Empiryczne własności nie były czymś przypadkowym, czymś, co za chwilę zaniknie. Były i są własnościami immanentnymi rynków finansowych. Teraz to wydaje się niby oczywiste. Jest panika, są emocje, a w każdym razie reakcje nie są liniowe (oznacza to: przychodzi informacja i jest natychmiastowa reakcja na nią). W rzeczywistości to nie jest takie oczywiste, co zaraz zobaczymy.
Swego czasu to był szok w środowisku akademickim. Cała nauka finansów została postawiona na głowie. Bez rozkładu normalnego nie można w bezgranicznie ufny sposób stosować teorii portfela Markowitza, CAPM ani Blacka-Scholesa modelu wyceny opcji.
Za chwilę zauważymy, że empiryczne odchylenia od rozkładu Gaussa nie tylko nie są czymś dziwnym, ale wręcz oczywistym. Przypomnijmy, że przyjęcie w modelu rozkładu normalnego nie było pomysłem wyciągniętym z kapelusza. Jeśli ludzie są racjonalni, to powinni szybko wykorzystywać okazje, takie jak zależność czasowa stóp zwrotu. Rynek dąży do efektywności. Na efektywnym rynku stopy zwrotu powinny być więc niezależne od siebie. Ale to nie wystarcza do wprowadzenia rozkładu Gaussa.
Co zakłada klasyczna teoria finansów? Wprowadza analogię ruchów cenowych do ruchów cząsteczki Browna. Cząsteczka ta porusza się w pojemniku bez zewnętrznego dopływu energii. Oznacza to, że warunki w czasie i przestrzeni są zawsze takie same. I tu jest klucz. Bo teraz rozkład normalny ma już rację bytu. Przytoczę fragment wpisu "Teoria portfela. Model Markowitza - Wprowadzenie":
Po pierwsze stopy zwrotu stają się całkowicie losowe i niezależne od siebie - na ich ruch nie wpływa nic z zewnątrz, a jedynie przypadkowe wewnętrzne "uderzenia" graczy. Po drugie ze względu na identyczne warunki w przestrzeni i czasie rozkład prawdopodobieństwa stopy zwrotu jest zawsze taki sam. Po trzecie ze względu na niezależność stóp zwrotu oraz stałą ilość kapitału wariancja stopy zwrotu jest skończona (dąży do pewnej średniej).
Te trzy wnioski stają się przesłankami do zastosowania Centralnego Twierdzenia Granicznego. Właśnie te trzy założenia umożliwiają stwierdzić, że stopa zwrotu w uśrednieniu dąży do rozkładu normalnego.
CENTRALNE TWIERDZENIE GRANICZNE:
Centralne twierdzenie graniczne to twierdzenie matematyczne mówiące, że jeśli Xi są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie, takiej samej wartości oczekiwanej μ i skończonej wariancji σ^2, to zmienna losowa o postaci
zbiega według rozkładu do standardowego rozkładu normalnego gdy n rośnie do nieskończoności.
Zapiszmy to inaczej:
Należy podkreślić fakt, że zmienne losowe mogą posiadać rozkład skokowy. Nie ma tu mowy o koniecznej ciągłości. Dlatego też, to że reakcje nie są liniowe, wcale nie nie dezakualizuje CTG. Fałszem jest stałość i skończoność wariancji. A ten fałsz wynika z fałszywego założenia, że kapitał jest stały w czasie.
Myślę jednak, że jeśli nawet nieliniowość reakcji na informacje nie musi mieć znaczenia, to jednak same informacje już tak. Niektóre informacje są bardzo jaskrawe, co powoduje silne i nagłe ruchy kapitału. Można powiedzieć, że w pewnym sensie informacja stanowi zewnętrzne źródło energii dla kapitału. Tak czy inaczej ekonomiczne warunki przestrzenne i czasowe zmieniają się, a zatem zmienia się ilość kapitału.
Wiadomo, że jeśli zdarzenia są rzadkie, to ich prawdopodobieństwo jest niskie. Częstość rzadkich zdarzeń gaussowskich szybko zbiega do zera, zaś częstość rzadkich zdarzeń giełdowych... Powstaje pytanie: czy w dużej próbie zbiega w końcu do zera?
Mandelbrot analizując ceny akcji bawełny doszedł do wniosku, że empiryczne rozkłady dużo lepiej niż gaussowskimi opisuje się stabilnymi rozkładami Levy'ego. Rozkłady Levy'ego dobrze sobie radziły z dużą częstością rzadkich zdarzeń - ich "ogony" są pogrubione.
Rozkład Levy'ego zawiera różne parametry: c - czynnik skalujący, wykładnik α, dryf (wartość oczekiwaną) µ i parametr skośności β. I tak dla α = 2 i β = 0 dostajemy rozkład normalny.
Ale z matematycznego punktu widzenia, jeśli α < 2, wariancja staje się nieskończona, co oznacza, że częstości rzadkich zdarzeń nie zbiegają do zera. Powstaje znowu pytanie czy rozkład Levy'ego jedynie przypadkowo poprawnie opisuje fluktuacje rynkowe, zaś wariancja wcale nie jest nieskończona?
Okazuje się, że nie jest to żaden przypadek. Istnieje bowiem uogólnione centralne twierdzenie graniczne.
UOGÓLNIONE CENTRALNE TWIERDZENIE GRANICZNE
Jeśli Xi są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie, a(n) > 0 i b(n) są to pewne stałe, wówczas zmienna losowa Z posiada rozkład Levy'ego:
czyli rozkład prawdopodobieństwa sumy Xi zbiega rozkładu Levy'ego.
W tym przypadku a(n) i b(n) mają inną postać niż dla klasycznego CTG, przy czym wzory te nie są nam niezbędne (krótko mówiąc tam gdzie wcześniej był pierwiastek z n, czyli potęga 1/2 tutaj zostaje zastąpiona 1/α oraz nie ma parametru odchylenia standardowego).
Możemy się jednak spotkać z badaniami (Np. zobacz R. Rak, Ilościowe charakterystyki fluktuacji i korelacji na polskim rynku akcji), z których wynika, że rozkład Levy'ego nie jest odpowiednim rozkładem dla giełd. W powyżej sformułowanym twierdzeniu widać, że zmienne muszą być niezależne od siebie. Dziś wiemy, że jest to nie do końca prawda. Korelacje mogą być nawet nie do wykorzystania, gdy uwzględni się koszty prowizji, jednak sam ich wpływ na rozkłady będzie się kumulował. Faktycznie nawet po odjęciu prowizji występowanie pamięci długoterminowej (a także krótkoterminowej) wpływa na postać rozkładów.
W ostatnich latach udało się uogólnić rozkład Levy'ego na rozkład q-Gaussa. Są to rzeczywiście bardzo ogólne rozkłady, które potrafią uwzględnić uogólnione skończone wariancje oraz zmienne skorelowane. Powstały już nawet prace naukowe, w których dowodzi się istnienia uogólnionego centralnego twierdzenia granicznego, zgodnie z którym zmienne dążą do rozkładu q-Gaussa.
Ale rzeczywistość jak zwykle nie przestaje zadziwiać. Wyprowadzono bowiem grupę procesów stochastycznych, które mają rozkład Levy'ego, a jednocześnie zawierają długą pamięć. Podobnie jak ułamkowe ruchy Browna mają rozkład Gaussa, tak ułamkowe ruchy Levy'ego mają rozkład Levy'ego. Możliwe, że ułamkowe ruchy Levy'ego ściśle wiążą się z rozkładem q-Gaussa, choć na razie nic mi o tym nie wiadomo.
Źródło:
1. R. Rak, Ilościowe charakterystyki fluktuacji i korelacji na polskim rynku akcji, 2008
2. J. P. Nolan, Stable Distributions. Models for Heavy Tailed Data, 2009
Brak komentarzy:
Prześlij komentarz