Czyżby giełda była nieracjonalna?

Roczne stopy zwrotu z amerykańskiego indeksu SP 500 są silnie dodatnio skorelowane z rocznymi procentowymi zmianami PKB USA. Logiczne jest, że aby taka korelacja była racjonalna, zmiany zysków giełdowych firm muszą być dodatnio skorelowane ze zmianami PKB. W poprzednim wpisie stwierdziłem:

Ściślej, w latach 1929-2009 korelacja rocznych zmian zysku i PKB wyniosła 0,2349. Dla lat 1933-2009 spada ona jednak do 0,166 i staje się nieistotna statystycznie.

Jednak ponieważ powstała taka niejednoznaczność, zbadałem te relacje dokładniej dla lat 1929-2009. Ponadto, wierząc, że ta dodatnia korelacja jednak istnieje, miałem zadanie stworzyć regresję liniową z tych zmiennych. Jakie doszło do mnie zdziwienie, gdy się okazało, że tej korelacji nie ma!

Nie ma żadnej istotnej korelacji pomiędzy rocznymi zmianami zysku firm z indeksu SP 500, a rocznymi zmianami amerykańskiego PKB. (1929-2009). Korelacja wynosi 0,09 - nieistotna stat. Oto macierz tej korelacji:



Gdyby istniała dodatnia korelacja, powinniśmy dostać relację w formie liniowej funkcji rosnącej. (Dla ujemnej malejącą).

Poniżej ich wykresy w l. 1929-2009 (zielone - zmiany PKB, czerwone - zmiany zysku):



Z kolei tak wygląda korelacja pomiędzy rocznymi stopami zwrotu indeksu SP 500 a rocznymi stopami zmian PKB USA (ten sam zakres danych):



Jest silna - wynosi 0,47.

A tak kształtowały się stopy zwrotu z SP 500 (czerwone) i zmiany PKB (zielone)



Skoro jednak korelacja pomiędzy zmianami zysku SP 500 a zmianami PKB nie występuje, a jednocześnie korelacja zmiany SP 500 - zmiany PKB występuje, to czy w ogóle występuje korelacja zmiany SP 500 - zmiany zysku SP 500? W poprzednim wpisie stwierdziłem, że ta korelacja istnieje, choć nieduża. Jeszcze raz zbadałem dla lat 1929-2009. Faktycznie istnieje, dostałem wartość 0,25. Ale takiej macierzy korelacji się nie spodziewałem:



Okazuje się, że korelacja 0,25 to niemal złudzenie, gdyż powoduje ją głównie jeden element mocno odstający. Co więcej, dla lat 1933-2009 korelacja ta już staje się teoretycznie nieistotna.

Na poniższym rysunku obserwujemy zależność obu zmiennych w l. 1929-2009, czyli stopy zwrotu SP 500 (czerwone) oraz zmiany zysków SP 500 (zielone)



Model regresji liniowej wskazuje jednak, że istnieje istotna relacja:

Stopa zwrotu SP 500 = 0,026633 + 0,10976*Stopa zmian zysku SP 500

Przy czym stała jest nieistotna, zaś standard error (odchylenie standardowe) dla parametru stopy zmian zysku SP 500 wynosi 0,048. Ponadto

R^2 = 6,119%
R^2 (adjusted for d.f.) = 4,93%

Zdecydowanie zbyt niskie R^2 potwierdza poniższy obrazek, gdzie widać, że owa relacja to niemalże złudzenie (to samo co wyżej tylko powiększone)



Dla porównania, regresja liniowa stóp zwrotu SP 500 i zmian PKB przedstawia się następująco:

Stopa zwrotu SP 500 = -0,0148286 + 1,53355*Stopa zmian US GDP

Przy czym stała jest nieistotna, zaś standard error (odchylenie standardowe) dla parametru stopy zmian zysku US GDP wynosi 0,324. Ponadto

R^2 = 22,12%
R^2 (adjusted for d.f.) = 21,14%



Jest jeden plus tego, że zmiany zysku SP 500 i zmiany PKB są nieskorelowane. Mianowicie można próbować stworzyć regresję wieloraką, która właśnie wymaga, aby zmienne objaśniające były od siebie wzajemnie niezależne. Regresja wieloraka umożliwia połączyć pojedyncze regresje w jeden spójny model. Zmienną objaśnianą oczywiście byłyby stopy zwrotu SP 500. Otrzymana funkcja regresji to

Stopa zwrotu SP 500 = -0,018827 + 0,0910764*Stopa zmian zysku SP 500 +
1,47109*Stopa zmian US GDP

Pełna statystyka tego modelu jest poniżej

-----------------------------------------------------------------------------
Standard T
Parameter Estimate Error Statistic P-Value
-----------------------------------------------------------------------------
CONSTANT -0,018827 0,0209038 -0,90065 0,3705
Zmiany% zysku SP500 0,0910764 0,0433199 2,10242 0,0387
Zmiany% US GDP 1,47109 0,318334 4,6212 0,0000
-----------------------------------------------------------------------------

R^2 = 26,3%
R^2 (adjusted for d.f.) = 24,4%
SE = 0,164
MAE = 0,122
Durbin-Watson statistic = 1,69738 (P=0,0729)
ARCH(1) in the error: Chi^2(1) = 9.502633 [0.0021]

Jak widać efekt ARCH(1) jest istotny, zatem powinniśmy użyć modelu ARCH lub GARCH.
Dla rozkładu Gaussa (normalność nie została odrzucona w teście) oto co dostałem

Stopa zwrotu SP 500 = -0.0236 + 0.0844*Stopa zmian zysku SP 500 +
1.903*Stopa zmian US GDP

Variable / Coefficient / St. Error / t-statistic / Sign.
1 Constant / -0.0195765692 / 0.0161692291 / -1.2107299063 / [0.2299]
2 Zmiany% zysku SP500 / 0.0840991811 / 0.0464795795 / 1.8093791295 / [0.0745]
3 Zmiany% US GDP / 1.8874096009 / 0.2669705282 / 7.0697301818 / [0.0000]
4 %arch_const / 0.0228298854 / 0.0078681976 / 2.9015394007 / [0.0049]
5 %arch1 / 0.412844619 / 0.1955934408 / 2.1107283426 / [0.0382]
6 %garch1 / -0.2899308775 / 0.2162188358 / -1.3409140623 / [0.1841]


R^2 = 24.270465148%
S.E. = 0.1662718341

Model nie uległ poprawie.

Jakie więc wnioski? Czy giełda zachowuje się nieracjonalnie skoro zyski firm są kompletnie nieskorelowane ze zmianami PKB, a jednocześnie giełda reaguje silnie na zmiany PKB? Obecnie wniosek powstaje następujący. Giełda reaguje zbyt nerwowo na zmiany PKB i potwierdza do pewnego stopnia swoją nieracjonalność. Aby w pełni się z tym zgodzić powinniśmy jeszcze sprawdzić co się dzieje w poszczególnych kwartałach: czy kwartalne zmiany PKB i zysków są trochę skorelowane? Zwrócę też uwagę, że wszystkie zmienne, którymi operowałem w tym wpisie: indeks SP 500, zysk SP 500 oraz PKB USA były wyrażone w wielkościach realnych i brane ze strony: http://www.multpl.com/us-gdp-inflation-adjusted/ . Nie jest wykluczone, że istotne różnice pojawiłyby się przy wartościach nominalnych. Na razie należy skonkludować, że giełda jest po pierwsze nadreaktywna na otoczenie, po drugie prawie w ogóle nie reaguje na roczne zmiany własnego zysku. Krótko mówiąc jest za bardzo spekulacyjna, a za mało "inwestycyjna".

Ale właściwie czy może być to zaskakujący wniosek? Nasza polska giełda robi właściwie to samo, tylko jeszcze gorzej, bo bezmyślnie powtarza każdy ruch giełdy z Ameryki.

.......................................................................

Dodane 22.08.2011:

Jeszcze raz zrobiłem testy, które opisałem w następnym poście. Okazuje się, że w rzeczywistości to statystyka trochę kłamie, a giełda nie okazuje się wcale tak bardzo nieracjonalna (korelacja zmiany zysku - zmiany PKB istnieje). Nadal jednak związek wydaje się być zbyt chwiejny.

Wycena S&P 500 - gdzie jesteśmy?

W poprzednim artykule przedstawiłem model wyceny akcji nazwany Uogólnionym modelem Grahama-Dodda (UMGD). Tak jak stwierdzono, model jest trudny w użytkowaniu (ogólnie DCF jest trudny do sporządzenia), niemniej należy pokazać przykład jego użycia. Wydaje się, że najbardziej wiarygodną wycenę sporządzę dla indeksu amerykańskiego S&P 500, gdyż historyczne dane będą mogły posłużyć bez problemu do najtrudniejszej zdaje się części - wartości rezydualnej.

Ostatnio groza padła na rynki akcji, tak że indeks się nieco osunął:



I jak to zwykle bywa, pojawiają się głosy: czy to początek bessy? Wiele ostatnich danych makroekonomicznych nie napawa optymizmem. Porównajmy jak zmienia się ostatnio realny PKB w USA (w ujęciu annualizowanym):

1 kw. 2010 +3,7%
2 kw. 2010 +1,6%
3 kw. 2010 +2,5%
4 kw. 2010 +2,3%
1 kw. 2011 +0,4%

Jednocześnie gospodarkę USA straszy widmo niewypłacalności kraju. Dług USA wynosi obecnie ok. 14,3 bln dol. W raporcie CBO (Kongresowe Biuro Budżetu):

czytamy z kolei:

Niższe wpływy z podatków i wyższe wydatki budżetu federalnego na walkę ze spowolnieniem gospodarczym spowodują wzrost długu publicznego USA do 62 proc. na koniec roku.

Do 2020 roku dług ma wzrosnąć według CBO do 87 proc. PKB, jeśli przedłużone zostaną obniżki podatków wprowadzone za prezydentury George'a W. Busha.

Temat zadłużenia państwa jest jednak złożony, więc go zostawmy.

Zmiany PKB USA nie są tożsame ze zmianami zysku netto indeksu S&P 500, choć są trochę skorelowane. Ściślej, w latach 1929-2009 korelacja rocznych zmian zysku i PKB wyniosła 0,2349. Dla lat 1933-2009 spada ona jednak do 0,166 i staje się nieistotna statystycznie. Wobec tego można powiedzieć pół na pół. Dla ciekawostki sprawdziłem także korelację pomiędzy zmianami samego indeksu a PKB. Okazała się bardzo silna. Dla lat 1929-2009 wyniosła 0,477. Dla lat 1933-2009 nieco spadła i wynosi 0,39. Innymi słowy, jeśli przewidzimy na dany rok siłę zmiany PKB, to przewidzimy z dość dużą szansą zmianę SP500. Dodatkowo zbadałem co się dzieje pomiędzy zmianami zysku SP 500 a zmianami tego indeksu. Korelacja wyniosła (1929-2009) 0,258 i jest także istotna statystycznie, ale (1933-2009) 0,203 i leży na granicy istotności.

Na koniec przyjrzałem się jeszcze jednej - ale równie ważnej kwestii, mianowicie czy inwestorzy przewidują przyszłe zmiany zysku i PKB. I tu niespodzianka. Owszem inwestorzy przewidują zmianę zysku - jest ona skorelowana ze zmianą indeksu z okresu poprzedniego (korelacja gdzieś między 0,2 a 0,3). Ale inwestorzy już nie zwracają uwagi na przyszły PKB - zmiany PKB są nieskorelowane ze zmianą indeksu z okresu poprzedniego. Przyszły PKB z kolei jest zbyt mglisty dla inwestorów.

Nam zależy na poprawnym oszacowaniu zysku netto na akcję (EPS) dla SP500, tempa wzrostu tego zysku oraz rentowności kapitału własnego. Wiemy już, że jeśli wzrost PKB osłabnie, to wzrost zysku SP500 niekoniecznie osłabnie, choć trochę może. Dodatkowo należy ocenić jak zmiana zysku wpływa na kolejną zmianę w czasie (czyli autokorelacje). Najlepiej prognozować zmiany za pomocą jakiegoś modelu regresji. Niestety zwykła wieloraka regresja liniowa ani też GARCH nie do końca radzą sobie z modelem. Rocznych obserwacji od 1933 jest niewiele, co stanowi sporą przeszkodę i zapewne lepiej byłoby zgęścić dane do kwartalnych. Trudno się jednak na to zgodzić, bo my prognozujemy roczne zmiany. Regresja pojedyncza przynosi już istotne statystycznie wyniki. Pomiędzy kolejnymi zmianami zysku nie występuje żadna liniowa korelacja, lecz AR(1) daje istotne wyniki, jak również GARCH(1).

Poniżej przedstawiono kolejne poziomy zysku indeksu od 2000 r.:



Łatwo zauważyć, że zmiany zysku są łagodne - jest to zasługa silnych miesięcznych autokorelacji (prawie 0,7). Należy jednak pamiętać, że roczna autokorelacja liniowa zmian zysku jest tutaj co najwyżej złudzeniem (i to każdego rzędu). Niemniej na 3 wykonane testy losowości dla okresu 1933-2010 dwa wskazują, że nawet roczne tempo zmian zysku SP500 nie jest całkowicie losowe. Widocznie występują tutaj nieliniowe autokorelacje, które są wyłapywane przez te testy.

Następnie należy przeanalizować ROE (2000-2010):



ROE ex post - czyli nieprognozowane, lecz dane historycznie. Obliczone jako zysk netto z okresu t/(kapitał własny okresu t-1)

Średnia ROE na tym obszarze wynosi 12,44%. Okazuje się, że ROE ex ante liczony jako zysk netto z okresu t *(1+0,0636) / (kapitał własny okresu t) daje podobną średnią 12,68%. Liczba 0,0636 to średnia geometryczna stopa zmian zysku netto indeksu od 1933 r.

Goldman Sachs (GS) w raporcie The anatomy of ROE: Part 1: S&P 500 przedstawił prognozę ROE na rok 2011 na poziomie 17%. Oto wykres z tego raportu:



Średnia ROE = 15,2%. Przypomnieć należy jednak o konwencji jaką się stosuje dla definicji ROE. Wydaje się, że aby przekształcić ROE z raportu musimy przemnożyć 0,152 przez 1,0636 (średnie tempo wzrostu zysku = 6,36%). Kwestię tę już wyjaśniałem. W ten sposób otrzymujemy średnią ROE dla naszego modelu: ROE = 15,2%*1,0636 = 16,17%. Tę wartość zastosujemy do modelu rezydualnego. Parametry modelu rezydualnego omawialiśmy we wpisie: Prawdziwe znaczenie wskaźnika Cena/Zysk i Cena /Wartość księgowa. . Jedynie poprawka dotyczy ROE. Parametry do modelu rezydualnego są następujące:

r = 10,5%
ROE = 16,17%
w = 6,36%

Standard&Poors (S&P) prognozuje EPS SP500 w 2011 r. na poziomie 94,23 $. Ponieważ EPS 2010 = 77,35 , oznaczałoby to wzrost o prawie 22%. Ze względu na ostatnie gorsze dane ekonomiczne, obniżymy nieco ten wzrost do 18%. W ten sposób nasz prognozowany zysk 2011 równa się 91,3 $. Model (rezydualny) Grahama-Dodda (MGD) jest postaci:

P(0) = EPS(1)*(1 - w/ROE)/(r - w)

Podstawmy dane:

P(0) = 91,3*(1 - 0,0636/0,1617) / (0,105 - 0,0636) = 1337,9.

Na chwilę obecną indeks SP500 posiada wartość 1292.28. Zatem z tego prostego modelu wynikałoby, że mamy dziś do czynienia z niewielkim niedowartościowaniem indeksu. Ale przecież jeszcze parę dni temu indeks uzyskiwał wartości w okolicy wskazane przez model. Zwróciłbym uwagę na fakt, że prognoza zysku 91,3 to subiektywna wielkość. Minimalnie zmniejszę ją do 90, a już otrzymam P = 1319. Ponadto wartość historyczna parametrów modelu nie musi odpowiadać rynkowi. Jeśli rynek ocenia, że USA kroczy ku zagładzie, może zmniejszyć na stałe średnie tempo wzrostu zysku. Na przykład, jeśli tylko zmniejszymy w do 6%, wtedy P(0) = 1287,24, co automatycznie potwierdza efektywność rynku. Rynek poprawnie wyceniałby indeks na chwilę obecną. Niemniej na razie trudno o racjonalne przesłanki, by średnie parametry uległy faktycznie zmianie.

Model rezydualny nie uwzględnia wahań koniunkturalnych. Za pomocą UMGD uwzględnimy część okresu koniunkturalnego. Przyjrzymy się jeszcze raz na załączonym powyżej wykresach zmianom ROE. Te zmiany będą korelować ze zmianami zysku. ROE 2010 = 15%. GS prognozuje ROE = 17% w 2011. Nasz ROE ex ante byłby równy 18% = 17%*(1,0636). Będziemy jednak konsekwentni: skoro obniżyliśmy trochę estymowane tempo wzrostu zysku, to zrobimy to także dla ROE. Uznamy, że ROE
(1) 2011 17,5%
(2) 2012 ROE osiągnie maksimum = 18%.

Następnie stopniowo może spadać:

(3) 2013 17%,
(4) 2014 16,5%
(5) i od 2015 zastosujemy model rezydualny (a więc ROE stałe = 16,17%).

Tempo wzrostu zysku będzie szło w parze ze zmianami ROE. I tak uznamy, że w
(1) 2011 14%
(2) 2012 osiągnie maksimum = 17%
(3) 2013 12%
(4) 2014 8%
(5) i od 2015 zastosujemy model rezydualny (a więc w stałe = 6,36%).

UMGD ma postać:



W naszym przypadku n = 5. Podobnie jak w MGD, EPS(1) = X(1) = 91,3. X(t) = X(t-1)*(1+w(t)). Koszt kapitału własnego r jest stały i równa się 10,5%. Ponieważ wszystkie dane są znane, podstawiamy. Otrzymany wynik to:

P(0) = 1362,7.

Wycena ta niewiele różni się od wyceny uzyskanej za pomocą prostego modelu rezydualnego. Niemniej jest poprawniejsza i doskonale tłumaczy koniunkturę na giełdzie. Obecna wartość indeksu wydaje się trochę za niska. Jednak X(1) jest wartością subiektywną, która sporo zależy od bieżących danych. Ustalając X(1) = 90, dostaniemy P = 1342,4, zatem odchylenie od empirycznej wartości staje się nieistotne (jeszcze parę dni temu indeks osiągał takie wartości). Ostatnie negatywne informacje trochę zaniżają estymowany zysk, sprowadzając wycenę do optimum.

Niemal wszędzie spotykamy się z twierdzeniem, że giełda buja się od jednej skrajności do drugiej. W hossie trwa nadmierny optymizm i euforia, a w bessie niepotrzebna depresja i marazm. Często przywołuje się takie euforyczne okresy jak koniec lat 90-tych, nazywane powszechnie "bańką internetową", które zakończyły się - jak zwykle - katastrofą. Popatrzmy jednak na ROE w tym czasie. Osiągało największe wartości wszechczasów. Rynek słusznie wyceniał wysoko akcje, bo należało jakoś ekstrapolować takie bezprecedensowe zdarzenia. Czy za bardzo, tego nie podejmuję. Racjonalnie nie dałoby się dowieść nieefektywności rynku tamtego okresu. Czy ktoś jednak zwraca na to uwagę? Nie, wszyscy krzyczą, że była wtedy bania, która musiała pęknąć z hukiem. Nic nie było wiadomo. ROE spadło, ale równie dobrze mogło się długo utrzymać lub nawet jeszcze wzrosnąć. Legend i mitów nigdy za mało.