Jak prawidłowo obliczać procenty składane dla niepewnych aktywów?

Różni analitycy kuszą ludzi inwestowaniem na giełdzie, przedstawiając im zasadę działania procentu składanego. Najnowszy wpis z tej serii pojawił się dziś na blogu https://pokonacgielde.blogspot.com/2018/04/efekty-procentu-skadanego-w-dugim.html. W tym przypadku autor dodatkowo błędnie przypisuje siłę inflacji do napędzania giełdy. W artykule Czy inflacja jest dobra dla akcji?  podałem dowody empiryczne, że stopy zwrotu są ujemnie skorelowane z inflacją. Ale to akurat osobny temat.

Zastanawialiście się kiedyś czy do procentu składanego wyznaczającego przyszły zysk brać średnią arytmetyczną czy geometryczną? Intuicyjnie wydaje się, że geometryczna jest poprawniejsza. Nie jest to do końca prawda. Gdyby oczekiwana stopa zwrotu była znana (a stopy zwrotu niezależne od siebie), to powinniśmy stosować średnią arytmetyczną. Gdy mamy do czynienia z lokatami, to średnia arytmetyczna staje się równa średniej geometrycznej i dlatego obydwa podejścia są tożsame. Sytuacja się zmienia na instrumentach ryzykownych. W tym przypadku oczekiwana stopa zwrotu może być znana albo nieznana. Jeśli jest znana, to, jak wyżej napisałem, stosujemy średnią arytmetyczną. Jeśli jest nieznana - jak to ma miejsce najczęściej na rynkach - sytuacja się komplikuje. W uproszczeniu, gdy mamy do czynienia z niepewnością, porada jest następująca:
* jeśli interesuje nas krótki okres czasu, to nadal stosujemy średnią arytmetyczną,
* jeśli interesuje nas średni okres czasu, to stosujemy średnią ważoną ze średniej arytmetycznej i geometrycznej,
* jeśli interesuje nas długi okres czasu, to stosujemy średnią geometryczną,
* jeśli interesuje nas bardzo długi okres czasu, tak długi, że przekracza długość próby historycznej, to stosujemy "ukaraną średnią geometryczną" z powodu niepewności co do przyszłości.

Przypomnę, że w artykule W poszukiwaniu nieznanej wartości oczekiwanej - część 1 przeprowadziłem cały dowód (na podstawie rozumowania Blume'a), że w przypadku, gdy nie znamy krótkookresowej oczekiwanej stopy zwrotu, długookresowa oczekiwana stopa zwrotu brutto (tj. zwykła, netto, po powiększeniu o 1) w przybliżeniu będzie dana wzorem:

(1)

gdzie:
T - okres przeszłości; liczba obserwacji do próby
N - okres przyszłości
A - średnia arytmetyczna stopa brutto (liczona dla danych z okresu T). Zapisalibyśmy ją A = 1 + a, gdzie a to średnia arytmetyczna netto, czyli zwykła średnia średnia arytmetyczna.
G - średnia geometryczna stopa brutto (liczona dla danych z okresu T). Zapisalibyśmy ją G = 1 + g, gdzie g to średnia geometryczna netto, czyli zwykła średnia średnia geometryczna.


Przykład: PEKAO SA (PEO).
Okres: od końca 2007 do końca 2017 r., czyli T = 10. Dane roczne ze stooq.pl, który uwzględnia dywidendy, tzn. stopy zwrotu są powiększone o dywidendy brutto. Uzyskane parametry to:
a = 1,08%
A = 1,0108
g = -0,68%
G = 1-0,0068 = 0,9932

* Jeżeli interesuje nas krótki okres, to N = 1 i wtedy wzór (1) sprowadza się do M = A. Czyli rzeczywiście dostajemy średnią arytmetyczną, tj. m = a = 1,08% rocznie.

* Jeżeli interesuje nas średni okres, np. N = 5, wtedy wzór (1) daje M^5 = 1,0157, czyli roczna oczekiwana stopa netto wynosi m = 1,0157^(1/5) - 1 = 0,3% średniorocznie.

* Jeżeli interesuje nas długi okres, np. N = 10 i wtedy wzór (1) sprowadza się do M = G. Czyli rzeczywiście dostajemy średnią geometryczną, tj. m = g = -0,68% rocznie.

* Jeżeli interesuje nas bardzo długi okres, np. N = 20, wtedy wzór (1) daje M^20 = 0,46, czyli roczna oczekiwana stopa netto wynosi m = 0,46^(1/20) - 1 = -3,8% średniorocznie.

Ogólnie biorąc N > T powoduje, że stopa zwrotu jest coraz mniejsza w sposób sztuczny, bo zostaje ukarana za to, że chcemy szacować przyszłość, nie mając wystarczającej liczby danych. Dlatego zalecałbym, aby maksymalnie N = T. Co de facto oznacza, że dla długich okresów czasu stosujemy rzeczywiście średnią geometryczną.

Gdyby występowało ryzyko inwestycji, ale ogólnie roczna oczekiwana stopa zwrotu byłaby znana, to wzór (1) sprowadziłby się do M = A.
(Łatwo zauważymy, że tak będzie, gdy spojrzymy na formułę nr (4) z artykułu, gdzie wyprowadzałem ten wzór - losowy czynnik e(t) wyniesie 0, więc M musi sprowadzić się do średniej arytmetycznej).

I teraz powrócę do tego wpisu bloga, gdzie autor propaguje rachunek procentu składanego. Autorowi wyszła roczna oczekiwana stopa zwrotu PEO równa 6,7% w przeciągu 30 kolejnych lat. Ogólnie teraz widać, gdzie popełnia on błąd (zakłada, że prawdziwa oczekiwana stopa M jest znana) ale zwrócę uwagę na dodatkowy aspekt. Otóż popełnił teoretyczny błąd polegający na włączeniu inflacji do geometrycznej stopy zwrotu. Stopa inflacji to średni wzrost cen z roku na rok. Czyli z punktu widzenia wzoru (1) jest to wzrost 1 rok naprzód. Jeśli podstawimy N = 1, to dostaniemy M = A. Oznacza to, że stopa inflacji wyraża średnią arytmetyczną stopę wzrostu. Ale w takim razie, aby obliczyć M dla PEO autor nie mógł szacować 30 lat naprzód, tj. nie mógł użyć N = 30, a tylko 1. Przypominam, że użycie średniej arytmetycznej jako składanej oczekiwanej stopy zwrotu jest możliwe tylko w trzech sytuacjach:
- oczekiwana stopa zwrotu jest znana,
- N = 1
- T jest bardzo duże, a N niewielkie w stosunku do T. Np. jeśli T = 1000, a N = 10, to z (1) wynika, że M będzie praktycznie równe A.

Nawet jeśli przyjmiemy, że oczekiwana stopa inflacji jest znana (ok. 2%) i wówczas moglibyśmy obliczyć długookresową oczekiwaną stopę inflacji za pomocą średniej arytmetycznej, to już oczekiwana stopa zwrotu z akcji jest nieznana, więc nie możemy połączyć tych dwóch stóp ze sobą. To są po prostu dwie różne kategorie.

Z drugiej strony ktoś zapyta tak, dlaczego nie można uwzględnić inflacji, przecież jeśli przyjmiemy równowagową wersję stopy zwrotu, tj. CAPM, to właśnie powinniśmy ująć inflację, która zawiera się w stopie wolnej od ryzyka, a ta z kolei siedzi w CAPM. To prawda, możemy przyjąć dwa modele jednocześnie: formułę (1) oraz CAPM. One się nie kłócą. Tylko że aby się one ze sobą zgadzały, to CAPM musi także stanowić nieznaną oczekiwaną stopę zwrotu, a skoro powiedzieliśmy, że inflacja siedzi w CAPM, to ta inflacja musi zostać przekształcona w nieznaną oczekiwaną inflację. Ponieważ nieznaną wartość oczekiwaną wyraża wzór (1), to znaczy, że inflacja także musi jemu podlegać. W sumie musimy posiadać dwa rodzaje stóp inflacji: krótkookresową - arytmetyczną oraz długoookresową - geometryczną. Obie byłyby potrzebne do użycia modelu (1). W tym sensie CAPM zostaje podzielony na dwie części: krótkookresową i długookresową. Część krótkookresowa dotyczy średniej arytmetycznej, a długookresowa - geometrycznej.

Nie zawsze da się prosto wyliczyć średnią geometryczną. Normalnie, gdy mamy same stopy, jak w przypadku inflacji, to dodajemy do każdej wartości 1, aby uzyskać stopy brutto, a następnie używamy np. formuły Excela na średnią geometryczną. Sprawa się komplikuje w przypadku zysków, które nie rzadko stają się ujemne. Wtedy nie możemy obliczyć średniej geometrycznej w taki sposób.  Zamiast tego możemy wykorzystać przybliżenie na geometryczną stopę zwrotu, które tutaj wyprowadziłem (nie mylić oznaczeń: w tamtym A to tutaj a). Wzór (1) będzie poprawny dla rozkładu normalnego, toteż ze 4-ch wyprowadzonych przybliżeń, G2 powinien być najlepszy. Przy założeniu normalności rozkładu:

(2)

gdzie V - wariancja.
Częściej interesuje nas odchylenie standardowe, stąd (2) zapiszemy:

(3)

gdzie S - odchylenie standardowe z próby.

Aby wstawić tę formułę do (1), zapiszemy:

(4)

Wstawimy (4) do (1):

(5)

W ostatnich 10 latach (T = 10) średnia inflacja (a) wyniosła 2,02%, tj. A = 1,0202, a odchylenie standardowe (S), 2,03% (Bank Światowy). Podstawmy te dane dla różnych N, aby uzyskać wgląd w oczekiwania na temat inflacji:
* dla N = 1, m = 2,02% = średnia arytmetyczna inflacji,
* dla N = 5, m = 2,01%,
*dla N = 10, m = 2% -> jest to przybliżona średnia geometryczna inflacja,
*dla N = 20, m = 1,98%
*dla N = 30, m = 1,95%.

Jedynie krótkookresowy wzrost, dla N = 1, pozwala na zastosowanie zwykłej średniej stopy inflacji. Dla dłuższych okresów, musi ona zostać odpowiednio pomniejszona. W tym przypadku akurat różnica nie jest duża, ciągle to ok. 2%. Jednak w ogólnym przypadku, gdybyśmy chcieli dodać wzrost zysków, proste łączenie arytmetycznego z geometrycznym tempem wzrostu, okazuje się błędne.

Dowód, że wynagrodzenie netto to ok. 70% wynagrodzenia brutto (ciekawostka)

W ramach ciekawostki pokażę, że wynagrodzenie netto to rzeczywiście ok. 70% wynagrodzenia brutto. Chociaż powszechną praktyką jest szacowanie pensji netto na tym poziomie, to jednak z żadnych znanych mi materiałów nie wyczytamy, że jest to prawidłowe podejście. Powiedzmy, że wynagrodzenie brutto pracownika wynosi 4500 zł. Wg kalkulatora Gofin ( https://kalkulatory.gofin.pl/Kalkulator-wynagrodzen,12.html ) wynagrodzenie netto wyniesie wówczas 3201,58 zł. Kalkulator ten przeprowadza następującą analizę:

Na rysunku pogrubione są 3 rodzaje "kosztów": składki na ubezpieczenia społeczne, składka na ubezpieczenie zdrowotne i zaliczka na podatek dochodowy. Aby uzyskać wynagrodzenie netto, odejmujemy te 3 rodzaje obciążeń:

WN = WB - US - UZ - ZP

gdzie:
WN - wynagrodzenie netto,
WB - wynagrodzenie brutto,
US - składka na ubezpieczenie społeczne. Zgodnie z obowiązującymi obecnie przepisami: US = 13,71%*WB
UZ - składka na ubezpieczenie zdrowotne. UZ = 9%*(WB - US) = 9%*WB*(1 - 13,71%) = 9%*86,29%*WB = 7,77%*WB.
ZP - zaliczka na podatek dochodowy. Ogólnie ZP = PD - UP - OUZ.

gdzie:
PD - podatek dochodowy od osób fizycznych. PD = s*(WB - US - KP),
gdzie
s - stawka podatkowa. Obecnie s = 18%,
KP - koszty uzyskania przychodów. Obecnie miesięczne KP = 111,25 zł.

UP - ulga podatkowa. Obecnie miesięczna UP = 46,33 zł.
OUZ - składka na ubezpieczenie zdrowotne podlegająca odliczeniu od podatku. Zgodnie z przepisami OUZ = 7,75%*(WB - US) = 7,75%*WB*(1 - 13,71%) = 7,75%*86,29%*WB = 6,69%*WB.
Jednakże powyższe formuły na ZP i PD nie są precyzyjne. ZP oraz podstawa opodatkowania (WB - US - KP) muszą być zaokrąglone do liczby całkowitej. Czyli w formułach Excela, zapisalibyśmy
ZP = Zaokr(PD - UP - OUZ; 0). Tj. obecnie ZP = Zaokr(PD - 46,33 - 6,69%*WB; 0),
PD = s*Zaokr(WB - US - KP; 0). Obecnie PD = 18%*Zaokr(WB - 13,71%*WB - 111,25; 0) = 18%*Zaokr(WB*(1 - 13,71%) - 111,25; 0) = 18%*Zaokr(WB*86,29% - 111,25; 0).

Czyli:
WN = WB - US - UZ - ZP = WB - 13,71%*WB - 7,77%*WB - ZP = WB*(1 - 13,71% - 7,77%) - ZP = 78,52%*WB - ZP.

Mamy więc dwie części składające się na WN: 78,52% WB oraz ZP.

Ponieważ, jak wyżej wskazałem, ZP powinno być zaokrąglane, to podzielę teraz materiał na dwie części: dokładną (bez przybliżeń) oraz z przybliżeniami.

A) Dokładna:
Na podstawie powyższych wzorów, można zapisać:
ZP = Zaokr(18%*Zaokr(WB*86,29% - 111,25; 0) - 46,33 - 6,69%*WB); 0)

Stąd:
WN = 78,52%*WB - Zaokr(18%*Zaokr(WB*86,29% - 111,25; 0) - 46,33 - 6,69%*WB; 0)

Możemy w Excelu wstawić tę formułę i zastąpić WB = 4500. Powinniśmy otrzymać WN = 3201,4 zł. W stosunku do prawidłowego wyniku 3201,58 zł, jest 18 gr różnicy, co wynika z zaokrągleń na danych. Przedstawione przekształcenia nie uwzględniają koniecznych zaokrągleń do drugiego miejsca po przecinku przy obliczaniu procentu dla każdego elementu.

B) Z przybliżeniami:
Teraz usuńmy zaokrąglenia dla ZP:

ZP = 18%*(WB*86,29% - 111,25) - 46,33 - 6,69%*WB = WB*18%*86,29% - 18%*111,25 - 46,33 - 6,69%*WB = WB(15,53% - 6,69%) - 18%*111,25 - 46,33 = 8,84%*WB - 18%*111,25 - 46,33

Stąd:
WN =  78,52%*WB - (8,84%*WB - 18%*111,25 - 46,33) =  
= 69,68%*WB + 18%*111,25 + 46,33
 
Wynagrodzenie netto stanowi więc niecałe 70% WB plus 66 zł (18%*111,25 + 46,33 = 66,4). Pamiętajmy, że jest to przybliżenie prawidłowego WN, które wynosi 3201,58 zł, podczas gdy po wstawieniu 4500 do przedstawionego wzoru WN wyniósłby teraz 3201,96 . Jednak to przybliżenie jest nieporównywalnie lepsze niż standardowe, uproszczone podejście:
70%*4500 = 3150,
71%*4500 = 3195,
72%*4500 = 3240.

Ponieważ koszty uzyskania przychodów (KP) oraz ulga podatkowa (UP) dość często się zmieniają, to ogólniej, możemy zamiast 70% WB stosować następujący wzór:

WN = 69,68%*WB + 18%*KP + UP. 

Wzór ten jest możliwy, bo nigdzie w przekształceniach nie używałem KP i UP poza tymi miejscami.
Wzór się jednak nieco zmieni, jeśli stawka s będzie inna. Jeśli wrócilibyśmy do starej s = 19%, wtedy nowy wzór wyglądałby tak:
WN = 68,81%*WB + 19%*KP + UP. Dla WB = 4500, KP = 111,25 i UP = 46,33, WN = 3163,92. Faktyczna WN wyniosłaby 3164,58. Oczywiście ciągle stosując 70%, dostalibyśmy zawsze to samo, czyli 3150. Podejście 70% staje się teraz "bardziej prawidłowe" niż 71%, bo pierwsza część (68,81%*WB) została trochę obniżona. W każdym razie pokazałem, że choć zasada 70% nie jest idealna, to ma ona swoje uzasadnienie matematyczne.