Można podejść do tego problemu od czysto matematycznego punktu widzenia. Podejście to pozwala zauważyć ścisłą zależność pomiędzy fraktalnością procesu a długą pamięcią. Zrozumielibyśmy wówczas, że długa pamięć nierozerwalnie wiąże się z fraktalami. Doskonale zaczęlibyśmy czuć różnicę pomiędzy trendem (jako dryfem) a długą pamięcią.
Na początek jednak lepiej zacząć od intuicji i przykładów graficznych.
1. Funkcja liniowa
Oto wykres analizy R/S:
Tutaj H = 0.994. Nie może być nic innego - każda kolejna zmiana wartości ma ten sam znak co poprzednia.
2. Funkcja sinus
Dla sinus dostałem H = 0.936 dla całego okresu. A więc zauważmy co się dzieje. Funkcja wydaje się przecież antypersystentna. Dlaczego więc analiza R/S wychwytuje długą pamięć? Żeby to zrozumieć powinniśmy wrócić do wzoru na wariancję i odchylenie standardowe ułamkowego ruchu Browna:
Odchylenie standardowe jest po prostu średnią drogą, jaką pokonuje jakaś cecha zmiennej. Wynika z tego, że im większe H, tym dłuższa jest ta droga. Wiemy, że dla błądzenia przypadkowego H = 0,5. Dla naszego przypadku H = 0,93 oznacza, że średnio zmienna pokonuje dłuższą drogę niż błądzenie losowe. Jeśli zaczniemy powiększać wykres funkcji sinus, zobaczymy, że rzeczywiście tak jest. W dowolnie małym otoczeniu dowolnego punktu kolejna wartość funkcji przyjmie ten sam znak co poprzednia wartość - z bardzo dużym prawdopodobieństwem. To prawdopodobieństwo równałoby się jeden, gdyby nie występujące minima i maksima. Ile wynosi to prawdopodobieństwo? Można powiedzieć, że właśnie H = 0,936. Nie jest to jednak taka oczywista odpowiedź, nie wynika bowiem z definicji prawdopodobieństwa, lecz następujących spostrzeżeń.
Na H powinniśmy patrzeć jak na miarę zmienności. Jeśli w danym czasie ma być pokonana dłuższa droga, to wykres po prostu musi być mniej postrzępiony, a więc mniej zmienny. Jeżeli jednak ma być mniej zmienny, to znaczy, że kolejna zmiana wartości zmiennej z większą szansą będzie miała ten sam znak co poprzednia.
Na przedstawionym wykresie log(R/S) zauważamy, że następuje w pewnym momencie załamanie się linii. Od tego miejsca pamięć długoterminowa szybko zanika, tak że proces staje się wręcz antypersystentny. Dlaczego jednak tak się dzieje, skoro przed chwilą powiedzieliśmy, że w dowolnie małym otoczeniu punktu proces jest prawie zawsze persystentny? Poprzedni wzór na wariancję - również to widzieliśmy - można przedstawić jako:
t > 0, t > s.
Możemy więc analizować różne przedziały drogi od s do t, w której s jest jakimś opóźnieniem. Na wykresie log(R/S) przedziały te są zaznaczone są literką n. I tak dla n = 758 długa pamięć się załamuje. Co to oznacza? Oznacza to, że w takim przedziale proces pokonuje dłuższą drogę niż błądzenie przypadkowe, a w dłuższym przedziale już nie.
Popatrzmy na wykres sinus. Zauważmy, że cykl pamięci kończy się nie w momencie gdy następuje załamanie kierunku - zmiana trendu - ale w momencie, gdy funkcja "przechodzi" cały cykl wzrostów i spadków (n=758). W rzeczywistości nie ma znaczenia od którego punktu startujemy: dopiero gdy sinus pokona nieco ponad cały cykl, wówczas proces staje się antyuporczywy.
Uporczywość istnieje pomimo zmiany trendu, ponieważ błądzenie przypadkowe "nie nadąża" za sinusem, co wynika z większej wariancji, czyli większego H dla sinus. Dopiero kiedy analiza R/S wykrywa, że sinus znowu zaczyna zmieniać kierunek, co u nas wychodzi po punkcie 758, zaczyna "chwytać" powroty do średniej częstsze niż powroty występujące w błądzeniu przypadkowym, co sygnalizuje antyuporczywością.
3. Dla porównania, weźmy bardzo antypersystentną funkcję złożoną jedynie z punktów 1 i 3 (połączonych linią prostą):
Dostajemy H = 0,06. Tutaj jest odwrotnie, ponieważ kolejne zmiany są przeciwnego znaku, dlatego też prawdopodobieństwo warunkowe kontynuacji danego znaku jest bliskie zera.
4. Weźmy przekształcenie sinus:
H = 0,98
Długa pamięć tutaj zanika bardzo wolno z powodu "silnej" gładkości funkcji. Dopiero po 4788 obserwacjach wykres staje się słabo persystentny.
5. Inne przekształcenie sinus
H = 0,665 dla całego okresu. Jednak do punktu załamania H = 1,026. Czas pamięci wynosi n = 158.
Przyjrzyjmy się bliżej temu punktowi:
Przykład ten jest interesujący ponieważ dowodzi, że długa pamięć nie wiąże się z samą cyklicznością funkcji. Przedstawiona wyżej funkcja jest idealnie cykliczna, jednak analiza R/S wychwytuje krótszy okres tej pamięci niż wynosi cykl funkcji.
Jednakże jest to całkowicie poprawny wynik, bowiem funkcja zaczyna powracać do średniej średnio po 158 obserwacjach.
6. Funkcja quasiperiodyczna. Wreszcie najciekawsze, bowiem taka funkcja jest już bardzo bliska chaosowi deterministycznemu.
H = 0,783, E(H) = 0,55, sqrt(1/N) = 0,018, H - E(H) = 0,229 > 0,018
W tym przypadku H jest już na poziomie H dla kursów giełdowych (miesięcznych stóp zwrotu).
Powiększmy ten fragment gdzie przedział n = 199 zawiera długą pamięć, a po nim zaczyna ona zanikać.
Pamiętajmy, że n jest jedynie przedziałem, w którym zmienna pokonuje drogę. Możemy więc punkt startu tego przedziału dowolnie przesuwać, ale sam zakres n musi pozostać stały. I właśnie W TYM ZAKRESIE długa pamięć zostaje wykryta. Przy zwiększeniu n następuje powrót do średniej, tak że proces staje się antyuporczywy.
Ale zwróćmy uwagę, że okres tej pamięci jest jedynie przeciętny. Nigdy nie odgadniemy czy to początek, środek czy koniec okresu spadków lub wzrostów. Jeśli to pojmiemy, to pojmiemy też, że giełda nawet podczas trwania trendu i wykrycia w tym okresie długoterminowej pamięci, jest nieprzewidywalna w tym okresie.
Jedynie co można przewidzieć, to to, że ten sam znak kolejnych zmian obserwacji jest bardziej prawdopodobny niż przeciwny. Jest tak dlatego, że zmienna musi pokonać dłuższą drogę niż błądzenie przypadkowe.
Jeszcze inaczej. Pomimo że trend jest nieprzypadkowy, to tak naprawdę jest... losowy. Innymi słowy długość trendu jest losowa. Każdy kolejny ząbek może być tym ostatnim tylko dlatego, że bierzemy pod uwagę średnią. Może być tak, iż dany trend właśnie osiąga maksimum lub minimum, choć w całym zakresie równym n - a więc w uśrednieniu - kolejny wzrost lub kolejny spadek jest bardziej prawdopodobny.
Ponieważ jednak kolejna obserwacja jest zależna od poprzedniej w tym sensie, że droga staje się dłuższa niż droga błądzenia losowego, to ta obserwacja jest również zależna od wcześniejszych obserwacji, a zatem droga staje się dłuższa od błądzenia losowego w całym przedziale n dopóki analiza R/S wyczuwa długą pamięć.
Nawet więc jeśli następuje silne załamanie, to ponieważ wcześniej droga była dłuższa niż błądzenia przypadkowego, to ma ona jeszcze "zapas" i dopóki nie będzie intensywniejszych powrotów do średniej, proces będzie uznawany za persystentny.
7. Wykres giełdowy S&P500: obserwacje miesięczne od 1933 (odfiltrowana inflacja)
Do momentu utraty pamięci H = 0,787; E(H) = 0,604. Pamięć średnio kończy się po 42 miesiącach. Oznacza to tyle, że hossa lub bessa była tak silna, że nawet gdy następuje odwrócenie trendu, kurs nadal w danym przedziale pokonuje więcej drogi niż błądzenie przypadkowe. I w tym sensie prawdopodobieństwo (uśrednione), że wzrost lub spadek będzie kontynuowany wynosi ok 0,69. Nie możemy uznać, że wynosi 0,79, gdyż wartość oczekiwana wynosi 0,6, a nie 0,5, więc zmniejszam H o 0,1. Natomiast powrót do średniej i zmiana trendu w końcu powoduje, że proces zostaje uznany za błądzenie przypadkowe. Następuje to przeciętnie po 42 miesiącach.
Stopniowo zaczynamy dostrzegać, że nie ma tu żadnych czarów. Wiemy czym jest średnia. Dokładnie tak jak w tym żarcie o psie i trzech nogach. Chaos na giełdzie po prostu skłania nas do przyjęcia koncepcji ułamkowej efektywności rynku.
