ARMAX opóźnionego WIG z PKB UE - lecimy w dół?

Warto przyjrzeć się jeszcze raz macierzy korelacji między zmianami procentowymi indeksu giełdowego a gospodarką. Tym razem jednak zostawimy już ANNI w spokoju, a zamiast tego dodamy opóźnienie o 1 rok WIG. Pozwoli to przeanalizować dane roczne dla lat 1995-2016 (z Banku Światowego). Wyniki:

Korelacja między WIG(-1) a PKB Polski = 0,41.
Korelacja między WIG(-1) a PKB UE = 0,52.
Korelacja między WIG(-1) a PKB USA = 0,47. 

Ponadto widzimy, że między gospodarkami występuje podobnie silna korelacja. Rozsądne więc - chwytając się brzytwy Okhama - wybrać tylko jedną parę o najsilniejszej korelacji w procesie prognozy. W sumie wystarczy, że do prognozy WIGu weźmiemy o jeden rok przyspieszone PKB UE. Jeśli potrafimy prognozować gospodarkę rok naprzód, to powinniśmy także umieć prognozować WIG.

Dla jasności - podane dane dotyczą realnego PKB na osobę w dolarach US.

Przed prognozą musimy jeszcze spojrzeć na autokorelacje WIGu. Zgodnie z macierzą korelacji, można by przypuszczać, że występuje bardzo słaba ujemna korelacja między kolejnymi latami na giełdzie. Do myślenia daje fakt, że dla zmian opóźnionych o 2 lata wynosi aż -0,35:

Zgodnie z takim schematem indeks po 2 latach zmienia niejako kierunek - odpowiadałoby to długości cyklu: 2 lata w górę, 2 lata w dół.

Wobec powyższego stworzymy 3 modele prognozy i wybierzemy najlepszy z nich. Specyfikacja w programie gretl.

1. AR(2) dla zmian proc. WIG. Tylko rzędu 2-go:

2. Sama regresja ze zmienną objaśniającą w postaci zmian proc. PKB UE(+1), tj. PKB przyspieszony o rok (model ARMAX(0, 0, GDP_UE(+1)):

3. Połączenie modelu (1) z (2): AR(2) + regresor w postaci zmian PKB UE(+1); AR tylko rzędu 2-go (model ARMAX(2, 0, GDP_UE(+1)):

Uwaga: Nie użyłem bezpośrednio obserwacji GDP_UE(+1) tylko posłużyłem się opóźnionym o rok WIG.

Jak widać wszystkie kryteria: AIC, BIC i HQC jednoznacznie wskazują, że model nr 3 jest najlepszy. Graficznie, model dobrze się jak dotąd spisywał:

Rok 2018 będzie raczej na giełdzie spadkowylub neutralny ze względu na zakończenie cyklu WIG (zob. Prognoza WIG dwiema metodami ), natomiast jeszcze pozostała kwestia kierunku PKB UE. Najłatwiej i najszybciej posłużyć filtrem Hodricka-Prescotta. Zgodnie z opisaną formułą w artykule Filtr Hodricka-Prescotta dla rocznych danych należy przyjąć lambdę na poziomie 6,25. W gretlu jedynie można wstawiać liczby całkowite, tzn. że lambda = 6. Uzyskałem w ten sposób nieliniowy trend gospodarki europejskiej:

Pamiętajmy, że ostatni rok to 2016, należy więc odpowiednio zrobić korektę dla 2017. Później pokażę prognozę z tą korektą.

W każdym razie składnik cykliczny bezwzględnie sygnalizuje, że wchodzimy w fazę stagnacji w UE. Trzeba przy tym pamiętać, że będzie to stagnacja wokół trendu rosnącego, tj. długoterminowej ekspansji.
Możemy nawet precyzyjnie przewidzieć zmiany składnika cyklicznego H-P. Za pomocą dodatku armax sprawdzamy najlepiej dopasowaną liczbę parametrów ARMA(p, q) modelu. Armax dał nam pewną zagwozdkę, bo AIC i HQC wybrały ARMA(0, 4), czyli czysty model średniej ruchomej 4-okresowej, natomiast BIC wybrał ARMA(2, 1). Chociaż najlepiej lubię posługiwać się HQC, bo jest swego rodzaju balansem między AIC a BIC (jego formuła to właśnie coś pomiędzy AIC i BIC), to ogólnie rzecz biorąc, gdy mamy do czynienia z niewielką liczbą danych albo procesem bardzo skomplikowanym (w tym sensie, że liczba parametrów prawdziwego modelu przekracza długość próby), to powinniśmy posługiwać się zawsze AIC. Z kolei BIC jest lepszy wtedy, gdy proces nie jest tak skomplikowany i wiemy z góry, że liczba parametrów prawdziwego modelu jest mniejsza od długości próby - zob. [1]. A w tym przypadku dodatkowo AIC pokrywa się z HQC. Nie ma wątpliwości: wybieramy model ARMA(0,4). Uzyskujemy prognozę:

W przypadku ostatniej analizy polskiego PKB ( zob. Prognoza PKB na 2018 czterema metodami ) prognoza była negatywna. Omawiana sytuacja sugeruje stabilizację, neutralność na bieżący rok i kontrakcję na kolejne lata.

----------------------------------------------------------------------------------
Zwiększenie jakości prognozy:
Jakość prognozy może zostać zmaksymalizowana dzięki uwzględnieniu najnowszych danych. Rok 2017 już za nami i można z dużą pewnością podać PKB na ten rok. Niedawno, w styczniu 2018 Bank Światowy zaktualizował prognozę różnych regionów na świecie [2]:

Podane stopy to "aggregate growth rates calculated using constant 2010 U.S. dollar GDP weights", tj. realne stopy wzrostu w dolarach amerykańskich, czyli te same miary, których dotychczas używałem. UE będziemy aproksymować poprzez strefę Euro.*

Zwróćmy uwagę, że Bank przewiduje osłabienie wzrostu gosp strefy euro w kolejnych latach. Do tego pesymistycznego wniosku sami dotarlibyśmy stosując filtr H-P. Poniższy wykres składnika cyklicznego tego filtru uwzględnia rok 2017:

Podsumowanie: Mimo iż WIG nie koreluje silnie z bieżącym PKB, to okazuje się, że silnie korelować z przyszłością gospodarczą, wyprzedzając ją o 1 rok. Zbudowany model prognozuje spadek WIG na 2018-2019.


* Poniższa grafika (która pochodzi z [3]) ilustruje, że strefa Euro praktycznie niczym się nie różni od UE:

Literatura:
[1]  Aho, K., Derryberry, D., Peterson, T., Model selection for ecologists: the worldviews of AIC and BIC, March 2014;
[2] https://data.worldbank.org/data-catalog/global-economic-prospect;
[3] Eurostat, "GDP up by 0.6% in both the euro area and the EU28", 20/2018 - 30 January 2018, http://ec.europa.eu/eurostat/news/news-releases

WIG dyskontuje prędzej Zagranicę niż Polskę

Dla zwykłego inwestora Skorygowany narodowy dochód netto (Adjusted net national income, ANNI), opisany ostatnio, jest co najwyżej tylko ciekawostką. Podaje się go z dużym opóźnieniem w stosunku do PKB i mniejszą częstotliwością. Mimo wszystko jego "czystość" może doprowadzić do ciekawych konkluzji. Zrobimy takie porównanie na trzy: między WIG, PKB, ANNI. Analizując te same roczne dane co poprzednio (1996-2015, 20 obs), przestudiujmy krótko w Gretlu wzajemne korelacje seryjne:

a) między tempem PKB Polski a różnymi opóźnieniami tempa WIG (korelogram wzajemny)

Liczbowo:

Co tu widzimy?
1) WIG już rok wcześniej przewiduje z siłą 0,6 jak zmieni się PKB i podąża w tym kierunku. Np. w 2008 r. spadł, bo przewidywał spadek wzrostu PKB w 2009 r. (istotnie wzrost gosp. spadł). Jest to zachowanie oczywiście zgodne z teorią efektywnego rynku.
2) Występują także inne korelacje w czasie, które zamazują ten obraz. Na przykład istnieje bardzo słaba korelacja PKB danego roku i WIG z tego samego roku (0,17). Nie jest jasne czy ta korelacja w ogóle jest prawdziwa. Dodatkowo pojawiają się też dość silne korelacje dalekich rzędów.

Poniżej dla porównania grafika relacji opóźnionego o 1 rok WIG z PKB:

 
Widać, że WIG przewiduje co się stanie z PKB już rok naprzód. A dodatkowo przecież dane o gospodarce udostępniane są z dużym opóźnieniem. Powoduje to, że znacznie trudniej jest przewidywać giełdę niż to sugerują analitycy, którzy dodają nawet wykresy tego "dowodzące". Co chwilę czytamy artykuły czy to na blogach czy serwisach, że WIG naśladuje krajową gospodarkę. Okazuje się to fałszem: jest wręcz na odwrót (dla jasności: chociaż to badanie jest tylko z lat 1996-2015, to dla lat 1995-2016 korelacja zmian WIG z PKB jest jeszcze mniejsza i wynosi zaledwie 0,128, a opóźnionego o 1 rok 0,4).

b) między tempem ANNI Polski a różnymi opóźnieniami tempa WIG

Liczbowo:

Z tej perspektywy obraz jest klarowniejszy. Indeks przewiduje zmiany ANNI 1-2 lata do przodu, a jednocześnie korelacje wsteczne (tzn. z ujemnymi opóźnieniami) są dużo słabsze. Ponadto nie występuje już żadna korelacja między PKB a indeksem okresu bieżącego. (Najprawdopodobniej wynika to z tego, że na ANNI ma miejsce silniejsza autokorelacja 1 rzędu niż PKB (0,51 vs. 0,36) właśnie dzięki temu, że jest oczyszczony z amortyzacji).
Ponieważ ANNI zawiera realne dochody ludności, to znaczy że zmiany WIG nie odzwierciedlają zmian dochodów z danego okresu, a jedynie przewidują przyszłe dochody. Tak więc tempo wzrostu polskiego PKB na 2018 nie będzie miało większego wpływu na giełdę w tym samym roku. 

Poniżej dla porównania grafika relacji opóźnionego o 1 rok WIG z ANNI:

Nieco gorsza korelacja ANNI niż w przypadku PKB wynika z tego, że ANNI Polski silniej naśladuje ANNI UE z rocznym opóźnieniem, a jednocześnie WIG także przewiduje ANNI UE rok naprzód (albo po prostu koreluje naprzód).


Powyższa analiza zakłada jednak, że pomiędzy PKB (lub ANNI) a WIG nie ma pośrednich zmiennych. Może być jednak tak, że PKB koreluje z pewnym opóźnieniem z gospodarkami zagranicznymi, a wtedy WIG przewiduje przyszłość gospodarczą poprzez naśladowanie koniunktury innych krajów. Porównajmy najpierw ze sobą takie kategorie jak WIG, PKB i ANNI dla Polski, UE i USA, tworząc macierz korelacji. Oto wyniki:

Rzeczywiście obraz się zmienia. Korelacja między bieżącymi WIG a ANNI_UE równa się 0,27. Co więcej jest znacznie większa niż między WIG a GDP_UE (0,19). Sprawdźmy teraz dokładniej te zmienne na korelogramie wzajemnym:

a) między tempem PKB UE a różnymi opóźnieniami tempa WIG

Wynik ten wskazywałby, że WIG koreluje słabo z bieżącym PKB UE, ale za to przewiduje co będzie rok później, silnie korelując z przyszłością gosp (0,51).

b)  między tempem ANNI UE a różnymi opóźnieniami tempa WIG

Przy niewielkiej liczbie danych korelacja jest nieistotna stat, ale widać, że dla opóźnienia = 0 i 1 jakaś występuje. ANNI dowodzi, że WIG koreluje z gospodarką europejską na bieżąco. Natomiast korelacja z przyszłym 1-szym okresem gospodarczym jest prawdopodobnie spowodowana faktem, że ANNI posiada autokorelacje 1 rzędu i tak naprawdę WIG raczej nie przewiduje przyszłości UE albo robi to w niewielkim stopniu.*
  
c) W takim razie sprawdźmy korelację między ANNI Polski na tle opóźnień ANNI UE:

I rzeczywiście polska gospodarka jest opóźniona w stosunku do UE o 1 rok, to znaczy reaguje z rocznym opóźnieniem, co potwierdza nasze sugestie co do WIG. Ewidentnie 0,27 jest nieprzypadkowo zbliżona do tej, którą zarejestrowaliśmy dla WIG-ANNI_UE, ale przesunięta o 1 okres do tyłu. 

Pomijam w tej analizie USA, żeby zachować jakąś przejrzystość, ale ogólnie wyniki są podobne, przy czym WIG nie reaguje na bieżącą koniunkturę USA, ale także wyprzedza ją o 1 rok.

Ok, to teraz najważniejszy element z całej tej układanki. Gdyby nie to, to cała analiza byłaby tylko ciekawostką bez większego znaczenia. Popatrzmy na:

d) relację między PKB Polski a PKB UE (na tle opóźnień PKB UE):

Zgodnie z tym schematem PKB Polski i UE koreluje z siłą 0,4, a dodatkowo PKB Polski reaguje z 1-rocznym opóźnieniem na to, co się dzieje w UE. Ale przecież zgodnie z ANNI korelacja gospodarek polskiej i UE o zerowym rzędzie opóźnienia praktycznie nie istnieje albo jest bardzo mała (0,13). A skoro wiemy, że ANNI jest bardziej obiektywne, to znaczy, że bieżące zmiany gospodarcze Polski nie odzwierciedlają bieżących zmian UE, tylko z opóźnieniem o 1 rok, natomiast to co pokazuje wzajemna korelacja PKB w pewnym sensie fałszuje rzeczywistość.
Dlatego właśnie WIG szybciej reaguje - po prostu patrzy na UE.

Wniosek końcowy: jeśli decydujemy się na inwestowanie aktywne, powinniśmy bardziej skupiać się zmianach w gospodarce europejskiej (i USA) niż polskiej. Nie znaczy to, że w ogóle należy pomijać Polskę, ale powinna ona stać na drugim planie, bo w dużej mierze reaguje z rocznym opóźnieniem na sygnały z zagranicy.


DODATEK:
* Tezę tę sprawdziłem. Ułożyłem dla zmiennej zależnej ANNI_UE model AR(1) wraz z opóźnioną stopą zwrotu o 1 rok WIG. Dostałem takie wyniki:

Wig opóźniony o 1, tj. wig_1 nie jest istotny. Po opuszczeniu tej zmiennej model się poprawił.
Sugeruje to, że WIG raczej nie przewiduje przyszłości ANNI_UE, który koreluje sam ze sobą. Przy okazji rysuje się pytanie czy model poprawi się gdy użyjemy nieopóźnionego WIG? Powinno tak być. Wyniki tego testu:

Mimo braku istotności, wszystkie kryteria (Akaike - AIC, Bayesa-Schwarza - BIC, Hannana-Quinna - HQC)  poprawiły się. A przecież korelacja pomiędzy (bieżącym) WIG a (bieżącym) ANNI była mniejsza niż pomiędzy opóźnionym WIG a (bieżącym) ANNI (0,27 vs 0,35). Mimo to, taki model jest lepszy, tzn. WIG reaguje bardziej na bieżącą koniunkturę UE.