Powiedzmy do widzenia regule trzech sigm

Jeżeli dzienne dane giełdowe zachowują się zgodnie z rozkładem normalnym, szoki cenowe - w górę bądź w dół - takie jak "popłynięcie" kursu na odległość co najmniej trzech odchyleń standardowych od wartości oczekiwanej, powinny zdarzać średnio raz na ok. 365 dni (tutaj dokładnie 370 - częstość wynosi dokładnie 0,0027). Ze względu na dni wolne od sesji nie jest to rok kalendarzowy, ale ok. półtora.

Z moich obliczeń wynika, że w rzeczywistości szoki te zdarzają średnio raz na 70 dni sesyjne dla DJIA. Przyjąłem dane od początku 1935 roku do końca kwietnia 2010 roku (18931 obserwacji). Średnia dzienna stopa zwrotu wyniosła praktycznie 0,0295%. Dzienne odchylenie standardowe stopy zwrotu wyniosło 0,974%. Częstość występowania modułu z różnicy pomiędzy dzienną stopą zwrotu a średnią stopą zwrotu, który przekroczył co najmniej 3 odchylenia standardowe wyniosła 0,014.

Co ciekawe, gdy wziąłem dane od 1970 roku, częstość ta zwiększyła się do 0,0173, co oznacza, że od 1970 roku szoki cenowe zdarzają się średnio raz na 58 dni sesyjne.

Od razu niemal nasuwa się pytanie jak to wygląda dla miesięcznych stóp zwrotu? Okazuje się, że bardzo podobnie. Pod uwagę wziąłem indeks S&P500 od początku 1933 roku (po to aby nie zawyżać kryzysem 1929-33, którego skala w historii się nie powtórzyła. Należy tu zwrócić uwagę, że obroty transakcyjne w tamtym czasie nie były stabilizowane widełkami cenowymi. Dopiero potem je wprowadzono.) do końca kwietnia 2010. Otrzymałem częstość 0,0161. Zatem średnio raz na 62 miesiące powstają silne zmiany kursowe na rynku amerykańskim.

Kolejne pytanie dotyczy kierunku tych szoków: czy więcej jest pozytywnych czy negatywnych. Z pewnym zdziwieniem stwierdziłem fakt, że dla dziennych stóp zwrotu DJIA pozytywne i negatywne szoki idealnie się wyrównują:

- DJIA od 1935 r. negatywnych jest 52%.
- DJIA od 1970 r. negatywnych jest 47,2%.

Z kolei z punktu widzenia miesięcznych stóp zwrotu niedźwiedzie całkowicie przejmują władzę: dla badanego okresu S&P500 szokowe spadki stanowią 80% (12/15). Należy jednak pamiętać, że danych tutaj jest dużo mniej, gdyż wszystkich szoków było w tym okresie zaledwie 15.

W przypadku WIG20 również obserwujemy duże odchylenia od reguły trzech sigm. Od początku 1995 r. częstość dziennych szoków wyniosła 0,0124, a więc zdecydowanie mniej niż dla rynku amerykańskiego, gdyż jest to średnio "tylko" raz na 80 dni. Należy jednak zwrócić uwagę, że odchylenie standardowe stopy dla WIG20 wyniosło 1,9%, czyli prawie dwukrotnie więcej niż dla DJIA. Szoki pozytywne stanowiły większość, bo 58,3% wszystkich zmian przekraczających 3 sigmy.