Persystencja dla logarytmicznego SP500

Gwałtowne spadki na rynkach kapitałowych, które w przeciągu ostatnich miesięcy zagroziły hossie, skłaniają do powtórnego zastanowienia się nad istnieniem "długiej pamięci" w danych. Przypomnę, że z moich badań wynika, że średnio pamięć długoterminowa dla miesięcznych stóp zwrotu trwa ok. 42 miesięcy dla rynku amerykańskiego (u Petersa wyszło 48 m-cy). Teraz pomyślmy. Hossa rozpoczęta w 2003 r. trwała niecałe 5 lat. Bessa od 2007 r. zaledwie 1,5 roku. Można powiedzieć, że taki jest typowy przebieg cyklu: hossa jest powolna, ale długa, bessa szybka, ale krótka. Jeśli hossa rozpoczęta w marcu 2009 r. miałaby się skończyć w maju 2011, to trwałaby zaledwie 2 lata i 2 miesiące.

Zainteresowało mnie to, co by się stało gdybym przebadał SP500 od stycznia 1940 (a nie jak wcześniej 1933) do końca grudnia 2011. Wykładnik Hursta H wyniósł 0,72. Okazało się, że poziom ten załamuje się dopiero dokładnie średnio po 60 miesiącach. Wynika z tego, że w okresie 1940-2011 długa pamięć miała przeciętny cykl 5 lat a nie 3,5-4 jak wcześniej. Moment od którego nachylenie poniższego wykresu ulega kontrakcji i wyrównaniu do linii regresji to moment załamania się długiej pamięci.



Należy sobie jasno powiedzieć, że nie ma żadnych wątpliwości, że taka pamięć występowała: różnica pomiędzy empirycznym H = 0,72 a teoretycznym H wyniosła prawie 3,5 razy odchylenia standardowego H.

Dowód na persystencję indeksu jest nawet silniejszy. Nie występuje bowiem żadna istotna liniowa autokorelacja dowolnego rzędu w miesięcznych stopach zwrotu dla badanego zakresu. Oznacza to, że autokorelacja liniowa nie może pozorować długiej pamięci jak to czasami bywa.

Przykład dla autokorelacji 1 rzędu miesięcznych stóp zwrotu SP500 w l. 1940-2011:


Wiadomo jednak również, że istotny wykładnik Hursta nie musi dawać sygnału o długiej pamięci jeśli wariancja stopy zwrotu nie istnieje (staje się nieskończona). Aby wygładzić poniższy trend:



dokonałem transformacji w przebieg logarytmiczny:



Wykładnik Hursta praktycznie się nie zmienił dla tej transformacji. Być może wariancja staje się szalona w bessie, ale jeśli popatrzymy na ogólny obraz zlogarytmowanego wykresu, to dostrzegamy pewną kilkuletnią "gładkość".

Na podstawie tutejszych badań trzeba stwierdzić, że średni czas trwania długiej pamięci nie jest ściśle określony. Może to być pomiędzy 3,5 a 5 lat. Dane od 1940 r. wskazują, że trendy są dłuższe. Wydaje się, że duże znaczenie ma tutaj hossa, która zbyt łatwo nie zmienia kierunku.

Ciągle należy mieć na uwadze, że nie mówimy tutaj o autokorelacji liniowej, ale nieliniowej długoterminowej. Oznacza to - mówiąc zwięźle i surowo - że jeśli w jednym miesiącu jest "plus", to w drugim, trzecim, czwartym itd. może być zarówno "plus" jak i "minus", ale "minus" z większym niż 50% prawdopodobieństwem będzie mniejszy niż ten pierwszy "plus", przy czym prawdopodobieństwo to będzie z każdym następnym miesiącem spadać aż do 50%. Pierwszy plus jest jak gdyby "efektem motyla" prowadzącym kurs do góry. W ten sposób powstaje gładkość ruchu. W ten sposób również powstają fale, w tym korekty trendu - np. kliny i trójkąty, znane z analizy technicznej.