O nieliniowej uporczywości kursów

Zanim przejdę do rozkładów Levy'ego i ich połączenia z ułamkowym ruchem Browna, dokończę sprawę ułamkowego ruchu Browna, która jest na tyle zawikłana i interesująca, że należy chwilę poświęcić jej czas.

Mówiliśmy wielokrotnie, że jeśli wykładnik Hursta > 0,5, szereg czasowy charakteryzuje się persystencją, czyli uporczywością podążania w danym kierunku obserwacji. Intuicyjnie każdy rozumiałby to w taki sposób, że występuje trend. Trend wydaje się stanowić miarę pamięci procesu. Problem polega na tym, że pamięć tego procesu jest w dłuższych okresach coraz słabsza. Oznacza to, że wpływ wydarzenia w dalekiej przeszłości zanika. Po długim czasie proces będzie nierozróżnialny od błądzenia przypadkowego, tak że H będzie dążył do 0,5. W tej sytuacji oczywiste również, że wartość oczekiwana będzie dążyć do zera.

Tak więc statystyka Hursta wiąże się z teorią chaosu dwojako: poprzez początkowe obciążenie (efekt motyla) oraz zanik pamięci długoterminowej (niemożliwość przewidywania w długim okresie). Objawia się tu nieliniowa autokorelacja pomiędzy danymi. Z tego powodu nie może być tu stosowana miara korelacji liniowej.

Co się właściwie tutaj dzieje? Logiczne, że efekty motyla występują w każdym momencie. Jeśli H > 0,5 i początkowo są wzrosty, tak że utrzymuje się trend zwyżkujący, lecz raz przypadkowo następuje spadek, to ten spadek będzie oddziaływał w każdym kolejnym okresie. Jeśli nawarstwi się trochę spadków, to dojdzie do "katastrofy" - efekt motyla zacznie przeważać w drugą stronę, czyli w stronę spadków, ponieważ bliższa przeszłość ma większe znaczenie niż dalsza. Następuje zmiana trendu na zniżkujący.

Przyjrzymy się poniższym rysunkom:

H = 0,2:



H = 0,5:



H = 0,8:



Dla H = 0,2 szereg szybciej zmienia kierunek niż dla standardowego ruchu Browna, dla H = 0,5 zachowuje się zgodnie ze standardowym ruchem Browna, dla H = 0,8 wolniej zmienia kierunek.
Ale widać, że we wszystkich przypadkach następuje mniej więcej w tym samym czasie zmiana kierunku "trendu", co przeczy intuicji że dla H > 0,5 trend powinien być najdłuższy.

Przykład ten także pokazuje, że H jest nie tyle prawdopodobieństwem warunkowym znaku kolejnej zmiany obserwacji, co miarą zmienności.

Doświadczamy więc jak subtelna różnica jest pomiędzy zwykłym błądzeniem przypadkowym a jego obciążonym odpowiednikiem. W tym drugim przypadku w długim okresie czasu pamięć o początkowym trendzie spada niemal do zera, tak że nie będziemy w stanie przewidzieć, w którą stronę zmienna podąży.

Wcześniej napisałem, że wartość oczekiwana przyrostów ułamkowego procesu ruchu Browna równa się zero, gdyż nie wiemy, po której stronie skrzydła motyla wywołają huragan. Obecnie dodaję, że motyl lata bez przerwy. Kiedyś może odwrócić się trend, tak że wartość oczekiwana przyrostów równać się będzie zero.

Z powyższego widać, jak dobrze ułamkowy ruch Browna odpowiada światowi rynków kapitałowych. Bo z jednej strony kursy rzeczywiście wydają się być przylepione do danego kierunku, z drugiej strony nie dają się raczej przewidywać w długim okresie czasu.

Płyną z tego wnioski. Po pierwsze lepiej kupować akcje, które rosną, gdyż istnieje większa szansa, że będą dalej rosnąć. Jednocześnie lepiej sprzedawać akcje, które spadają, gdyż istnieje większa szansa, że będą dalej spadać. Po drugie warto wspomagać się długoterminową średnią kroczącą, która może wskazać moment, po którym nastąpiła "katastrofa" i zmiana trendu. Po trzecie warto kupować akcje spółek o niskiej osiągalności, tj. niskim ryzyku osiągalności. Pisałem o tym ryzyku tutaj:
http://gieldowyracjonalista.blogspot.com/2009/07/ryzyko-osiagalnosci_13.html
Niska osiągalność jest zbawienna psychologicznie, gdyż odciąża nas od pokusy sprzedaży akcji, gdy te szybko spadają lub szybko rosną. Ryzyko to wydaje się być lepszą miarą niż odchylenie standardowe, które może być teoretycznie nieskończone. Będzie tak w sytuacji, gdy trajektoria kursu nie będzie ułamkowym ruchem Browna, ale ułamkowym ruchem Levy'ego.
Innym sposobem na zmniejszenie ryzyka jest zwykła dywersyfikacja. Dzięki niej osiągalność portfela spadnie. Prawdopodobnie taki portfel będzie miał większy wykładnik Hursta, gdyż trajektoria kursu portfela ulegnie wygładzeniu.
Po czwarte trzeba jednak sprawdzić czy to co widzimy to nie przypadek, czyli że H > 0,5. Metoda liczenia H jest jednak trudna, więc najlepiej posłużyć się odpowiednim programem. Na marginesie należy wspomnieć, że jeśli będziemy mieć taki program i wrzucimy do niego surowe dane i dostaniemy wynik H = 0,75, to znowu trzeba być ostrożnym w formułowaniu wniosku, że nasz kurs jest persystentny. Przede wszystkim należy pamiętać o wpływie inflacji, dlatego w długim szeregu czasowym należy dane odfiltrować od inflacji. Drugą kwestią jest pytanie czy program taki pomaga użytkownikowi w określeniu istotności empirycznego H. Jest on istotny, gdy jest większy od teoretycznego H przynajmniej o (1/N)^(1/2), gdzie N to liczba obserwacji. Teoretyczny H jest dany dość skomplikowanym wzorem, dlatego najlepiej jeśli taki program ma wbudowany algorytm obliczający go.

Źródło:

1. E.E. Peters, Teoria chaosu a rynki kapitałowe, W-wa 1997
2. J. Strecker, Fractional Brownian Motion Simulation: Observing Fractal Statistics in the Wild and Raising Them in Captivity, 2004.

O ułamkowym ruchu Browna i jego komercyjnym charakterze

Wielu z nas - inwestorów - kupiło książkę E. Petersa "Teoria chaosu a rynki kapitałowe". Z pewnością wielu było pod olbrzymim wrażeniem przedstawionej tam teorii oraz ilości dowodów, że rynki finansowe są chaotyczne. Uważam jednak, że jest potrzebny głos z zewnątrz, który naprostowałby nieścisłości, a nawet błędy zawarte w tej książce.

Peters napisał książkę, która moim zdaniem wsławiła się umiejętnym połączeniem podręcznika popularno-naukowego i pracy naukowej, niemalże doktorskiej. Peters, idąc śladem Hawkinga ("Krótka historia czasu"), nie epatuje czytelnika skomplikowanymi wzorami, lecz najpierw wykłada przyzwoicie teorię, tak aby laik mógł zrozumieć, potem wskazuje różne fakty empiryczne odkryte przez badaczy, a następnie przedstawia własne przemyślenia i w końcu - najważniejsze - własne badania.

Wiadomo, że chodzi o pieniądze. Gdyby miało być skomplikowanie, to kto by to czytał? Z drugiej strony zbytnie upraszczanie wprowadza w błąd czytelnika. Tak niestety się dzieje w przypadku książki Petersa.

Peters trochę spłaszcza to wszystko. Dzieli świat teorii rynków na dwie części:

(1) jeśli rynek jest efektywny, to stopy zwrotu są losowe i niezależne od siebie, mają rozkład normalny;
(2) jeśli rynek nie jest efektywny, to stopy zwrotu są nielosowe, zależne od siebie i nie mają rozkładu normalnego.

Na stronie 15 Peters pisze:

"Gdyby okazało się, że rynkowe stopy zwrotu spełniają warunki rozkładu normalnego, wtedy hipoteza efektywności oraz jej konsekwencje byłyby uprawnione".

Dalej głosi:

"Stare metody trzeba zastąpić nowymi - takimi, które nie będą oparte na niezależności zdarzeń, rozkładzie normalnym i skończonej wariancji. Nowe metody muszą objąć teorię faktali oraz dynamikę nieliniową (...)".

Na str. 17 pada stwierdzenie:

"Siódme założenie Osborne'a jest konkluzją założeń od trzeciego do szóstego. Stwierdza się w nim, że ponieważ zmiany cenowe są zdarzeniami niezależnymi (to znaczy podlegają błądzeniu przypadkowemu), można spodziewać się, że ich rozkład będzie rozkładem normalnym ze stabilną średnią i skończoną wariancją. Wniosek taki wynika z centralnego twierdzenia granicznego rachunku prawdopodobieństwa, czyli prawa wielkich liczb."

Wszystkie powyższe zdania zawierają błędy merytoryczne. Za chwilę je objaśnię, a teraz tylko mała uwaga: prawo wielkich liczb nie jest centralnym twierdzeniem granicznym. W tym kontekście być może stają się równoznaczne, ale laik nie dostrzeże tych subtelności i potraktuje oba twierdzenia jako tożsame.

Następnie Peters przedstawia wyniki badań, które sugerują, że stopy zwrotu mają rozkład Pareta, inaczej Levy'ego, które nazywa fraktalnymi. Po tym dowodzi istnienia struktur fraktalnych na giełdach, wprowadzając pojęcie obciążonego błądzenia przypadkowego, czyli z wykładnikiem Hursta różnym od 0,5. W końcu spogląda na wszystko przez pryzmat dynamiki nieliniowej, czyli chaosu deterministycznego.

W sumie punkt (1) zostaje obalony, zaś punkt drugi może zostać zastąpiony zdaniem:
rynek nie jest efektywny, ale chaotyczny, losowo fraktalny, stopy zwrotu są nielosowe, zależne od siebie (obciążone błądzenie przypadkowe, ułamkowy ruch Browna) i mają rozkład fraktalny. Wszystko na rynku staje się fraktalem.

Czy tak jest? Nie, tak nie jest.

Przypomnijmy wzór na ułamkowy proces ruchu Browna:



gdzie t > 0, t > s, B - standardowy proces ruchu Browna, H - wykładnik Hursta, 0 < H < 1.

Dla aplikacji wzór ten został uproszczony przez P. Levy'ego do postaci:



Teoria całek stochastycznych jest trudna (całkiem nowa), jest to matematyka zaawansowana i nie będziemy na razie się w nią wgłębiać. Jak będzie coś potrzebne, to dotkniemy tematu.

Warto jednak już teraz dostrzec głębię wzoru: standardowy ruch Browna dB jest przemnożony przez funkcję różnic pewnych chwil czasu, gdyż ułamkowy ruch Browna zależy od tych chwil. Dla H = 0,5, dostajemy całkę z dB, czyli faktycznie zwykłe błądzenie przypadkowe. Wartość funkcji gamma jest tylko stałą, więc pełni tu rolę podrzędną.

Po pierwsze ułamkowy (fraktalny) ruch Browna jest procesem gaussowskim! Oznacza to, że stopy zwrotu w takim procesie mają rozkład normalny.

Po drugie oczekiwana stopa zwrotu jest równa zero. Nie zgadzacie się z tym, bo przecież dodatnia obciążoność sprawia, że kolejne przyrosty będą mieć większą szansę otrzymać ten sam znak co za poprzednim razem. Ale czy ktoś ustanawia kierunek od początku? Jeśli zacznie się ruch w górę (dół), to w następnym ruchu można spodziewać się także kierunku w górę (dół). To jest właśnie ów efekt motyla. Globalnie średnio rzecz biorąc oba kierunki znoszą się, bo nie wiadomo, w którą stronę motyl zatrzepocze. (Natomiast nie należy tego mylić z warunkową oczekiwaną stopą zwrotu, która może być większa od zera!).

Po trzecie przyrosty są stacjonarne, wariancja i odchylenie standardowe przyrostów są oczywiście (ze względu na normalność) skończone i odpowiednio wynoszą:



gdzie B(H)-ułamkowy proces ruchu Browna, t - dowolna chwila czasu.

W literaturze wariancję zapisuje się także w postaci:



Jedyną różnicą pomiędzy błądzeniem przypadkowym a obciążonym błądzeniem przypadkowym jest to, że w tym drugim przypadku kolejne przyrosty są skorelowane. Funkcją kowariancji dla dowolnych chwil t i s, t > s, jest:



Teraz więc wyjaśniło się dlaczego potrzebne jest nie tylko t, ale i s: ich funkcje, czyli kolejne wartości lub zmiany procesu ułamkowego ruchu Browna są skorelowane.

Wystarczająco duże H oznacza, że mamy do czynienia z rzeczywistym trendem, nie iluzją.

Ale jeśli kolejne zmiany są od siebie zależne, a jednocześnie mogą mieć rozkład Gaussa, to z przerażeniem odkrywamy, że to co badaliśmy w poprzednim poście - losowość przyrostów arytmetycznego i geometrycznego procesu ruchu Browna poprzez sprawdzanie gaussowskości było błędne!!!

Co to jest właściwie losowość? Przez losowość zmiennej możemy rozumieć niezależność kolejnych obserwacji od innych obserwacji (zmiennych).

Żeby sprawdzić losowość musimy użyć odpowiednich testów na istnienie losowości. Na szczęście wszystkie testy losowości, których użyłem do tamtych obserwacji jasno wskazują, że nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy o losowości procesu. Czyli rzeczywiście kształt trendu był przypadkowy.

W sumie więc, jeśli chcemy zbadać czy dany proces jest błądzeniem przypadkowym, musimy zrobić dwa testy: na normalność przyrostów oraz na losowość. Dlaczego nie wystarczy na losowość, którą utożsamiliśmy z niezależnością od reszty obserwacji? Dlatego, że niezależność zmiennych nie pociąga za sobą normalności.

Rozkład Levy'ego jest również rozkładem zmiennej losowej (niezależnej). Różnica będzie tylko taka, że zmienna będzie mogła mieć w tym przypadku nieskończoną wariancję. Nie musi mieć to nic wspólnego z zależnością kolejnych obserwacji. Wynika z tego, że stopy zwrotu na rynku efektywnym nie muszą mieć rozkładu Gaussa.

Podsumujmy. Zmienne losowe lub nie do końca losowe mogą mieć różne rozkłady prawdopodobieństwa. Może być to rozkład Levy'ego - jeśli wariancja będzie skończona, będzie to rozkład normalny. Przyrosty błądzenia przypadkowego zazwyczaj łączymy ze zmienną (niezależną) losową o rozkładzie normalnym. Fraktalny proces ruchu Browna jest gaussowski.

Bardzo mało prawdopodobne, żeby Peters nie znał tych faktów, które tutaj przedstawiłem. Nie chciał mieszać w głowach czytelników, aby wyszła mu książka przejrzysta, ładnie opowiedziana i komercyjna, czyli chodziło o pieniądze. Fraktale są modne, więc wszystko trzeba było wtłoczyć w ich ramy.

O co chodzi z tą gmatwaniną? Wydawałoby się po prostu, że Peters napisał niektóre bzdury dla komercji. Dowiedzieliśmy się, że fraktalne ruchy Browna wcale nie muszą mieć rozkładów fraktalnych. Ale uwaga - mogą mieć. Kwestia ta wymaga dalszych wyjaśnień, które przeprowadzę w następnym odcinku.

Ponadto szerokie badania wykazują, że stopy zwrotu indeksów giełdowych nie mają rozkładu normalnego. Oznacza to - uwaga - że stopy zwrotu nie są ułamkowym ruchem Browna. Są jak już multiułamkowym ruchem Browna, a te nie muszą mieć rozkładu normalnego. Tak czy inaczej, trzeba było rozszerzyć pojęcie ułamkowego ruchu Browna dla rozkładów niegaussowskich. Peters, tak po cichu, bez tłumaczeń, wskazał ten kierunek.


Źródło:

1. B.B. Mandelbrot, Fractional Brownian Motions, Fractional Noises and Applications, 1968
2. A.Mastalerz-Kodzis, Modelowanie procesów na rynku kapitałowym za pomocą multifraktali, 2003
3. E.E. Peters, Teoria chaosu a rynki kapitałowe, W-wa 1997
4. D. Nualart, Fractional Brownian motion: stochastic calculus and applications, 2000.