Chwila oddechu. Dziwne atraktory i efekt motyla

Zanim przejdziemy do dalszych rozważań, obejrzyjmy efekt motyla w akcji oraz zobaczmy kilka atraktorów chaotycznych. Obrazków nigdy za wiele.

A jak ktoś chce, może sam skonstruować odwzorowanie Henona. Instrukcja w Excelu jest następująca:

1. W komórkach A1 oraz B1 umieszczamy wyjściowe wartości x i y mieszczące się między 0 a 1.
2. W komórce A2 wpisujemy następujące równanie: 1+B1-1,4*A1^2.
3. W komórce B2 wpisujemy równanie : 0,3*A1.
4. Kopiujemy A2 oraz B2 300 rzędów w dół lub więcej (im więcej, tym lepiej).
5. Sporządzamy wykres punktowy typu xy (kolumna A jako x, B jako y).

Na wykresie pojawia się odwzorowanie Henona. Zmieńmy teraz wyjściowe wartości x oraz y w komórkach A1 i B1. Wszystkie wartości uległy zmianie. A jednak wykres wygląda dokładnie tak samo. System jest przyciągany do tego samego kształtu - dziwnego atraktora.



Utwórzmy teraz drugi system Henona w kolumnach D i E z wartościami początkowymi różnymi o 0,01 od wartości początkowych z kolumny A i B. Nanieśmy kolumny A i D na wykres liniowy. (Op. cit. E. Peters, Teoria chaosu a rynki kapitałowe, W-wa 1997, s. 142-143). Co się dzieje?



Początkowo wszystko idzie dobrze, aż tu nagle coś się psuje. Sprzężenia zwrotne pomiędzy zmienną x i y będą powodować, że warunki początkowe będą coraz silniej oddziaływać na wartości zmiennej w kolejnych iteracjach.

Pamiętajmy, że odwzorowanie Henona jest bardzo proste. Łatwo teraz zrozumieć, jak silnie wyraża się efekt motyla w bardziej skomplikowanych równaniach.

Popatrzmy raz jeszcze (bo już kiedyś podawałem) na układ równań Lorenza, modelujący w możliwie najprostszy sposób zjawisko konwekcji termicznej w atmosferze (proces przenoszenia ciepła).



gdzie:

X - amplituda ruchu wywołanego konwekcją
Y - różnica temperatur pomiędzy prądami wstępującymi i zstępującymi
Z - odchylenie spadku temperatury od przebiegu liniowego.
Parametry stojące przy zmiennych są bezwymiarowe i wyrażają kombinację pewnych stałych fizycznych.

Atraktor Lorenza wszyscy znają - jego kształt przypomina motyla i stąd wzięła się nazwa "efekt motyla":



A sam efekt motyla ilustruje poniższy rysunek:



Gołym okiem patrząc, wydaje się, że warunki początkowe są identyczne - dla obu porównywanych trajektoriach "pionek" startuje od lewej strony. Różnica w warunkach wynosi tylko 0,00001 we współrzędnej x. Różnica ta rośnie wykładniczo (zgodnie z wykładnikiem Lapunowa), tak że po pewnym czasie pionek niebieski znajduje się w innym położeniu niż żółty (czas jest ten sam dla obu kolorów). Jednak za każdym razem system jest przyciągany do atraktora Lorenza (trajektorie zawijają się), więc obraz pozostanie ten sam.

Należy pamiętać, że i układ Lorenza jest bardzo prostym układem modelującym zjawiska astronomiczne, można rzec - prymitywnym.

"Jeżeli przyjmiemy, że odpowiednikiem klimatu jest statystyka położeń punktów na pewnym odcinku toru, to widać, że klimat ten jest w zasadzie zdeterminowany przez statystykę punktów na danym „liściu”. Przez większość czasu podlega on niewielkim wahaniom, na pewnych odcinkach w przybliżeniu okresowym. Od czasu do czasu następuje jednak nagły przeskok do zupełnie innego „klimatu” zdeterminowanego przez punkty drugiego „liścia”. Dzieje się to pod wpływem jedynie sprzężeń wewnętrznych, bez udziału czynników zewnętrznych! Odpowiednik tego zjawiska znany jest w paleoklimatologii w postaci nagłych zmian klimatu widocznych w śladach zachowanych w osadach z dawnych epok geologicznych. Gdybyśmy obejrzeli tory, których punkty startowe różniłyby się choćby dowolnie mało od punktu startowego toru przedstawionego na rycinie, okazałoby się, że tory te wprawdzie szybko się rozchodzą, lecz statystyki przez nie generowane są na ogół podobne, choć czasem zdarzają się niespodzianki – np. nieoczekiwany przeskok na drugi liść."(Op. cit. K. Haman, Naturalne i antropogeniczne przyczyny zmian klimatu, Nauka 1/2008, s. 121).

I na koniec 2 artystyczne dziwne atraktory w przestrzeni trójwymiarowej (zapożyczone ze strony http://wokos.one.pl/attractors.php: