Teoria portfela Markowitza. Portfel złożony z K walorów

1. Portfel trzech walorów

Dotychczas budowaliśmy portfele złożone jedynie z dwóch walorów, na przykład akcji dwóch różnych spółek. Analogicznie możemy dokonać tego dla dowolnej liczby akcji. Już jednak dla trzech akcji pojawia się nowa interesująca właściwość. Chociaż już w trakcie analizy portfela dwóch akcji pojawiło się wyrażenie dywersyfikacja ryzyka, to jednak dopiero dla co najmniej trzech akcji dostrzeżemy jego prawdziwe znaczenie i niezwykłą wagę dla inwestora.

Zdefiniujmy jeszcze dywersyfikację.

Dywersyfikacja ryzyka jest to inaczej rozproszenie (zmniejszenie) ryzyka portfela na skutek włączenia doń dużej liczby różnych walorów bez obniżenia oczekiwanej stopy zwrotu portfela.

Przyjrzyjmy się więc najpierw sytuacji portfela zbudowanego z trzech różnych akcji. Poniższą analizę ponownie zaczerpnąłem z książki T. Bołta "Rynek kapitałowy - część druga".

Rozważmy trzy ryzykowne walory A, B, C, charakteryzujące się stopami zwrotu R(i), oczekiwanymi stopami zwrotu μ(i), ryzykiem σ(i) (i=A,B,C) i macierzą kowariancji stóp zwrotu:


pamiętając przy tym, że kowariancja daje się przedstawić jako funkcja współczynnika korelacji , tzn.



Macierz kowariancji czasami nazywa się macierzą wariancji i kowariancji, gdyż faktycznie uwzględnia ryzyko wariancyjne (które leży na głównej przekątnej macierzy) i kowariancyjne (poza główną przekątną). W rzeczywistości wystarczy mówić o macierzy kowariancji, bo wariancja jest szczególnym przypadkiem kowariancji, gdy zmienna koreluje sama ze sobą; wtedy i=j oraz współczynnik korelacji = 1. Później macierz tę będziemy oznaczać przez cov.

Wektor wag portfelowych, określający strukturę portfela, ma postać:



przy czym x(A)+x(B)+x(C)=1.

Stopa zwrotu portfela trzyskładnikowego jest zdefiniowana jako:



natomiast jej oczekiwana wartość jako:



Ryzyko portfelowej stopy zwrotu, mierzone wariancją stopy zwrotu, definiuje wzór:



Co, jak pamiętamy, wynika ze wzoru



Znów więc rozdzielamy ryzyko na ryzyko wariancyjne i ryzyko kowariancyjne.

Niech parametry rozkładów rozważanych aktywów ryzykownych będą następujące:



Załóżmy, że dla rozpatrywanych walorów macierz kowariancji stóp zwrotu ma postać:



Pamiętając o zależnościach występujących między kowariancjami a współczynnikami korelacji, możemy zapisać następującą macierz współczynników korelacji stóp zwrotu:



Zatem w naszym przykładzie występują zarówno walory skorelowane dodatnio, ujemnie jak i nieskorelowane.

Dla przykładu obliczmy oczekiwaną wartość portfela składającego się z walorów A, B i C o następującej strukturze: x(A)=0,5 ; x(B)=0,3 ; x(C)=0,2. Otrzymujemy:



Wariancja stopy zwrotu portfela jest równa 6,54, natomiast ryzyko mierzone odchyleniem standardowym stopy zwrotu:


Oznacza to, że zrealizowany zysk z inwestycji w portfel, o założonej wyżej strukturze, odchylać się może od oczekiwanego zysku równego 8,2% średnio rzecz biorąc in plus in minus o 2,56%.

W tablicy poniżej przedstawiono obliczenia wartości oczekiwanych oraz odchyleń standardowych wybranych portfeli trzyskładnikowych leżących na granicy zbioru możliwych rozwiązań (bez krótkiej sprzedaży). Pogrubioną czcionką zaznaczono portfel o globalnie najmniejszej wariancji.


W dwu poniższych tablicach przedstawiono obliczenia wartości oczekiwanych oraz odchyleń standardowych portfeli dwuskładnikowych leżących na granicach zbiorów możliwych rozwiązań (bez krótkiej sprzedaży). Pogrubioną czcionką zaznaczono portfele o najmniejszej wariancji.




Teraz widać, że wprowadzenie trzeciego składnika zmniejsza ryzyko w stosunku portfela dwuskładnikowego.

Dane z tablic naniesiono na poniższy rysunek. Krzywa N1A jest granicą efektywnych portfeli trzyskładnikowych (ABC), przy czym N1(1,05; 5,9) jest portfelem o globalnie minimalnej wariancji. Krzywa N2B jest granicą efektywną portfeli dwuskładnikowych (BC), przy czym N2(2,47; 4,41) jest portfelem o minimalnej wariancji. Z kolei krzywa N3A jest granicą efektywną portfeli dwuskładnikowych tworzonych z (AB), zaś N3(3,12; 8,78) jest portfelem o minimalnej wariancji. Zatem figura CN1AN3BN2 jest zbiorem portfeli dominujących nad wszystkimi innymi portfelami dwuskładnikowymi.



2. Portfel dowolnej liczby walorów

Wzory rozpatrywane w punktach poprzednich uogólnia się na dowolną liczbę walorów. Załóżmy, że rozpatrujemy K różnych walorów charakteryzowanych przez:



Strukturę portfela opisują wagi x(i), spełniające:


Stopa zwrotu portfela jest kombinacją K stóp zwrotu poszczególnych walorów, zatem:



Podobnie oczekiwana stopa zwrotu jest kombinacją liniową oczekiwanych wartości poszczególnych stóp zwrotu:


Wariancja portfela jest dana przez:


Inwestor maksymalizuje użyteczność, gdy minimalizuje ryzyko lub maksymalizuje oczekiwany zysk. Aby tego dokonać, znajduje taką swoją krzywą obojętności, która styka się z krzywą minimalnego ryzyka. Może to zrobić graficznie, co jest pewnie przyjemniejsze, lecz może także wykazać większą precyzję i obliczyć to. Obliczeń można dokonać na dwa sposoby.

Niech zadanie polega na minimalizacji σ(p) przy wymaganej stopie zwrotu μ(p).
oraz Σx(i) = 1. Problem ten zapisujemy następująco:


Im większa liczba spółek w portfelu, tym zadanie staje się coraz bardziej
skomplikowane. Problem zapisujemy wtedy w języku macierzowym. Zauważmy, że wtedy ryzyko wariancyjne i kowariancyjne zostaje scalone poprzez zapis macierzy kowariancji cov. Wtedy problem jest postaci:



gdzie oznaczamy:



Nie jest to zadanie polegające po prostu na znalezieniu minimum funkcji, którą tutaj stanowi wariancja portfela. Nie interesuje nas globalnie najmniejsze ryzyko, lecz przy określonym wymaganym zysku. Ale jest jeszcze jedna sprawa. Drugim warunkiem ograniczającym jest aby suma udziałów akcji równała się 1. A więc mamy dwa warunki ograniczające. Istnieją algorytmy programowania kwadratowego służące do rozwiązywania tego typu zadań.

Drugim - równoważnym - sposobem jest metoda mnożników Lagrange'a. Metodę tę szczegółowo przedyskutujemy w następnym artykule. Teraz wystarczy, aby wiedzieć, że rozwiązaniem takiego układu równań w języku macierzowym jest:


gdzie




Podstawiamy znane parametry, a za oczekiwaną stopę zwrotu z portfela możemy podstawiać dowolne liczby. W ten sposób znajdujemy optymalny skład portfela!
...................................................................................

Ponieważ zaczęliśmy od problematyki dywersyfikacji, to na tej tematyce powinniśmy skończyć. Otóż powstaje pytanie, jak daleko dywersyfikacja jest w stanie zmniejszyć ryzyko? Są dwa różne przypadki. Pierwszy to taki, gdy walory są ze sobą nieskorelowane. W takiej sytuacji, jak się okazuje, przy wielkiej liczbie walorów w portfelu ryzyko może zostać całkowicie wyeliminowane. Drugi to taki, gdy walory są ze sobą skorelowane. W takiej sytuacji, przy wielkiej liczbie walorów w portfelu, ryzyko wariancyjne może zostać całkowicie wyeliminowane, zaś pozostaje ryzyko kowariancyjne. Rozpatrzmy oba przypadki.

Załóżmy najpierw, że inwestujemy w każdy walor tę samą sumę pieniędzy, zatem


1. W sytuacji braku korelacji wariancja portfela redukuje się do:


W sumie więc:


Wyrażenie:


stanowi średnią wariancję stóp zwrotu walorów uwzględnionych w portfelu. W konsekwencji


Jeśli K dąży do nieskończoności, wtedy wariancja portfela dąży do zera.


2. W sytuacji skorelowania walorów dostajemy:


Wyłączając 1/K oraz (K-1)/K z powyższej formuły zapiszemy:


Wyrażenie w pierwszym składniku sumy po prawej stronie równania jest średnią wariancją, którą wcześniej oznaczyliśmy. Wyrażenie w drugim składniku sumy tego równania jest średnią kowariancją, którą oznaczymy jako:


Zatem ostatecznie wzór na wariancję zapiszemy:



Z reguły de Hospitala wynika, że jeżeli liczba akcji w portfelu wzrasta do nieskończoności, wtedy wariancja portfela zmierza do średniej kowariancji, tj.:


Zatem nawet w przypadku bardzo dużych portfeli istnieje pewna "część" ryzyka, którego nie można wyeliminować. Jest to ryzyko niedywersyfikowalne. Jest ono równe średniej kowariancji stóp zwrotu wszystkich walorów. Pokazuje to poniższy rysunek. Na rysunku tym ryzyko jest mierzone jako procentowy udział ryzyka portfela do oczekiwanego (przeciętnego) ryzyka portfela jednoskładnikowego.



Najtrudniejszym założeniem teorii portfela jest to, że parametry rozkładu stopy zwrotu nie zmieniają się w czasie. Tak niestety się nie dzieje na rzeczywistych rynkach. Jednak Markowitza można zastosować dla stabilnych biznesów, jeśli horyzont czasowy jest dostatecznie długi.

Teoria portfela Markowitza. Portfele nieefektywne, efektywne i wybór

W poprzednim odcinku przedstawiono sposób tworzenia portfeli o najmniejszym ryzyku przy określonym poziomie oczekiwanej stopy zwrotu. Powstaje pytanie czy wybór dowolnego z tych portfeli jest racjonalny. We wprowadzeniu do teorii portfela stwierdziłem, iż "maksymalizacja użyteczności oznacza maksymalizowanie zysku przy danym poziomie ryzyka lub minimalizowanie ryzyka przy danym poziomie zysku." Wynikałoby z tego, że dowolny portfel na krzywej minimalnego ryzyka może być optymalny. I faktycznie może, jednak optimum zależy od preferencji gracza giełdowego. Tu zaczyna się pewien problem. Popatrzmy na poniższy przykład krzywej minimalnego ryzyka.



Portfel A i A' charakteryzują się tym samym poziomem ryzyka, lecz A ma wyższą oczekiwana stopę zwrotu. Czy ktoś o zdrowych zmysłach wybrałby portfel A'? Kiedy byłoby to możliwe? Są dwie takie sytuacje. Może być tak, gdy ktoś najbardziej preferuje tylko określony poziom zysku i ryzyka i nie chce mieć więcej ani mniej. Osoba czuje się "altruistą", a w każdym razie odrzuca maksymalny oczekiwany zysk. W drugim przypadku musiałyby zostać spełnione dwa założenia: gracz nie lubiłby ani zysku, ani ryzyka oraz byłby zmuszony do grania. Wtedy krzywa minimalnego ryzyka stałaby się dla niego ograniczeniem wymuszającym grę.

Drugi przypadek jest bardziej interesujący. Dwa towarzyszące mu założenia muszą zostać na siebie nałożone. Zajmijmy się pierwszym. Jak wyglądałyby obrazy preferencji gracza nielubiącego zysku ani ryzyka?

Łatwiej pokazać najpierw obrazy preferencji, gdy gracz lubi zarówno zysk jak i ryzyko (taki hazardzista).

Ale żeby to opowiedzieć, musimy krótko wprowadzić teorię wyboru konsumenta.

Koszyk konsumpcji.

Koszyk konsumpcji, czyli zamknięta lista dóbr i usług, jest przedmiotem wyboru konsumenta. Konsument potrafi uszeregować koszyki według stopnia pożądania. Potrafi więc określić który koszyk jest lepszy lub czy są mu obojętne. Jeśli są mu obojętne, to przynoszą identyczną użyteczność.

Użyteczność.

Hal R. Varian podaje, że użyteczność rozumie się po prostu jako „sposób
opisania preferencji” [Mikroekonomia. Kurs średni – ujęcie nowoczesne, PWN SA, W-wa 2002, str. 82]. Mówiąc inaczej konsument sam wybiera którą strukturę dóbr (koszyk dóbr) preferuje względem innej.

Dlaczego taka definicja, zamiast coś w rodzaju "poziom zadowolenia, satysfakcji"? Przy wyborze koszyka nie jest ważne o ile jest on lepszy od drugiego. Ważne jedynie, że jest wyżej preferowany. Można byłoby powiedzieć, że ten koszyk przynosi mi użyteczność 1, a tamten 3. Drugi jest lepszy o 2, ale tak naprawdę to nie wiadomo o co mi chodzi, gdy nie mam podanych jednostek w jakich wyrażam swoją użyteczność. Ponieważ nie ma jakiegoś odniesienia, równie dobrze możemy pomnożyć te wartości przez 2, tak że dostajemy odpowiednio użyteczność 2 i 6, ale różnica użyteczności już wynosi 4. Widzimy więc, że pojęcie absolutnego poziomu użyteczności dla danego konsumenta nie istnieje.

Krzywa obojętności.

Jeśli koszyki konsumpcji przynoszą zawsze ten sam poziom użyteczności, to każdy taki koszyk można przedstawić graficznie jako punkt tzw. krzywej obojętności. Jeśli konsument lubi dobro X1 i X2, to aby pozostać na tym samym poziomie użyteczności, czyli nie wypaść z danej krzywej obojętności, każdej dodatkowej jednostce danego dobra musi towarzyszyć spadek ilości drugiego dobra. Krzywa obojętności może mieć wtedy następujący kształt:



X oznacza ilość konsumowanego dobra. Skoro konsument lubi oba dobra, to im więcej ich konsumuje, tym lepiej. Czyli coraz wyższe poziomy krzywej obojętności będą wiązały się z wyższym poziomem użyteczności (U).



Ograniczenie budżetowe.

Oczywiście, to ile konsument będzie faktycznie konsumował, będzie zależało od jego możliwości, na przykład pieniężnych. Ograniczenie budżetowe może być przedstawione jako linia prosta na wykresie X1-X2, co wynika z faktu, że budżet zapisujemy jako suma dostępnych wartości obu dóbr. Dostępna wartość każdego dobra to jego cena razy ilość możliwa do uzyskania. Czyli: budżet = cena*X1 + cena*X2. Możemy to przekształcić i zapisać jako funkcję liniową względem X1 lub X2. Łatwo zauważyć, że nachylenie tej funkcji będzie ujemne. Im większe możliwości budżetowe ma konsument, tym linia ograniczenia budżetowego znajduje się wyżej, gdyż X1 lub X2 jest większe.

Maksymalizacja użyteczności.

Choć nie istnieje absolutny poziom użyteczności, to nie znaczy to, że nie możemy znaleźć koszyka maksymalizującego użyteczność. Możemy bowiem nałożyć wykres krzywych obojętności na ograniczenie budżetowe. Punkt styczności obu krzywych stanowi punkt optymalny - to jest koszyk, który konsument wybierze.



Przedstawiona teoria konsumenta jest bardzo, bardzo skrótowa. Jednym z pytań może być, dlaczego krzywa obojętności ma właśnie taki kształt. Jak napisano, był to jedynie przykład (tzw. preferencji wypukłych). Generalnie założono,że konsument woli konsumować dobra razem niż oddzielnie, co jest całkiem realistycznym założeniem. Zazwyczaj konsumujemy dobra w pewnej proporcji (chociażby udziały akcji). Jeśli wolisz konsumować trochę dobra X1 i X2, to znaczy, że środkowy koszyk będzie lepszy niż koszyk skrajny. Stąd taka wypukłość krzywych obojętności: aby zachować taką samą użyteczność koszyków, koszyki środkowe muszą się "cofnąć" (w kierunku początku układu). Gdyby krzywa obojętności miała stałe nachylenie, to oznaczałoby to, że konsumentowi jest obojętne czy konsumuje po trochu każdego dobra czy też tylko jedno z nich.

Powróćmy więc do problemu omawianego na początku. Zakładamy, że konsument nie lubi ani zyskiwać, ani ryzykować. Oznacza to, że musimy odwrócić sytuację krzywych obojętności: coraz niższe poziomy tych krzywych będą przynosić coraz wyższą użyteczność (konsument najlepiej nie konsumowałby w ogóle). Jednocześnie kształt krzywej obojętności będzie odwrócony, gdyż środkowe koszyki - jeśli mają być lepsze niż skrajne - będą "odchylać się" w kierunku przeciwnym do początku układu współrzędnych, po to, aby zachować obojętność.



Drugim warunkiem było zmuszenie gracza do grania. Może być tak wtedy, gdy jakaś siła z zewnątrz (lub z wewnątrz) każe nam brać udział w ryzykownej inwestycji. W takiej sytuacji osoba nie ma wyjścia i musi ograniczyć się do jakiegoś poziomu gry. Linią ograniczenia budżetowego jest w tym przypadku krzywa minimalnego ryzyka. Nakładamy więc mapę krzywych obojętności na pierwszy rysunek w tym artykule.



Wróćmy do realiów. Chociaż możemy mieć do czynienia z przypadkami psychicznych tortur, hazardzistami-masochistami czy altruistami, nie mają one nic wspólnego z inwestowaniem. Ich portfele leżące na części krzywej, na której ryzyko maleje, a oczekiwany zysk rośnie, są nazywane nieefektywnymi.

Inwestor pożąda maksymalnego zysku i odczuwa awersję do ryzyka. Wzrost odchylenia standardowego powoduje, że inwestor czuje się gorzej, natomiast wzrost oczekiwanej stopy zwrotu przynosi mu lepszy nastrój. Pozwala to potraktować μ jak dobro pożądane, a σ - niepożądane (niechciane). Jeśli ktoś oferuje trochę więcej dobra niechcianego, to aby „nie wypaść” z danego poziomu użyteczności (czyli aby pozostać na tej samej krzywej obojętności), potrzeba dostać także trochę więcej dobra pożądanego. Czyli większa ilość μ rekompensuje większą ilość σ. Wynika z tego, że krzywe obojętności będą mieć tym razem dodatnie nachylenie. Jednocześnie coraz wyższe poziomy krzywych obojętności w kierunku wzrostu oczekiwanego zysku z portfela, przynoszą coraz wyższą użyteczność.



Po nałożeniu tych krzywych obojętności na krzywą minimalnego ryzyka otrzymujemy optymalny punkt, w którym możliwie najwyżej położona krzywa obojętności styka się z krzywą minimalnego ryzyka. Punkt ten reprezentuje właściwy portfel inwestora:



W zależności od nachylenia krzywej obojętności, optymalny portfel znajdować się będzie w różnych punktach krzywej minimalnego ryzyka. Jednakże widać, że inwestor jest zainteresowany jedynie tym odcinkiem krzywej, który jest rosnący w kierunku wzrostu ryzyka. Tę część krzywej nazywa się granicą portfeli efektywnych. Portfele efektywne przynoszą z jednej strony najniższe ryzyko przy wymaganej stopie zwrotu, z drugiej - najwyższe oczekiwane stopy zwrotu przy danym ryzyku.

Jeśli ktoś z Was pomyślał przez chwilę, że nauczył się już teorii portfela, to muszę z przykrością oznajmić, że to dopiero początek. W końcu dotychczas omawialiśmy sytuację, gdy w portfelu znajdują się tylko dwa walory. Sytuacja staje się trudniejsza, gdy mamy ich dużo więcej.