niedziela, 2 stycznia 2011

Wzór na stopę wzrostu wartości wewnętrznej akcji lub dywidendy

Potrafimy już precyzyjnie wycenić akcje. Pozostały jednak pewne tematy poboczne, o których warto więcej powiedzieć. Na przykład poruszono już kwestię różnicy pomiędzy stopą wzrostu dywidendy bądź akcji a stopą wzrostu zysku netto spółki.

W teorii wyceny akcji mamy 5 podstawowych kategorii stóp wzrostu:

1. Stopa zwrotu z kapitału własnego (ROE)
2. Wymagana stopa zwrotu z kapitału własnego (r)
3. Stopa aprecjacji kursu akcji [P(1) - P(0)] /P(0) , P(t) - wartość wewnętrzna w t-tym okresie
4. Stopa wzrostu dywidendy (g)
5. Stopa wzrostu zysku netto spółki (w)

W poprzednim wpisie Prawdziwe znaczenie wskaźnika Cena/Zysk i Cena /Wartość księgowa. Badanie empiryczne dowodziliśmy, że stopa aprecjacji rzetelnej ceny akcji jest równa stopie wzrostu dywidendy:




Stąd pkt 3 = 4 -> liczba kategorii stóp wzrostu redukuje się do czterech.

Wyznaczymy relację pomiędzy każdą z nich.

Z twierdzenia o nieistotności polityki dywidendy wynika, że wartość wewnętrzna akcji obliczona na podstawie modelu dywidendowego (DDF) jest równoważna wartości obliczonej na podstawie modelu przepływów pieniężnych (DCF):



gdzie

P(0) - bieżąca wartość wewnętrzna
D(t) - oczekiwana dywidenda w t-tym okresie
X(t) - oczekiwany zysk netto w t-tym okresie
I(t) - oczekiwane inwestycje w t-tym okresie
r - oczekiwana stopa zwrotu; stopa dyskontowa

Przypomnijmy następnie, że powyższy wzór powstał w oparciu o następującą zależność:



gdzie I(t) = n(t-1)*I(t), X(t) = n(t-1)*X(t), D(t) = n(t-1)*D(t), n(t-1) - liczba akcji w okresie t-1, m(1)P(1) - nowy kapitał powstały z okresowej emisji akcji, m(1) - liczba nowo wyemitowanych akcji w okresie 1.

Oznaczyliśmy również I(t) = k*X(t), ponieważ inwestycje stanowią pewną część zysku netto. k może być nawet większe od 1. Skoro I(t) zostało rozdzielone na dwie części, to k także powinno:



n(t-1) redukuje się, więc:



gdzie:

kr - część zysku netto zatrzymanego w każdym okresie (retained profit)
ke - ilość zewnętrznego kapitału rosnąca w każdym okresie, wyrażona jako część zysku netto w okresie (external profit)


Jednocześnie dowiedziono poprzednio, że przy założeniu stałego średniego tempa wzrostu zysku netto spółki = k*ROE, wartość akcji jest dana wzorem:



A teraz uwzględniając k = kr + ke:



Następnie, skoro zysk netto rośnie w stałym tempie, to możemy założyć, że dywidenda także rośnie średnio w stałym tempie g. Prowadzi to do doskonale poznanego przez nas dywidendowego modelu Gordona:



Czym jest dywidenda? Jest pewna część zysku netto. Akcjonariusze wybierają jaką część zysku zatrzymać w spółce, a jaką wypłacić w formie dywidendy. Jednak zysk zatrzymany powyżej zdefiniowaliśmy jako:



Czyli dywidenda jest to zysk netto minus zysk zatrzymany:



Zysk netto w okresie 0 rośnie w tempie k*ROE, wobec czego zysk netto w okresie 1 wynosi:



W konsekwencji dywidendowy model Gordona zapiszemy w postaci:




Łącząc cashflowowy model z modelem Gordona otrzymujemy relację w postaci równania:



Z tego równania wyznaczamy g:



Jest to wzór na stopę wzrostu wartości wewnętrznej akcji lub dywidendy. Zwróćmy uwagę, że jeśli ke = 0, czyli spółka nie finansuje inwestycji kapitałem zewnętrznym, wtedy g = k*ROE = w, czyli akcje i dywidendy rosną w tempie wzrostu zysku spółki.

Jeśli spółka wypłaca konsekwentnie dywidendy, wówczas określenie kr nie jest trudne. Jeśli zaś dywidendy są bardzo nieregularne, można je pominąć, co oznacza, że kr = 1. Zauważmy, że w takiej sytuacji g = r. Jest to oczywiste: skoro cały zysk netto spółki pozostaje w spółce, to dywidendy nie są wypłacane, a więc całkowity zysk dla inwestora pochodzi jedynie z aprecjacji kursu akcji. W artykule Teoria ekonomii jak filozofia Wschodu pokazano natomiast, że całkowita stopa zwrotu inwestora to właśnie stopa dyskontowa r. Tym samym w przypadku braku dywidend całkowita stopa zwrotu równa się g = r.

Jeżeli chodzi o ke, to jest to wielkość abstrakcyjna i trudna do określenia dla inwestora. Możemy się jej pozbyć.

Wiedząc, że



możemy podstawić do wzoru na g:



Przekształcając go, otrzymamy wzór:





Przykłady.

Z praktycznego punktu widzenia zarówno w, ROE jak i r są to dane empiryczne. W poniższych przykładach założymy, że są to stałe o wartościach:

w = 0.07
ROE = 0.16
r = 0.105

Przykład 1.
kr = 0.1

Podstawiając dane do wzoru na g dostajemy g = 0.049.

Zatem dywidendy i akcje rosną w tym przypadku wolniej niż zysk spółki.


Przykład 2.
kr = 0.6.

Podstawiając do wzoru na g, dostaniemy g = 0.08. Zatem tym razem akcje i dywidendy rosną szybciej niż zysk spółki. Dzieje się tak, ponieważ ke staje się ujemne (spółka nabywa swoje akcje). Może wystąpić szczególny przypadek, gdy ke > 0, a pomimo tego wartość wewnętrzna akcji i dywidenda będą rosły szybciej niż zysk spółki. Mianowicie, będzie to sytuacja, gdy cena akcji jest ujemna. Ponieważ ten przypadek nie istnieje na rzeczywistym rynku (a szkoda), to wnioskujemy, że...

Jeżeli ke > 0, to stopa wzrostu ceny akcji i dywidendy będzie mniejsza od stopy wzrostu zysku spółki. Jeżeli ke < 0, to stopa wzrostu ceny i dywidendy będzie większa od stopy wzrostu zysku spółki.

Przykład 3.
kr = 0.438

Obliczamy g = 0.07

Zauważmy, że g = w, czyli w tym przypadku zyski inwestora rosną dokładnie tak samo jak zyski spółki. Wynika to stąd, że:

ke = w/ROE - kr = 0.07/0.16 - 0.0438 = 0


Widzimy, że jeżeli nowo wyemitowany kapitał nie występuje, tj. ke = 0, to kurs i dywidenda rośnie dokładnie w tempie wzrostu zysku spółki. Jak tylko jednak ten kapitał się pojawia, dywidenda i akcja rosną w tempie różnym od zysku spółki.

Z praktycznego punktu widzenia najważniejsze nie jest jednak to co się dzieje przez ke, ponieważ jest to wielkość, która i tak została przez nas ukryta w ostatnim wyprowadzonym wzorze, więc nas nie interesuje. Najistotniejsze jest to, że za pomocą kr można manipulować stopą wzrostu wartości wewnętrznej akcji i dywidendy. Pomimo tej manipulacji całkowity zysk z akcji jednak się nie zmieni, dopóki stopa r = const.


Literatura:

1. M. H. Miller, F. Modigliani, Dividend Policy, Growth, and the Valuation of Shares, The Journal of Business, Volume 34, Issue 4, October 1961, 411-433;

Brak komentarzy:

Prześlij komentarz