną losową. Ich rozdzielenie jest sztuczne, bowiem jedna zależy od drugiej. Na przykład, jeśli zmienne zależą liniowo, to Y = a + bX oraz X = a' + b'Y. Ponieważ jednak X i Y są to zmienne losowe w rzeczywistości ta zależność nie jest taka prosta i posługujemy się warunkowymi wartościami oczekiwanymi. Zapisujemy więc odpowiednio: E(Y/X=x) = a + bX oraz E(X/Y=y) = a' + b'Y, gdzie E(Y/X=x) czytamy: wartość oczekiwana zmiennej losowej Y, gdy zmienna losowa X przyjmuje wartość x. Analogicznie dla E(X/Y). Tak więc stopa zwrotu z portfela dwóch akcji jest dwuwymiarową zmienną losową (wektorem losowym). Stąd musimy przyjąć, że pierwotnym (ogólniejszym) pojęciem jest stopa zwrotu portfela akcji (jako ruch makrocząsteczki) a nie samej akcji. Rozkład prawdopodobieństwa stopy zwrotu z portfela nadal zależy tylko od wartości oczekiwanej i wariancji.

Z powyższego wynika, że teoria portfela dotyczy czterech elementów: udziału pieniężnego danego waloru w portfelu, czyli wagi portfela, wartości oczekiwanej stopy zwrotu, wariancji stopy zwrotu oraz współczynnika korelacji Pearsona. Tymi elementami zajmiemy się w następnym odcinku.

Brak komentarzy:

Prześlij komentarz

Prześlij komentarz