Wykres funkcji H(p):
Porównując z poprzednimi tezami, zauważmy, że nie dostajemy tego, czego pierwotnie oczekiwaliśmy, bo im bliżej 1, tym p spada do zera. Wartość oczekiwana miała dążyć wtedy do nieskończoności, a tu zamiast tego wraca do zysku osiąganego bez ryzyka. O co tu chodzi? Wynika to z ukrytego założenia, że można grać na spadki. W końcu każde p różne od 0,5 oznacza mniejszą niepewność, co się wydarzy. Przy oczywistej stracie, czyli dużym p, należy zająć pozycję krótką, osiągając niewielki, ale dodatni zysk. W sumie p > 0,5 oznacza zwykłą redundancję, więc wystarczy, że ograniczymy p do zakresu od 0 do 0,5.
Tworzymy więc model a'la CAPM oparty na entropii o postaci:
(2) r = Rf + b*H
gdzie
r - oczekiwana stopa zwrotu z aktywa (tu Orlen)
Rf - stopa wolna od ryzyka
H - entropia (zamiast bety)
b - pewna stała (w CAPM średnia rynkowa stopa zwrotu minus stopa wolna od ryzyka)
Zapiszmy jeszcze raz nasze dane podstawione do (1), uwzględniając H:
W1 = 7% dla p = 0 => H = 0
W2 = 8% dla p = 0,11 => H = 0.5
Podstawmy je do (2), bo W musi być równe r:
8 = 7 + b*0.5
b = 2
Dostajemy funkcję:
r = 7 + 2*H
Teraz możemy sprawdzić, ile powinno wynieść H i p dla r = 9,2. Po podstawieniu do formuły dostalibyśmy H = 1,1. Ale przecież maksymalne H wynosi 1! Powstaje błąd. Okazuje się, że wybrana stopa r jest za duża.
Ten błąd to konsekwencja błędnej postaci równania. Od początku błędem było przyjęcie p = 0,11. Przypominam, że wziąłem je na podstawie błędów analizy dyskryminacyjnej, która po pierwsze była podzielona na zbiór uczący i testowy, a ja posłużyłem się tym uczącym; a po drugie nie była najlepszą metodą szacowania zagrożenia. Lepsze były sieci neuronowe generujące p = 0,052. Nie mogłem od tak po prostu przyjąć tej niższej wartości, bo musiałbym najpierw mieć gotowy model tych sieci i sprawdzić na nim, czy spółka rzeczywiście nie niesie poważnego zagrożenia niewypłacalności. W sumie jednak rzeczywiście prawdopodobieństwo niewypłacalności będzie mniejsze niż 0,1. Zrobię więc poprawkę przyjmując p w dwóch wersjach: na podstawie błędów zbioru testowego analizy dyskryminacyjnej (p = 0,095), a potem na po podstawie sieci neuronowych (p = 0,052).
Wariant 1: dla p = 0,095
Zaczynamy od początku:
W = 0,095*0 + (1-0,095)*9% = 8.15%
W1 = 7% dla p = 0 => H = 0
W2 = 8,15% dla p = 0,095 => H = 0.45
b = 2.56
Dostajemy równanie:
r = 7 + 2.56*H
Podstawiamy za r 9,2 i znajdujemy H oraz p:
9,2 = 7 + 2,56*H
Stąd:
H = 0.86 => p = 0,28
Otrzymany wynik wskazywałby, że r = 9,2% uzyskujemy dla p = 0,28. Czyli prawdopodobieństwo niewypłacalności minimalnej dywidendy jest niemal 3 razy większe niż ryzyko niewypłacalności odsetek z obligacji. Możemy więc narysować tę funkcję - oczekiwana stopa zwrotu będzie liniowo zależna od niepewności poniesienia straty:
Wariant 2: dla p = 0,052
W = 0,052*0 + (1-0,052)*9% = 8.53%
W1 = 7% dla p = 0 => H = 0
W2 = 8,53% dla p = 0,052 => H = 0.295
b = 5,19
Dostajemy funkcję:
r = 7 + 5,19*H
Podstawiamy za r 9,2 i znajdujemy H oraz p:
9,2 = 7 + 5,19*H
H = 0.42 => p = 0,085
I wykres
Różnica jest diametralna. Jeśli chcemy wybrać jeden z tych dwu wariantów, musimy sobie odpowiedzieć na pytanie, które prawdopodobieństwo (subiektywne) jest bardziej poprawne: 0,28 czy 0,085. Właściwie, to odpowiedź jest dość jednoznaczna - to pierwsze. W tym drugim przypadku odległość między ryzykiem obligacji komercyjnych a akcjami Orlenu jest bardzo niewielka - ledwo 0,03 (0,28 - 0,095 = 0,185 vs. 0,084 - 0,052 = 0,032), co jest dla mnie nie do zaakceptowania. Jeżeli więc przyjmujemy, że r = 9,2%, to prawdopodobieństwo, że Orlen nie wypłaci minimalnych dywidend wynosi niecałe 0,3.
Problem polega na tym, że naszym celem nie było oszacowanie p, tylko znalezienie odpowiedzi czy r = 9,2% jest prawidłowe. Gdyby pierwszy wariant zachować, to odpowiedź byłaby twierdząca - 28% uznalibyśmy raczej za rozsądny poziom zagrożenia, może nawet w jego górnych granicach. Jeżeli jednak chcemy posłużyć się drugim wariantem, to okaże się, że 9,2% stanowi za niską stopę dyskontową w naszym modelu dyskontowym.
Co by się stało, gdybyśmy zrównali poziom p z drugiego wariantu do pierwszego? Podstawmy więc w drugim wariancie p = 0,28:
r = 7 + 5,19*H(p = 0,28)
r = 11,44
Zobaczmy, jak zachowa się wycena przy tej stopie dyskontowej:
Scenariusze A (brak zmiany stopy procentowej)
53-56 zł to lekka przesada. Jednak mamy też scenariusze ze spadającymi stopami i wtedy już pojawią się realne poziomy.
Scenariusze B (spadek stopy o 0,5 pkt proc.)
Scenariusze C (stopniowy spadek stopy o 1,5 pkt proc.)
Przyznanie startowej stopie dyskontowej 11,4% może mieć sens tylko jeśli uwzględnimy jej spadek w przyszłości, a więc tylko uznając Scenariusz B i C. Z drugiej strony ciągle pamiętać musimy, że prawdziwy koszt kapitału własnego może być wyższy, bo zawiera cały potencjalny wzrost dywidendy, którego nie znamy. Wzrost dywidendy wynika ze wzrostu zysku, który globalnie byłby tożsamy ze wzrostem nominalnego PKB. Minimalne dywidendy rosną tylko o 3% rocznie, tj. na poziomie inflacji. Faktyczne dywidendy mogą rosnąć o kolejne 2-3%, chociaż warto mieć gdzieś z tyłu głowy słowa polityków obecnie rządzących
kwestionujących jakiekolwiek zyski Orlenu. Gdyby dodać jeszcze 2-3 pkty proc., podniosłoby to r do 13,4-14,4%. Jest to sporo dla Orlenu nawet przy założeniu spadającej stopy (procentowej, a więc i dyskontowej) o 1,5 pkt proc. (Scenariusz C), bo dostaniemy ok. 12-13% w modelu rezydualnym.
W tym miejscu tylko napomknę, że obniżenie stopy od 0,5 do 1,5 pkt proc. jest wiarygodne. Średnia referencyjna stopa NBP od roku 2000 do 2023 r. wynosi 5,2%. Z kolei od 2003 do 2023 wynosi ok. 4,3%. Stopa ta nie jest zmienną stacjonarną, więc nie można opierać się na jej średniej, ale może być to punkt wyjścia.
Nasz problem nie dotyczy zatem stopy procentowej, ale przyjętego prawdopodobieństwa straty: musimy sobie odpowiedzieć na pytanie, jakie jest rzeczywiście wg nas prawdopodobieństwo, że Orlen może nie być w stanie wypłacać - co tu mówić - naprawdę niskich dywidend? Ostatnie wiadomości są dla spółki negatywne, ciąży nad nią ryzyko polityczne, tzn. kolejne obciążenia. Warto też dopowiedzieć, że sprawa jest rozwojowa, bo nagła zmiana zarządu spółki powoduje z jednej strony pewne oczyszczenie, z drugiej większą niepewność co do kierunku. Rynek powinien otrzymać jasny komunikat od spółki, że jej polityka dywidendowa nie ulegnie zmianie. Wtedy zagrożenie by spadło. Brak takich komunikatów powoduje, że większy kapitał, z funduszami włącznie, będzie się obawiał inwestowania.
Łącząc powyższe w całość, jestem skłonny przyjąć wysoki poziom p = 0,28, pod warunkiem, że przyjmiemy, że faktyczne dywidendy będą równe minimalnym dywidendom albo że będą rosły niewiele powyżej, np. 0,5 pkt proc. Wtedy nasza stopa dyskontowa na poziomie 11,4% stanie się całkiem rozsądna.
Dodatkowym argumentem niech będą analizy Damodarana z premiami za ryzyko dla każdego kraju (zob.
link). Na chwilę obecną premię tę dla Polski wyznaczono na poziomie 5,84%. Aby ją obliczyć dodaje się premię za ryzyko krajowe do premii dla USA. Dla USA premia wynosi 4,6% (ryzyko krajowe USA = 0, bo traktuje się jak benchmark). Premia za ryzyko krajowe Polski wynosi 1,24%, stąd 4,6 + 1,24 = 5,84%. Dodajmy więc obecny WIBOR3M = 5,86% i otrzymamy 11,7%. Czyli blisko tego co nam tu wychodzi.
Ostatecznie, wykres entropicznego SML wyglądałby następująco:
A zależność między oczekiwaną stopą zwrotu a samym prawdopodobieństwem strat / utraty zysku prezentowałaby się tak:
Muszę powtórzyć, że ten r = 11,4% i odpowiadające jej p = 0,28 to poziomy na chwilę obecną. To znaczy, wycena która wychodzi w granicach od 56,6 do 67,3 jest na tę chwilę bardziej prawdopodobna niż te wcześniejsze (powyżej 70).
[1] Pociecha J., Pawełek B. , Baryła M., Augustyn S. Statystyczne metody prognozowania bankructwa w zmieniającej się koniunkturze gospodarczej. Wydawnictwo UE w Krakowie, Kraków 2014;
[2] Philippatos, G. Entropy, Market Risk, and the Selection of Efficient Portfolios. Appl. Econ. 1972, 4, 209–220;
[3] Gulko, L. Dart boards and asset prices introducing the entropy pricing theory. Adv. Econom. 1997,
12, 237–276;
[4] Ou, J.S. Theory of portfolio and risk based on incremental entropy. J. Risk Finance 2005, 6, 31–39;
[5] Novais, R.G., Wanke, P., Antunes, J., Tan, Y. Portfolio optimization with a mean-entropy-mutual information model. Entropy 2022,
24, 369.
