Klasyka żyje i ma się dobrze

Trochę kłamstwo, ale dobrze brzmi.

Analizując problem efektywności rynku i Uogólnionego Centralnego Twierdzenia Granicznego, dochodzimy do wniosku, że na rynku efektywnym średnie stopy zwrotu powinny posiadać rozkład Levy'ego.

Jedynymi założeniami UCTG była identyczność rozkładów w każdym okresie oraz niezależność stóp zwrotu (nawet nie jest potrzebna skończona średnia). Okazuje się jednak, że nawet niezależność zmiennych jest założeniem zbyt silnym. Na przykład proces stacjonarny ze skończoną pamięcią - gdy zmienne są w pewnym stałym okresie zależne od siebie, przy pewnych warunkach dąży do (wielowymiarowego) rozkładu Levy'ego (Zob. Katarzyna Bartkiewicz and Adam Jakubowski, Stable limits for sums of dependent infinite variance random variables, 1989 lub D.Harrelson C.Houdre, A characterization of m-dependent stationary in finitely divisible sequences with applications to weak convergence, 2001.

A zatem stopa zwrotu w długim okresie na rynku (fraktalnie) efektywnym będzie się charakteryzować rozkładem Levy'ego. Jak się wydaje, na rynku nieefektywnym będzie to rozkład q-Gaussa, gdyż najbardziej ogólne q-Centralne Twierdzenie Graniczne przyjmuje jeszcze mniej restrykcyjne założenia - przede wszystkim zmiany cenowe mogą być silnie oraz nietrywialnie skorelowane (rozkłady te zostały pierwotnie wyprowadzone dla fizyki w przypadku termodynamiki powiązanej z chaosem deterministycznym). Ten ostatni przypadek jednak nas nie interesuje obecnie.

No i teraz uwaga. Skoro stopa zwrotu posiada rozkład Levy'ego, to w ogólnym przypadku nie można stosować klasycznych teorii portfela: Markowitza oraz CAPM, a także modeli wyceny opcji Blacka Sholesa. W modelach tych jako miarę ryzyka stosuje się wariancję, zaś ta dla r. Levy'ego staje się nieskończona pomijając szczególny przypadek gaussowski. Od czasu, gdy zostało to ogłoszone, zwolennicy intuicyjnego podejścia do inwestycji, krytycznie nastawieni do modeli formalnych głośniej lub ciszej poczuli się triumfalnie.

Ale formalna rzeczywistość ekonomiczna, podobnie jak fizyczna, kryje w sobie więcej porządku niż się nam niejednokrotnie wydaje.

W 1997 r. Lofti Belkacem uogólnił teorię portfela Markowitza na stabilne rozkłady Levy'ego. Jeszcze rok wcześniej Belkacem, Levy Vehel i C. Walter uogólnili CAPM dla stabilnego rozkładu Levy'ego. Niewątpliwie jest to jedno z najważniejszych dokonań w teorii finansów. Autor/zy powinien otrzymać za to Nagrodę Nobla.

Jak pamiętamy rozkład Levy'ego charakteryzują różne parametry: c - czynnik skalujący, wykładnik α, dryf (wartość oczekiwana) µ i parametr skośności β. Dla α = 2 i β = 0 otrzymujemy rozkład normalny. Na rynku efektywnym powinniśmy się spodziewać, że rozkład będzie symetryczny, a więc β = 0 oraz że będzie istniała średnia stopa zwrotu, a więc 1 < α < 2. Np. dla β = 0 i α = 1 rozkład redukuje się do rozkładu Cauchy'ego. W tym rozkładzie nie istnieje średnia ani żaden inny moment.

Gdyby ktoś był na tyle dociekliwy, że spytałby dlaczego średnia musi istnieć skoro wariancja nie musi, odpowiedź byłaby następująca. Racjonalny inwestor zawsze powinien się czegoś spodziewać, czegoś oczekiwać po danym instrumencie. Jeśli branża jest ryzykowna, to będzie oczekiwał wyższego średniego zysku, gdyż podczas obranego horyzontu inwestycyjnego branża może się przypadkowo akurat załamywać. A zatem inwestor zawsze będzie miał pewną oczekiwaną stopę zwrotu, czyli właśnie wartość oczekiwaną, którą nazywamy tutaj średnią. Natomiast ryzyko również powinno być określone, jednak przyjęcie wariancji (odchylenia standardowego) jako miary ryzyka jest jedynie matematyczną konwencją, która nie musi być prawidłowa.

Oczywiście najciekawsze jest pytanie, jaką w takim razie powinna być właściwa miara ryzyka, będąca jednocześnie uogólnieniem zwykłej wariancji.

Możemy się spotkać z następującym uogólnieniem odchylenia standardowego:



Zauważmy jednak, że wcale nie jest takie łatwe przeniesienie tego wzoru na teorię portfela. Mamy tam przecież kowariancję, która sama w sobie jest uogólnieniem wariancji (wariancja wynika ze współzależności zmiennej samej ze sobą, stąd α = 2, a kowariancja ze współzależności dwóch zmiennych).

Belkacem wykorzystuje pracę m.in. Samorodnitsky'ego i Taqqu "Stable-Non Gaussian Random Process: Stochastic Models with Infinite Variance", którzy wprowadzają odpowiednie uogólnienia kowariancji na rozkłady stabilne.

Nie ma sensu w tym miejscu przytaczać co to za "cuda". Kiedyś na pewno dokładnie opiszę całą teorię.

Możemy jednak graficznie porównać granicę portfeli efektywnych uzyskaną za pomocą teorii Markowitza z jego uogólnionym odpowiednikiem. Belkacem przyjął do empirycznych studiów 3 wybrane przez siebie spółki z lat 1987 - 1995. Dane dotyczyły dziennych logarytmicznych stóp zwrotu. Ponieważ empirycznie otrzymał, że α = 1,7, to dla niej wykonywał obliczenia, w porównaniu oczywiście z α = 2.



Na powyższym rysunku na osi poziomej tak jak standardowo oznaczone jest ryzyko, na pionowej oczekiwany zysk. Dla α = 2 ryzyko redukuje się do odchylenia standardowego podzielonego przez 2^(0,5). Zwróćmy uwagę, że gaussowska granica G jest nieefektywna dla modelu α = 1,7. Ryzyko jest znacznie mniejsze dla stabilnego rozkładu Levy'ego S. Z rysunku np. wynika, że przy 1% ryzyku, Levy'owska granica portfeli efektywnych pozwala osiągnąć znacznie wyższy oczekiwany zysk (0,115%) niż gaussowska (0,0644%). Stąd utworzone gaussowskie wagi portfelowe nigdy nie będą właściwe.

Skoro krzywa granicy efektywnej jest inna, to inaczej będzie nachylona linia CAPM. Pamiętamy bowiem, że linia CML została utworzona na podstawie granicy portfeli efektywnych:



Na rysunku powyżej widać, że miara ryzyka w modelu CML na osi poziomej jest inaczej oznaczana niż w klasycznym modelu. Jak sądzę, dosłownie oznacza jakby wartość bezwzględną ze stopy zwrotu R, stanowiąc jednocześnie jej zmienność. Wzór na tę miarę jest trochę bardziej skomplikowany niż w zwykłym modelu. Generalnie model CML ma więc następującą postać:



Również SML odpowiednio zmienia nachylenie. Wynika z tego, że znane wszystkim finansistom i inwestorom ryzyko systematyczne oznaczane beta (nie mylić z parametrem oznaczanym beta występującym w rozkładzie Levy'ego) powinno być inaczej liczone, a standardowa miara jest błędna.

Właściwie obliczona oczekiwana stopa zwrotu dzięki CAPM jest ważnym narzędziem nie tylko do obliczania ryzyka inwestycji, ale także do wyceny akcji. Jednym z podstawowych problemów modelu zdyskontowanych wolnych przepływów pieniężnych DCF służącego do wyceny akcji jest obranie właściwej wymaganej stopy zwrotu. Wycena akcji jest oczywiście z definicji szukaniem równowagowej ceny na rynku efektywnym. Dlatego raczej nie powinno być wątpliwości, że podstawienie oczekiwanej stopy zwrotu z CAPM-SML do DCF jest poprawnym posunięciem.


Podsumowanie.

Wśród wielu inwestorów i finansistów ciągle pokutuje pogląd, że klasyczne modele finansów, jak np. CAPM, nie nadają się do wyceny akcji ani ryzyka na rzeczywistym rynku kapitałowym z powodu braku normalności rozkładu stóp zwrotu. Często nawet wyśmiewane są te modele.

Rzeczywiście był czas, gdy klasyka miała gliniane nogi, tak że wydawało się, że nic ją nie uratuje. Ale to już prehistoria. Świat jest bardzo uporządkowany. W fizyce klasyka obowiązuje na pewnym poziomie i nigdy nie zostanie całkowicie porzucona. Podobnie ma się rzecz w ekonomii. Rozkład normalny jest jedynie przybliżeniem rozkładu zjawisk ekonomicznych. Im będziemy bardziej dokładni, tym dostrzeżemy więcej niuansów i odchyleń od tego rozkładu. Naukowcy uogólnili modele klasycznych finansów, przybliżając się nieco do prawdy.

Podobnie w dzisiejszych czasach trwają nieustanne badania nad korelacjami i długą pamięcią w danych. Obecnie najwyższym pułapem analiz finansowych są - mówiąc hasłami - rozkłady q-Gaussa oraz multifraktale, które spełniają swoją rolę także na rynku nieefektywnym. Powstają już teorie portfela oraz modele wyceny opcji uogólniające przedstawiony powyżej obraz świata Levy'ego, czyli przyjmujące rozkłady q-Gaussowskie. Drugą najnowszą gałęzią są multifraktalne fluktuacje. Zaproponowany już z dawna przez Mandelbrota Multifrakalny Model Wyceny Aktywów Kapitałowych (MMAR) został niedawno podłączony do teorii portfela oraz modelu wyceny opcji. Gdy tylko wyguglujemy coś w stylu "generalized portfolio theory", "stable distribution in Black Scholes", "q-gauss Markowitz CAPM" "multifractal portfolio theory"... itp. to dostaniemy oczopląsu. Można jedynie z pokorą pochylić się nad tą ogromną wiedzą i geniuszem ludzkim i stwierdzić: wiem, że nic nie wiem.

Źródło:

1. L. Belkacem, How to select optimal portfolio in α-stable markets, 1997
2. L. Belkacem, L. Vehel, C. Walter, CAPM, Risk and Portfolio Selection in "Stable" Markets, 1996
3. K. Bartkiewicz and A. Jakubowski, Stable limits for sums of dependent infinite variance random variables, 1989
4. D.Harrelson, C.Houdre, A characterization of m-dependent stationary in finitely divisible sequences with applications to weak convergence, 2001.

Uogólnione centralne twierdzenie graniczne

Statystycy już dawno temu zauważyli, że indeksy giełdowe nie zachowują się zgodnie z rozkładem normalnym. Jedną z własności tego rozkładu jest to, że jest prawie niemożliwe, aby zmienna powędrowała na odległość trzech odchyleń standardowych od wartości oczekiwanej. Okazało się, że tzw. zdarzenia rzadkie występują dużo częściej niż wynikałoby to z rozkładu normalnego. Z praktycznego punktu widzenia chodzi tu najczęściej o występowanie krachów, jak np. w USA w 1929, 1987, 2008 czy nawet ostatnio 6 maja 2010. Zdarzają się jednak także sytuacje odwrotne, gdy na skutek bardzo pozytywnych informacji, kursy akcji szybują.

Empiryczne własności nie były czymś przypadkowym, czymś, co za chwilę zaniknie. Były i są własnościami immanentnymi rynków finansowych. Teraz to wydaje się niby oczywiste. Jest panika, są emocje, a w każdym razie reakcje nie są liniowe (oznacza to: przychodzi informacja i jest natychmiastowa reakcja na nią). W rzeczywistości to nie jest takie oczywiste, co zaraz zobaczymy.

Swego czasu to był szok w środowisku akademickim. Cała nauka finansów została postawiona na głowie. Bez rozkładu normalnego nie można w bezgranicznie ufny sposób stosować teorii portfela Markowitza, CAPM ani Blacka-Scholesa modelu wyceny opcji.

Za chwilę zauważymy, że empiryczne odchylenia od rozkładu Gaussa nie tylko nie są czymś dziwnym, ale wręcz oczywistym. Przypomnijmy, że przyjęcie w modelu rozkładu normalnego nie było pomysłem wyciągniętym z kapelusza. Jeśli ludzie są racjonalni, to powinni szybko wykorzystywać okazje, takie jak zależność czasowa stóp zwrotu. Rynek dąży do efektywności. Na efektywnym rynku stopy zwrotu powinny być więc niezależne od siebie. Ale to nie wystarcza do wprowadzenia rozkładu Gaussa.

Co zakłada klasyczna teoria finansów? Wprowadza analogię ruchów cenowych do ruchów cząsteczki Browna. Cząsteczka ta porusza się w pojemniku bez zewnętrznego dopływu energii. Oznacza to, że warunki w czasie i przestrzeni są zawsze takie same. I tu jest klucz. Bo teraz rozkład normalny ma już rację bytu. Przytoczę fragment wpisu "Teoria portfela. Model Markowitza - Wprowadzenie":

Po pierwsze stopy zwrotu stają się całkowicie losowe i niezależne od siebie - na ich ruch nie wpływa nic z zewnątrz, a jedynie przypadkowe wewnętrzne "uderzenia" graczy. Po drugie ze względu na identyczne warunki w przestrzeni i czasie rozkład prawdopodobieństwa stopy zwrotu jest zawsze taki sam. Po trzecie ze względu na niezależność stóp zwrotu oraz stałą ilość kapitału wariancja stopy zwrotu jest skończona (dąży do pewnej średniej).

Te trzy wnioski stają się przesłankami do zastosowania Centralnego Twierdzenia Granicznego. Właśnie te trzy założenia umożliwiają stwierdzić, że stopa zwrotu w uśrednieniu dąży do rozkładu normalnego.

CENTRALNE TWIERDZENIE GRANICZNE:

Centralne twierdzenie graniczne to twierdzenie matematyczne mówiące, że jeśli Xi są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie, takiej samej wartości oczekiwanej μ i skończonej wariancji σ^2, to zmienna losowa o postaci



zbiega według rozkładu do standardowego rozkładu normalnego gdy n rośnie do nieskończoności.

Zapiszmy to inaczej:





Należy podkreślić fakt, że zmienne losowe mogą posiadać rozkład skokowy. Nie ma tu mowy o koniecznej ciągłości. Dlatego też, to że reakcje nie są liniowe, wcale nie nie dezakualizuje CTG. Fałszem jest stałość i skończoność wariancji. A ten fałsz wynika z fałszywego założenia, że kapitał jest stały w czasie.

Myślę jednak, że jeśli nawet nieliniowość reakcji na informacje nie musi mieć znaczenia, to jednak same informacje już tak. Niektóre informacje są bardzo jaskrawe, co powoduje silne i nagłe ruchy kapitału. Można powiedzieć, że w pewnym sensie informacja stanowi zewnętrzne źródło energii dla kapitału. Tak czy inaczej ekonomiczne warunki przestrzenne i czasowe zmieniają się, a zatem zmienia się ilość kapitału.

Wiadomo, że jeśli zdarzenia są rzadkie, to ich prawdopodobieństwo jest niskie. Częstość rzadkich zdarzeń gaussowskich szybko zbiega do zera, zaś częstość rzadkich zdarzeń giełdowych... Powstaje pytanie: czy w dużej próbie zbiega w końcu do zera?

Mandelbrot analizując ceny akcji bawełny doszedł do wniosku, że empiryczne rozkłady dużo lepiej niż gaussowskimi opisuje się stabilnymi rozkładami Levy'ego. Rozkłady Levy'ego dobrze sobie radziły z dużą częstością rzadkich zdarzeń - ich "ogony" są pogrubione.

Rozkład Levy'ego zawiera różne parametry: c - czynnik skalujący, wykładnik α, dryf (wartość oczekiwaną) µ i parametr skośności β. I tak dla α = 2 i β = 0 dostajemy rozkład normalny.



Ale z matematycznego punktu widzenia, jeśli α < 2, wariancja staje się nieskończona, co oznacza, że częstości rzadkich zdarzeń nie zbiegają do zera. Powstaje znowu pytanie czy rozkład Levy'ego jedynie przypadkowo poprawnie opisuje fluktuacje rynkowe, zaś wariancja wcale nie jest nieskończona?

Okazuje się, że nie jest to żaden przypadek. Istnieje bowiem uogólnione centralne twierdzenie graniczne.

UOGÓLNIONE CENTRALNE TWIERDZENIE GRANICZNE

Jeśli Xi są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie, a(n) > 0 i b(n) są to pewne stałe, wówczas zmienna losowa Z posiada rozkład Levy'ego:



czyli rozkład prawdopodobieństwa sumy Xi zbiega rozkładu Levy'ego.

W tym przypadku a(n) i b(n) mają inną postać niż dla klasycznego CTG, przy czym wzory te nie są nam niezbędne (krótko mówiąc tam gdzie wcześniej był pierwiastek z n, czyli potęga 1/2 tutaj zostaje zastąpiona 1/α oraz nie ma parametru odchylenia standardowego).


Możemy się jednak spotkać z badaniami (Np. zobacz R. Rak, Ilościowe charakterystyki fluktuacji i korelacji na polskim rynku akcji), z których wynika, że rozkład Levy'ego nie jest odpowiednim rozkładem dla giełd. W powyżej sformułowanym twierdzeniu widać, że zmienne muszą być niezależne od siebie. Dziś wiemy, że jest to nie do końca prawda. Korelacje mogą być nawet nie do wykorzystania, gdy uwzględni się koszty prowizji, jednak sam ich wpływ na rozkłady będzie się kumulował. Faktycznie nawet po odjęciu prowizji występowanie pamięci długoterminowej (a także krótkoterminowej) wpływa na postać rozkładów.

W ostatnich latach udało się uogólnić rozkład Levy'ego na rozkład q-Gaussa. Są to rzeczywiście bardzo ogólne rozkłady, które potrafią uwzględnić uogólnione skończone wariancje oraz zmienne skorelowane. Powstały już nawet prace naukowe, w których dowodzi się istnienia uogólnionego centralnego twierdzenia granicznego, zgodnie z którym zmienne dążą do rozkładu q-Gaussa.

Ale rzeczywistość jak zwykle nie przestaje zadziwiać. Wyprowadzono bowiem grupę procesów stochastycznych, które mają rozkład Levy'ego, a jednocześnie zawierają długą pamięć. Podobnie jak ułamkowe ruchy Browna mają rozkład Gaussa, tak ułamkowe ruchy Levy'ego mają rozkład Levy'ego. Możliwe, że ułamkowe ruchy Levy'ego ściśle wiążą się z rozkładem q-Gaussa, choć na razie nic mi o tym nie wiadomo.

Źródło:

1. R. Rak, Ilościowe charakterystyki fluktuacji i korelacji na polskim rynku akcji, 2008
2. J. P. Nolan, Stable Distributions. Models for Heavy Tailed Data, 2009