Jeżeli dzienne dane giełdowe zachowują się zgodnie z rozkładem normalnym, szoki cenowe - w górę bądź w dół - takie jak "popłynięcie" kursu na odległość co najmniej trzech odchyleń standardowych od wartości oczekiwanej, powinny zdarzać średnio raz na ok. 365 dni (tutaj dokładnie 370 - częstość wynosi dokładnie 0,0027). Ze względu na dni wolne od sesji nie jest to rok kalendarzowy, ale ok. półtora.
Z moich obliczeń wynika, że w rzeczywistości szoki te zdarzają średnio raz na 70 dni sesyjne dla DJIA. Przyjąłem dane od początku 1935 roku do końca kwietnia 2010 roku (18931 obserwacji). Średnia dzienna stopa zwrotu wyniosła praktycznie 0,0295%. Dzienne odchylenie standardowe stopy zwrotu wyniosło 0,974%. Częstość występowania modułu z różnicy pomiędzy dzienną stopą zwrotu a średnią stopą zwrotu, który przekroczył co najmniej 3 odchylenia standardowe wyniosła 0,014.
Co ciekawe, gdy wziąłem dane od 1970 roku, częstość ta zwiększyła się do 0,0173, co oznacza, że od 1970 roku szoki cenowe zdarzają się średnio raz na 58 dni sesyjne.
Od razu niemal nasuwa się pytanie jak to wygląda dla miesięcznych stóp zwrotu? Okazuje się, że bardzo podobnie. Pod uwagę wziąłem indeks S&P500 od początku 1933 roku (po to aby nie zawyżać kryzysem 1929-33, którego skala w historii się nie powtórzyła. Należy tu zwrócić uwagę, że obroty transakcyjne w tamtym czasie nie były stabilizowane widełkami cenowymi. Dopiero potem je wprowadzono.) do końca kwietnia 2010. Otrzymałem częstość 0,0161. Zatem średnio raz na 62 miesiące powstają silne zmiany kursowe na rynku amerykańskim.
Kolejne pytanie dotyczy kierunku tych szoków: czy więcej jest pozytywnych czy negatywnych. Z pewnym zdziwieniem stwierdziłem fakt, że dla dziennych stóp zwrotu DJIA pozytywne i negatywne szoki idealnie się wyrównują:
- DJIA od 1935 r. negatywnych jest 52%.
- DJIA od 1970 r. negatywnych jest 47,2%.
Z kolei z punktu widzenia miesięcznych stóp zwrotu niedźwiedzie całkowicie przejmują władzę: dla badanego okresu S&P500 szokowe spadki stanowią 80% (12/15). Należy jednak pamiętać, że danych tutaj jest dużo mniej, gdyż wszystkich szoków było w tym okresie zaledwie 15.
W przypadku WIG20 również obserwujemy duże odchylenia od reguły trzech sigm. Od początku 1995 r. częstość dziennych szoków wyniosła 0,0124, a więc zdecydowanie mniej niż dla rynku amerykańskiego, gdyż jest to średnio "tylko" raz na 80 dni. Należy jednak zwrócić uwagę, że odchylenie standardowe stopy dla WIG20 wyniosło 1,9%, czyli prawie dwukrotnie więcej niż dla DJIA. Szoki pozytywne stanowiły większość, bo 58,3% wszystkich zmian przekraczających 3 sigmy.
poniedziałek, 21 czerwca 2010
niedziela, 13 czerwca 2010
Uogólnione centralne twierdzenie graniczne
Statystycy już dawno temu zauważyli, że indeksy giełdowe nie zachowują się zgodnie z rozkładem normalnym. Jedną z własności tego rozkładu jest to, że jest prawie niemożliwe, aby zmienna powędrowała na odległość trzech odchyleń standardowych od wartości oczekiwanej. Okazało się, że tzw. zdarzenia rzadkie występują dużo częściej niż wynikałoby to z rozkładu normalnego. Z praktycznego punktu widzenia chodzi tu najczęściej o występowanie krachów, jak np. w USA w 1929, 1987, 2008 czy nawet ostatnio 6 maja 2010. Zdarzają się jednak także sytuacje odwrotne, gdy na skutek bardzo pozytywnych informacji, kursy akcji szybują.
Empiryczne własności nie były czymś przypadkowym, czymś, co za chwilę zaniknie. Były i są własnościami immanentnymi rynków finansowych. Teraz to wydaje się niby oczywiste. Jest panika, są emocje, a w każdym razie reakcje nie są liniowe (oznacza to: przychodzi informacja i jest natychmiastowa reakcja na nią). W rzeczywistości to nie jest takie oczywiste, co zaraz zobaczymy.
Swego czasu to był szok w środowisku akademickim. Cała nauka finansów została postawiona na głowie. Bez rozkładu normalnego nie można w bezgranicznie ufny sposób stosować teorii portfela Markowitza, CAPM ani Blacka-Scholesa modelu wyceny opcji.
Za chwilę zauważymy, że empiryczne odchylenia od rozkładu Gaussa nie tylko nie są czymś dziwnym, ale wręcz oczywistym. Przypomnijmy, że przyjęcie w modelu rozkładu normalnego nie było pomysłem wyciągniętym z kapelusza. Jeśli ludzie są racjonalni, to powinni szybko wykorzystywać okazje, takie jak zależność czasowa stóp zwrotu. Rynek dąży do efektywności. Na efektywnym rynku stopy zwrotu powinny być więc niezależne od siebie. Ale to nie wystarcza do wprowadzenia rozkładu Gaussa.
Co zakłada klasyczna teoria finansów? Wprowadza analogię ruchów cenowych do ruchów cząsteczki Browna. Cząsteczka ta porusza się w pojemniku bez zewnętrznego dopływu energii. Oznacza to, że warunki w czasie i przestrzeni są zawsze takie same. I tu jest klucz. Bo teraz rozkład normalny ma już rację bytu. Przytoczę fragment wpisu "Teoria portfela. Model Markowitza - Wprowadzenie":
Po pierwsze stopy zwrotu stają się całkowicie losowe i niezależne od siebie - na ich ruch nie wpływa nic z zewnątrz, a jedynie przypadkowe wewnętrzne "uderzenia" graczy. Po drugie ze względu na identyczne warunki w przestrzeni i czasie rozkład prawdopodobieństwa stopy zwrotu jest zawsze taki sam. Po trzecie ze względu na niezależność stóp zwrotu oraz stałą ilość kapitału wariancja stopy zwrotu jest skończona (dąży do pewnej średniej).
Te trzy wnioski stają się przesłankami do zastosowania Centralnego Twierdzenia Granicznego. Właśnie te trzy założenia umożliwiają stwierdzić, że stopa zwrotu w uśrednieniu dąży do rozkładu normalnego.
CENTRALNE TWIERDZENIE GRANICZNE:
Centralne twierdzenie graniczne to twierdzenie matematyczne mówiące, że jeśli Xi są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie, takiej samej wartości oczekiwanej μ i skończonej wariancji σ^2, to zmienna losowa o postaci
zbiega według rozkładu do standardowego rozkładu normalnego gdy n rośnie do nieskończoności.
Zapiszmy to inaczej:
Należy podkreślić fakt, że zmienne losowe mogą posiadać rozkład skokowy. Nie ma tu mowy o koniecznej ciągłości. Dlatego też, to że reakcje nie są liniowe, wcale nie nie dezakualizuje CTG. Fałszem jest stałość i skończoność wariancji. A ten fałsz wynika z fałszywego założenia, że kapitał jest stały w czasie.
Myślę jednak, że jeśli nawet nieliniowość reakcji na informacje nie musi mieć znaczenia, to jednak same informacje już tak. Niektóre informacje są bardzo jaskrawe, co powoduje silne i nagłe ruchy kapitału. Można powiedzieć, że w pewnym sensie informacja stanowi zewnętrzne źródło energii dla kapitału. Tak czy inaczej ekonomiczne warunki przestrzenne i czasowe zmieniają się, a zatem zmienia się ilość kapitału.
Wiadomo, że jeśli zdarzenia są rzadkie, to ich prawdopodobieństwo jest niskie. Częstość rzadkich zdarzeń gaussowskich szybko zbiega do zera, zaś częstość rzadkich zdarzeń giełdowych... Powstaje pytanie: czy w dużej próbie zbiega w końcu do zera?
Mandelbrot analizując ceny akcji bawełny doszedł do wniosku, że empiryczne rozkłady dużo lepiej niż gaussowskimi opisuje się stabilnymi rozkładami Levy'ego. Rozkłady Levy'ego dobrze sobie radziły z dużą częstością rzadkich zdarzeń - ich "ogony" są pogrubione.
Rozkład Levy'ego zawiera różne parametry: c - czynnik skalujący, wykładnik α, dryf (wartość oczekiwaną) µ i parametr skośności β. I tak dla α = 2 i β = 0 dostajemy rozkład normalny.
Ale z matematycznego punktu widzenia, jeśli α < 2, wariancja staje się nieskończona, co oznacza, że częstości rzadkich zdarzeń nie zbiegają do zera. Powstaje znowu pytanie czy rozkład Levy'ego jedynie przypadkowo poprawnie opisuje fluktuacje rynkowe, zaś wariancja wcale nie jest nieskończona?
Okazuje się, że nie jest to żaden przypadek. Istnieje bowiem uogólnione centralne twierdzenie graniczne.
UOGÓLNIONE CENTRALNE TWIERDZENIE GRANICZNE
Jeśli Xi są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie, a(n) > 0 i b(n) są to pewne stałe, wówczas zmienna losowa Z posiada rozkład Levy'ego:
czyli rozkład prawdopodobieństwa sumy Xi zbiega rozkładu Levy'ego.
W tym przypadku a(n) i b(n) mają inną postać niż dla klasycznego CTG, przy czym wzory te nie są nam niezbędne (krótko mówiąc tam gdzie wcześniej był pierwiastek z n, czyli potęga 1/2 tutaj zostaje zastąpiona 1/α oraz nie ma parametru odchylenia standardowego).
Możemy się jednak spotkać z badaniami (Np. zobacz R. Rak, Ilościowe charakterystyki fluktuacji i korelacji na polskim rynku akcji), z których wynika, że rozkład Levy'ego nie jest odpowiednim rozkładem dla giełd. W powyżej sformułowanym twierdzeniu widać, że zmienne muszą być niezależne od siebie. Dziś wiemy, że jest to nie do końca prawda. Korelacje mogą być nawet nie do wykorzystania, gdy uwzględni się koszty prowizji, jednak sam ich wpływ na rozkłady będzie się kumulował. Faktycznie nawet po odjęciu prowizji występowanie pamięci długoterminowej (a także krótkoterminowej) wpływa na postać rozkładów.
W ostatnich latach udało się uogólnić rozkład Levy'ego na rozkład q-Gaussa. Są to rzeczywiście bardzo ogólne rozkłady, które potrafią uwzględnić uogólnione skończone wariancje oraz zmienne skorelowane. Powstały już nawet prace naukowe, w których dowodzi się istnienia uogólnionego centralnego twierdzenia granicznego, zgodnie z którym zmienne dążą do rozkładu q-Gaussa.
Ale rzeczywistość jak zwykle nie przestaje zadziwiać. Wyprowadzono bowiem grupę procesów stochastycznych, które mają rozkład Levy'ego, a jednocześnie zawierają długą pamięć. Podobnie jak ułamkowe ruchy Browna mają rozkład Gaussa, tak ułamkowe ruchy Levy'ego mają rozkład Levy'ego. Możliwe, że ułamkowe ruchy Levy'ego ściśle wiążą się z rozkładem q-Gaussa, choć na razie nic mi o tym nie wiadomo.
Źródło:
1. R. Rak, Ilościowe charakterystyki fluktuacji i korelacji na polskim rynku akcji, 2008
2. J. P. Nolan, Stable Distributions. Models for Heavy Tailed Data, 2009
Empiryczne własności nie były czymś przypadkowym, czymś, co za chwilę zaniknie. Były i są własnościami immanentnymi rynków finansowych. Teraz to wydaje się niby oczywiste. Jest panika, są emocje, a w każdym razie reakcje nie są liniowe (oznacza to: przychodzi informacja i jest natychmiastowa reakcja na nią). W rzeczywistości to nie jest takie oczywiste, co zaraz zobaczymy.
Swego czasu to był szok w środowisku akademickim. Cała nauka finansów została postawiona na głowie. Bez rozkładu normalnego nie można w bezgranicznie ufny sposób stosować teorii portfela Markowitza, CAPM ani Blacka-Scholesa modelu wyceny opcji.
Za chwilę zauważymy, że empiryczne odchylenia od rozkładu Gaussa nie tylko nie są czymś dziwnym, ale wręcz oczywistym. Przypomnijmy, że przyjęcie w modelu rozkładu normalnego nie było pomysłem wyciągniętym z kapelusza. Jeśli ludzie są racjonalni, to powinni szybko wykorzystywać okazje, takie jak zależność czasowa stóp zwrotu. Rynek dąży do efektywności. Na efektywnym rynku stopy zwrotu powinny być więc niezależne od siebie. Ale to nie wystarcza do wprowadzenia rozkładu Gaussa.
Co zakłada klasyczna teoria finansów? Wprowadza analogię ruchów cenowych do ruchów cząsteczki Browna. Cząsteczka ta porusza się w pojemniku bez zewnętrznego dopływu energii. Oznacza to, że warunki w czasie i przestrzeni są zawsze takie same. I tu jest klucz. Bo teraz rozkład normalny ma już rację bytu. Przytoczę fragment wpisu "Teoria portfela. Model Markowitza - Wprowadzenie":
Po pierwsze stopy zwrotu stają się całkowicie losowe i niezależne od siebie - na ich ruch nie wpływa nic z zewnątrz, a jedynie przypadkowe wewnętrzne "uderzenia" graczy. Po drugie ze względu na identyczne warunki w przestrzeni i czasie rozkład prawdopodobieństwa stopy zwrotu jest zawsze taki sam. Po trzecie ze względu na niezależność stóp zwrotu oraz stałą ilość kapitału wariancja stopy zwrotu jest skończona (dąży do pewnej średniej).
Te trzy wnioski stają się przesłankami do zastosowania Centralnego Twierdzenia Granicznego. Właśnie te trzy założenia umożliwiają stwierdzić, że stopa zwrotu w uśrednieniu dąży do rozkładu normalnego.
CENTRALNE TWIERDZENIE GRANICZNE:
Centralne twierdzenie graniczne to twierdzenie matematyczne mówiące, że jeśli Xi są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie, takiej samej wartości oczekiwanej μ i skończonej wariancji σ^2, to zmienna losowa o postaci
zbiega według rozkładu do standardowego rozkładu normalnego gdy n rośnie do nieskończoności.
Zapiszmy to inaczej:
Należy podkreślić fakt, że zmienne losowe mogą posiadać rozkład skokowy. Nie ma tu mowy o koniecznej ciągłości. Dlatego też, to że reakcje nie są liniowe, wcale nie nie dezakualizuje CTG. Fałszem jest stałość i skończoność wariancji. A ten fałsz wynika z fałszywego założenia, że kapitał jest stały w czasie.
Myślę jednak, że jeśli nawet nieliniowość reakcji na informacje nie musi mieć znaczenia, to jednak same informacje już tak. Niektóre informacje są bardzo jaskrawe, co powoduje silne i nagłe ruchy kapitału. Można powiedzieć, że w pewnym sensie informacja stanowi zewnętrzne źródło energii dla kapitału. Tak czy inaczej ekonomiczne warunki przestrzenne i czasowe zmieniają się, a zatem zmienia się ilość kapitału.
Wiadomo, że jeśli zdarzenia są rzadkie, to ich prawdopodobieństwo jest niskie. Częstość rzadkich zdarzeń gaussowskich szybko zbiega do zera, zaś częstość rzadkich zdarzeń giełdowych... Powstaje pytanie: czy w dużej próbie zbiega w końcu do zera?
Mandelbrot analizując ceny akcji bawełny doszedł do wniosku, że empiryczne rozkłady dużo lepiej niż gaussowskimi opisuje się stabilnymi rozkładami Levy'ego. Rozkłady Levy'ego dobrze sobie radziły z dużą częstością rzadkich zdarzeń - ich "ogony" są pogrubione.
Rozkład Levy'ego zawiera różne parametry: c - czynnik skalujący, wykładnik α, dryf (wartość oczekiwaną) µ i parametr skośności β. I tak dla α = 2 i β = 0 dostajemy rozkład normalny.
Ale z matematycznego punktu widzenia, jeśli α < 2, wariancja staje się nieskończona, co oznacza, że częstości rzadkich zdarzeń nie zbiegają do zera. Powstaje znowu pytanie czy rozkład Levy'ego jedynie przypadkowo poprawnie opisuje fluktuacje rynkowe, zaś wariancja wcale nie jest nieskończona?
Okazuje się, że nie jest to żaden przypadek. Istnieje bowiem uogólnione centralne twierdzenie graniczne.
UOGÓLNIONE CENTRALNE TWIERDZENIE GRANICZNE
Jeśli Xi są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie, a(n) > 0 i b(n) są to pewne stałe, wówczas zmienna losowa Z posiada rozkład Levy'ego:
czyli rozkład prawdopodobieństwa sumy Xi zbiega rozkładu Levy'ego.
W tym przypadku a(n) i b(n) mają inną postać niż dla klasycznego CTG, przy czym wzory te nie są nam niezbędne (krótko mówiąc tam gdzie wcześniej był pierwiastek z n, czyli potęga 1/2 tutaj zostaje zastąpiona 1/α oraz nie ma parametru odchylenia standardowego).
Możemy się jednak spotkać z badaniami (Np. zobacz R. Rak, Ilościowe charakterystyki fluktuacji i korelacji na polskim rynku akcji), z których wynika, że rozkład Levy'ego nie jest odpowiednim rozkładem dla giełd. W powyżej sformułowanym twierdzeniu widać, że zmienne muszą być niezależne od siebie. Dziś wiemy, że jest to nie do końca prawda. Korelacje mogą być nawet nie do wykorzystania, gdy uwzględni się koszty prowizji, jednak sam ich wpływ na rozkłady będzie się kumulował. Faktycznie nawet po odjęciu prowizji występowanie pamięci długoterminowej (a także krótkoterminowej) wpływa na postać rozkładów.
W ostatnich latach udało się uogólnić rozkład Levy'ego na rozkład q-Gaussa. Są to rzeczywiście bardzo ogólne rozkłady, które potrafią uwzględnić uogólnione skończone wariancje oraz zmienne skorelowane. Powstały już nawet prace naukowe, w których dowodzi się istnienia uogólnionego centralnego twierdzenia granicznego, zgodnie z którym zmienne dążą do rozkładu q-Gaussa.
Ale rzeczywistość jak zwykle nie przestaje zadziwiać. Wyprowadzono bowiem grupę procesów stochastycznych, które mają rozkład Levy'ego, a jednocześnie zawierają długą pamięć. Podobnie jak ułamkowe ruchy Browna mają rozkład Gaussa, tak ułamkowe ruchy Levy'ego mają rozkład Levy'ego. Możliwe, że ułamkowe ruchy Levy'ego ściśle wiążą się z rozkładem q-Gaussa, choć na razie nic mi o tym nie wiadomo.
Źródło:
1. R. Rak, Ilościowe charakterystyki fluktuacji i korelacji na polskim rynku akcji, 2008
2. J. P. Nolan, Stable Distributions. Models for Heavy Tailed Data, 2009
Subskrybuj:
Posty (Atom)
