To pytanie można byłoby też odwrócić: Jak to może być, że trajektorie chaotyczne charakteryzują się cyklicznością? Przecież chaos wyklucza porządek, tj. cykliczność!
Jeśli chodzi o pierwsze pytanie, to warto podkreślić, że nowoczesna teoria cykliczności uległa w ostatnich dziesięcioleciach drastycznej przemianie.
"Coraz lepiej zdajemy sobie sprawę z tego, że w świecie zjawisk zachodzących wokół nas, na wielu poziomach budowy materii i w rozmaitych skalach czasu, przebiegają procesy porządkowania i niszczenia porządku. Na razie wiedza o tych procesach jest niepełna i mało dokładna, dlatego w tej dziedzinie wiele jest jeszcze do zbadania i naukowcy będą przez wiele lat mieli co robić. Jednak już teraz wiemy, że Wszechświat na pewno nie jest podobny do kartezjańskiego zegara, w którym czas płynie jednostajnie i może być traktowany jako absolutny zewnętrzny parametr, porządkujący stany w istocie podobne do siebie. Poszukując metafory bardziej odpowiedniej i bogatszej powiedziałbym raczej [to znaczy nie ja, tylko autor cytatu], że Wszechświat bardziej niż zegar przypomina skomplikowaną symfonię, której melodię poznaliśmy dotąd bardzo wyrywkowo." [M. Tempczyk, Skale czasu układów dynamicznych, Zagadnienia Filozoficzne w Nauce, XXVIII-XXIX / 2001, s. 8].
W niedawnym czasie wiedza naukowców o o długookresowym działaniu naszego układu planetarnego znacznie się poszerzyła się. "W roku 1988 G.J. Sussman i J. Wisdom z MIT stosując komputery zbadali ruch planet w okresach czasu rzędu setek milionów lat i wykazali, że ruch Plutona jest chaotyczny z czasem charakterystycznym rzędu pięćdziesięciu milionów lat. Rok później J. Laskar z Bureau des longitudes zbadał dynamikę Układu Słonecznego w okresie dwustu milionów lat i wykazał, że ruch planet najbliższych Słońca, w tym także Ziemi, jest chaotyczny z okresem rzędu dziesięciu milionów lat. Laskar odkrył także, że ruch Wenus jest chaotyczny w stopniu umożliwiającym zmianę kierunku obrotu tej planety wokół osi. Ponieważ obecnie kręci się ona przeciwnie do ruchu obrotowego pozostałych planet, istnieje uzasadnione podejrzenie, że w ciągu swego istnienia zmieniała ona kilka razy kierunek obrotu."[M. Tempczyk, ibidem, s. 7].
Jak widzimy omawianie cykliczności w kontekście chaosu nie dotyczy tylko cykli giełdowych. Można byłoby powiedzieć, że sam czynnik ludzki - świadomość - potrafi zaburzyć nie tylko okresowość na rynkach, ale nawet cykle biologiczne i klimatyczne. Ale świadomość to po prostu pewna zmienna, którą można byłoby potraktować jako czynnik wymuszający chaos. Zmiennych może być jednak wiele i jak się okazuje mają one wpływ (choć dopiero po długim okresie czasu) na coś, co wydawałoby się całkowicie stabilne i tak ważne dla nas - ruch Ziemi. Jeśli więc ruch Ziemi jest chaotyczny, to czy można o nim mówić jako o periodycznym? Można, ale należy mieć na uwadze, że jest to ruch w przybliżeniu okresowy. Cykle giełdowe będą również istnieć - jednak w sposób ułamkowy.
Jeśli chodzi o drugie pytanie, to już częściowo na nie odpowiedziałem powyżej. Można powiedzieć, że cykle chaotyczne są "ułamkowe". Oznacza to, że są niestabilne - po pewnym czasie przestają istnieć, stają się "bardziej chaotyczne". Jednak istnienie niestabilnych orbit okresowych w nieliniowych układach dynamicznych jest faktem matematycznym. Dowód został przedstawiony na przykład w pracy doktorskiej Zbigniewa Galiasa, Analiza i przetwarzanie sygnałów chaotycznych, Kraków 1995).
Przede wszystkim należy wiedzieć, że typowa trajektoria odwiedza wszystkie części atraktora i przechodzi nieskończenie wiele
razy dowolnie blisko każdego punktu należącego do atraktora. [Z. Galias, Analiza i przetwarzanie sygnałów chaotycznych, Kraków 1995, s. 19].
Jeśli więc znajdziemy trajektorię, która będzie przynajmniej kilka razy pod rząd, w tym samym czasie (czyli zgodnie z jakimś okresem) powracać bardzo blisko punktu startu, to możemy przyjąć, że jest to ruch okresowy. Nie jest to więc ruch stricte okresowy, czyli taki, że punkt końcowy-powrotny idealnie łączy się z punktem startu. Można by powiedzieć, że mamy tu ruch quasi-okresowy (prawie okresowy). Ruch quasi-okresowy jest czymś pomiędzy ruchem całkowicie okresowym a chaotycznym. Quasi-okresowa orbita różni się tym od chaotycznej, że jeśli znamy na nią wzór, to w każdym momencie możemy przewidzieć jej położenie i nie ma czegoś takiego jak wrażliwość na warunki początkowe. Quasi-okresowa orbita jest specyficznym złożeniem orbit okresowych. Przykładem jest f = cos(2^(1/2)*x) + cos(x). Na dole mamy wykres tej funkcji.
Jeśli otoczenie danego punktu trajektorii będzie wystarczająco małe i odległość pomiędzy dwiema quasi-okresowymi trajektoriami będzie mniejsza od średnicy tego otoczenia, to możemy spokojnie przyjąć, że te dwie trajektorie odpowiadają tej samej trajektorii okresowej. Jeśli dysponujemy nieskończenie długim ciągiem próbek pochodzących z trajektorii odwiedzającej wszystkie części atraktora to zmniejszając średnicę otoczenia będziemy znajdować coraz więcej orbit okresowych zanurzonych w dziwnym atraktorze. W praktyce jednak dysponujemy ciągiem skończonym. Wybierając zbyt małe otoczenie nie wykryjemy istnienia orbit okresowych, zwłaszcza tych, które leżą w rzadziej odwiedzanych częściach atraktora. Wybór zbyt dużej wartości średnicy otoczenia spowoduje, że nie znajdziemy wielu z dłuższych orbit okresowych, które leżą blisko orbit krótszych. [Op. cit. Z. Galias, ibidem, s. 26].
Poniżej przedstawiono przykład znalezionej orbity okresowej w układzie Lorenza (wynika z twierdzenia Pilarczyka, 2000).
Poniżej przedstawiono przykład wybranych orbit okresowych odwzorowania Henona (rys. z Z. Galias, ibidem, 29). Są to tylko punkty - jest to bowiem odwzorowanie dyskretne.
Okazuje się, że najłatwiej odkrywać orbity okresowe za pomocą odwzorowań Poincarego - na mapach Poincarego. Wtedy bowiem skupiamy się jedynie na punktach przecięcia trajektorii z pewną płaszczyzną. Jeśli obserwujemy, że punkty powrotne po określonym czasie znajdują się w małym dozwolonym otoczeniu, otrzymujemy orbitę okresową.
Mapa Poincarego pozwala także lepiej zrozumieć fraktalność atraktora chaotycznego. Ponieważ każda trajektoria przechodzi nieskończenie wiele razy dowolnie blisko każdego punktu należącego do atraktora, mapa będzie bardzo "zwartym" obiektem. A jednak, jeśli obiekt ten leży na płaszczyźnie, to ze względu na brak ciągłości pomiędzy punktami, nie będzie on posiadał dwóch wymiarów, choć intuicyjnie powinien. Na przykład atraktor Henona, który wcześniej przedstawiałem, posiada wymiar fraktalny (ułamkowy) wynoszący ok. 1,28. Pomimo, że trajektoria chaotyczna może być ruchem całkowicie ciągłym, to już ze względu na to, że mapa Poincarego posiada wymiar ułamkowy, atraktor chaotyczny zanurzony w trójwymiarowej przestrzeni fazowej, nie będzie posiadał wymiaru rzędu 3, ale pomiędzy 2 a 3 (jeśli bowiem byłby trójwymiarowy, obraz płaszczyzny rozcinającej go w pewnym miejscu powinien mieć dokładnie dwa wymiary). Na przykład atraktor Lorenza posiada wymiar fraktalny ok. 2,06 (tak mało, bo te jego listki są prawie dwuwymiarowe). Jeśli rozpatrujemy rynki kapitałowe, to prawdopodobnie pierwszym, który odkrył istnienie atraktorów chaotycznych jest E. E. Peters, który w książce "Teoria chaosu a rynki kapitałowe" opisuje swoje wyniki i tak: dla S&P 500 wymiar fraktalny wynosi 2,33. Dla MSCI Niemcy 2,41, dla SCI Wielka Brytania 2,94 oraz dla MSCI Japonia 3,05. Oznacza to, że dla trzech pierwszych rynków ruch trajektorii można modelować za pomocą trzech zmiennych, a ostatni japoński rynek za pomocą czterech zmiennych.
Przypomnę, że przedstawiony na tym blogu model składa się z trzech zmiennych: nastroju (chciwość, strach), niezdecydowania (niepewności) oraz czynnika fundamentalnego ("przyspieszenia" lub "opóźnienia" kapitału). Zauważmy, że całą przestrzeń fazową tworzą ogólnie dwa czynniki: psychologiczny i fundamentalny, przy czym pierwszy dzieli się na nieracjonalny (ograniczenie racjonalny) i racjonalny.
Wynika z tego, że nasz model można przystosować do faktycznej rynkowej trajektorii (z wyjątkiem rynku japońskiego), gdyż atraktor o mniej niż trzech wymiarach można zanurzyć w przestrzeni fazowej o trzech zmiennych.
Fraktalność atraktora można w pewnym sensie przełożyć na fraktalność szeregu czasowego pewnej zmiennej trajektorii. O ile fraktalność atraktora jest przestrzenna, o tyle fraktalność szeregu czasowego jest czasowa. Z punktu widzenia realizacji procesu stochastycznego, rozkład prawdopodobieństwa jest w każdej skali czasowej taki sam. Jednostki czasu możemy przecież dowolnie dobierać - i to właśnie stąd wynika. Jeśli więc wyobrazimy sobie atraktor miesięcznej stopy zwrotu, to teoretycznie atraktor tygodniowej stopy zwrotu powinien być identyczny. Wykresy dzienne i tygodniowe cen akcji powinny być nieodróżnialne od miesięcznych. Rzeczywistość okazuje się jednak bardziej skomplikowana - dla dziennych i tygodniowych stóp zwrotu wykresy są dużo bardziej poszarpane i nieprzewidywalne niż dla miesięcznych stóp zwrotu (Por. Peters, ibidem, s. 113). Realny proces na giełdach nie jest więc w pełni samopodobny. Z czego to wynika? Dodatnia korelacja pomiędzy dziennymi stopami zwrotu jest mniejsza niż korelacja pomiędzy tygodniowymi stopami zwrotu, a ta jeszcze mniejsza niż pomiędzy miesięcznymi stopami zwrotu. Widocznie dzienne stopy zwrotu mają większą skłonność do powrotów do średniej. Z czasem jednak korelacja pomiędzy miesięcznymi zwrotami stabilizuje się, tak że jedno, kilku-, kilkunasto- i kilkudziesięciomiesięczne wykresy stają się statystycznie nierozróżnialne. W końcu, po wielu miesiącach, korelacja (pamięć rynku) zaczyna spadać do zera.
Doszliśmy wreszcie do końcowego praktycznego wniosku. Wykrywanie orbit okresowych w układach chaotycznych umożliwia tzw. stabilizację orbit, czyli sterowanie układów chaotycznych. Skoro można znaleźć trajektorię okresową o co najmniej kilku zmiennych, to tym bardziej można znaleźć trajektorię o jednej zmiennej, tzn. okresowy szereg czasowy. Jeśli tę zmienną stanowi stopa zwrotu, to znaleźliśmy swego rodzaju cykl giełdowy. Dzienna stopa zwrotu będzie zawierać większy szum i nie znajdziemy widocznej okresowości. Jednak coraz większe "otoczenie czasowe" pozwoli wykryć coraz lepiej dodatnio (nieliniowo) skorelowane stopy zwrotu.
Można powiedzieć, że Peters wykrył takie "orbity okresowe". Badał on różne rynki kapitałowe, biorąc za okres 1 miesiąc. Jego wyniki są następujące: w USA tracimy zdolność do prognozowania po ok. 4 latach (48 miesięcy), dla Wielkiej Brytanii pamięć rynku wynosi 36 miesięcy, a Japonii 44 miesiące. Z kolei z analiz N. Siemieniuka w pracy "Fraktalne właściwości polskiego rynku kapitałowego" wynika, że polski rynek kapitałowy tracił pamięć po 218 tygodniach, czyli 55 miesiącach. Ze względu na mniejszą liczbę danych autor brał za okres tydzień. Można więc sobie wyobrazić, że miesięczna lub tygodniowa stopa zwrotu posiada trajektorię, która jest okresowa przez czas odpowiedni dla wybranego rynku, przebywając w pewnym "skorelowanym" obszarze. Po tym okresie destabilizuje się - przechodzi w całkowity chaos. Można byłoby powiedzieć, że początkowo raczej jest to trajektoria quasi-okresowa, bo wykryte cykle są cyklami przeciętnymi na przestrzeni lat i trudno mówić tu o pełnej periodyczności.
Brak komentarzy:
Prześlij komentarz