Ułamkowy ruch Levy'ego, czyli nic nie jest takie jakie się wydaje

Po przewałkowaniu wstępu o rozkładach Levy'ego i jego zastosowaniach w teorii portfela, wreszcie przechodzę do meritum sprawy, mianowicie ułamkowego ruchu Levy'ego będącego uogólnieniem ułamkowego ruchu Browna. Od razu ostrzegam, że dzisiejszy wpis jest dość trudny. Temat ten jednak podjęty być musi z trzech powodów. Po pierwsze przez książkę Petersa "Teoria chaosu a rynki kapitałowe" narosło wiele nieporozumień w kwestii długiej pamięci. Peters np. opisuje ułamkowe ruchy Browna, łączy je z rozkładem Levy'ego, krótko mówiąc plącze straszliwie. Po drugie wreszcie się dowiemy, jaki jest związek pomiędzy długą pamięcią, tłustymi ogonami rozkładów prawdopodobieństwa i nieskończoną wariancją. Po trzecie - i chyba najważniejsze - odsłonię fakt, iż prezentowane wcześniej wyniki badań nad persystencją na rynku kapitałowym (nie tylko moje, ale także wielu innych autorów) są obciążone występowaniem nieskończonej wariancji stóp zwrotu i ich interpretacja może nie być poprawna.

Ułamkowy proces ruchu Browna B(t) jest procesem gaussowskim (choć można się spotkać z określeniem uogólnionym procesem gaussowskim), a więc wariancja zmian X = B(t2)-B(t1) obliczana zwykłym wzorem:



Za wartość oczekiwaną podstawiamy zero. Dowodzi się, że wariancja ta jest równa t^(2H), 0 < H < 1, gdzie t - czas, H - wykładnik Hursta. Im mniejsze H, tym ruch posiada mniejszą "rozciągliwość". Dla zwykłego ruchu Browna H = 0.5. Odchylenie standardowe jest liczone jak zwykle: jako pierwiastek z wariancji, czyli t^H.

Kolejna sprawa. W książce Petersa możemy znaleźć następującą zależność pomiędzy α i H:

H = 1/α.

α - parametr w rozkładzie Levy'ego.

Jest to dość mylący wzór, gdyż skłania do stwierdzenia, że rozkład Levy'ego, który jest ściśle związany z wykładnikiem Hursta jest ściśle związany z długą pamięcią. I tak dla α = 2 (co sprowadza rozkład Levy'ego do normalnego), H = 0,5 (co sygnalizuje brak korelacji), co znaczyłoby, że zawsze, gdy rozkład jest normalny, pamięć długoterminowa nie występuje. Dla α = 1,7, H = 0,588, czyli wydawałoby się, że gdy tylko pojawia się rozkład Levy'ego, pojawia się też długa pamięć.

W rzeczywistości wzór ten jest poprawny tylko w sytuacji, gdy długa pamięć nie występuje. Ale przecież już tyle razy było wałkowane, że występuje ona, gdy H > 0.5. A w tym wzorze H jest dowolne. Więc jak to? Musimy pamiętać, że nasze rozważania z wykładnikiem Hursta były przeprowadzane jedynie przy założeniu, że proces jest gaussowski, a więc dla α = 2. Wówczas rzeczywiście H = 1/2, ale, jak powiedziałem, wzór jest poprawny w przypadku braku długiej pamięci.

Jednak teraz załóżmy brak jakichkolwiek korelacji. Jeśli dane mają rozkład Levy'ego to dla α = 1,7, H = 0,588!!!

Zaczyna się wszystko wywracać do góry nogami. Żeby pojąć to o czym mówię i to co zaraz powiem musimy przyswoić sobie następujący fakt: wykładnik Hursta nie jest ściśle jednoznacznie związany z pamięcią długoterminową! A więc w ogólności H nie może być utożsamiany z prawdopodobieństwem warunkowym znaku kolejnej zmiany.

Oczywiście wydaje się to kompletnie sprzeczne z tym co wcześniej pisałem tutaj:
http://gieldowyracjonalista.blogspot.com/2010/05/jak-rozumiec-duga-pamiec.html. No właśnie... ale tam pojawia się wariancja i odchylenie standardowe, gdyż opieraliśmy się na ułamkowym ruchu Browna. Trzeba to głęboko przemyśleć, żeby zrozumieć. Poprzednia analiza opierała się na założeniu ułamkowego procesu ruchu Browna, który stanowi uogólnienie zwykłego procesu ruchu Browna. A droga w tym zwykłym przypadku stanowi pierwiastek z wariancji - Einstein i Smoluchowski wykazali, że jest to pierwiastek z długości pokonanego czasu.

Dla ruchu Levy'ego odchylenie standardowe staje się nieskończone, więc interpretacja, że droga dla ruchu z długą pamięcią jest dłuższa niż dla ruchu bez pamięci wydaje się tracić sens. Jednak kto powiedział, że droga musi koniecznie być mierzona odchyleniem standardowym? Odchylenie to ma sens jedynie dla rozkładów gaussowskich (i ich pokrewnych, jak rozkład Poissona lub t-studenta), czyli dla ruchów Browna. Ale jeśli za miarę drogi przyjęlibyśmy średnie odchylenie bezwzględne, to kłopot by się skończył, przy założeniu, że istnieje średnia. No tak, ale w takim razie (jak dociekać to dociekać) jak to się dzieje, że średnie odchylenie bezwzględne może być skończone dla ruchu Levy'ego??? To wydaje się intuicyjnie pozbawione sensu! Przecież i jedna, i druga miara jest jak by nie patrzeć bardzo podobna. Ale podobna nie znaczy taka sama - a diabeł tkwi w szczegółach. Nie chcę poświęcać tu miejsca na wyjaśnienie różnicy, ale odpowiem intuicją. Jeśli uczyliśmy się kiedyś o ciągach, to być może pamiętamy coś takiego jak granica ciągu. Ciągi dzielą się na zbieżne i rozbieżne. Zbieżne ciągi posiadają pewną granicę, tj. kolejne wartości zbiegają do pewnej liczby, natomiast ciągi rozbieżne nie posiadają żadnej granicy. Granica może być wartością liczbową lub po prostu liczbą nieskończoną. Nie zawsze na oko jest łatwo określić czy ciąg będzie dążył do granicy wartościowej, nieskończoności czy też nie będzie do żadnej. Podobnie się dzieje w przypadku odchylenia standardowego i średniego odchylenia bezwzględnego w rozkładzie Levy'ego - to pierwsze zdąża do nieskończoności, a to drugie do pewnej granicy wartościowej.

Ponadto wzór na wariancję może zostać uogólniony, np. poprzez zastąpienie dwójki we wzorze jakąś liczbą większą od 0 i mniejszą od α. Nieco bardziej skomplikowana formuła pozwala również zastąpić dwójkę liczbą α. Można więc mówić o ułamkowym momencie centralnym, który już staje się skończony.

To co komplikuje całą sprawę to jest to, że droga w ruchu Levy'ego podobnie jak w ułamkowym ruchu Browna także skaluje się zgodnie z wykładnikiem Hursta, tj. można ją wyrazić jako t^H! I to jest właśnie punkt, który prowadzi do ogromnego zamieszania, powodującego błędne myślenie, że ułamkowy ruch Browna posiada rozkład Levy'ego. Zanim słownie wyjaśnimy różnicę przyjrzyjmy się następującym obrazkom ruchu cząsteczki w dwuwymiarowej przestrzeni:

Zwykły ruch Browna:



Zwykły ruch Levy'ego:



Na obydwu obrazkach cząsteczka porusza się kompletnie nieprzewidywalnie, przy czym dla ruchu Levy'ego (nazywamy je lotami Levy'ego) dużo częściej następują silne uskoki - zdarzenia rzadkie, które są właśnie odzwierciedleniem nieskończonej wariancji. Zauważmy, że w związku z tymi rzadkimi zdarzeniami ruch cząsteczki jest bardziej rozciągliwy - to oznaka skalowania nie z t^(0.5) ale z t^H. I tu właśnie wchodzi nasza poprzednia idea ułamkowego momentu centralnego: pierwiastek p-tego momentu z p-tego stopnia ( 0 < p < α) skaluje się zgodnie z t^H.

I teraz uwaga, która pozwoli choć trochę zrozumieć ten ułamkowy stopień. Dla ułamkowego ruchu Browna ruch t^H nie wynika z rzadkich zdarzeń. Można by rzec, że "rzadkie zdarzenia" występują ciągle, co oznacza, że ich nie ma - po prostu cząsteczka porusza się szerzej niż dla błądzenia przypadkowego. Właśnie dlatego, że się porusza bez przerwy w taki sposób kolejne zmiany są ze sobą skorelowane.

To jest właśnie ta zależność, która jest potrzebna do zrozumienia znaczenia wykładnika Hursta dla ruchu Levy'ego. Wiemy już, że jest ona wyrażona wzorem: H = 1/α. Nagle coś zaczyna się świecić: wiadomo, że H jest parametrem rozciągliwości ruchu (niezależnie od rozkładu). Dla rozkładu Levy'ego musi więc również mieć swój wkład. Jednocześnie wyjaśnia się znaczenie wykładnika α: jest właśnie miarą rozciągliwości - im mniejszy, tym ruch staje się coraz bardziej rozciągnięty. Gdy jest mniejszy lub równy 1 staje się tak rozciągnięty, że nawet nie może istnieć średnia. Zauważmy, że ma to sens: H = 1/1 lub więcej. Nie musi to zaraz oznaczać, że mamy do czynienia z linią prostą, ponieważ jak już teraz wiemy H nie jest równoznaczne z prawdopodobieństwem kolejnego ruchu. Staje się dopiero, gdy mamy do czynienia z ruchem Browna, tj. w sytuacji - powtarzam to ciągle - gdy istnieje wariancja.

Jeżeli jednak H staje się prawdopodobieństwem warunkowym dopiero dla ułamkowego ruchu Browna, to znaczy, że moglibyśmy dla tego ruchu przyjąć następujący wzór:

H = 1/2 + v

Jeśli v = 0, dostajemy zwykłe błądzenie losowe, lecz gdy v > 0, prawdopodobieństwo "trendu" staje się większe niż 50:50, a gdy v < 0 mniejsze niż 50:50. Skoro jednocześnie wiemy, że dla braku korelacji prawdziwy był wzór H = 1/α, to stwierdzamy, że musi zachodzić następująca zależność:



Wzór ten rzeczywiście jest zawsze prawdziwy, przy czym wyprowadza się go ściśle, a nie tak jak ja to zrobiłem. Wówczas okazuje się, że v to tzw. rząd pochodnej ułamkowej. Właśnie ta pochodna jest istotą każdego ruchu fraktalnego. Połączmy dwa fakty. Po pierwsze wykładnik α nie może być większy od 2. Po drugie pamięć długoterminowa występuje gdy v > 0. Wynika z tego, że zawsze, gdy występuje długa pamięć, H > 1/2. α < 2 spowoduje, że H się zwiększy, zwiększy się rozciągliwość ruchu, a jeśli v > 0, to rozciągliwość zwiększy jeszcze bardziej. Ale część tej rozciągliwości będzie miała swoje źródło w występowaniu rzadkich zdarzeń, a część w długiej pamięci. Właśnie taką sytuacje nazywamy ułamkowym ruchem Levy'ego. A więc H będzie dla tego ruchu większe niż dla ułamkowego ruchu Browna, co stwarza sporą pułapkę. Gdybyśmy obliczyli H za pomocą zwyczajnej analizy R/S, to jeśli próba ma rozkład Levy'ego dostalibyśmy duże H i mielibyśmy błędne przekonanie, że również nieliniowa korelacja jest bardzo silna. Dlatego należy używać zmodyfikowanej analizy R/S, która uwzględnia ułamkowy ruch Levy'ego. Ponieważ dotychczas stosowałem zwykłą analizę R/S, a jednocześnie wiem, że zmiany akcji mają rozkład Levy'ego, cała moja analiza długoterminowych zależności może kłaka nie być warta! Można również sprawdzić bezpośrednio czy występuje pamięć długoterminowa, obliczając pochodną ułamkową, przy czym nie jest to rzecz prosta.

Porównajmy teraz zwykły proces ruchu Levy'ego (oznaczony L), ruch Levy'ego (X) (v = 0) z jego ułamkowym odpowiednikiem (v = 0,3).

ordinary Levy Motion:


fractional Levy Motion:



Podsumujmy. Wyróżniamy 4 warianty:

1. α = 2 i v = 0 - zwykły ruch Browna (oBm - ordinary Brownian motion), gdzie H = 1/2.
2. α = 2 i -1/2 < v < 1/2 - ułamkowy ruch Browna (fBm - fractional Brownian motion), posiadający rozkład normalny, gdzie 0 < H < 1.
3. 0 < α < 2 i v = 0 - zwykły ruch Levy'ego (oLm - ordinary Levy motion), gdzie H = 1/α.
4. 0 < α < 2 i -1/2 < v < 1/2 - ułamkowy ruch Levy'ego (fLm - fractional Levy motion). posiadający rozkład Levy'ego, gdzie H = v + 1/α.

Warianty te zostały poniżej ładnie zilustrowane graficznie:



Dostajemy więc powierzchnię (α,v), która jest ograniczona na górze H = v + 1/α = 1 oraz na dole H = 0. Po prawej stronie α = 2 i -1/2 < v < 1/2 określa fBm. Jak widać jest to szczególny przypadek fLm, który rozciąga się na całą powierzchnię (α,v). Pozioma linia v = 0 koresponduje z oLm. Dla powierzchni v > 0 ruch staje się persystentny, v < 0 antypersystentny. Kropki oznaczone literką a prezentują α = 1,7. Kropki oznaczone b pokazują H = v + 1/α = 0,8. A więc przecięcie a i b przedstawia kombinację, która musi dawać fLm. Widać na dłoni, że samo H > 0,5 nie musi korespondować z długą pamięcią.

Na deser wspomnę, że na zasadzie analogii z multiułamkowym ruchem Browna niedawno zdefiniowano także multiułamkowy ruch Levy'ego, w którym wykładnik Hursta zmienia się w czasie w sposób ciągły. Proces ten stanowi więc uogólnienie ułamkowego ruchu Levy'ego. Ponieważ mamy również do czynienia z uogólnionym multiułamkowym ruchem Browna, w którym wykładnik H zmienia się w sposób nieciągły, możemy się domyślać, że także będzie się wkrótce pisać o uogólnionym multiułamkowym ruchu Levy'ego. To zagadnienie z tych najwyższych współczesnych półek.


Źródło:

1. B.B. Mandelbrot, J. W. Van Ness, Fractional Brownian Motions, Fractional Noises And Applications, 1969;
2. A.V. Chechkin, V. Yu. Gonchar "A Model for Persistent Levy Motion", 1999;
3. E.E. Peters, Teoria chaosu a rynki kapitałowe, W-wa 1997.

Klasyka żyje i ma się dobrze

Trochę kłamstwo, ale dobrze brzmi.

Analizując problem efektywności rynku i Uogólnionego Centralnego Twierdzenia Granicznego, dochodzimy do wniosku, że na rynku efektywnym średnie stopy zwrotu powinny posiadać rozkład Levy'ego.

Jedynymi założeniami UCTG była identyczność rozkładów w każdym okresie oraz niezależność stóp zwrotu (nawet nie jest potrzebna skończona średnia). Okazuje się jednak, że nawet niezależność zmiennych jest założeniem zbyt silnym. Na przykład proces stacjonarny ze skończoną pamięcią - gdy zmienne są w pewnym stałym okresie zależne od siebie, przy pewnych warunkach dąży do (wielowymiarowego) rozkładu Levy'ego (Zob. Katarzyna Bartkiewicz and Adam Jakubowski, Stable limits for sums of dependent infinite variance random variables, 1989 lub D.Harrelson C.Houdre, A characterization of m-dependent stationary in finitely divisible sequences with applications to weak convergence, 2001.

A zatem stopa zwrotu w długim okresie na rynku (fraktalnie) efektywnym będzie się charakteryzować rozkładem Levy'ego. Jak się wydaje, na rynku nieefektywnym będzie to rozkład q-Gaussa, gdyż najbardziej ogólne q-Centralne Twierdzenie Graniczne przyjmuje jeszcze mniej restrykcyjne założenia - przede wszystkim zmiany cenowe mogą być silnie oraz nietrywialnie skorelowane (rozkłady te zostały pierwotnie wyprowadzone dla fizyki w przypadku termodynamiki powiązanej z chaosem deterministycznym). Ten ostatni przypadek jednak nas nie interesuje obecnie.

No i teraz uwaga. Skoro stopa zwrotu posiada rozkład Levy'ego, to w ogólnym przypadku nie można stosować klasycznych teorii portfela: Markowitza oraz CAPM, a także modeli wyceny opcji Blacka Sholesa. W modelach tych jako miarę ryzyka stosuje się wariancję, zaś ta dla r. Levy'ego staje się nieskończona pomijając szczególny przypadek gaussowski. Od czasu, gdy zostało to ogłoszone, zwolennicy intuicyjnego podejścia do inwestycji, krytycznie nastawieni do modeli formalnych głośniej lub ciszej poczuli się triumfalnie.

Ale formalna rzeczywistość ekonomiczna, podobnie jak fizyczna, kryje w sobie więcej porządku niż się nam niejednokrotnie wydaje.

W 1997 r. Lofti Belkacem uogólnił teorię portfela Markowitza na stabilne rozkłady Levy'ego. Jeszcze rok wcześniej Belkacem, Levy Vehel i C. Walter uogólnili CAPM dla stabilnego rozkładu Levy'ego. Niewątpliwie jest to jedno z najważniejszych dokonań w teorii finansów. Autor/zy powinien otrzymać za to Nagrodę Nobla.

Jak pamiętamy rozkład Levy'ego charakteryzują różne parametry: c - czynnik skalujący, wykładnik α, dryf (wartość oczekiwana) µ i parametr skośności β. Dla α = 2 i β = 0 otrzymujemy rozkład normalny. Na rynku efektywnym powinniśmy się spodziewać, że rozkład będzie symetryczny, a więc β = 0 oraz że będzie istniała średnia stopa zwrotu, a więc 1 < α < 2. Np. dla β = 0 i α = 1 rozkład redukuje się do rozkładu Cauchy'ego. W tym rozkładzie nie istnieje średnia ani żaden inny moment.

Gdyby ktoś był na tyle dociekliwy, że spytałby dlaczego średnia musi istnieć skoro wariancja nie musi, odpowiedź byłaby następująca. Racjonalny inwestor zawsze powinien się czegoś spodziewać, czegoś oczekiwać po danym instrumencie. Jeśli branża jest ryzykowna, to będzie oczekiwał wyższego średniego zysku, gdyż podczas obranego horyzontu inwestycyjnego branża może się przypadkowo akurat załamywać. A zatem inwestor zawsze będzie miał pewną oczekiwaną stopę zwrotu, czyli właśnie wartość oczekiwaną, którą nazywamy tutaj średnią. Natomiast ryzyko również powinno być określone, jednak przyjęcie wariancji (odchylenia standardowego) jako miary ryzyka jest jedynie matematyczną konwencją, która nie musi być prawidłowa.

Oczywiście najciekawsze jest pytanie, jaką w takim razie powinna być właściwa miara ryzyka, będąca jednocześnie uogólnieniem zwykłej wariancji.

Możemy się spotkać z następującym uogólnieniem odchylenia standardowego:



Zauważmy jednak, że wcale nie jest takie łatwe przeniesienie tego wzoru na teorię portfela. Mamy tam przecież kowariancję, która sama w sobie jest uogólnieniem wariancji (wariancja wynika ze współzależności zmiennej samej ze sobą, stąd α = 2, a kowariancja ze współzależności dwóch zmiennych).

Belkacem wykorzystuje pracę m.in. Samorodnitsky'ego i Taqqu "Stable-Non Gaussian Random Process: Stochastic Models with Infinite Variance", którzy wprowadzają odpowiednie uogólnienia kowariancji na rozkłady stabilne.

Nie ma sensu w tym miejscu przytaczać co to za "cuda". Kiedyś na pewno dokładnie opiszę całą teorię.

Możemy jednak graficznie porównać granicę portfeli efektywnych uzyskaną za pomocą teorii Markowitza z jego uogólnionym odpowiednikiem. Belkacem przyjął do empirycznych studiów 3 wybrane przez siebie spółki z lat 1987 - 1995. Dane dotyczyły dziennych logarytmicznych stóp zwrotu. Ponieważ empirycznie otrzymał, że α = 1,7, to dla niej wykonywał obliczenia, w porównaniu oczywiście z α = 2.



Na powyższym rysunku na osi poziomej tak jak standardowo oznaczone jest ryzyko, na pionowej oczekiwany zysk. Dla α = 2 ryzyko redukuje się do odchylenia standardowego podzielonego przez 2^(0,5). Zwróćmy uwagę, że gaussowska granica G jest nieefektywna dla modelu α = 1,7. Ryzyko jest znacznie mniejsze dla stabilnego rozkładu Levy'ego S. Z rysunku np. wynika, że przy 1% ryzyku, Levy'owska granica portfeli efektywnych pozwala osiągnąć znacznie wyższy oczekiwany zysk (0,115%) niż gaussowska (0,0644%). Stąd utworzone gaussowskie wagi portfelowe nigdy nie będą właściwe.

Skoro krzywa granicy efektywnej jest inna, to inaczej będzie nachylona linia CAPM. Pamiętamy bowiem, że linia CML została utworzona na podstawie granicy portfeli efektywnych:



Na rysunku powyżej widać, że miara ryzyka w modelu CML na osi poziomej jest inaczej oznaczana niż w klasycznym modelu. Jak sądzę, dosłownie oznacza jakby wartość bezwzględną ze stopy zwrotu R, stanowiąc jednocześnie jej zmienność. Wzór na tę miarę jest trochę bardziej skomplikowany niż w zwykłym modelu. Generalnie model CML ma więc następującą postać:



Również SML odpowiednio zmienia nachylenie. Wynika z tego, że znane wszystkim finansistom i inwestorom ryzyko systematyczne oznaczane beta (nie mylić z parametrem oznaczanym beta występującym w rozkładzie Levy'ego) powinno być inaczej liczone, a standardowa miara jest błędna.

Właściwie obliczona oczekiwana stopa zwrotu dzięki CAPM jest ważnym narzędziem nie tylko do obliczania ryzyka inwestycji, ale także do wyceny akcji. Jednym z podstawowych problemów modelu zdyskontowanych wolnych przepływów pieniężnych DCF służącego do wyceny akcji jest obranie właściwej wymaganej stopy zwrotu. Wycena akcji jest oczywiście z definicji szukaniem równowagowej ceny na rynku efektywnym. Dlatego raczej nie powinno być wątpliwości, że podstawienie oczekiwanej stopy zwrotu z CAPM-SML do DCF jest poprawnym posunięciem.


Podsumowanie.

Wśród wielu inwestorów i finansistów ciągle pokutuje pogląd, że klasyczne modele finansów, jak np. CAPM, nie nadają się do wyceny akcji ani ryzyka na rzeczywistym rynku kapitałowym z powodu braku normalności rozkładu stóp zwrotu. Często nawet wyśmiewane są te modele.

Rzeczywiście był czas, gdy klasyka miała gliniane nogi, tak że wydawało się, że nic ją nie uratuje. Ale to już prehistoria. Świat jest bardzo uporządkowany. W fizyce klasyka obowiązuje na pewnym poziomie i nigdy nie zostanie całkowicie porzucona. Podobnie ma się rzecz w ekonomii. Rozkład normalny jest jedynie przybliżeniem rozkładu zjawisk ekonomicznych. Im będziemy bardziej dokładni, tym dostrzeżemy więcej niuansów i odchyleń od tego rozkładu. Naukowcy uogólnili modele klasycznych finansów, przybliżając się nieco do prawdy.

Podobnie w dzisiejszych czasach trwają nieustanne badania nad korelacjami i długą pamięcią w danych. Obecnie najwyższym pułapem analiz finansowych są - mówiąc hasłami - rozkłady q-Gaussa oraz multifraktale, które spełniają swoją rolę także na rynku nieefektywnym. Powstają już teorie portfela oraz modele wyceny opcji uogólniające przedstawiony powyżej obraz świata Levy'ego, czyli przyjmujące rozkłady q-Gaussowskie. Drugą najnowszą gałęzią są multifraktalne fluktuacje. Zaproponowany już z dawna przez Mandelbrota Multifrakalny Model Wyceny Aktywów Kapitałowych (MMAR) został niedawno podłączony do teorii portfela oraz modelu wyceny opcji. Gdy tylko wyguglujemy coś w stylu "generalized portfolio theory", "stable distribution in Black Scholes", "q-gauss Markowitz CAPM" "multifractal portfolio theory"... itp. to dostaniemy oczopląsu. Można jedynie z pokorą pochylić się nad tą ogromną wiedzą i geniuszem ludzkim i stwierdzić: wiem, że nic nie wiem.

Źródło:

1. L. Belkacem, How to select optimal portfolio in α-stable markets, 1997
2. L. Belkacem, L. Vehel, C. Walter, CAPM, Risk and Portfolio Selection in "Stable" Markets, 1996
3. K. Bartkiewicz and A. Jakubowski, Stable limits for sums of dependent infinite variance random variables, 1989
4. D.Harrelson, C.Houdre, A characterization of m-dependent stationary in finitely divisible sequences with applications to weak convergence, 2001.