Jak powstają cykle i podcykle? Prawdopodobieństwo warunkowe. Część trzecia

W pierwszym artykule z cyklu "Jak powstają cykle?" stwierdzono, iż ze względu na niepewność, trendy powstają i załamują się w przypadkowych momentach, natomiast samo utrzymywanie się nie jest przypadkowe. Ktoś może zripostować: skoro trend zaczyna się przypadkowo i kończy się przypadkowo, to znaczy to samo, że jest przypadkowy. Co więcej, wydaje się, że jeśli cykl można niemal w nieskończoność dzielić na podcykle, to znaczy, że w którymś momencie, przy bardzo małym horyzoncie czasu, początek cyklu połączy się z jego końcem, co prowadzi do wniosku, że sam trend jest przypadkowy.

W praktyce zawsze będzie istnieć pewna nieciągłość pomiędzy kolejnymi transakcjami. Myślę, że nawet teoretycznie pewna nieciągłość musi istnieć - w książce E. Borela "Prawdopodobieństwo i pewność" przeczytałem ciekawą myśl: że ludzie nie są w stanie wyobrazić sobie nie tylko nieskończenie wielkiej liczby, ale także nieskończenie małej liczby.

Wobec tego pierwsze zmiany ceny, które będą ze sobą silnie pozytywnie skorelowane, można zaobserwować. Niech najmniejszą jednostką czasu będzie okres t. Mamy więc sytuację, że z prawdopodobieństwem warunkowym równym 1 dodatnia (ujemna) zmiana ceny akcji z okresu t, spowoduje dodatnią zmianę ceny akcji z okresu t+1. Jest tak, gdy liczba kupujących (na przykład grupa B) przeważa nad liczbą sprzedających. Jednocześnie jednak wiemy, że w którymś z przyszłych okresów trend się zakończy (niepewność ze strony grupy B), jednak nie wiadomo kiedy. Skoro nastąpiło sprzężenie pomiędzy zmianami ceny w okresie t i t+1, możemy się mimo wszystko domyślać, że zmiana kierunku nie nastąpi wcześniej niż w okresie t+2. Przyjmijmy "obiektywnie", że prawdopodobieństwo warunkowe ujemnej (dodatniej) zmiany ceny z okresu t+k, gdzie k>1, pod wpływem dodatniej (ujemnej) zmiany ceny z okresu t+(k-1), wynosi 0,5.

Problem polega na tym, że t jest tylko zmienną. Ktoś wstawi t=0 i jeśli w okresie 0 cena wzrośnie, wtedy w okresie 1 będzie miał pewność, że cena wzrośnie, a w okresie 2 pewność wyniesie tylko 0,5. Z kolei jeśli ktoś wstawi t=1, a wiemy już, że cena w tym okresie wzrosła, wtedy w okresie 2 będzie miał pewność, że cena wzrośnie, co przeczy poprzedniej konkluzji.

Dlatego właśnie wyciągamy średnią: (1+0,5)/2=0,75. I takie jest prawdopodobieństwo warunkowe zmiany ceny akcji. Oczywiście jest to tylko model, w rzeczywistości wystąpi dodatkowy szum, który sprawi, że kolejne stopy zwrotu nie będą maksymalnie skorelowane w okresie t i t+1.

Powyższe rozumowanie wydaje się tłumaczyć, dlaczego wartość oczekiwana stopy zwrotu będzie różna od zera. W rzeczywistości jednak jest trochę inaczej. Zwróćmy uwagę, że posługiwano się tu pojęciem prawdopodobieństwa warunkowego.

Prawdopodobieństwo warunkowe wystąpi wtedy, gdy dwie zmienne lub zdarzenia losowe są od siebie zależne. Jeśli mamy prawdopodobieństwo zdarzenia x oraz y, to jeśli są one zależne, to prawdopodobieństwo, że wystąpi zdarzenie y pod warunkiem, że wystąpiło zdarzenie x jest równe ilorazowi prawdopodobieństwa części wspólnej zdarzeń x,y i prawdopodobieństwa zdarzenia x. Czyli mówi ono jaką część prawdopodobieństwa zdarzenia x stanowi prawdopodobieństwo części wspólnej zdarzeń x i y. Jest tak, ponieważ drugie implikuje pierwsze, a więc podstawą jest warunek i dopiero wtedy liczy się interakcja pomiędzy zdarzeniem y i warunkiem x. A więc mówiąc jeszcze inaczej, prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia y jest prawdopodobieństwem interakcji pomiędzy x i y pod wpływem x. Musimy więc zrozumieć, że nazwa jest trochę myląca: prawdopodobieństwo warunkowe y jest bardziej prawdopodobieństwem interakcji (zależności) zdarzeń niż konkretnego zdarzenia.

Kiedy mówimy, że trend nie jest przypadkowy, mamy na myśli, że występują zależności pomiędzy kolejnymi zmianami kursów. Mamy tu prawdopodobieństwo warunkowe, że kurs podąża w pewnym kierunku pod wpływem tego co się działo wcześniej, ale nie przypadek.

Skoro występuje pojęcie prawdopodobieństwa warunkowego, to również musi istnieć pojęcie warunkowej wartości oczekiwanej (a także warunkowej wariancji). Nie jest nam potrzebne dokładnie wiedzieć, czym jest warunkowa wartość oczekiwana. Intuicyjnie jednak warto ją rozumieć: to wartość oczekiwana jednej zmiennej losowej względem drugiej, czy pod warunkiem drugiej.

Musimy tu uświadomić sobie, że zazwyczaj intuicyjnie umieszczamy charakterystyki zmiennych losowych w pewnym kontekście. Stopa zwrotu jako taka posiada wartość oczekiwaną równą zero. Lecz w rzeczywistości trudno nam oderwać się od kontekstu - jest nim czas i przestrzeń. Aby uzyskać "czystą" wartość oczekiwaną, musimy się oderwać nie tylko od przeszłości, ale także poziomu inflacji i wzrostu gospodarczego. Pomyślmy bowiem: wartość oczekiwana musi wynikać z czystej losowości, rozkładu prawdopodobieństwa, a faktycznie jest tak, że na jej wielkość wpływa przeszłość (tzn. na zmienną Y wpływa zmienna X) oraz koniunktura gospodarcza (Y pod wpływem "inflacji" i "wzrostu gospodarczego"). Warunkowa wartość oczekiwana stopy zwrotu jest niezerowa.

Obecny tok rozumowania prowadzi do wniosku, że zmiana ceny w dowolnym okresie t, w oderwaniu od zmian w okresie t-1 oraz t+1, jest całkowicie losowa i prawdopodobieństwo wzrostu wynosi 0,5. Dlatego trend może się zakończyć w każdej chwili, jeśli nie obrysujemy tej chwili w kontekst. Ale gdy rozpatrujemy ciąg zmian, które są skorelowane, dostajemy prawdopodobieństwo warunkowe kontynuacji trendu większe od 0,5, co oznacza, że prawdopodobieństwo warunkowe odwrócenia trendu czy korekty jest mniejsze od 0,5.

Skąd to wiem? Wiem. Rafał Rak w pracy "Ilościowe charakterystyki fluktuacji i korelacji na polskim rynku akcji" (2008) stwierdza na s. 44, że zachodnie rynki (np. DAX, DJIA) są na skali jednominutowej wysoce persystentne (prawdopodobieństwo warunkowe, że znak stopy zwrotu w danej minucie będzie taki sam jak w poprzedniej minucie = 0,56). Okres jednominutowy jest oczywiście bardzo trudny do wykorzystania przez traderów. Wyniki badań czy to E. Petersa, K. Jajugi, N. Siemieniuka, czy Stawickiego, E. A. Janiaka, Iwony Müller-Frączek niezbicie dowodzą, że wykładnik Hursta w polskich szeregach czasowych stóp zwrotu, który można utożsamić z prawdopodobieństwem warunkowym, jest istotnie większy od 0,5 na różnych skalach czasowych - dziennych, tygodniowych i miesięcznych (w rzeczywistości chodzi tu, że jest większy od wartości oczekiwanej wykładnika Hursta, gdyż operujemy na pewnych próbkach czasowych, więc wyniki są obciążone i z reguły dają wykładnik Hursta większy od 0,5).

Choć moment powstania korekty czy też zmiany kierunku trendu jest losowy, to jednak musimy być świadomi praw probabilistyki. Im dłużej trwa trend, tym większe jest prawdopodobieństwo, że korekta nastąpi teraz. Im dłużej trwa trend, tym większe zyski (straty) osiągają (ponoszą) inwestorzy, tym większą odczuwają pokusę ich realizacji (od strony strat oznacza zwiększoną chęć sprzedaży, ale - dwoiście - zwiększenie zaangażowania kupujących po niższej cenie). Ale jest tu jeszcze jeden aspekt, którego dotąd nie poruszałem. Jeśli grupa B staje się podażą, to mająca zatrzymać korektę grupa D nie musi w rzeczywistości być liczebnie równa grupie B. Kupujących może być coraz mniej lub coraz więcej tylko ze względu na dostępność nowego kapitału.

Gdy włączymy wymiar czasu, ograniczony kapitał grupy D jest ważniejszy niż pokusa kupna czy sprzedaży dla utrzymania się trendu. Grupa B nie przechodzi tak od razu ze strony kupujących na stronę sprzedających, ale stopniowo zmienia swoje nastawienie. Przypadek zdecyduje, w którą stronę podąży cała grupa (na przykład grupa B1 może ciągnąć w stronę podaży, a B2 w stronę popytu). Jeśli natomiast grupy D zabraknie, wówczas nie powstanie długoterminowy, tj. paroletni trend.

Możemy ten problem znowu rozbić. Gdy rozważamy siłę trendu, wtedy istotna jest rola grupy B. Gdy rozważamy długość trendu, czyli czas jego trwania, wtedy istotna jest rola grupy D. W pierwszym przypadku od B zależy po pierwsze siła trendu, po drugie, jak szybko sama ulegnie tej sile i obróci się przeciwko trendowi. W drugim przypadku D będzie hamowała korekcyjne zapędy B, ale liczebność D będzie zależeć od ilości dostępnego kapitału. Dostępność kapitału jest w pewnej mierze zależna zarówno od krajowej jak i światowej koniunktury gospodarczej: poziomu PKB, wzrostu wynagrodzeń, poziomu zatrudnienia. Dlatego przewaga popytu, czyli hossa często zbiega się z okresami poprawy gospodarczej, a bessa - pogorszenia. Podkreślam jednak, że występuje tu jedynie częściowa zależność, a nie całkowita. Tak więc wejście grupy D może zależeć od tego, czy w danym sektorze gospodarki nastąpiła choćby lekka poprawa. Jeśli przedsiębiorcy poprawiają swój status, to część nadwyżki mogą przeznaczyć na inwestycje giełdowe. Ponieważ różne sektory mogą reagować z opóźnieniem, toteż wchodzenie nowego kapitału odbywa się stopniowo. Również spółki, które wypłacają dywidendy dla akcjonariuszy, poprawiając swoje wyniki finansowe, stają się bardziej popularne. W trakcie nadchodzącej recesji, sytuacja się odwraca.

Podsumowując, prawdopodobieństwo warunkowe znaku zmiany ceny akcji pod wpływem poprzedniego znaku zmiany ceny zależy od dwóch czynników: siły trendu oraz czasu jego trwania. Im większa siła trendu oraz im dłuższy czas jego trwania, tym większe prawdopodobieństwo warunkowe zmiany kierunku ceny - korekty. Pierwszy czynnik wynika z chciwości lub ze strachu, drugi czynnik z ograniczoności kapitału przeznaczonego na inwestycje giełdowe. W rzeczywistości zarówno jeden, jak i drugi czynnik zależy od dostępności kapitału. Nikt nie byłby chciwy i nikt nie bałby się ryzykować, gdyby jego kapitał był nieograniczony. W pierwszym jednak przypadku znaczenie ma psychologia, a w drugim ekonomia. Oba wymiary ściśle się ze sobą łączą. Wymiar ekonomii jest wymiarem przestrzeni kapitału. Wymiar psychologii jest wymiarem przestrzeni emocji i intuicyjnego rozumowania (heurystyk). Zauważmy, że wymiar ekonomiczny umożliwia w ogóle lokowanie kapitału, zaś wymiar psychologiczny umożliwia motywację do działania - zakup lub sprzedaż aktywów. W rezultacie kombinacja obydwu wymiarów kreuje prawdopodobieństwo warunkowe. W następnej części zajmiemy się czynnikiem psychologicznym.