Modele klasy ARCH

1. Wprowadzenie

Dwa współczesne problemy ryzykowności instrumentów finansowych: zmienność wariancji w czasie oraz jej nieskończoność rozwiązuje się w praktyce za pomocą modelu ARCH o rozkładzie t-Studenta. Rozkład t-Studenta posiada grubsze ogony w stosunku do rozkładu normalnego, więc może "symulować" rozkład Levy'ego, a jednocześnie dzięki ścisłemu związkowi z rozkładem normalnym jego wariancja jest skończona. Nawiasem mówiąc Bollerslev [3] wykazał, że pod pewnymi warunkami, stacjonarny uogólniony proces ARCH - GARCH posiada rozkład t-Studenta. Tak więc teoria połączyła się z praktyką. Współcześnie prognostycy rynków stosują często ARCH o rozkładzie t-Studenta, pomimo, iż pierwotnie został on stworzony dla rozkładu Gaussa (zaproponował go w 1982 r. Robert Engle i został za to uhonorowany Nagrodą Nobla). ARCH okazał się "hitem" i z czasem zaczął być rozszerzany i modyfikowany na wszelkie możliwe sposoby. Warto wspomnieć, że dzięki ARCH "ulepszono" CAPM, APT oraz model Markowitza, uwzględniając w tych modelach zmienność ryzyka w czasie. Dzięki temu znacznie poprawiła się wiarygodność CAPM i modelu Markowitza (występowanie efektu ARCH nie implikuje nieefektywności rynku). Beta ożyła. Spotykamy się z sugestią, że wycena dyskontowa akcji nie będzie prawidłowa ze względu na zmienność stopy dyskontowej. Modele ARCH dokonały "rewolucji", zaczęły służyć do zarządzania ryzykiem poprzez jego precyzyjną estymację, co umożliwiło wyznaczyć stopę dyskontową w danym okresie.

2. Co to jest model ARCH?

ARCH jest to model oparty na procesie autoregresyjnym z warunkową heteroskedastycznością (Autoregressive Conditional Heteroscedastic process, ARCH), w którym wariancja składnika losowego w modelu autoregresyjnym jest objaśniana przez odpowiednie równanie. Pozwala opisywać niejednorodność składnika losowego w czasie lub inaczej niejednorodność warunkowej wariancji (i warunkowego odchylenia standardowego jako ryzyka) w czasie i ich autokorelacje. Należy tu podkreślić słówko "warunkowa". Oczywiście mówiliśmy wcześniej po prostu o wariancji, która zmienia się w czasie. W rzeczywistości w klasycznym modelu ARCH niewarunkowa wariancja jest stała w czasie, czyli niewarunkowy proces ARCH jest homoskedastyczny. Zmienia się wariancja warunkowa, czyli wariancja pod warunkiem wystąpienia poprzedniej wariancji (warunkowej). Dlatego mamy nazwę "warunkowa heteroskedastyczność". Ale po kolei.

Model ARCH można rozumieć w sposób wąski lub szeroki. Znaczenie wąskie: wariancja składnika losowego zmiennej objaśnianej jest procesem ARCH; znaczenie szerokie: jeśli wariancja składnika losowego zmiennej objaśnianej jest procesem ARCH, to zmienną objaśnianą również można uważać za proces ARCH.
Zaprezentujemy podejście "szerokie" definicji procesu ARCH(S).

W modelu ARCH stopa zwrotu jako zmienna zależna r(t) jest generowana przez:



IID oznacza Independent and Identically Distributed, czyli zmienną o identycznym i niezależnym od czasu rozkładzie. Jak widać przy składniku losowym stoi literka t wyrażająca zmienność w czasie, ale niewarunkowo rozkład jest stały.


Dodatkowo zachodzi jednocześnie:




Czyli kwadrat składnika losowego możemy zapisać w postaci:



Jeśli chodzi o sam model ARCH, to w zasadzie wszystko. No, nie do końca wszystko, ale o tym zaraz. Teraz trzeba zinterpretować to co dostaliśmy. Przede wszystkim - początkowa zmienna x(t) oznacza, że możemy wszystko pod nią podstawić. Może być to więc zwykła regresja lub też autoregresja, czyli r(t-s). x(t) może być także wielowymiarową zmienną, czyli możemy mieć jednocześnie autoregresję i regresję - np. dodatkowa zależność od wolumenu czy stóp zwrotu jakichś indeksów. Dalej mamy składnik losowy stopy zwrotu, który jest funkcją czasu. Sam proces tego składnika zależy od pewnej zmiennej h(t). To h(t) jest właśnie ową tajemniczą wariancją warunkową. Pytacie się: wariancją warunkową czego? Otóż - to interesujące - wariancją warunkową zarówno składnika losowego stopy zwrotu, jak i samej stopy zwrotu. I właśnie w tym ostatnim zdaniu jest zawarta istota dlaczego ARCH można rozumieć w sposób wąski lub szeroki - ale zostawiamy to na boku.

Warunkowość oznacza się kreską pionową |. W naszym przypadku istnieje zarówno warunkowa wartość oczekiwana, jak i warunkowa wariancja. Jeśli więc r(t) zdarza się pod warunkiem r(t-1), to warunkową wartość oczekiwaną oznaczamy E[r(t)|r(t-1)], zaś warunkową wariancję D^2[[r(t)|r(t-1)]. Model ARCH charakteryzuje się następującymi własnościami:



Ostatni wzór wskazuje, że niewarunkowa wariancja składnika losowego istnieje i jest stała w czasie.


Przykład.

W poniższych dwóch przykładach za regresor x podstawiono r(t-1). Będzie to ARCH(1). Całość można nazwać AR(1)-ARCH(1). Dane empiryczne są w wielkościach procentowych.

a) Miesięczne stopy zwrotu S&P500 od początku 1933 do końca lipca 2010 - po skorygowaniu o inflację. Otrzymano następujące (istotnie statystycznie) parametry:



Tak więc po pierwsze, na starcie otrzymujemy 0,4 pkt proc. "na zachętę". Po drugie gdy stopa zwrotu zmieniła się o 1 pkt proc w danym miesiącu, w następnym miesiącu średnio biorąc zmieniła się w tym samym kierunku o 0,25 pkt proc. Po trzecie losowe odchylenie od tej wielkości o 1 pkt proc. w danym miesiącu spowodowało, że w następnym miesiącu wariancja warunkowa wyniosła 7.31 + 0,063 = 7.37%. Czyli warunkowe odchylenie standardowe wyniosło wtedy 2.715%. Po czwarte niewarunkowa wariancja składnika losowego wyniosła 7.31/(1-0,063)= 7.8%. Czyli niewarunkowe odchylenie st. składnika losowego = 2.9%.

Oto jak zmieniała się wariancja warunkowa stóp SP500:



b) Dzienne stopy zwrotu WIG od początku 2000 do końca lipca 2010.



Wszystkie parametry są istotne.

Wykres wariancji warunkowej stóp WIG:



3. GARCH(S,Q) - uogólniony proces ARCH (Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedastic process)

Engle, oprócz tego, że odkrył ARCH, empirycznie doszedł do wniosku, że krok s w funkcji wariancji warunkowej powinien być duży. Aby poradzić sobie z uciążliwością obliczeniową (były to lata 80-te XX w.) zaproponował pewną modyfikację modelu ARCH. Jednak w empirycznych zastosowaniach nie przyjęła się. Stało się tak zapewne z powodu małej atrakcyjności teoretycznej takich przekształceń. Jednak już w 1986 r. Bollerslev i Taylor niezależnie od siebie zaproponowali rewolucyjny model GARCH (Jak to się dzieje, że często w tym samym roku dokonywane są te same odkrycia przez niezależnych naukowców?), który jednocześnie rozwiązał poprzedni problem oraz zachował spójność teoretyczną. W zasadzie jest on banalnym uogólnieniem ARCH. W stosunku do ARCH został po prostu wprowadzony w h(t) proces autoregresyjny. Jest to analogia uogólnienia modelu MA na ARMA.
W modelu GARCH funkcja wariancji warunkowej jest następująca:



Wariancja niewarunkowa składnika losowego jest dla GARCH równa:



Wariancja ta istnieje pod warunkiem, że:




Przykład.
Dla porównania z ARCH(1) przyjmiemy GARCH(1,1) i AR(1) oraz również te same dane co poprzednio.

a) S&P500 (miesięczne):



b) WIG (dzienne):



Zauważmy, że efekt GARCH jest bardzo silny i dzięki zastosowaniu autoregresji w h(t) wolny parametr w funkcji h(t) znacznie się zmniejszył. Potwierdza to, że GARCH lepiej odzwierciedla dynamikę rynku niż ARCH.


Obecnie omówimy krótko inne znane modele ARCH.

4. NARCH(S,Q) - Nieliniowy ARCH (non-linear ARCH) posiada następującą funkcję wariancji warunkowej:



Dla parametru μ = 1 NARCH sprowadza się do:



Czyli otrzymujemy bezpośrednią postać warunkowego odchylenia standardowego.


5. EGARCH(S,Q) - wykładniczy GARCH (exponential GARCH) umożliwia wyłuskać dwa efekty, których nie dostarczał GARCH. Po pierwsze ujmuje ujemną korelację pomiędzy stopą zwrotu a wariancją. Wariancja wzrasta zwykle w odpowiedzi na negatywne informacje - wtedy stopa zwrotu spada. Wariancja z kolei często spada w odpowiedzi na pozytywne informacje - stopa zwrotu rośnie. Po drugie symuluje zjawisko grupowania wariancji, czyli zaburzenia wariancji w sposób cykliczny.W szczególnym przypadku może także realizować eksplozję wariancji, z czym często mamy do czynienia. EGARCH posiada funkcję wariancji warunkowej o postaci:



lub o postaci:



6. MARCH(S,Q) - multiplikatywny ARCH (multiplicative ARCH) o funkcji wariancji warunkowej postaci:



Uwzględnia te same efekty co EGARCH i dodatkowo nadaje postać logarytmiczną elementom h(t).


7. ARCH-M(S) - ARCH-in-Mean (lub GARCH-M) to model, w którym wariancja warunkowa bezpośrednio determinuje stopę zwrotu:



Za h(t) można podstawić dowolną funkcję z poprzednich modeli, czyli ARCH, GARCH, NARCH, EGARCH, MARCH i wielu wielu innych.

Model ARCH-M pozwala połączyć model ARCH i CAPM-CML. Proponowałbym, aby oczekiwaną stopę zwrotu dla "nowoczesnego" CAPM-CML wyrazić wzorem:



gdzie standardowo:

R(p,t) - oczekiwana stopa zwrotu z portfela P
R(f,t) - stopa wolna od ryzyka (zysk z obligacji skarbowych, bonów skarbowych, lokat)
R(M,t) - oczekiwana stopa zwrotu z tzw. portfela rynkowego
h(M,t) - wariancja stopy zwrotu z portfela rynkowego
h(p,t) - wariancja stopy zwrotu z portfela P

Chociaż sam ARCH zachowuje stacjonarność - tzn. niewarunkowe parametry rozkładu jak widzieliśmy są stałe w czasie, to przedstawiony proces CAPM-CML byłby niestacjonarny, gdyż wartość oczekiwana R(t) zmienia się w czasie. Ale to takie subtelności.


8. Co jeszcze?

Na koniec zasygnalizujemy, że przedstawiony obraz modeli ARCH to jedynie zalążek tego, z czym mamy dzisiaj do czynienia. Stworzono modele ARCH uwzględniające asymetrię pomiędzy składnikiem losowym a wariancją warunkową. Są to AARCH (Asymetryczny ARCH), QARCH (Quadratic ARCH, TARCH (Threshold ARCH). Bardziej rozwinięte estymatycznie to QTARCH (Quadratic Threshold ARCH) oraz TVP ARCH-M (Time-Varying Parameter ARCH-M), będący modyfikacją ARCH-M. Oddzielną gałąź stanowią modele SWARCH (Switching ARCH), wykorzystujące idee regresji przełącznikowej. Wszyscy doświadczeni gracze twierdzą, że rynki są zmienne i to co działa dziś, za miesiąc może nie działać. Podstawowym założeniem SWARCH jest możliwość jednoczesnego istnienia wielu modeli ARCH oraz przechodzenie z jednego na drugi.

Rynek kapitałowy jest niezwykle skomplikowanym układem, gdzie wiele zmiennych współgra, oddziaływuje nieliniowo zarówno w przestrzeni jak i czasie. Wektorowy model ARCH oraz Diagonalny model ARCH uwzględniają wielowymiarową strukturę rynku. Dzięki nim można np. obliczyć wpływ zaburzenia na rynku akcji na rynki obligacji czy walut.

W końcu, odrębną koncepcyjnie i metodologicznie jest grupa modeli HARCH, czyli Heterogenicznie Interwalny Autoregresyjny Model o Warunkowej Heteroskedastyczności (Heterogenous Interval Autoregressive Conditional Heteroscedasticity). Zakłada się w nich, że wariancja warunkowa powinna być mierzona w przedziałach czasowych o różnej długości, których rozkład zależy od struktury inwestorów. Są bowiem różni inwestorzy: mają inny horyzont inwestycyjny, w innych przedziałch zawierają transakcje, nieco inaczej interpretują informacje oraz posiadają inny poziom awersji do ryzyka. Mówiąc krótko, rynek jest niejednorodny (heterogeniczny). Można powiedzieć, że HARCH zakłada fraktalną strukturę rynku.

Jedną z nowszych i również odrębnych gałęzi ARCH są modele FIGARCH (Fractionally Integrated ARCH) oraz jego uogólnienie HYGARCH (Hypebolic ARCH). Różnica pomiędzy zwykłym GARCH a nimi polega na tym, że GARCH uwzględnia jedynie pamięć krótkoterminową wariancji warunkowej, natomiast FIGARCH i HYGARCH uwzględniają pamięć długoterminową wariancji warunkowej. Ta klasa modeli wymaga oddzielnego opracowania.


Źródło:

1. J. Brzeszczyński, R. Kelm, Ekonometryczne modele rynków finansowych, W-wa 2002;
2. A. K. Bera, M. Higgins, ARCH Models: Properties, Estimation and Testing, 1993.

3. T. Bollerslev, A Conditionally Heteroskedastic Time Series Model for Speculative Prices and Rates of Return, 1987.

Dlaczego przypadek udaje trend? Odchylenie standardowe kontra średnie odchylenie absolutne

Ten artykuł wydaje się zupełnie nie pasować do serii, jaką ostatnio przeprowadzam. Praktycy giełdowi mogą go zupełnie pominąć. Potrzebny mi jest jednak z trzech powodów. Po pierwsze, zostanie wykazane, że gdy ruch jest brownowski - tj. obserwacje zmiennej losowej gaussowskiej o wartości oczekiwanej = 0 są niezależne od siebie, to rzeczywiście droga, jaką "przebywa" zmienna jest proporcjonalna do pierwiastka z czasu (pokonania tej drogi). Po drugie, jak sądzę, inwestor powinien dogłębnie rozumieć skąd się biorą fałszywe trendy. To zostanie przedyskutowane w sposób ścisły. Po trzecie, w następnym odcinku opiszę modele klasy ARCH, których istotą jest wariancja, a więc dobrze jest ją rozumieć. (Chociaż w artykule nie badamy samej wariancji, ale jej pierwiastek. Jest ona pojęciem bardzo abstrakcyjnym i mało który statystyk ją pojmuje).

Co to jest ruch Browna?

Nieustanne i nieregularne ruchy makrocząsteczki zawieszonej w ośrodku ciekłym, gazowym lub stałym nazywamy ruchami Browna.

„Paradoks” ruchu Browna

Powstaje pewien pozorny paradoks związany z fizycznym ruchem Browna. Skoro ruch Browna – jako proces szumu białego - ma wartość oczekiwaną równą 0, ale wiadomo, że w takim układzie panuje równowaga termodynamiczna, która zapewnia jednorodność i izotropowość przestrzeni oraz jednorodność czasu, to wydawałoby się, że ruch w takim układzie jest w ogóle niedopuszczalny. Makrocząsteczka jest bowiem bombardowana ze wszystkich stron z ogromną częstotliwością (ok. 10^20 uderzeń na sekundę), więc nawet, jeśli zostałaby poruszona w jedną stronę, to na skutek uderzenia z drugiej strony zostałaby natychmiast zatrzymana. Właśnie takie stwierdzenie wyraził Karl Nageli w pracy z 1879 r. Marian Smoluchowski odpowiedział na ten zarzut w następujący sposób:

Jest to taki sam błąd rozumowania, jak gdyby człowiek uprawiający grę hazardową (np. rzucanie kostki) sądził, że nigdy większej straty ani też większego zysku mieć nie będzie, niż wynosi stawka na jeden rzut. Wiemy dobrze, że szczęście i nieszczęście zwykle niezupełnie się równoważą; że im dłużej gra trwa, tym większa jest przeciętna suma albo wygrana albo przegrana.

Smoluchowski przytoczył proste obliczenie ściśle potwierdzające powyższy punkt widzenia. Mianowicie, zarówno prawdopodobieństwo rzutu korzystnego jak i niekorzystnego jest równe 1/2. Zatem, prawdopodobieństwo Pn(m) otrzymania m korzystnych wyników w n próbach (a tym samym n - m niekorzystnych), lub inaczej otrzymania nadwyżki równej m – (n – m) = 2m – n korzystnych wyników nad niekorzystnymi, dane jest po prostu rozkładem Bernoulli’ego, gdyż pojedyncze rzuty są statystycznie niezależne:



Stąd wynika, że średnia wartość bezwzględnej nadwyżki v = │2m - n│ wynosi:



gdzie przykładowo n przyjęto parzyste. Dla bardzo dużych n stosując do silni wzór Stirlinga:



można sprowadzić powyższą średnią do zależności:



Czyli v jest proporcjonalne do pierwiastka kwadratowego z liczby prób n. Jest to kluczowy wynik pozwalający zrozumieć fluktuacyjny charakter ruchów Browna. Makrocząsteczka zawieszona w cieczy jest uderzana przez cząsteczki ośrodka ok. 10^20 razy w ciągu sekundy. Zatem przeciętna nadwyżka uderzeń z jednej strony nad uderzeniami z drugiej wynosi w tym czasie ok. 10^10. Nawet, jeśli pojedyncze zderzenie powoduje bardzo małe przesunięcie, całkowity efekt może być znaczny. A zatem, makrocząsteczka może się poruszyć.

Gdyby rynek znajdował się w równowadze, także popyt i podaż "uderzając" w kurs z tą samą siłą z przeciwnych stron, mogą utworzyć całkowicie losowy "trend", który "make you pent"...

Odchylenie standardowe jako droga

Liczba prób n jest tym samym co czas pokonywania drogi t (kolejna próba to kolejna jednostka czasu). Okazuje się, że całkowita droga ruchu Browna jest po pierwsze proporcjonalna do pierwiastka z t, po drugie jeśli za wartość oczekiwaną we wzorze na odchylenie standardowe zmiennej niezależnej od czasu podstawimy zero (tak jak to ma miejsce dla naszego ruchu), wówczas odchylenie standardowe jest równe pierwiastkowi z t, czyli pokonanej drodze.

Odchylenie standardowe a średnie odchylenie absolutne

Średnia wartość bezwzględnej nadwyżki v to po prostu średnie odchylenie absolutne. Jednocześnie wiadomo, że pierwiastek z n odpowiada odchyleniu standardowemu. Wynika z tego, że relację pomiędzy odchyleniem standardowym a średnim odchyleniem absolutnym można zapisać jako:



I ten właśnie wzór możemy znaleźć tutaj w Wikipedii. Średnie odchylenie absolutne stanowi ok. 0.8 odchylenia standardowego.

Wniosek? Dla zmiennych losowych niezależnych o rozkładzie Gaussa i wartości oczekiwanej równej zero średnie odchylenie absolutne wyraża średnią nadwyżkę wyników jednego kierunku ponad wyniki drugiego kierunku. Zauważmy, że ta nadwyżka rośnie wraz z czasem! Odchylenie standardowe z kolei w takim przypadku stanowi przebytą drogę zmiennej, która również rośnie w czasie. Mówi się, że rozkład Gaussa ulega rozmyciu lub dyfuzji w czasie - czas "rozszerza" parametry dzwonu. W ten oto sposób przedstawiliśmy matematyczny mechanizm powstawania dyfuzji zarówno w przyrodzie jak i w ekonomii - złudzenie trendu.


Przykład błądzenia losowego

P.S. Warto zauważyć, że do wyprowadzenia wzoru na "drogę" ruchu Browna, nie przyjęliśmy rozkładu Gaussa. Wynikałoby z tego, że cały wywód obowiązuje także dla rozkładu Levy'ego, jeśli zmienne są niezależne. Jednak sytuacja wcale nie jest oczywista, gdyż Smoluchowski do wyprowadzenia wzoru użył rozkładu Bernoulliego, którego wariancja wynosi np(1 − p), gdzie p - prawdopodobieństwo sukcesu. W przypadku r. Levy'ego, jak wiemy, wariancja jest nieokreślona, co wskazuje, że owe wyprowadzenia wcale nie muszą być poprawne. Nawiasem mówiąc, Einstein wyprowadzając wzór na drogę t^0.5 nie zwrócił uwagi na ów fakt. Dopiero jego potomkowie dowiedli, że wzór jest prawidłowy - należało dowieść, że w ośrodku brownowskim nie występują zdarzenia rzadkie, a tym samym, że wariancja jest skończona. W ogólnym przypadku dla ruchu Levy'ego droga jest proporcjonalna do t^H, gdzie H - wykładnik Hursta.