Wzór na stopę wzrostu wartości wewnętrznej akcji lub dywidendy

Potrafimy już precyzyjnie wycenić akcje. Pozostały jednak pewne tematy poboczne, o których warto więcej powiedzieć. Na przykład poruszono już kwestię różnicy pomiędzy stopą wzrostu dywidendy bądź akcji a stopą wzrostu zysku netto spółki.

W teorii wyceny akcji mamy 5 podstawowych kategorii stóp wzrostu:

1. Stopa zwrotu z kapitału własnego (ROE)
2. Wymagana stopa zwrotu z kapitału własnego (r)
3. Stopa aprecjacji kursu akcji [P(1) - P(0)] /P(0) , P(t) - wartość wewnętrzna w t-tym okresie
4. Stopa wzrostu dywidendy (g)
5. Stopa wzrostu zysku netto spółki (w)

W poprzednim wpisie Prawdziwe znaczenie wskaźnika Cena/Zysk i Cena /Wartość księgowa. Badanie empiryczne dowodziliśmy, że stopa aprecjacji rzetelnej ceny akcji jest równa stopie wzrostu dywidendy:




Stąd pkt 3 = 4 -> liczba kategorii stóp wzrostu redukuje się do czterech.

Wyznaczymy relację pomiędzy każdą z nich.

Z twierdzenia o nieistotności polityki dywidendy wynika, że wartość wewnętrzna akcji obliczona na podstawie modelu dywidendowego (DDF) jest równoważna wartości obliczonej na podstawie modelu przepływów pieniężnych (DCF):



gdzie

P(0) - bieżąca wartość wewnętrzna
D(t) - oczekiwana dywidenda w t-tym okresie
X(t) - oczekiwany zysk netto w t-tym okresie
I(t) - oczekiwane inwestycje w t-tym okresie
r - oczekiwana stopa zwrotu; stopa dyskontowa

Przypomnijmy następnie, że powyższy wzór powstał w oparciu o następującą zależność:



gdzie I(t) = n(t-1)*I(t), X(t) = n(t-1)*X(t), D(t) = n(t-1)*D(t), n(t-1) - liczba akcji w okresie t-1, m(1)P(1) - nowy kapitał powstały z okresowej emisji akcji, m(1) - liczba nowo wyemitowanych akcji w okresie 1.

Oznaczyliśmy również I(t) = k*X(t), ponieważ inwestycje stanowią pewną część zysku netto. k może być nawet większe od 1. Skoro I(t) zostało rozdzielone na dwie części, to k także powinno:



n(t-1) redukuje się, więc:



gdzie:

kr - część zysku netto zatrzymanego w każdym okresie (retained profit)
ke - ilość zewnętrznego kapitału rosnąca w każdym okresie, wyrażona jako część zysku netto w okresie (external profit)


Jednocześnie dowiedziono poprzednio, że przy założeniu stałego średniego tempa wzrostu zysku netto spółki = k*ROE, wartość akcji jest dana wzorem:



A teraz uwzględniając k = kr + ke:



Następnie, skoro zysk netto rośnie w stałym tempie, to możemy założyć, że dywidenda także rośnie średnio w stałym tempie g. Prowadzi to do doskonale poznanego przez nas dywidendowego modelu Gordona:



Czym jest dywidenda? Jest pewna część zysku netto. Akcjonariusze wybierają jaką część zysku zatrzymać w spółce, a jaką wypłacić w formie dywidendy. Jednak zysk zatrzymany powyżej zdefiniowaliśmy jako:



Czyli dywidenda jest to zysk netto minus zysk zatrzymany:



Zysk netto w okresie 0 rośnie w tempie k*ROE, wobec czego zysk netto w okresie 1 wynosi:



W konsekwencji dywidendowy model Gordona zapiszemy w postaci:




Łącząc cashflowowy model z modelem Gordona otrzymujemy relację w postaci równania:



Z tego równania wyznaczamy g:



Jest to wzór na stopę wzrostu wartości wewnętrznej akcji lub dywidendy. Zwróćmy uwagę, że jeśli ke = 0, czyli spółka nie finansuje inwestycji kapitałem zewnętrznym, wtedy g = k*ROE = w, czyli akcje i dywidendy rosną w tempie wzrostu zysku spółki.

Jeśli spółka wypłaca konsekwentnie dywidendy, wówczas określenie kr nie jest trudne. Jeśli zaś dywidendy są bardzo nieregularne, można je pominąć, co oznacza, że kr = 1. Zauważmy, że w takiej sytuacji g = r. Jest to oczywiste: skoro cały zysk netto spółki pozostaje w spółce, to dywidendy nie są wypłacane, a więc całkowity zysk dla inwestora pochodzi jedynie z aprecjacji kursu akcji. W artykule Teoria ekonomii jak filozofia Wschodu pokazano natomiast, że całkowita stopa zwrotu inwestora to właśnie stopa dyskontowa r. Tym samym w przypadku braku dywidend całkowita stopa zwrotu równa się g = r.

Jeżeli chodzi o ke, to jest to wielkość abstrakcyjna i trudna do określenia dla inwestora. Możemy się jej pozbyć.

Wiedząc, że



możemy podstawić do wzoru na g:



Przekształcając go, otrzymamy wzór:





Przykłady.

Z praktycznego punktu widzenia zarówno w, ROE jak i r są to dane empiryczne. W poniższych przykładach założymy, że są to stałe o wartościach:

w = 0.07
ROE = 0.16
r = 0.105

Przykład 1.
kr = 0.1

Podstawiając dane do wzoru na g dostajemy g = 0.049.

Zatem dywidendy i akcje rosną w tym przypadku wolniej niż zysk spółki.


Przykład 2.
kr = 0.6.

Podstawiając do wzoru na g, dostaniemy g = 0.08. Zatem tym razem akcje i dywidendy rosną szybciej niż zysk spółki. Dzieje się tak, ponieważ ke staje się ujemne (spółka nabywa swoje akcje). Może wystąpić szczególny przypadek, gdy ke > 0, a pomimo tego wartość wewnętrzna akcji i dywidenda będą rosły szybciej niż zysk spółki. Mianowicie, będzie to sytuacja, gdy cena akcji jest ujemna. Ponieważ ten przypadek nie istnieje na rzeczywistym rynku (a szkoda), to wnioskujemy, że...

Jeżeli ke > 0, to stopa wzrostu ceny akcji i dywidendy będzie mniejsza od stopy wzrostu zysku spółki. Jeżeli ke < 0, to stopa wzrostu ceny i dywidendy będzie większa od stopy wzrostu zysku spółki.

Przykład 3.
kr = 0.438

Obliczamy g = 0.07

Zauważmy, że g = w, czyli w tym przypadku zyski inwestora rosną dokładnie tak samo jak zyski spółki. Wynika to stąd, że:

ke = w/ROE - kr = 0.07/0.16 - 0.0438 = 0


Widzimy, że jeżeli nowo wyemitowany kapitał nie występuje, tj. ke = 0, to kurs i dywidenda rośnie dokładnie w tempie wzrostu zysku spółki. Jak tylko jednak ten kapitał się pojawia, dywidenda i akcja rosną w tempie różnym od zysku spółki.

Z praktycznego punktu widzenia najważniejsze nie jest jednak to co się dzieje przez ke, ponieważ jest to wielkość, która i tak została przez nas ukryta w ostatnim wyprowadzonym wzorze, więc nas nie interesuje. Najistotniejsze jest to, że za pomocą kr można manipulować stopą wzrostu wartości wewnętrznej akcji i dywidendy. Pomimo tej manipulacji całkowity zysk z akcji jednak się nie zmieni, dopóki stopa r = const.


Literatura:

1. M. H. Miller, F. Modigliani, Dividend Policy, Growth, and the Valuation of Shares, The Journal of Business, Volume 34, Issue 4, October 1961, 411-433;

Prawdziwe znaczenie wskaźnika Cena/Zysk i Cena /Wartość księgowa. Badanie empiryczne

Dwa ulubione wskaźniki inwestorów: Cena/Zysk oraz Cena/Wartość księgowa - oto temat na dziś. Czytam często taką oto "prawdę objawioną" na temat pierwszego z nich (nie tylko na forum giełdowym, ale także w artykułach pisanych przez profesjonalistów):

C/Z tej spółki < 10, więc jest ciągle tania. (czyli znajduje się poniżej wartości fundamentalnej)

Albo:

C/Z tej spółki > 20, więc jest już droga. (czyli jest powyżej wartości fundamentalnej)

Na temat drugiego:

C/WK tej spółki < 1 (>2), więc jest ciągle tania (już droga).


Mam wrażenie, że 90% inwestorów i analityków powtarza te puste frazesy bez zastanowienia. Zakorzeniły się one w świadomości giełdowej tak silnie, że nawet jeśli wiemy, że to tylko frazes, to i tak w praktyce się nim posługujemy.

Przestudiujemy zagadnienie wskaźnika Cena/Zysk, a następnie Cena/Wartość księgowa, po to aby raz na zawsze rozprawić się ze starymi mitami, choć zdaję sobie sprawę, że to niewiele pomoże - w końcu niczego nowego nie odkrywam. Może jedynie opisuję wszystko na swój sposób i pakuję w jeden ciąg myślowy, bez żadnych przystanków - każdy kolejny element wiąże się z poprzednim.

W poprzednim artykule "Twierdzenie o nieistotności polityki dywidendy" dowiedliśmy, że model DDF jest równoznaczny z DCF, co zapisaliśmy następująco:



gdzie

D(t) - oczekiwana dywidenda w t-tym okresie
X(t) - oczekiwany zysk netto w t-tym okresie
I(t) - oczekiwane (nowe) inwestycje w t-tym okresie
r - oczekiwana stopa zwrotu; stopa dyskontowa

Przypomnijmy, że ten zapis DCF wynika z założenia, że finansujemy inwestycje tylko za pomocą zysków zatrzymanych i emisji akcji:



gdzie
m(1) - liczba nowych akcji w okresie 1
P(1) - wartość akcji w okresie 1

W rzeczywistości ostatnim możliwym źródłem finansowania są nowe długi. Łatwo zauważyć, że jeśli będziemy chcieli wycenić tylko kapitał własny firmy, wtedy to dodatkowe finansowanie niczego nie zmieni w powyższym wzorze:

Z drugiej jednak strony trzeba pamiętać, że zwrot z inwestycji odzwierciedlony we wzroście zysku netto powstaje po uwzględnieniu wszystkich nowych inwestycji:

W artykule Analiza tempa wzrostu zysku firmy pokazałem, że jeśli oczekiwana rentowność kapitału własnego jest stała w czasie, tzn.

ROE = Oczekiwany zysk netto/(Kapitał własny) = const

wtedy mamy:



A więc można uniknąć używania inwestycji z długami. 
Zainwestowany kapitał stanowi pewną część zysku netto, tj. I(t) = k*X(t). Czyli:




Podstawiając do ogólnego wzoru na DCF otrzymujemy:



ROE*k to po prostu stopa wzrostu zysku netto. Niech ROE*k = w. Stąd k = w/ROE. Ponieważ otrzymujemy szereg geometryczny o nieskończonej liczbie wyrazów, to przy założeniu w < r, model sprowadza się do zmodyfikowanego modelu Gordona. Ponieważ zaczynamy od t = 1, dla pierwszego wyrazu X(t-1) = X(0). W konsekwencji otrzymujemy następujący model:



Powyższy wzór czasami nazywany jest modelem Grahama i Dodda.

1) Wskaźnik Cena/Zysk

Jeśli podzielimy obie strony równania przez zysk netto, dostaniemy wskaźnik Cena/Zysk:



Należy tu zwrócić uwagę, że wzrost zysku netto (w) nie jest równoważny wzrostowi dywidendy (g). Czyli w ogólnym przypadku:



Z dywidendowego modelu Gordona:



wynika, że stopa dyskontowa jest równa sumie stopy oczekiwanej dywidendy i stopy wzrostu dywidendy:



Jednak w artykule Teoria ekonomii jak filozofia Wschodu pokazano, że całkowity zwrot inwestora wynosi:



Jeśli podzielimy obie strony równania przez P(0), okazuje się, że stopa dyskontowa jest równa:



Czyli łącząc obydwie zależności widzimy, że:



Stopa wzrostu dywidendy jest równa stopie aprecjacji waloru. Zysk spółki natomiast nie musi rosnąć w tym tempie.


Badanie empiryczne

Na koniec sprawdzimy czy wyprowadzony model jest zgodny z rzeczywistością. Potrzebna nam duża liczba danych i coś reprezentatywnego. Idealnym przykładem będzie S&P 500. Ponadto potrzebujemy określić:

- stopę dyskontową r
- ROE
- stopę wzrostu zysków w

Dane obejmą lata od początku 1933 do końca 2009 r. Użyłem danych na stronie Shillera (http://www.multpl.com). Zacznijmy od stopy dyskontowej. Już wiemy, że stopa dyskontowa jest to nie tylko oczekiwana stopa zwrotu z indeksu S&P 500, ale także stopa dywidendy z tego indeksu. Musimy więc dodać stopę zwrotu z indeksu do stopy zwrotu z dywidendy. U Shillera podane kapitały są wyrażone w wartości realnej.Zamienimy wszystkie wartości na nominalne. Tutaj warto coś powiedzieć. Chociaż stopa inflacji w USA jest najczęściej brana na poziomie 2,5-3%, to w rzeczywistości jest to prawda dla okresu od 1900 r. Już po roku 1932, inflacja silnie rośnie i od tego okresu, tj. od 1933 r. średniorocznie wynosi aż 3,56%. Jest to zasługa programów FED-u mających na celu wydobycie gospodarki z zapaści pod kryzysie 1929-1932 i późniejszego silnego zwiększania podaży pieniądza.
Średnioroczna realna stopa zwrotu z S&P 500 wyniosła w badanym okresie 3%. Obliczamy więc nominalną stopę aprecjacji na podstawie wzoru, który wyprowadzono we wpisie Realna stopa procentowa nie taka realna?:



Podstawiono g, ponieważ jak wyżej wykazano, stopa wzrostu dywidendy jest równa stopie aprecjacji kursu. g(i) w tym przypadku oznaczono jako realną stopę.

Stopa dywidendy wyniosła 3,84%. W sumie

r = 6,67% + 3,84% = 10,51%.

Przypomnijmy wpis Średnioroczna realna stopa zwrotu DJIA wraz ze stopą dywidendy , gdzie przedstawiono statystykę stóp zwrotu dla DJIA dla różnych okresów. Średnia stopa zwrotu dla lat 1933-2009 wyniosła 11,1%, czyli blisko obliczonej przed chwilą stopy dyskontowej. Wydaje się, że nasza nieco mniejsza jest poprawniejsza i bardziej reprezentatywna. Trzeba pamiętać, że DJIA jest indeksem ważonym cenowo - zakłada, że każda spółka wchodząca w jego skład ma tylko 1 akcję.

Drugi czynnik to ROE. Wykorzystałem ten artykuł bloga Avivy, w którym autor także wycenia S&P 500 za pomocą tego samego modelu. Podaje statystykę ROE dla lat 1976-2009. Średnia wyniosła 15,4%. Dane z takiego źródła są jednak ryzykowne. Sprawdziłem na wszelki wypadek statystykę podaną w książce "Security Analysis" Grahama i Dodda. Dla lat 1976-1985 średnie ROE wyniosło 14,24%, czyli mniej. Nie wiadomo także czy identycznie dokonywano obliczeń wskaźnika. U Grahama i Dodda za kapitał własny w mianowniku ROE podstawiono średni kapitał własny obliczony jako średnia z początku i końca roku. Poprzestańmy na blogu Avivy. Autor podaje źródło statystyk Standard&Poors i Bloomberg, więc mu zaufamy. Przyznam, że próbowałem znaleźć te dane na tych stronach, ale nie mogłem się do nich dokopać.
Czy możemy przyjąć do naszej analizy ROE = 15,4%? Autor tego artykułu tak właśnie robi. Można mieć jednak co do tego wątpliwość. Załóżmy, że kapitał własny jest tutaj obliczony jako średni kapitał własny w roku, czyli (kapitał własny na początku roku + kapitał własny na końcu roku)/2. To oznacza, że roczny zysk netto, który został wykazany w rachunku wyników został wygenerowany przez ten kapitał własny tylko w pewnej części. Kapitał na końcu roku sam zawiera zysk wygenerowany przez wcześniejszy kapitał. Nas powinna interesować sytuacja, gdy kapitał własny z początku roku generuje zysk z całego roku. Aby to zobaczyć, przyjrzyjmy się raz jeszcze wzorowi:



Tak więc, podawane ROE = 15,4% nie jest tym ROE, które nas interesuje, bo nas interesuje jedynie to ile kapitał wygeneruje przyszłego zysku. Wynika z tego, że nasze właściwe ROE będzie równe

ROE = X(t) / (średni kapitał własny w okresie t-1) = X(t-1)*(1+w) / (średni kapitał własny w okresie t-1) = ROE'*(1 + w)

gdzie ROE' = X(t)/(średni kapitał własny w okresie t).

Będziemy zapisywać:



gdzie

BV(t-1) - wartość księgowa (book value) na akcję w (t-1)-tym okresie, czyli kapitał własny na akcję w (t-1)-tym okresie.


Średnia realna stopa wzrostu zysku spółek S&P 500 wyniosła w danym okresie 2,7%. Czyli nominalnie:

w = 0,027(1+0,0356) + 0,0356 = 0,06356 = 6,36%.

Czyli

ROE = 0,154*(1 + 0,0636) = 0,1638 = 16,38%.

Ostatecznie podstawimy dane

r = 10,51%.
ROE = 16,38%
w = 6,36%

do wzoru:



Porównajmy ten wynik ze średnią historyczną Cena/Zysk. U Shillera od 1933 r. średnie C/Z wyniosło 17,44. Zwróćmy jednak uwagę, że nie jest to wskaźnik Cena/Zysk w tym sensie, że kurs indeksu dzielimy przez obecny zysk netto spółek. Zysk netto zostaje obliczony jako średnia z 10 ostatnich lat. Ja obliczyłem Cena/Zysk "normalnie", czyli (obecna cena/obecny zysk). W ten sposób otrzymałem średnią 16,83.

Zauważmy, że wystarczy tylko minimalnie zmniejszyć stopę dyskontową:



aby otrzymać empiryczną wartość.

Cena/Zysk zależy więc od trzech czynników (r, ROE, w), a najsilniej od wymaganej stopy zwrotu r. Wyższe ryzyko i wyższe od rynku r będzie powodować, że cena/zysk będzie mniejsze od rynkowej, a w przypadku mniejszego ryzyka i mniejszego r wskaźnik ten będzie wyższy. Jeśli dla S&P 500 P/X > 17, powstaje ryzyko przewartościowania akcji. Jeśli P/X < 16, powstaje możliwość niedowartościowania. Jednak poszczególne spółki mogą mieć zupełnie inne kryteria.


2) Wskaźnik Cena/Wartość księgowa

Zauważmy, że nasz model można łatwo przekształcić. Skoro wiemy, że ROE = ROE'*(1+w) = X(0)*(1+w)/BV, to otrzymujemy:



A to można jeszcze raz przekształcić:



Czyli wartość wewnętrzna równa się:



lub:



Jeśli ROE równa się stopie dyskontowej, wartość wewnętrzna akcji jest równa wartości księgowej na akcję. Jeśli ROE > r, wartość akcji przewyższa wartość księgową. Jeśli ROE < r, wartość akcji jest niższa od wartości księgowej. Pamiętajmy, że w < r. W przeciwnym wypadku pojawiają się paradoksy, ponieważ cena skacze do nieskończoności (szereg jest rozbieżny).

A więc Cena/Wartość księgowa wyraża się wzorem:




Badanie empiryczne
Z danymi na temat cena/wartość księgowa dla S&P500 jest ciężko, jakoś nie można tych danych łatwo dostać (i już zaczynam tworzyć teorie spiskowe). Znalazłem jedną poważniejszą pracę - można ją tutaj przeczytać - gdzie pokazany został wykres Price to book. Dane dotyczyły lat 1979 - 2000, a więc zdecydowanie jest to niereprezentatywna próba dla naszego badania. Na dodatek w tym czasie wskaźnik był niestacjonarny, a więc średnia nie istniała. Można wyciągnąć oczywiście średnią i tutaj wynosiła ona ok. 2,3, jednakże jest to sztuczna operacja. Ale niech będzie - uznamy, że 2,3 to średnie P/BV. Zobaczmy co wychodzi z modelu:



A więc z tej perspektywy model nadal doskonale sobie radzi.


Podsumowując badania, trzeba stwierdzić, że wyniki są zadziwiające, a wnioski fascynujące. W długim okresie model działa znakomicie. Setki badań wykazuje, że ludzie nie zachowują się w pełni racjonalnie. A pomimo tego w uśrednieniu czasowo-przestrzennym dostajemy strukturę racjonalną - rynek dąży do efektywnego. Teoria ekonomii działa, a wszelkie przekształcenia, których dokonaliśmy mają sens.


Literatura:

1. B. Graham, D. Dodd, Security Analysis, Fifth Edition, s. 79
2. M. H. Miller, F. Modigliani, Dividend Policy, Growth, and the Valuation of Shares, The Journal of Business, Volume 34, Issue 4, October 1961, 411-433;
3. B. Brench, A. Sharma, B. Gale, C. Chichirau, J. Proy, A Price To Book Model Of Stock Prices
4. M. Cichosz, Czy fundamentalna wartość S&P 500 jest powyżej 1300 pkt.?, http://blog.avivainvestors.pl