O relacji między arytmetyczną a geometryczną średnią stopą zwrotu

W literaturze finansowej przewijają się trzy miary średnich - arytmetyczna, geometryczna i logarytmiczna (średnia) stopa zwrotu. Patrząc na całe zagadnienie z dystansu, dostajemy dość zagmatwany obraz złożony z trzech różnych miar. Dobrze byłoby odnaleźć ścisłe relacje pomiędzy nimi, aby móc się poruszać w gąszczu matematyki finansowej.

Średnia arytmetyczna stopy zwrotu (r) dana jest wzorem:

(1)

gdzie
r(k) to k-ta stopa zwrotu,
n - liczba wszystkich stóp zwrotu, tj. liczebność próby.

Średnia geometryczna powstaje w następujący sposób. Najpierw tworzymy łańcuch n cen w oparciu o procent składany:

(2)

Następnie zastępujemy sam łańcuch składanych procentów średnim składanym procentem:

(3)

Rozwiązując to równanie względem G uzyskujemy wzór na średnią geometryczną:
(4)

Najczęściej stosowany w matematyce zapis to:

(5)

Zauważmy prostą zależność. Ponieważ z definicji na stopę zwrotu r(k) dla ceny P(k):

to podstawiając ten wzór do poprzedniego dostajemy:

Inaczej mówiąc wewnętrzne stopy zwrotu wzajemnie się eliminują, więc wzór od nich nie zależy. W ten sposób jasno widać, że geometryczna stopa zwrotu zależy tylko od pierwszej i ostatniej ceny, nie uwzględniając w ogóle zmian wewnętrznych.

Wyprowadzę teraz zależność pomiędzy arytmetyczną a geometryczną stopą zwrotu. Pośrednikiem jest tu twierdzenie Taylora.

Poniższa definicja zaczerpnięta jest z Wikipedii

Wzór Taylora, szczególnie Maclaurina, jest bardzo często używanym narzędziem dowodu przy wyprowadzeniach różnych wzorów w ekonomii.

Wróćmy teraz do wzoru nr (3). Możemy go zlogarytmować i wykorzystać własności logarytmów:

 (6)

Zgodnie z twierdzeniem Taylora stała a jest dowolna, więc możemy podstawić pod nią średnią arytmetyczną, tj. (1). W ten sposób logarytmiczna stopa zwrotu ln(1+r) może być wyrażona przez szereg Taylora:

(7)

Podstawmy prawą stronę (7) do prawej strony (6). Widać od razu, że powstają po prawej stronie sumy, które możemy rozdzielić i podzielić przez n, dostając

(8)

Przeanalizujmy prawą stronę (8). Pierwszy wyraz to średnia ze stałych, więc sumę można zapisać jako n*ln(1+A), stąd całość skraca się do ln(1+A). Drugi wyraz zawiera pierwszy moment centralny, a ten zawsze jest równy zero. Trzeci wyraz zawiera wariancję. Czwarty - trzeci moment centralny, czyli miarę asymetrii ściśle powiązaną ze skośnością, piąty - z kurtozą. Pozostałe składniki będą zawierać kolejne momenty centralne zmiennej r, ale w statystyce są praktycznie pomijane, więc uznamy, że są równe zero. W związku z tym również reszta Peano zniknie. Na koniec musimy pamiętać o pochodnych 4-ch kolejnych rzędów. W konsekwencji dostajemy przekształcony wzór:

(9)

gdzie:
V - wariancja
Sk - skośność, czyli 3-moment centralny podzielony przez wariancję do 3/2
K - kurtoza, czyli 4-moment centralny podzielony przez wariancję do kwadratu.

Jeżeli rozkład jest normalny, wtedy skośność wynosi zero, a kurtoza = 3 (nadwyżka kurtozy = 0). Kurtoza jest podzielona przez 4*(1+A)^4 i dodatkowo przez mnożona przez wariancję, która przecież zazwyczaj będzie ułamkiem.  Dlatego przyjmijmy, że 2 ostatnie składniki w (9) znikają. Z tak utworzonego wyrażenia wyciągamy G:

(10)

Średnia geometryczna stopa zwrotu jest czymś w rodzaju arytmetycznej średniej stopy zwrotu zdyskontowanej pewną stopą zmienności.
Wzór (10) jest mało znany i prawie nigdzie go nie znajdziemy w literaturze (wzór (9), z którego przecież można wyprowadzić najbardziej ogólny wzór na G jest rzadko spotykany. Dość niedawno Mindlin [1] wyprowadził różne przybliżenia geometrycznej stopy zwrotu i tam znalazł się (10), aczkolwiek Autor nie analizował momentów centralnych wyższych rzędów niż 2, a więc już (9) tam nie znajdziemy.

Problem można zaatakować nieco z innej strony. Powróćmy do wzoru (6). Ponownie zakładamy -1 < x < 1 , ale tym razem podstawiamy a=0, wtedy funkcja ln(1+x) będzie aproksymowana przez wzór Maclaurina, który sprowadza się do postaci:

(11)

Wzór ten zastosujemy zarówno dla prawej, jak i lewej strony równania (6).

czyli:

Przenieśmy wszystkie składniki oprócz pierwszego z lewej strony na prawą:

(12)

Składniki prawej strony (12) częściowo się znoszą, a kolejne wyrazy stają się coraz mniejsze. Jeśli zaniedbamy wszystkie składniki oprócz pierwszego i drugiego, to dostaniemy:

Ze wzoru skróconego mnożenia można wywnioskować, że:

Wtedy:

(13)

Rozwiązanie (13) względem G daje wzór:

(14)

Wzór (14) również nie jest popularny. Faktycznie, nie wygląda zbyt interesująco. 

Załóżmy sztucznie w (13), że (A^2 - G^2) / 2 jest w przybliżeniu równe zero:

(15)

Stąd 

Przekształćmy obie strony:

e^A jest po prostu liczbą, więc można znaleźć zmienną - nazwijmy ją e^g - dla której wartość oczekiwana jest właśnie tyle równa. czyli:

Okazuje się, że jeśli zmienna g ma rozkład normalny, to zmienna exp(g) ma rozkład logarytmiczno-normalny (zob. artykuł Kiedy większa niepewność zwiększa wartość akcji? gdzie naturalnie doszedłem do niego, a także wstęp do niego Pokrzywiony dzwon - rozkład lognormalny). Wówczas G staje się wartością oczekiwaną g, a V wariancją g. 

Czy g nie jest przypadkiem zmienną r? Nie może być, bo średnia arytmetyczna to wartość oczekiwana, a ta jest równa A dla r, a G dla g. Ale jednocześnie obie zmienne mają taką samą wariancję (V). Wynika z tego, że g stanowi po prostu przesunięte w lewo r. Zamiana r na g powstaje w momencie przejścia od wzoru (13) do (15), tj. gdy sztucznie założyliśmy (A^2 - G^2) / 2 = 0. To się nigdy nie wydarzy. Tworząc to założenie popsuliśmy prawidłowe zależności w równaniu, ale za to pozwoliło uzyskać nową zmienną.  

Chociaż sztucznie doszliśmy do tego wzoru, to końcowa interpretacja jest ważna: jeśli stosujemy kapitalizację ciągłą, to średnia arytmetyczna stopa zwrotu stanowi średnią geometryczną powiększoną o połowę wariancji. Pamiętać należy, że dzieje się to przy założeniu rozkładu normalnego.  

Podsumujmy.

a) Najbardziej ogólny wzór na geometryczną stopę zwrotu powstaje z przekształcenia (9)

b) Przy założeniu normalności rozkładu powyższy wzór można przybliżyć za pomocą:

c) Innym przybliżeniem, nie zakładającym jednak normalności jest:

d) Uproszczoną wersją, sensowną dla rozkładu logarytmiczno-normalnego daje następujące przybliżenie:

Przykład. Możemy teraz przetestować G1-G4. Zacznijmy od rocznych stóp zwrotu WIG od początku 1998 do końca 2014 (dane ze stooq.pl). Zanim podam uzyskane parametry zwracam uwagę na kurtozę. We wzorze na G1 podana K to kurtoza, podczas gdy najczęściej kurtozę utożsamia się z nadwyżką kurtozy. Nadwyżka ta jest równa kurtoza minus 3. Ponieważ obliczam parametry w Excelu, który oblicza nadwyżkę kurtozy, to muszę de facto do tak obliczonej kurtozy dodać liczbę 3. Excel oblicza kurtozę z próby, więc de facto jest to 3 przemnożone przez (n-1)^2/((n-2)*(n-3)). Czyli kurtozę z Excela plus 3 (ewentualnie dla precyzji razy podany współczynnik) można podstawić do wzoru G1 jako kurtozę. W końcu

 

 Uzyskane parametry są następujące:

A = 0,1148
V = 0,0765
Sk = -0,6026
K =3,512

G1 = 0,0742
G2 = 0,0811
G3 = 0,0726
G4 = 0,0766

Prawdziwa geometryczna stopa zwrotu (tj. obliczona z definicji) G = 0,0722.
W tym przykładzie G3 okazuje się być najlepszym estymatorem, na drugim miejscu G1, potem G4, na końcu G2. 

Kolejny przykład zrobię dla kwartalnych stóp zwrotu WIG w tym samym okresie.

A = 0,0260, V = 0,0148, Sk = -0,2165, K = 2,708. Wyniki:
G1 = 0,0185
G2 = 0,0188
G3 = 0,0184
G4 = 0,0185

Prawdziwa G = 0,01834, więc znów G3 wygrywa.

Ostatni przykład będzie dotyczył kwartalnych stóp KGHM w tym samym okresie.
A = 0,0742; V = 0,059; Sk = 0,3086; K = 3,3457
Wyniki:
G1 = 0,046
G2 = 0,047
G3 = 0,0428
G4 = 0,0447

Prawdziwa G = 0,046, więc tym razem G1 wygrywa. Główną przyczyną jest tutaj uwzględnienie kurtozy, która jest większa niż dla WIG.


Literatura:
[1] D. Mindlin, On the Relationship between arithmetic and geometric return, 2011
[2]  T. Messmore, Variance Drain. Is your investment return leaking down the variance drain?, 1995,
[3] https://pl.wikipedia.org

KGHM - krótka analiza fundamentalna

Chociaż szykuję się do dalszych teoretycznych wywodów, związanych z teorią finansów (Międzyokresowy CAPM, Konsumpcyjny CAPM) nie mogę pozostawiać strony praktycznej na boku. Przypomnę, że 1 marca prognozowałem/wyceniałem poziom ceny/wartości KGHM na 126 zł - "Bezpieczna wycena akcji"  przy cenie 121 zł. Kurs rzeczywiście wzrósł niebawem nawet do 130 zł, co było racjonalne skoro wyniki nawet przekroczyły moje prognozy. Wypłacona dywidenda obniżyła kurs dokładnie o 4 zł. Od tego momentu KGHM znalazł się w silnym trendzie spadkowym, tak że dziś znajduje się w okolicach 100 zł. Zaprzecza to oczywiście tezie "bezpiecznej wyceny", że wartość KGH powinna znaleźć co najmniej na poziomie C/WK = 1, a dziś jest to 0,8. A przecież to było parę miesięcy temu i konglomerat nieprzerwanie zwiększa kapitał własny. Pierwsza rzecz, jaką należy sprawdzić to zachowanie się tempa zmian zysku operacyjnego. Poniżej zaznaczyłem kwartalne zmiany % od 1kw. 2004 do 1kw. 2015.

Zmiany te wydają się być stacjonarne, ostatnie spadki tempa są "naturalne". Aby rozwiązać zagadkę spadków, musimy sięgnąć nieco głębiej.

Spójrzmy więc na kwartalne ROE i kWACC (księgowy ważony koszt kapitału, czyli zysk operacyjny/aktywa) w tym samym okresie:

Dopiero ten wykres dostarcza wskazówki na temat spadków kursu. Rentowność spadła poniżej tej z 2008 r. Co więcej, zysk operacyjny wynosi już tyle co w 2009 r. Czyli co, czy kurs spadnie znowu do 20 zł? Raczej nie. Jak już, 40 zł. W ostatniej bessie c/wk spadła do 0,3, zatem aby dziś dostać tyle, kurs musi spaść do 40 zł. Jeśli mielibyśmy nie uwzględniać zmienności tempa wzrostu, to taka wycena miałaby sens. Weźmy nawet uproszczony model Gordona: dywidenda 4 zł, na podstawie ostatnich danych (zob. art "Bezpieczna wycena akcji") średnie tempo wzrostu 9% i koszt kapitału własnego 18%. Jeżeli założymy, że za rok będzie wzrost dywidendy o 3%, to dostajemy P = 4*1,03/(0,18 - 0,09) = 46 zł.

Czy taka wycena jest optymalna skoro jeszcze "przed chwilą" miało to być 130? Jak zawsze każda wycena podlega założeniom. Od 2000 r. średnia kWACC = 15%, podczas gdy od 2004 20%. Jeżeli Zarząd chce płacić 30% zysku w formie dywidendy, to teoretyczne tempo wzrostu zysku operacyjnego powinno wynieść 0,7*15% = 10,5% dla pierwszej średniej i 0,7*20% = 14% dla drugiej. A skoro Zarząd obniża wartość z 10,5 do 9%, to spoglądając dodatkowo na wykres ROE i kWACC nie ma wątpliwości, że panuje tutaj tendencja spadkowa. I tak samo czyta to rynek.

Jednak jak wiadomo tempo wzrostu zysku operacyjnego zależy nie tylko od poziomu kWACC, ale i od tempa zmian kWACC. Analogicznie jest z zyskiem netto i ROE. Jeżeli więc kWACC i ROE charakteryzują się jakąś cyklicznością, to można byłoby przewidywać poprawę lub pogorszenie sytuacji. Spójrzmy więc poniżej na roczne tempo zmian ROE i kWACC w ciągu ostatnich 10 lat.

W zasadzie niewiele możemy powiedzieć oprócz tego, że tempo spadku wskaźników maleje. Informacją, którą jednak można się dodatkowo posłużyć do prognozy są ceny miedzi. Warto wiedzieć, że w okresie 2004-1kw. 2015 kwartalne zyski operacyjne i ceny miedzi miały korelację Pearsona 0,54, a Spearmana 0,78. Dla stóp zmian tylko korelacja Pearsona była istotna stat. i wyniosła 0,28. Poniżej zamieściłem logarytmiczne wykresy kwartalnej ceny miedzi i zysku operacyjnego KGHM od 2004 do 1kw. 2015:

Spadki w cenach miedzi pociągają więc za sobą spadki w zysku i stanowią podstawę do bieżących wahań. Zatem należy szukać cykliczności również w cenach miedzi. Logarytmiczna stopa zmian cen miedzi dla powyższego okresu kreśli się następująco:

Raczej trudno mówić tu o jakiejś cykliczności, jednak z technicznego punktu widzenia jest to trend spadkowy. Przebicie oporu świadczyłoby o zmianie cyklu.

Z kolei ceny miedzi powinny korelować ze zmianami PKB na świecie. Jednak, o dziwo, wzrost PKB w strefie Euro i USA ostatnio rośnie. Wytłumaczeniem może być gospodarka chińska, która spowalnia - rośnie marne 7%.

Ponieważ tylko Chiny spowalniają nie należy spodziewać aż tak drastycznych cięć jak w 2008 i 2009. Problem leży w tym, że KGH ma olbrzymi historyczny koszt kapitału. Mogę sobie wyobrazić, że kurs spadnie do 70 zł, żeby potem w ciągu 4 lat mógł wzrosnąć do 170. Co więcej, prosta wycena Gordona sugeruje, że cena mogłaby dziś spaść nawet do 40 zł. Trudno sobie to wyobrazić, bo spełniłby się wtedy ten sam scenariusz co w 2008/2009 r.

Czy bessa i hossa różnią się autokorelacją?

Zawsze wydawało mi się, że w bessie autokorelacja stóp zwrotu się zwiększa. Przeprowadziłem więc własny subiektywny test autokorelacji I rzędu, aby to sprawdzić. Subiektywność polega na tym, że intuicyjnie wybrałem okresy długoterminowych wzrostów i spadków. Ponieważ sWIG charakteryzuje się największą autokorelacją spośród WIG-ów, to jego stopy zwrotu analizowałem. Ponieważ obliczałem współczynnik autokorelacji tylko I rzędu, zbadałem zarówno dzienne i miesięczne logarytmiczne stopy zwrotu. Poniższe rysunki ilustrują te okresy strzałkami i wskazują jaką zanotowałem dla nich autokorelację.

Statystyki dla dziennych log stóp zwrotu:
- średni współczynnik autokorelacji w hossie: 0,179
- średni współczynnik autokorelacji w bessie: 0,165
- średni współczynnik autokorelacji z hossy i bessy: 0,173
-  współczynnik autokorelacji w całym okresie: 0,16

Statystyki dla miesięcznych log stóp zwrotu:
- średni współczynnik autokorelacji w hossie: 0,185
- średni współczynnik autokorelacji w bessie: 0,155
- średni współczynnik autokorelacji z hossy i bessy: 0,171
-  współczynnik autokorelacji w całym okresie: 0,31

Wyniki wskazują, że wbrew oczekiwaniom hossa charakteryzuje się nieco wyższą autokorelacją od bessy.

Zacząłem się zastanawiać czy nie należałoby odrzucić trochę sztuczny podział na hossę i bessę, a raczej sprawdzić jak zachowuje się współczynnik autokorelacji pod warunkiem, że stopy zwrotu są dodatnie lub ujemne w poprzednim okresie. Zbudowałem więc w Excelu dwie funkcje w oddzielnych kolumnach o komendach:
(1) jeżeli stopa zwrotu jest dodatnia lub poprzednia stopa zwrotu jest dodatnia, wtedy zwróć stopę zwrotu;
(2) jeżeli stopa zwrotu jest ujemna lub poprzednia stopa zwrotu jest ujemna, wtedy zwróć stopę zwrotu.
Z tych wartości utworzone zostały ciągi okresów wzrostów w jednej kolumnie i spadków w drugiej kolumnie. Wyciągnąłem autokorelacje dla każdego okresu oddzielnie dla obydwu kolumn używając języka VBA. Zbyt mała próba w okresie powodowała przeszacowanie korelacji, dlatego też postawiłem warunek, że podpróba ma zawierać co najmniej 6 stóp zwrotu. Otrzymałem następujące wyniki.

Statystyki dla dziennych log stóp zwrotu:
- średni ważony współczynnik autokorelacji dla okresów rosnących:-0,162
- średni ważony współczynnik autokorelacji dla okresów spadkowych: -0,18

Statystyki dla miesięcznych log stóp zwrotu:
- średni ważony współczynnik autokorelacji dla okresów rosnących: -0,084
- średni ważony współczynnik autokorelacji dla okresów spadkowych: -0,08

To co dostałem było na tyle dziwne, że sprawdzałem te wyniki wielokrotnie, ale błędu nie znalazłem. Wygląda to tak, jakby trend (krótkoterminowy-dzienne stopy i średnioterminowy-miesięczne stopy) charakteryzował się autokorelacją ujemną zamiast dodatnią, przynajmniej na indeksie małych spółek.

Uzyskane wyniki porównałem ze statystykami Mcqueena, Pinegara i Thorleya [1]. Przypomnę, że ich wyniki już cytowałem w długim artykule Autokorelacja i efektywność rynku, w którym umieściłem tabelę:

Jak można z rysunku przeczytać, autokorelacja pochodzi z miesięcznych stóp zwrotu ze wszystkich akcji na NYSE (1963-1994), podzielonych według wielkości - od najmniejszych (1) do największych (5). Analizując współczynniki UP i DOWN, widać, że małe spółki, które odpowiadają sWIG80, faktycznie posiadają wyższą autokorelację dla wzrostów niż dla spadków, co potwierdza mój pierwszy test. Nigdzie jednak nie pojawia się ujemna autokorelacja. Autorzy nie napisali, że są to uśrednione współczynniki, a więc możliwe, że obliczyli po prostu współczynnik autokorelacji tak jakby był to jeden okres lub zastosowali inną metodę.

Literatura:

[1] Mcqueen, G., Pinegar M, i Thorley, S., Delayed Reaction to Good News and the Cross-Autocorrelation of Portfolio Returns, THE  JOURNAL  OF FINANCE, VOL. LI, NO.  3 ,  JULY  1996

Wiem, że on wie, że on wie, że on wie

Jeśli rozpatrujemy hipotezę rynku efektywnego pod kątem psychologicznym, to dochodzimy prędzej czy później do teorii gier. Spekulanci muszą zastanawiać się jaki krok wykonają następni po nich spekulanci, którzy również analizują kolejne ruchy kolejnych graczy. Można nawet uznać to za istotę różnicy pomiędzy spekulacją a inwestowaniem. Inwestor nie zastanawia się za bardzo nad tym co zrobią kolejni inwestorzy, a tylko stara się przewidzieć ekonomiczne zmiany w spółce. Wyjątek stanowi sytuacja, gdy inwestor chce znaleźć spółkę niedowartościowaną/przewartościowaną. To z kolei wiąże się z kwestią dyskontowania informacji. W tym miejscu racjonalny inwestor musi zadać sobie pytanie czy można być pewnym (tak naiwnym?), że pozytywne prognozy nie zostały dostrzeżone? A może właśnie w momencie, gdy próbuje dokonać transakcji, ktoś go wyprzedza, tak że nie uda mu się sprzedać (kupić) po wyższej (niższej) od zakupu (sprzedaży) cenie?
Sprawa komplikuje się gdy uwzględnimy fakt, że pozytywne informacje finansowe mogą nie mieć kompletnie wpływu na cenę akcji, jeśli były one już wcześniej oczekiwane przez rynek. W momencie gdy nadchodzi taka informacja inwestor może mieć dylemat czy dyskontować ją poprzez dokonanie transakcji czy raczej uznać za zdyskontowane poprzednio.

W tym miejscu ekonomia zaczyna się silnie wiązać z psychologią i teorią gier. Powstaje pytanie czy można podjąć decyzję na chłodno, bez angażowania emocji? Byłoby to możliwe tylko przy założeniu, że istnieje zawsze optymalne rozwiązanie. Ale czy to takie istnieje?

Na koniec podaję ciekawą zagadkę, która niedawno pojawiła się w Internecie i zrobiła dużo szumu. Jak dla mnie zagadka nie była jakaś strasznie trudna, ale wymaga mocnego zastanowienia. Czysta logika.

 

Pełne rozwiązanie zagadki znajduje się na stronie w linku:

http://www.crazynauka.pl/kiedy-cheryl-ma-urodziny-rozwiazanie-zagadki-logicznej/

Takie zagadki są najlepsze, bo nie wymagają żadnej wiedzy, a jedynie logicznego myślenia. Jak widać po komentarzach na stronie załączonego linku ludzie mają z nim problem. Niestety na tle problemów ekonomicznych ta zagadka jest banalna.

"Bezpieczna wycena akcji"

Czy bezpieczna wycena akcji to zwykły mit? I co oznacza, że jest bezpieczna? Niewątpliwie osoby związane z zarządem mają szansę najbezpieczniej wycenić akcje danej firmy, ale przecież i one muszą brać pod uwagę zmienne stochastyczne. Z kolei zwykły akcjonariusz musi uwzględnić nie tylko te zmienne, ale i ryzyko informacji podawanych z opóźnieniem. Zmienne stochastyczne zostają uwzględnione poprzez oszacowane ryzyko, natomiast opóźnienia w podawaniu informacji odzwierciedlone są w wyższej awersji do ryzyka - stąd taki akcjonariusz będzie oczekiwał wyższej stopy zwrotu niż insider, co powinno odbić się w niższej wycenie akcji. Inaczej mówiąc, inwestorzy zabezpieczają się poprzez niższą wycenę.

To twierdzenie będzie jednak tylko wtedy prawdziwe, gdy oczekiwane zyski będą skorelowane z oczekiwanymi zyskami całego rynku, szerzej z gospodarką. Aby zrozumieć dlaczego, trzeba wrócić do artykułu Rozbieżność opinii w kontekście CAPM , gdzie został przedstawiony następujący wzór na cenę ryzyka uwzględniającą rozbieżność opinii:

 gdzie lewa część równania przedstawia wzór znany z CAPM,

Ten dość skomplikowany wzór niesie 3 informacje:
- ryzyko inwestycji jest subiektywne dla każdego k-tego inwestora;
- awersja do ryzyka jest subiektywnym elementem każdego k-tego inwestora;
- cena ryzyka powstaje przez pomnożenie uśrednionej dla wszystkich inwestorów awersji do ryzyka i uśrednioneego dla wszystkich inwestorów ryzyka mierzonego kowariancją cen.

Jeżeli kowariancja pomiędzy cenami akcji będzie równa 0 (poprzez brak korelacji), wtedy nawet bardzo duża awersja do ryzyka nie zwiększy stopy zwrotu, gdyż awersja jest przemnożona przez kowariancję. Kiedy tak się dzieje? Oczywiście wtedy, gdy mamy do czynienia z zyskami monopolistycznymi, wynikającymi z przewagi rynkowej, wykorzystywania patentów, know-how.

Zmienność takich zysków będzie podwyższać wartość wewnętrzną akcji, a nie obniżać. W artykule Kiedy większa niepewność zwiększa wartość akcji? wyprowadziłem następujący wzór na wskaźnik wartość wewnętrzna akcji / wartość księgowa:

 

gdzie:

 P(0) - wartość wewnętrzna akcji

BV(0) - wartość księgowa firmy

G - wartość oczekiwana logarytmicznej stopy wzrostu zysku firmy

σ^2 - wariancja logarytmicznej stopy wzrostu zysku firmy

r - logarytmiczna wymagana stopa zwrotu

T - czas po którym wartość wewnętrzna akcji staje się wartością księgową firmy.

Powyższy wzór zakłada, że stopa wzrostu zysku firmy ma rozkład normalny. Nawet jeśli jest to nieprawda, to przy braku wartości odstających możemy ją tym rozkładem przybliżyć.

Wzór ten dowodzi, że przy niezmienionej wymaganej stopie zwrotu (czyli braku korelacji z rynkiem) wyższe oczekiwane zyski oraz wyższa zmienność oczekiwanej stopy wzrostu zysków, czyli ich wariancja, będzie podnosić wartość akcji.

Wiadomo, że gdy firma przygotowuje się na likwidację, to wartość wewnętrzna powinna się zrównać z wartością księgową - pamiętajmy, że mówimy o bieżącej wartości księgowej, a więc takiej, której składniki aktywów są wyceniane na dziś. Nie wiemy kiedy spółka zostanie zlikwidowana i nie mamy zamiaru wróżyć z fusów. Dlatego zmienna T pozostanie zmienna. Inaczej jest w przypadku pozostałych zmiennych, które możemy oszacować.

Jeśli stworzymy warunek:

G + σ^2/ 2 - r = 0

czyli:

r = G + σ^2/ 2

to niezależnie od T zawsze P / BV będzie równe 1. Oznacza to, że warunek "bezpiecznej wyceny" jest dany przez nierówność:

 Jeśli średnia stopa zmian zysków + połowa wariancji będzie co najmniej równa wymaganej stopie zwrotu, wtedy wiemy, że P / BV powinno być co najmniej równe 1.

Załóżmy, że znajdujemy akcje, które spełniają ten warunek, tak że r jest znacznie mniejsze od prawej strony, a jednocześnie cena byłaby niższa od BV. Można byłoby przypuszczać, że akcje są niedowartościowane. Jednak najbezpieczniejsze podejście polega na tym, aby w to wątpić. A przypomnieć to sobie można choćby przez przypomnienie wzoru na cenę ryzyka z rozbieżnością opinii. Jeżeli stopa wzrostu zysku lub ich wariancja podnosi się, to trzeba mieć pewność, że ten wzrost nie jest efektem korelacji z rynkiem. Ale jak to można szybko ocenić? Wydaje się, że paradoksalnie bessa jest tu błogosławieństwem: jeżeli cały rynek znajduje się od dłuższego czasu w fazie niedźwiedzia, a zyski spółki rosną coraz bardziej, wtedy racjonalnie można założyć, że są one nieskorelowane.

Przykład: KGHM

Na dzień, w którym piszę ten artykuł akcje KGHM są wyceniane dokładnie na poziomie oficjalnego kapitału własnego.Wiadomo jednak, że 4 kwartał już minął i akcje muszą uwzględniać zysk z tego okresu. Ponieważ w KGHM nie występuje sezonowość, 4 kwartał można prognozować w oparciu o poprzednie kwartały. Prognozę tę wyznaczyłem jako średnią arytmetyczną 3 ostatnich kwartałów. Dane skonsolidowane pobrałem z portalu bankier.pl, są wyrażone w tys. zł.

Rzeczywisty kapitał własny wynosi więc BV*(1 + 0,024). Zatem akcje są wyceniane nieco poniżej BV. Ustalmy teraz średnią stopę wzrostu zysku i jej odchylenie. Historyczne zyski operacyjne i netto są przedstawione poniżej:

Zamieniłem te wartości na logarytmy, stworzyłem równanie trendu liniowego i uzyskałem następujący trend dla zysku operacyjnego:

Wykres dla zysków netto ma bardzo podobny kształt, więc nie będę go pokazywał.
Nachylenie powyższego trendu jest pewną średnią logarytmiczną stopą wzrostu zysku (Istota i znaczenie logarytmicznej stopy zwrotu). Dla zysku operacyjnego wychodzi 14,3%, dla zysku netto 16,3%. Nie można jednak nie brać pod uwagę informacji bieżących. Zarząd KGHM prognozuje wzrost EBITDA o 70% do 2020 r. w stosunku do 2014. Oznacza to tylko 9,2% rocznie (czyli logarytmicznie 8,8%). A przecież pamiętajmy, że 14,3% to stopa logarytmiczna, a więc zwykła to ponad 15%. Z pewnością dla wielu inwestorów jest to rozczarowanie. Stopa wzrostu EBIT może być jak najbardziej przybliżona przez EBITDA, natomiast zysk netto już gorzej. Jednak to właśnie zyski operacyjne najlepiej odzwierciedlają faktyczną sytuację finansową i przez to ich parametry stają się lepszymi prognostykami niż zysk netto.

Wariancja log stopy wzrostu zysku operacyjnego wyniosła w okresie 1998-2014 0,76. Tę wartość pozostawię bez zmian.

Ostatnia kwestia to koszt kapitału własnego. Zamiast obliczać od samego początku tę wartość, posłużę się już gotową analizą z artykułu: Jak CAPM wiąże się z teorią wyceny akcji? Przykład wyceny KGHM gdzie szacowałem r na poziomie ok. 0,2. Zamieniając ją na logarytmiczną stopę, dostajemy 0,182.

Jeśli podstawimy dane do wzoru:

G + σ^2/ 2 - r = 0,088 + 0,76/2 - 0,182 = 0,29

Warunek bezpiecznej wyceny zostaje spełniony. Teraz tylko pytanie czy akcje są dobrze wycenione? Wiemy, że jeśli dostaliśmy wartość dodatnią, to znaczy, że akcje powinny być nie mniejsze od wartości księgowej. W jakiej sytuacji będą równe wartości księgowej? Zauważmy, że:

P / BV = e^(0,29T) = 1,34*e^T

A więc wtedy i tylko wtedy, gdy T = 0, to P / BV = 1. Innymi słowy, inwestorzy uważają, że wartość akcji jest dziś równa wartości księgowej, ponieważ zawsze wedle tego wzoru po czasie T wartość akcji zrównuje się z wartością księgową.

Jednak wiemy, że wartość księgowa jest równa dziś oficjalnej BV razy (1+0,024) . Ponadto musimy uwzględnić fakt, że obecna wartość rynkowa akcji zawiera już dywidendę za 2014, podczas gdy wartość wewnętrzna nie zawiera jej. Na podstawie raportu http://www.bankier.pl/wiadomosc/KGHM-POLSKA-MIEDZ-SA-Polityka-Dywidend-7233376.html  wnioskujemy, że dywidenda wyniesie 1/3 jednostkowego zysku netto, a więc ok. 4 zł. W sumie więc powinniśmy uzyskać warunek:

(P - 4) / BV(1+0,024) = 1

BV=121,25, więc 121,25*1,024 = 122,3 zł.
Obecna cena akcji P = 121 zł, więc 121-4 = 117 zł.
117 / 122,3 = 0,96 < 1.

Wynika z tego, że akcje mogą być dziś minimalnie niedowartościowane. Ich wartość rynkowa powinna wynieść co najmniej 122,3+4 = 126,3 zł, a więc 126,3/121 = 1,04.

Rynek jest wstrzemięźliwy, ale trzeba stwierdzić, że dziś wycenia akcje KGHM prawidłowo, ponieważ odchylenie 4% w jedną czy w drugą stronę jest nieistotne statystycznie. Osobiście uważam, że dopiero odchylenie powyżej 10% powinno skłonić do zastanowienia się czy jakichś czynników nie uwzględniliśmy, potem dopiero nad niedowartościowaniem.

Źródło:
www.bankier.pl