Dlaczego wartość księgowa wyznacza przyszłość, a nie przeszłość?

Wielu inwestorów błędnie wyraża opinię, że wartość księgowa jest nieprzydatna do wyceny firmy, ponieważ dotyczy tylko przeszłości, a wycena powinna uwzględniać przyszłe prognozowane zyski. Błąd ten wynika z typowo księgowego podejścia do wartości: w bilansie aktywa wycenia się najczęściej po cenie nabycia przez przedsiębiorcę, a więc w transakcji z przeszłości. Nie zauważa się, że przecież przedsiębiorca zanim kupił aktywo, musiał dokonać kalkulacji czy to się opłaca, a więc musiał je wycenić i zażądać ceny nie wyższej od tej wartości. Aktualizacja wartości księgowej następuje co kwartał, zatem nie powstaje duża luka czasowa między wartością obecną a wartością księgową.

Ale ktoś zapyta, co jeśli przedsiębiorca sam wprowadza lub wytwarza wartość księgową, którą na przykład stanowi suma pieniężna? Co jeśli ten przedsiębiorca nie jest wcale taki "super-racjonalny" i nie dokonuje wyceny swojej firmy? Nie ma to najmniejszego znaczenia. Dlaczego?

Wyjdźmy od definicji rentowności kapitału własnego, ROE:

(1)

gdzie:
Z - oczekiwany zysk netto
WK - wartość księgowa kapitału własnego


Już sama rentowność niesie w sobie informację o wycenie. Wiadomo bowiem, że można ją przekształcić w strumień przyszłych (prognozowanych) zysków:

(2)

Matematycznie, suma składników nieskończonego szeregu geometrycznego w postaci dyskontowanych przyszłych zysków może zostać sprowadzona do króciutkiego wzoru, który okazuje się być wartością księgową kapitału własnego. 

Tutaj sprawa jest dość oczywista, ale sceptyk zauważyłby, że to przekształcenie dotyczy tylko sytuacji, gdy firma nie generuje wzrostu zysku. Można jednak łatwo pokazać, że wzrost nie ma żadnego znaczenia.

Powiedzmy, że firma dokonuje pewnych inwestycji, które generują wzrost wartości. Oznaczmy je przez I. Dodajmy i odejmijmy od zysku te inwestycje do (2), tak aby całość się nie zmieniła:

Stąd:

(3)

Wielkość inwestycji jest pewną częścią wartości księgowej. Oznaczmy ją przez g:

(4)

 

 Podstawmy (4) do (3) i przekształćmy:

Stąd:

(5)

Przy założeniu, że I < Z, wzór (5), podobnie jak (2), można przekształcić do postaci sumy przyszłych zdyskontowanych zysków skorygowanych o inwestycje:

(6)

 

Zatem wzrost nie zmienia wartości księgowej.

Wzór (5) pozostaje nadal niejasny dopóki nie zdefiniujemy dokładniej inwestycji I. Powiedzieliśmy jedynie, że inwestycje to jest to wszystko, co generuje wzrost zysku. Trzeba się więc zastanowić co można zainwestować? Ogólnie są to:
- zysk zatrzymany
- kapitał wyemitowany: akcyjny oraz dłużny
- inne zobowiązania
- amortyzacja oraz inne koszty nie stanowiące wydatku.

W najprostszym przypadku zysk napędza zysk zatrzymany. Wtedy inwestycje można zdefiniować w postaci:

(7)

gdzie:
D - oczekiwana dywidenda

Podstawiając (7) do (5) uzyskamy:

(8)

Następuje więc powrót do wzoru Gordona, który został wyprowadzony w inny sposób niż standardowo (por. Dlaczego stosujemy model Gordona?). Standardowe podejście dotyczy raczej samej wartości akcji niż jej wartości księgowej. Wzór (8) będzie odzwierciedlał wartość akcji tylko w sytuacji, gdy oczekiwana stopa zwrotu inwestora giełdowego zrówna się z ROE.

Podsumowując - wartość księgowa kapitału własnego stanowi sumę zdyskontowanych oczekiwanych zysków przedsiębiorcy, niezależnie od tego czy jest on racjonalnym czy nieracjonalnym inwestorem, i będzie zawsze stać w określonej relacji do wartości rynkowej kapitału własnego.

Nieprawda, że dla ARIMA najlepszym kryterium jest BIC. Nowy sprawdzian i prognoza WIG-u

Nawet jeśli BIC prawidłowo informuje o tym, że błądzenie przypadkowe jest faktycznie błądzeniem przypadkowym, to wcale nie oznacza jeszcze, że prawidłowo informuje czy proces ARMA jest procesem ARMA - i w dodatku odpowiedniego rzędu. Żeby się o tym przekonać, musimy wygenerować taki proces i wtedy poddać go testowi. Jednak zanim to zrobię, zrzucę dzienne dane WIG ze stooq.pl -  od 1.06.2006 do 18.08.2017 (1300 obserwacji, tyle samo co poprzednio ruchu Browna):

Testuję standardowo AR(1)-MA(1) w gretlu i dostaję:

Model sugeruje zastosowanie samego modelu MA, bo parametr AR(1) = phi_1 = -0,33 jest nieistotny, ale istotny pozostaje MA(1) = 0,41.

Aby sprawdzić czy ten model powinien zostać wybrany, wchodzę do dodatku armax w Gretlu (opisywanego w tym artykule), ustawiam np. max rząd = 12 (choć tak duża wartość sprawia, że trzeba długo czekać) dla części AR i MA i otrzymuję:

W tym zapisie p to rząd AR, zaś q to rząd MA. Jedynie BIC wskazuje, że najlepszym wyborem jest AR(0)-MA(1). Dla HQC najlepszy okazuje się AR(4)-MA(2), a dla AIC AR(8)-MA(6).

Jeszcze raz więc estymujemy ARIMA zgodnie z BIC, tym razem tylko MA(1). Dostaję:

theta_1 = 0,086.

Teraz wróćmy do wygenerowania procesu ARMA. Jak to zrobić? Na razie nie da się w Gretlu, więc skorzystamy z języka programowania R. Skoro zastosowany dla WIG model MA(1) dostarczył parametru 0,086, to również chcielibyśmy stworzyć taki proces dla tej samej liczby danych. Wygenerujmy 1300 losowej próby procesu MA(1). Aby to zrobić, można w panelu R wpisać przykładowo:

przyklad = arima.sim(n = 1300, list(ar = 0.0000001, ma = 0.086))

Aby zapisać te dane w formie kolumny w pliku csv wpiszemy:

przyklad = data.frame(przyklad)
write.csv(przyklad, file="przyklad.csv")

Plik zostanie zapisany najpewniej w folderze Dokumenty. Jeśli chcielibyśmy zmienić folder, np. na D:\ to przed kodem należy wpisać
setwd("D:/")
Ukośnik, który jest w drugą stronę, może być mylący.

Sam proces MA(1) jest to proces stacjonarny (tutaj skorelowany szum), więc żeby zobaczyć proces niestacjonarny, trzeba dodać do siebie obserwacje. Tak przekształcony proces ma w tym przypadku postać: 

Trzeba przyznać, że idealnie symuluje proces giełdowy.

Co mówi o nim dodatek armax? Znowu ustawiłem max p = 12 i q = 12.

Zaskoczenie. BIC błędnie wskazuje, że proces jest czysto losowy. Tym razem to HQC okazuje się najlepszy. AIC z kolei pokazuje jak zwykle dziwactwo - na grafice tego nie widać, bo jest zbyt duża do wklejenia - wyznacza p = 11 i q = 11.

Prawda okazuje się niejednoznaczna. O ile w pierwszej części testu BIC bezbłędnie sygnalizował błądzenie przypadkowe, o tyle tym razem przeszarżował. Wygląda na to, że to kryterium trochę zbyt restrykcyjnie ocenia proces jako nielosowy. Przypomnę, że mamy tu do czynienia z 1300-ma danymi, czyli nie powinno być już problemu długości próbki. Z drugiej strony wcześniej HQC rzadko, ale czasami mylnie sugerował, że ruch jest skorelowany. W tym teście prawidłowo się zachowuje.

W takim razie sprawdźmy model, który został wybrany przez HQC, tj. AR(4)-MA(2). Wyniki dla WIG są następujące:

Wszystkie współczynniki są istotne na poziomie 1%, co sugeruje, że rzeczywiście jest to dobry model.
Wykonajmy prognozę na następny tydzień, tj. na 21.08-25.08.2017:

Wg tej prognozy w poniedziałek będzie lekki wzrost, we wtorek zachmurzenie, a od środy nastąpi przejaśnienie.

Dla ARIMA najlepszym kryterium jest BIC?

Wrócę jeszcze na moment do kwestii wyboru kryterium, względem którego należy wybrać najlepszy model ARIMA. Ostatnio pisałem o dodatku armax w gretlu, gdzie stosuje się 3 kryteria: AIC, BIC i HQC. Do praktycznej analizy używałem HQC, zgodnie z rekomendacją Hannana i Quinna [1]. Teraz jednak doszedłem do wniosku, że BIC jest nieco lepszy. Wygenerowałem 1380 danych zwykłego ruchu Browna:

Ta próba posłużyła do dalszych testów oceny kryteriów w ARMA. Wiadomo, że najlepsze będzie to kryterium, które dla ruchu Browna wskaże AR(0)-MA(0), co oznacza nic innego jak błądzenie losowe. Ustawiłem maksymalny rząd = 7 zarówno dla części AR jak i MA. Testowałem powyższą próbę na różne sposoby: zarówno stosując metodę exact ML jak conditional ML, a także dzieląc próbę na różne podpróby (po 230, 500, 1000 obserwacji). I tak np. dla głównej próby stosując exact ML, otrzymałem dla AIC AR(2)-MA(3), a dla BIC i HQC AR(0)-MA(0). Dla wszystkich podprób BIC zawsze wskazywał prawdę: że najlepszym modelem jest błądzenie przypadkowe. Dla większości prób HQC wskazywał to samo co BIC, ale zdarzały się odstępstwa, tak że HQC wskazywał, że najlepszym modelem jest ARMA jakiegoś rzędu. Z kolei AIC prawie zawsze błędnie pokazywał ARMA jakiegoś rzędu. W metodzie conditional ML BIC i HQC zawsze prawidłowo wskazywały błądzenie losowe, a AIC często dawał mylne wyniki.

Mój wniosek byłby taki, że BIC okazuje się najlepszy dla ARMA. AIC, mimo iż jest najczęstszym kryterium wyboru w modelach ekonometrycznych, to tutaj okazuje się najgorszy. Wynika to z faktu, że zakłada, że nie znamy postaci prawdziwego modelu i jedynie minimalizujemy błąd dopasowania na podstawie danych empirycznych. Dlatego AIC idealnie spisuje się tam (biologii, psychologii, ekonomii), gdzie wiadomo, że jakaś relacja między zmienną zależną a niezależną istnieje, ale dokładnie nie wiadomo jaka oraz że mogą istnieć inne zmienne niezależne, których nie znamy. Jednakże w finansach powinniśmy z góry raczej założyć, że przeszłość nie wpływa na przyszłość i dopiero sprawdzić czy to prawda. To umożliwiają BIC i HQC, które zakładają, że można otrzymać prawdziwy model i że im większa próba, tym większe prawdopodobieństwo, że tak się stanie - za sprawą prawa wielkich liczb.

Logik szybko zauważyłby nieścisłość lub błąd w jednoznacznym stwierdzeniu, że BIC to kryterium najlepsze dla ARMA. Z faktu, iż najlepiej wykrywa błądzenie przypadkowe, nie wynika przecież, że najlepiej wykrywa inny proces. Kolejny artykuł wykaże, że rzeczywiście BIC nie można do końca ufać.


Literatura:
[1] Hannan, E. J., Quinn, B. G., The Determination of the Order of an Autoregression, 1979;
[2]  Aho K., Derryberry D., Peterson T., Model selection for ecologists: the worldviews of AIC and BIC, March 2014.

Usuwanie sezowości i prognozowanie przy pomocy X-13-ARIMA i TRAMO/SEATS

Różne branże, np. budownictwo, charakteryzuje sezonowość, która zniekształca obraz ich sytuacji finansowej. Jeśli dokonujemy analizy fundamentalnej albo sporządzamy prognozę ekonometryczną, to powinniśmy usunąć zmienność kalendarzową. Nazywa się to wyrównaniem sezonowym. Weźmy GUS-owski Wskaźnik ogólnego klimatu koniunktury (który jest średnią arytmetyczną z odpowiedzi na pytania dyrektorów przedsiębiorstw o aktualną oraz przewidywaną ogólną sytuację gospodarczą danego przedsiębiorstwa), który jest aktualizowany co miesiąc. Dla budownictwa w okresie 1.2001-7.2017 wygląda on tak:

Wskaźnik ten wydaje się być podany jako niewyrównany sezonowo, co nawet GUS zaznacza w tabeli. Ale zarówno w "Uwagach ogólnych" jak i "Wyjaśnieniach metodycznych" GUS stwierdza, że dane dotyczące wskaźnika koniunktury zostały wyrównane sezonowo metodą TRAMO/SEATS. Skąd taka niekonsekwencja? Nie wiem. Powinny być to dane niewyrównane, bo występuje ewidentna cykliczność. Np. gdy powiększymy ten wykres dla lat 2014-2017 to zobaczymy idealnie ten sam wzór:

Obecnie mamy do czynienia ze szczytem cyklu, tzn. że trzeba spodziewać się pogorszenia nastrojów koniunkturalnych. Czy to oznacza, że giełda powinna reagować spadkiem? Oczywiście nie, bo efektywny rynek powinien dyskontować takie informacje o sezonowości, a więc racjonalny inwestor użyje narzędzia do wyrównania sezonowego.

Są dwie znane metody do tego: pierwsza to X-12-ARIMA, która niedawno została zastąpiona przez X-13-ARIMA-SEATS, a druga to TRAMO/SEATS. Obydwie bardzo łatwo użyć w Gretlu. Tutaj wyjaśniam skąd takie nazwy i co te programy robią, a także pokazuję jak wyciągnąć z nich prognozy.

Nie chcę się skupiać na teoretycznych aspektach tych metod, przejdę więc od razu do rzeczy, czyli do praktycznego zastosowania obydwu metod. Pakiety X-13-ARIMA i TRAMO/SEATS nie są automatycznie instalowane razem z Gretlem, dlatego musimy na stronie Gretla je najpierw ściągnąć i zainstalować, co nie jest żadnym problemem, bo po instalacji powinniśmy mieć te pakiety w Gretlu. Czasami mogą wystąpić problemy ze znalezieniem ścieżki. Żeby sprawdzić czy Gretl poprawnie łączy się z programem, wchodzimy w gretlu w: Narzędzia -> Ustawienia -> Ogólne -> Programy. Wyszukujemy tutaj "Ścieżka do programu X-12-ARIMA" (przynajmniej u mnie tak jest, że nie zaktualizowano nazwy na X-13-ARIMA) i "Ścieżka do programu TRAMO". Jeśli wyświetlona obok ścieżka jest błędna, to musimy ją poprawić.

Aby użyć metody, musimy mieć zaznaczoną naszą zmienną w oknie gretla,a sama zmienna musi być szeregiem czasowym o określonej wcześniej częstości, tutaj 12 miesięcy (jednak nie każda częstość jest dozwolona). Same programy działają po wejściu w Zmienna -> Analiza ... i w zależności od typu wybieramy program.

X-13-ARIMA-SEATS:
Przy standardowych opcjach, klikamy OK; wówczas GUS-owski Wskaźnik koniunktury budownictwa zostanie podzielony na 3 części: wyrównany sezonowo, trend/cykl oraz odchylenia przypadkowe:

Wyrównanie sezonowe nie jest filtrowaniem z odchyleń przypadkowych, a jedynie ze zmian sezonowych. Mówiąc prosto: zmienna 'wyrównany sezonowo' to zmienna złożona z dwóch części: 'trendu' oraz zmian przypadkowych.
Wynika z tego, że filtrowanie z danych sezonowych oraz ze zmian przypadkowych zawiera trend. Dlatego inwestor będzie najbardziej zainteresowany drugim wykresem, który wskazuje w jakiej fazie cyklu koniunkturalnego rzeczywiście się znajdujemy.

Oprócz wykresu dostajemy także bardzo duży zestaw statystyk, których ilość może zniechęcać do ich analizy. Ogólnie to interesuje nas tylko wybór modelu, jego parametry i istotność statystyczna. W zestawie otrzymanych danych szukamy terminu "Final automatic model choice". W tym przypadku dostajemy coś takiego:

Final automatic model choice : (0 1 1)(0 1 1)

Co oznacza, po kolei w 1 nawiasie:
AR(0) - czyli nie występuje autoregresja liniowa w oryginalnych danych (z miesiąca na miesiąc)
d = 1 - czyli oryginalne dane są niestacjonarne i trzeba je zamienić na zmiany pierwszego rzędu
MA(1) - występuje średnia ruchoma pierwszego rzędu (z miesiąca na miesiąc) w oryginalnych danych.

W 2 nawiasie:
SAR(0) - nie występuje sezonowa autoregresja
Sd = 1 - oryginalne dane są niestacjonarne i trzeba je zamienić na zmiany 12-miesięczne
SMA(1) - występuje sezonowa średnia ruchoma pierwszego rzędu w oryginalnych danych (nie mylić z Simple Moving Average z AT)

Trzeba pamiętać, że AR i MA odnoszą się do zmian z okresu na okres (tutaj z miesiąca na miesiąc). Natomiast SAR i SMA odnoszą się do zmian danego miesiąca w stosunku do zmian tego samego miesiąca z poprzedniego roku.

Istotność statystyczną sezonowości oceniamy szukając wyników do 3 testów:
- test na stabilność sezonowości: Test for the presence of seasonality assuming stability
Wynik:
Seasonality present at the 0.1 per cent level.
tj. sezonowość występuje poziomie istotności 0,1%.

- nieparametryczny test na stabilność sezonowości:Nonparametric Test for the Presence of Seasonality Assuming Stability.
Wynik:
Seasonality present at the one percent level.

- test na zmienność amplitudy sezonowości: Test na Moving Seasonality Test
Wynik:
Moving seasonality present at the one percent level
tj. wykryta sezonowość zmienia swoją wielkość (amplitudę) z okresu na okres przy 1% istotności.
Ta własność nie występowałaby gdyby np. w danym miesiącu zmiana byłaby zawsze taka sama.

Jak powiedziałem inwestor jest zainteresowany głównie trendem, a więc także jego prognozą. Jeżeli na początku zaznaczymy opcję 'Zapisywanie danych' - składnik trendowy, to możemy wykorzystać sam trend jako zmienną do prognozy. Jakie jednak przyjąć dla niej parametry? Skoro X-13-ARIMA poszukuje optymalnego modelu, to moglibyśmy ponownie wykonać całą procedurę już dla trendu - spodziewając się, że wskaże model bez sezonowości, np. (1, 1, 1)(0, 0, 0). Jak najbardziej jest to możliwe, jednak okazuje się, że gdy to zrobiłem, to dostałem:
Final automatic model choice : (3 2 1)(1 0 1) ,
co sugeruje, że sezonowość występuje także w trendzie!

Aby sprawdzić prognozę trendu, możemy wykorzystać zwykłą procedurę ARIMA (Model -> Modele szeregów czasowych -> model ARIMA) i zaznaczyć AR=3, d=2, MA=1, SAR=1, Sd=0, MA=1.

Wyniki:

Następnie sprawdzamy prognozę (Analiza -> Prognoza). Przy wyborze 12 miesięcy do przodu, można spodziewać się ożywienia w budownictwie:

Metoda ta ma ograniczenia w postaci maksymalnych rzędów części AR i MA. Jest też inna metoda. Instalujemy dodatek o nazwie armax (Narzędzia -> pakiety funkcji -> na serwerze gretla, tam wybieramy 'armax'). Dodatek ten jest fajny, bo szuka najlepszego możliwego modelu ARMAX (literka X oznacza tylko, że możemy dodać zmienną zewnętrzną do modelu) przy wybranym maksymalnym rzędzie AR i MA (nie ma tutaj ograniczeń). Ze względu na miesięczną częstotliwość, wybrałem max rząd 12 dla obydwu. I tu trzeba się zastanowić czy tak wysoki pułap chcemy sprawdzić, bo będziemy długo czekać zanim program przeliczy parametry AR i MA od 0 do 12. Jeśli zależy nam na tej liczbie, a chcemy przyspieszyć działanie, możemy zmienić metodę estymacji. Program używa dwóch metod: standardowa to dokładna metoda największej wiarogodności (exact ML), druga to metoda warunkowej wiarogodności (conditional ML).

Która metoda jest lepsza? Obydwa estymatory są zgodne, ale exact ML jest efektywniejsza od conditional ML w tym sensie, że jej wariancja jest najmniejsza [1], tzn. także lepsza od uogólnionej metody najmniejszych kwadratów - w sytuacji gdy występuje proces ARMA [2]. Ta druga jest jednak obliczeniowo bardzo szybka przy dużej liczbie parametrów.

Pamiętać należy o dwóch rzeczach: po pierwsze dodatek armax nie sprawdza sezonowości, co w naszym przypadku może być zaletą, bo już ją usunęliśmy; po drugie jeśli wiemy już, że nasz szereg jest niestacjonarną zmienną, to musimy przekształcić je w różnice (Dodawanie zmiennych -> pierwsze różnice), bo armax bada tylko model ARMAX, a nie ARIMAX.

Optimum zostaje osiągnięte, gdy kryteria AIC, BIC lub HQC osiągną najmniejszą wartość (tak jak entropia - im mniejsza, tym mniejsza niepewność co do modelu). Tutaj znów powstaje pytanie, które kryterium wybrać? Najczęściej wybierane jest AIC, jednak nie jest to wybór absolutny, co więcej nie jest optymalny w przypadku procesów ARMA. Hannan i Quinn [3] pokazali empirycznie, że ich kryterium, które potem zostało nazwane od ich nazwisk HQC, jest prawdopodobnie lepsze gdy proces jest autoregresyjny, a próba jest stosunkowo duża (np. powyżej 100). W przeciwnym wypadku AIC lub BIC może być lepsze. AIC minimalizuje błąd prognozy, a BIC razem z HQC dążą do wartości oczekiwanej prawdziwego modelu. Jeżeli wszystkie 3 kryteria wskazują najniższą wartość dla tego samego modelu, to nie mamy wątpliwości, że ten właśnie jest najlepszy z danego zestawu modeli. Dodatek armax umożliwia ocenę tych 3 kryteriów jednocześnie.

Najpierw użyłem metody exact ML, w której AIC, BIC i HQC wskazały jednoznacznie ten sam model: AR(4)-MA(2). Aby sprawdzić prognozę, robię to samo co poprzednio - używam standardowego modelu ARIMA, w której wpisuję odpowiednio rzędy parametrów (oczywiście bez sezonowości). Tym razem dostałem następujący wykres prognozy:

 

A więc zupełnie inna prognoza niż ta wzięta z X-13-ARIMA. Która jest bardziej prawdopodobna? Tutaj idealnie sprawdzą się kryteria AIC, BIC i HQC. Trzeba tylko wiedzieć, że:
AIC = Kryt. inform. Akaike'a
BIC = Kryt. bayes. Schwarza
HQC = Kryt. Hannana-Quinna

Zauważmy, że każdy z tych kryteriów jest niższy dla ostatniego modelu, co oznacza, że ożywienie w budownictwie nie jest wcale takie pewne.

Analogicznie sprawdźmy conditional ML. Wyniki tym razem nie są jednoznaczne, bo każde kryterium przynosi inne rezultaty. Biorąc pod uwagę, że mamy 199 obserwacji, wykorzystam wnioski Hannana i Quinna i skorzystam z HQC, które wskazało model AR(8)-MA(0). Użycie prognozy z tymi parametrami przyniosło bardzo podobną prognozę, co dla exact ML, tylko nieco bardziej stromą.


TRAMO/SEATS:
Drugą procedurą jest TRAMO/SEATS ("Time Series Regression with ARIMA Noise Missing Observations, and Outliers" / "Signal Extraction in ARIMA Time Series"). Przy standardowych opcjach, klikamy OK; GUS-owski Wskaźnik koniunktury budownictwa został podzielony na 3 części: wyrównany sezonowo, trend/cykl oraz odchylenia przypadkowe:

Znów dostaniemy skomplikowane statystyki, ale najbardziej interesuje nas to:
MODEL FITTED

      NONSEASONAL     P= 0     D= 1     Q= 1
         SEASONAL    BP= 0    BD= 1    BQ= 1
      PERIODICITY    MQ= 12

Przekładając na X13-ARIMA zapisalibyśmy to tak: (0, 1, 1)(0, 1, 1)

Czyli dostaliśmy ten sam schemat co w X-13-ARIMA. Nie zawsze jednak tak będzie.

Tutaj także możemy zapisać składnik trendowy (Wynik -> Zapisz...), który chcielibyśmy prognozować. Aby to zrobić możemy wybrać - tak jak poprzednio - jedną z dwóch metod. A więc pierwsza to zaznaczenie zmiennej trendu i użycie dla niej TRAMO-SEATS. Otrzymamy statystyki, wśród których szukamy:

 MODEL FITTED

      NONSEASONAL     P= 3     D= 1     Q= 1
      PERIODICITY    MQ= 12

Zniknęła sezonowość (SEASONAL), co świadczy, że jesteśmy na dobrej drodze. Uzyskane parametry wykorzystujemy do prognozy, a więc znów wchodzimy w Modele szeregów czasowych -> ARIMA. Tam wpisujemy te parametry AR=3, I=1, MA=1. Wyniki:

I prognoza:

W przeciwieństwie do X-13-ARIMA, Tramo sygnalizuje szczyt.

Druga metoda to identycznie jak przy X-13-ARIMA użycie dodatku armax. Tworzymy więc pierwsze przyrosty zmiennej trendu, zaznaczamy tę nową zmienną i możemy porównać dwie pod-metody: exact ML i conditional ML. Wyniki dla exact ML nie są jednoznaczne. AIC wskazuje AR(6)-MA(10), BIC i HQC - AR(1)-MA(4). W dodatku conditional ML prowadzi do jeszcze innych wniosków: dla AIC AR(12)-MA(1), BIC AR(3)-MA(1) i HQC AR(6)-MA(1). Idąc tropem HQC, exact ML i conditional ML przynoszą podobną prognozę. Poniżej wykres dla pierwszej z nich.

Ta prognoza współgra z tą, przeprowadzoną na Tramo. Sugeruje stabilność w branży budowniczej, ale nie ożywienie. W sumie więc zaprzecza początkowej intuicji, że trend jest rosnący.

Uwaga na fałszywe trendy
Niedawno opisywałem filtr Hodrika-Prescotta. Przestrzegałem, że może być mylący, bo zawsze wskaże "trend" nawet, jeśli jest to tylko przypadek. Tutaj jest podobnie. Samą zmienną trendu nie można się sugerować. Może wspomagać, ale musi być powiązana z istotnością statystyczną modelowania pierwotnej zmiennej. Np. wygenerujmy 199 obserwacji procesu Browna i zastosujmy X-13-ARIMA. Dostaniemy:

Jaki otrzymałem model optymalny?

Final automatic model choice : (0 1 1)

Wprawdzie nie pokazał żadnej sezonowości, ale przecież powinniśmy mieć (0 1 0). Przekonamy się o tym dopiero gdy sprawdzimy istotność statystyczną takiego modelu; wtedy otrzymamy p = 0,63.
Tylko że ta wartość p dotyczy zmiennej ruchu Browna, a nie zmiennej "trendu". Ponieważ procedura filtruje dane, to zaczyna tworzyć sztuczny trend.

Dlatego nie można się sugerować tutaj nazwą "trend", bo prawidłowo powinno brzmieć po prostu "filtr". Dlatego zarówno X-13-ARIMA jak i TRAMO/SEATS wymagają dużej ostrożności przy wnioskowaniu co do przyszłości.

Literatura:

[1] Andersen, E. B., Asymptotic Properties of Conditional Maximum-Likelihood Estimators, 1970,
[2] Beach, C. M., MacKinnon, J. G., A Maximum Likelihood Procedure for Regression with Autocorrelated Errors, Jan. 1978,
[3] Hannan, E. J., Quinn, B. G., The Determination of the Order of an Autoregression, 1979.

P. S. Więcej informacji na temat tych programów (m.in. ich historii) napisałem tutaj.