Chwila oddechu. Dziwne atraktory i efekt motyla

Zanim przejdziemy do dalszych rozważań, obejrzyjmy efekt motyla w akcji oraz zobaczmy kilka atraktorów chaotycznych. Obrazków nigdy za wiele.

A jak ktoś chce, może sam skonstruować odwzorowanie Henona. Instrukcja w Excelu jest następująca:

1. W komórkach A1 oraz B1 umieszczamy wyjściowe wartości x i y mieszczące się między 0 a 1.
2. W komórce A2 wpisujemy następujące równanie: 1+B1-1,4*A1^2.
3. W komórce B2 wpisujemy równanie : 0,3*A1.
4. Kopiujemy A2 oraz B2 300 rzędów w dół lub więcej (im więcej, tym lepiej).
5. Sporządzamy wykres punktowy typu xy (kolumna A jako x, B jako y).

Na wykresie pojawia się odwzorowanie Henona. Zmieńmy teraz wyjściowe wartości x oraz y w komórkach A1 i B1. Wszystkie wartości uległy zmianie. A jednak wykres wygląda dokładnie tak samo. System jest przyciągany do tego samego kształtu - dziwnego atraktora.



Utwórzmy teraz drugi system Henona w kolumnach D i E z wartościami początkowymi różnymi o 0,01 od wartości początkowych z kolumny A i B. Nanieśmy kolumny A i D na wykres liniowy. (Op. cit. E. Peters, Teoria chaosu a rynki kapitałowe, W-wa 1997, s. 142-143). Co się dzieje?



Początkowo wszystko idzie dobrze, aż tu nagle coś się psuje. Sprzężenia zwrotne pomiędzy zmienną x i y będą powodować, że warunki początkowe będą coraz silniej oddziaływać na wartości zmiennej w kolejnych iteracjach.

Pamiętajmy, że odwzorowanie Henona jest bardzo proste. Łatwo teraz zrozumieć, jak silnie wyraża się efekt motyla w bardziej skomplikowanych równaniach.

Popatrzmy raz jeszcze (bo już kiedyś podawałem) na układ równań Lorenza, modelujący w możliwie najprostszy sposób zjawisko konwekcji termicznej w atmosferze (proces przenoszenia ciepła).



gdzie:

X - amplituda ruchu wywołanego konwekcją
Y - różnica temperatur pomiędzy prądami wstępującymi i zstępującymi
Z - odchylenie spadku temperatury od przebiegu liniowego.
Parametry stojące przy zmiennych są bezwymiarowe i wyrażają kombinację pewnych stałych fizycznych.

Atraktor Lorenza wszyscy znają - jego kształt przypomina motyla i stąd wzięła się nazwa "efekt motyla":



A sam efekt motyla ilustruje poniższy rysunek:



Gołym okiem patrząc, wydaje się, że warunki początkowe są identyczne - dla obu porównywanych trajektoriach "pionek" startuje od lewej strony. Różnica w warunkach wynosi tylko 0,00001 we współrzędnej x. Różnica ta rośnie wykładniczo (zgodnie z wykładnikiem Lapunowa), tak że po pewnym czasie pionek niebieski znajduje się w innym położeniu niż żółty (czas jest ten sam dla obu kolorów). Jednak za każdym razem system jest przyciągany do atraktora Lorenza (trajektorie zawijają się), więc obraz pozostanie ten sam.

Należy pamiętać, że i układ Lorenza jest bardzo prostym układem modelującym zjawiska astronomiczne, można rzec - prymitywnym.

"Jeżeli przyjmiemy, że odpowiednikiem klimatu jest statystyka położeń punktów na pewnym odcinku toru, to widać, że klimat ten jest w zasadzie zdeterminowany przez statystykę punktów na danym „liściu”. Przez większość czasu podlega on niewielkim wahaniom, na pewnych odcinkach w przybliżeniu okresowym. Od czasu do czasu następuje jednak nagły przeskok do zupełnie innego „klimatu” zdeterminowanego przez punkty drugiego „liścia”. Dzieje się to pod wpływem jedynie sprzężeń wewnętrznych, bez udziału czynników zewnętrznych! Odpowiednik tego zjawiska znany jest w paleoklimatologii w postaci nagłych zmian klimatu widocznych w śladach zachowanych w osadach z dawnych epok geologicznych. Gdybyśmy obejrzeli tory, których punkty startowe różniłyby się choćby dowolnie mało od punktu startowego toru przedstawionego na rycinie, okazałoby się, że tory te wprawdzie szybko się rozchodzą, lecz statystyki przez nie generowane są na ogół podobne, choć czasem zdarzają się niespodzianki – np. nieoczekiwany przeskok na drugi liść."(Op. cit. K. Haman, Naturalne i antropogeniczne przyczyny zmian klimatu, Nauka 1/2008, s. 121).

I na koniec 2 artystyczne dziwne atraktory w przestrzeni trójwymiarowej (zapożyczone ze strony http://wokos.one.pl/attractors.php:

Jak powstają cykle i podcykle? Giełdowy chaos. Część czwarta

Umysł ludzki nie znosi niepewności oraz ułamkowych sądów: niech coś będzie albo całkowicie losowe albo całkowicie deterministyczne. Jednak wiemy dziś, że prawda jest często ułamkowa: w świecie przyrody i na rynkach spotykamy chaos - proces całkowicie deterministyczny, a jednak wymagający stosowania procesów stochastycznych. Ani modele angażujące jedynie procesy stochastyczne, ani z góry narzucające determinizm, nie są w stanie uwzględnić wszystkich sytuacji na rynkach finansowych.

Chociaż w artykułach poświęconych analizie powstawania cykli przyjmowałem mniej lub bardziej ukryte założenia, starałem się zachować ową prawdę ułamkową. Nie używałem słowa chaos, zakładając, że kierunek rynku jest wyznaczony przez początkowe przypadkowe wahania. Istnieje jednak pewna analogia przedstawionego przeze mnie modelu do modelu chaotycznego, a mianowicie efekt motyla. Nikt nie jest w stanie zidentyfikować przyczyn mających jakieś subtelne źródło w głowach inwestorów. To jest nasz motyl, który jest postacią przypadkową, ale wywołuje nieprzypadkowy huragan (przypadkowe wydarzenie prowadzi do obrania przez giełdę konkretnego kierunku).

Zmiany stanu układu opisuje się w przestrzeni fazowej. Różne punkty tych stanów zakreślają trajektorię, nazywaną orbitą. Zbiór przyciągania trajektorii nazywa się atraktorem. Najprostszym typem atraktora jest atraktor punktowy. Najlepszym przykładem takiego atraktora jest wahadło, które porusza się coraz wolniej i w końcu zatrzymuje się w miejscu. Gdy otrzymuje ono początkowy impuls, zaczyna poruszać się do przodu i do tyłu, ale każde kolejne wahnięcie jest krótsze od poprzedniego, aż wreszcie ruch ustaje. Działanie wahadła jest określone dwiema zmiennymi: prędkością i położeniem. Jeśli którą z tych zmiennych naniesiemy na wykres jako szereg czasowy, otrzymamy falistą linię stopniowo wytracającą amplitudę, która w końcu zmniejszy się do zera i linia stanie się zupełnie płaska.



Jeśli przestrzeń fazową tego przedstawimy w układzie współrzędnych, gdzie na jednej osi zaznaczymy prędkość, na drugiej położenie, otrzymamy spiralną linię, która kończy się w początku układu - jest to miejsce, w którym wahadło zatrzymuje się.



Przyjmijmy, że tarcie nie spowalnia ruchu wahadła i że za każdym razem, gdy osiąga ono dany punkt swojej trajektorii, dostarczamy mu taki sam impuls energii. Wykres szeregu czasowego takiego wahadła będzie miał kształt sinusoidy, zaś portret fazowy jego ruchu będzie okręgiem. Ten typ atraktora nazywamy cyklem granicznym.





Teraz wyobraźmy sobie, że losowo zmieniamy energię impulsu przekazywanego wahadłu, zachowując jednak między nimi stałe odstępy czasowe. Skutek działania energii będzie za każdym razem zmieniał się w zależności od wielkości poprzedniego impulsu, mimo że wielkości samych impulsów pozostają niezależne. Przy zmiennej energii impulsów i stałych odstępach czasowych między nimi położenie i prędkość wahadła przy każdym kolejnym impulsie będą inne. Jeśli pierwszy impuls będzie silny, w chwili nadejścia drugiego impulsu wahadło może poruszać się w dół. Jeśli drugi impuls będzie słaby, trzeci impuls może nadejść w chwili, gdy będzie ono poruszać się w górę, i jeszcze bardziej spowolnić jego ruch. Portret fazowy wahadła pobudzanego impulsami energii w regularnych odstępach czasu będzie zatem inny dla każdego cyklu. Cykl, czyli ruch pomiędzy dwoma najwyższymi położeniami wahadła, jest orbitą. Ponieważ jednak w tym przypadku wahadło nie będzie mogło dopełnić cyklu, jego portret fazowy będzie składał się z orbit, które za każdym razem będą inne i nigdy nie będą okresowe. Jego wygląd stanie się przypadkowy i chaotyczny, ale będzie ograniczony do zakresu (maksymalnej amplitudy wahadła). Jest to atraktor chaotyczny, nazywany także dziwnym. (Op. cit. E. Peters, Teoria chaosu a rynki kapitałowe, W-wa 1997, s. 137-140).

Przykład mapy Poincare dziwnego atraktora - "wahadła chaotycznego" przedstawiono poniżej:




Należy zwrócić uwagę, że ruch "wahadła chaotycznego" nie może zostać przedstawiony w dwuwymiarowej przestrzeni fazowej w całej okazałości, jeśli jest on ciągły w czasie. Dopiero w co najmniej trójwymiarowej przestrzeni fazowej, gdy uwzględnimy trzeci stopień swobody, możemy otrzymać ruch chaotyczny. Jeśli potraktujemy ów impuls energii jako pewną wymuszającą siłę z zewnątrz układu, wówczas tą trzecią zmienną będzie kąt pomiędzy wektorem siły wymuszającej a położeniem równowagi wahadła, czyli odchylenie wahadła od punktu równowagi spowodowane pewną siłą z zewnątrz.

Jeśli mamy do czynienia z odwzorowaniem ciągłym, wówczas ruch wahadła opisuje się równaniem różniczkowym, a gdy odwzorowanie jest dyskretne - równaniem różnicowym. Co to jest równanie różniczkowe? Jeśli obserwowane są ewolucyjne procesy zachodzące w rozpatrywanym układzie opisane poprzez nieznaną funkcję i udaje się określić zależność pomiędzy tą funkcją a jej pochodną (czyli zmianą wartości funkcji [trajektorii] w maleńkiej jednostce czasu), to związek taki nosi nazwę równania różniczkowego. (Dla równania różnicowego pochodna staje się zwykłą zmianą wartości funkcji w czasie). Jednak aby jednoznacznie określić ewolucję interesującego nas procesu należy dodatkowo określić warunki początkowe. W przeciwnym razie zadanie jest nieokreślone i posiada nieskończenie wiele rozwiązań. (Op. cit. J. Awrejcewicz, Matematyczne metody mechaniki, s. 9).
Skoro mamy już równanie różniczkowe, to szukamy jego rozwiązania. Ale szukamy rozwiązania równania opisującego konkretny ruch, trajektorię. Rozwiązaniem jest właśnie ta trajektoria przy danym warunku początkowym. Nie możemy więc otrzymać na przykład dwóch rozwiązań, jak w równaniach kwadratowych. Nasze rozwiązanie musi być jednoznaczne. Ale żeby było jednoznaczne, to trajektoria nie może się przecinać sama ze sobą. Możemy przecież wybrać dowolny warunek początkowy będący jakimś punktem trajektorii; gdyby tym punktem był punkt, w którym trajektoria przecina się z jakąś inną lub po pewnym czasie sama ze sobą, to z tego punktu "wyrastałyby" dwie trajektorie i rozwiązanie nie byłoby jednoznaczne. Trajektoria musi być konkretna, bo mamy do czynienia z równaniem deterministycznym (dla równania stochastycznego trajektoria rozwidlałaby się jak by pragnęła). Należy mieć jednak na uwadze, że dla równania chaotycznego powtórzenie eksperymentu w postaci znalezienia danej trajektorii jest tylko teoretycznie mozliwe - nawet maluśka różnica pomiędzy warunkiem początkowym wziętym w pierwszym eksperymencie a warunkiem początkowym w drugim eksperymencie spowoduje, że dostaniemy dwie zupełnie inne trajektorie - na początku bardzo zbliżone, a po pewnym czasie niemające ze sobą nic wspólnego. W przyspieszonym tempie na komputerze ten sam układ równań (całkowicie stały matematycznie) z takim samym warunkiem początkowym (a w rzeczywistości bardzo, bardzo zbliżonym, gdyż identyczne warunki są niemożliwe - wynika to z kwantowej natury świata) będzie generował za każdym razem inną trajektorię. Spowoduje to, że ruch trajektorii będzie wyglądał na losowy (i klasyczne testy nie wykryją korelacji pomiędzy orbitami). Oto istota chaosu.

To wyobraźmy sobie, co się dzieje, gdy trajektoria jest ograniczona w pewnym obszarze. Płaszczyzna dwuwymiarowa jest zbyt „ciasna”, aby trajektoria mogła się przeplatać, tworząc bardziej złożone rozwiązania (op. cit. M. Tylutki, Układy oscylacyjne w przyrodzie, Foton 90, jesień 2005, s. 20). Mówi o tym twierdzenie Poincarego-Bendixona: Jeśli trajektoria jest ograniczona i nie dąży do żadnego punktu osobliwego (atraktora punktowego), to jest albo zamkniętą orbitą, albo do niej dąży. I dlatego właśnie chaos odbywa się w co najmniej trzech wymiarach.

Przedstawiony szkic atraktora chaotycznego wahadła jest tylko jego mapą, którą nazywamy mapą Poincarego. Metoda Poincarégo polega na zredukowaniu N-wymiarowej przestrzeni fazowej z czasem ciągłym do przestrzeni (N-1)-wymiarowej z czasem dyskretnym (nieciągłym). A więc zastępujemy równania różniczkowe różnicowymi.



Właśnie przejście od czasu ciągłego do dyskretnego niesie poważne konsekwencje. Pozwala to na eliminację ruchów okresowych do punktów, dzięki czemu można się skoncentrować tylko na dynamice chaotycznej, a także pozwala zrozumieć fraktalność atraktora i w konsekwencji szeregów czasowych kursów i stóp zwrotu. Mamy tu podobieństwo do linii brzegowej - nie jest to linia jednowymiarowa, gdyż przy powiększeniu dostrzegamy coraz więcej szczegółów, zygzaków, aż w końcu pozostają same kamienie, a w każdym razie pewne punkty. Linia brzegowa okazuje się nieciągła i ma wymiar ułamkowy. Definicja atraktora chaotycznego określa go jako taki atraktor, który jest fraktalem.

Pamiętamy jaka była różnica pomiędzy równaniem deterministycznym a stochastycznym. Atraktor jest analogią ciała stałego - cząsteczki są połączone wiązaniami chemicznymi. Odnajdując tu analogię do rynku stopy zwrotu są "połączone" prawdopodobieństwem warunkowym (są skorelowane). Przy każdym kolejnym powiększeniu ciała stałego potrafimy dostrzec coraz większe szczegóły. Materiał, cząsteczki, atomy... gdzieś są w końcu te kwanty (działania, energii, tj. stała Plancka), czyli istnieje nieciągłość. Kwanty powodują, że obiekty stają się ze sobą powiązane.
W przypadku równań stochastycznych atraktor staje się analogią gazu, który wypełnia całą przestrzeń fazową. Ale tutaj wyobrażamy sobie, że w każdej skali wszystko jest tak samo, nie ma żadnych kwantów. Zatem twierdzenie Poincarego-Bendixona wówczas nie obowiązuje, trajektoria może sama siebie dowolnie przecinać, gdyż i tak w każdym punkcie może rozwidlać się w dowolnym kierunku. Analogicznie stopy zwrotu stają się wtedy nieskorelowane, losowe. (Wtedy mamy do czynienia z ruchem Browna. Wprawdzie mówimy też, że ruch Browna jest fraktalem, lecz w innym lub szerszym znaczeniu: jest to fraktal losowy - rozkład prawdopodobieństwa w każdej skali [czasu, przestrzeni] pozostaje ten sam).

Nietrudno spostrzec, że wykres szeregu czasowego wahadła chaotycznego będzie również fraktalem. Niestety nie mam przy sobie takiego wykresu, więc na potrzeby bloga wykorzystałem tzw. odwzorowanie Henona, które potrafi generować ruch chaotyczny. Chociaż odwzorowanie to jest tylko dwuwymiarowe, to jest ono układem dwóch równań różnicowych, a więc trajektorię tworzą punkty, a nie linia ciągła - bez stosowania odwzorowania Poicarego otrzymujemy dwuwymiarowy atraktor. Na pierwszym rysunku poniżej widzimy wykres, który można potraktować jako wykres szeregu czasowego jednej z dwóch zmiennych odwzorowania Henona, a na drugim - atraktor Henona, który wydaje się bardziej "kształtny" od wcześniej pokazanej mapy atraktora chaotycznego. Należy pamiętać o nieciągłości szeregu - punkty są ze sobą konwencjonalnie połączone linią prostą podobnie jak punkty wykresów kursów akcji (w tym przypadku przedstawiony wykres jest bliższy wykresowi stóp zwrotu z akcji).





Jednostkę czasu można dowolnie dobierać i przy coraz mniejszej jednostce uwidaczniać będzie się coraz lepiej zygzakowatość wykresu w coraz mniejszym otoczeniu punktu.

Podobnie jest z kursami akcji - w poprzednim artykule wspominałem o nieciągłości pomiędzy kolejnymi transakcjami, która była konieczna, aby zachować możliwość nielosowego zachowania się kursu (w naszym modelu). Okazuje się teraz, że ta nieciągłość jest silnie powiązana z fraktalnością rynku. I zauważmy, że otrzymujemy tu "czystą" fraktalność, gdyż nie ma nigdzie miejsca, gdzie wykres kursu stałby się gładki (jednocześnie ciągły i bez kantów).

Wychylające się wahadło można traktować jako analogię ruchu kursu raz w górę, raz w dół. W naszym modelu wahadło stanowiła grupa B, która przechylała się raz w kierunku popytowej grupy A, raz w kierunku podażowej grupy C. O ile jednak w przypadku wahadła zmiennymi w przestrzeni fazowej były położenie i prędkość, o tyle w przypadku rynku zmiennymi są... no właśnie nad tym trzeba się dobrze zastanowić. Ponadto będzie trzeba uwzględnić element wywołujący chaos - trzecią zmienną, a do tego jeszcze uwzględnić dodatkowo grupę D, która ustala trend długoterminowy. Przypominając, iż w poprzednim artykule utożsamialiśmy grupę B z czynnikiem psychologicznym, a D z czynnikiem fundamentalnym, domyślamy się, że oba czynniki będą uwzględniane w naszym modelu w postaci zmiennych przestrzeni fazowej. Dokładne jednak ich zdefiniowanie i umiejscowienie wymaga oddzielnego artykułu (a przyznam, że już miałem "upakować" wszystko w jeden artykuł, dlatego tyle czasu to piszę). A więc znajdzie się to w kolejnej części.

Jak powstają cykle i podcykle? Prawdopodobieństwo warunkowe. Część trzecia

W pierwszym artykule z cyklu "Jak powstają cykle?" stwierdzono, iż ze względu na niepewność, trendy powstają i załamują się w przypadkowych momentach, natomiast samo utrzymywanie się nie jest przypadkowe. Ktoś może zripostować: skoro trend zaczyna się przypadkowo i kończy się przypadkowo, to znaczy to samo, że jest przypadkowy. Co więcej, wydaje się, że jeśli cykl można niemal w nieskończoność dzielić na podcykle, to znaczy, że w którymś momencie, przy bardzo małym horyzoncie czasu, początek cyklu połączy się z jego końcem, co prowadzi do wniosku, że sam trend jest przypadkowy.

W praktyce zawsze będzie istnieć pewna nieciągłość pomiędzy kolejnymi transakcjami. Myślę, że nawet teoretycznie pewna nieciągłość musi istnieć - w książce E. Borela "Prawdopodobieństwo i pewność" przeczytałem ciekawą myśl: że ludzie nie są w stanie wyobrazić sobie nie tylko nieskończenie wielkiej liczby, ale także nieskończenie małej liczby.

Wobec tego pierwsze zmiany ceny, które będą ze sobą silnie pozytywnie skorelowane, można zaobserwować. Niech najmniejszą jednostką czasu będzie okres t. Mamy więc sytuację, że z prawdopodobieństwem warunkowym równym 1 dodatnia (ujemna) zmiana ceny akcji z okresu t, spowoduje dodatnią zmianę ceny akcji z okresu t+1. Jest tak, gdy liczba kupujących (na przykład grupa B) przeważa nad liczbą sprzedających. Jednocześnie jednak wiemy, że w którymś z przyszłych okresów trend się zakończy (niepewność ze strony grupy B), jednak nie wiadomo kiedy. Skoro nastąpiło sprzężenie pomiędzy zmianami ceny w okresie t i t+1, możemy się mimo wszystko domyślać, że zmiana kierunku nie nastąpi wcześniej niż w okresie t+2. Przyjmijmy "obiektywnie", że prawdopodobieństwo warunkowe ujemnej (dodatniej) zmiany ceny z okresu t+k, gdzie k>1, pod wpływem dodatniej (ujemnej) zmiany ceny z okresu t+(k-1), wynosi 0,5.

Problem polega na tym, że t jest tylko zmienną. Ktoś wstawi t=0 i jeśli w okresie 0 cena wzrośnie, wtedy w okresie 1 będzie miał pewność, że cena wzrośnie, a w okresie 2 pewność wyniesie tylko 0,5. Z kolei jeśli ktoś wstawi t=1, a wiemy już, że cena w tym okresie wzrosła, wtedy w okresie 2 będzie miał pewność, że cena wzrośnie, co przeczy poprzedniej konkluzji.

Dlatego właśnie wyciągamy średnią: (1+0,5)/2=0,75. I takie jest prawdopodobieństwo warunkowe zmiany ceny akcji. Oczywiście jest to tylko model, w rzeczywistości wystąpi dodatkowy szum, który sprawi, że kolejne stopy zwrotu nie będą maksymalnie skorelowane w okresie t i t+1.

Powyższe rozumowanie wydaje się tłumaczyć, dlaczego wartość oczekiwana stopy zwrotu będzie różna od zera. W rzeczywistości jednak jest trochę inaczej. Zwróćmy uwagę, że posługiwano się tu pojęciem prawdopodobieństwa warunkowego.

Prawdopodobieństwo warunkowe wystąpi wtedy, gdy dwie zmienne lub zdarzenia losowe są od siebie zależne. Jeśli mamy prawdopodobieństwo zdarzenia x oraz y, to jeśli są one zależne, to prawdopodobieństwo, że wystąpi zdarzenie y pod warunkiem, że wystąpiło zdarzenie x jest równe ilorazowi prawdopodobieństwa części wspólnej zdarzeń x,y i prawdopodobieństwa zdarzenia x. Czyli mówi ono jaką część prawdopodobieństwa zdarzenia x stanowi prawdopodobieństwo części wspólnej zdarzeń x i y. Jest tak, ponieważ drugie implikuje pierwsze, a więc podstawą jest warunek i dopiero wtedy liczy się interakcja pomiędzy zdarzeniem y i warunkiem x. A więc mówiąc jeszcze inaczej, prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia y jest prawdopodobieństwem interakcji pomiędzy x i y pod wpływem x. Musimy więc zrozumieć, że nazwa jest trochę myląca: prawdopodobieństwo warunkowe y jest bardziej prawdopodobieństwem interakcji (zależności) zdarzeń niż konkretnego zdarzenia.

Kiedy mówimy, że trend nie jest przypadkowy, mamy na myśli, że występują zależności pomiędzy kolejnymi zmianami kursów. Mamy tu prawdopodobieństwo warunkowe, że kurs podąża w pewnym kierunku pod wpływem tego co się działo wcześniej, ale nie przypadek.

Skoro występuje pojęcie prawdopodobieństwa warunkowego, to również musi istnieć pojęcie warunkowej wartości oczekiwanej (a także warunkowej wariancji). Nie jest nam potrzebne dokładnie wiedzieć, czym jest warunkowa wartość oczekiwana. Intuicyjnie jednak warto ją rozumieć: to wartość oczekiwana jednej zmiennej losowej względem drugiej, czy pod warunkiem drugiej.

Musimy tu uświadomić sobie, że zazwyczaj intuicyjnie umieszczamy charakterystyki zmiennych losowych w pewnym kontekście. Stopa zwrotu jako taka posiada wartość oczekiwaną równą zero. Lecz w rzeczywistości trudno nam oderwać się od kontekstu - jest nim czas i przestrzeń. Aby uzyskać "czystą" wartość oczekiwaną, musimy się oderwać nie tylko od przeszłości, ale także poziomu inflacji i wzrostu gospodarczego. Pomyślmy bowiem: wartość oczekiwana musi wynikać z czystej losowości, rozkładu prawdopodobieństwa, a faktycznie jest tak, że na jej wielkość wpływa przeszłość (tzn. na zmienną Y wpływa zmienna X) oraz koniunktura gospodarcza (Y pod wpływem "inflacji" i "wzrostu gospodarczego"). Warunkowa wartość oczekiwana stopy zwrotu jest niezerowa.

Obecny tok rozumowania prowadzi do wniosku, że zmiana ceny w dowolnym okresie t, w oderwaniu od zmian w okresie t-1 oraz t+1, jest całkowicie losowa i prawdopodobieństwo wzrostu wynosi 0,5. Dlatego trend może się zakończyć w każdej chwili, jeśli nie obrysujemy tej chwili w kontekst. Ale gdy rozpatrujemy ciąg zmian, które są skorelowane, dostajemy prawdopodobieństwo warunkowe kontynuacji trendu większe od 0,5, co oznacza, że prawdopodobieństwo warunkowe odwrócenia trendu czy korekty jest mniejsze od 0,5.

Skąd to wiem? Wiem. Rafał Rak w pracy "Ilościowe charakterystyki fluktuacji i korelacji na polskim rynku akcji" (2008) stwierdza na s. 44, że zachodnie rynki (np. DAX, DJIA) są na skali jednominutowej wysoce persystentne (prawdopodobieństwo warunkowe, że znak stopy zwrotu w danej minucie będzie taki sam jak w poprzedniej minucie = 0,56). Okres jednominutowy jest oczywiście bardzo trudny do wykorzystania przez traderów. Wyniki badań czy to E. Petersa, K. Jajugi, N. Siemieniuka, czy Stawickiego, E. A. Janiaka, Iwony Müller-Frączek niezbicie dowodzą, że wykładnik Hursta w polskich szeregach czasowych stóp zwrotu, który można utożsamić z prawdopodobieństwem warunkowym, jest istotnie większy od 0,5 na różnych skalach czasowych - dziennych, tygodniowych i miesięcznych (w rzeczywistości chodzi tu, że jest większy od wartości oczekiwanej wykładnika Hursta, gdyż operujemy na pewnych próbkach czasowych, więc wyniki są obciążone i z reguły dają wykładnik Hursta większy od 0,5).

Choć moment powstania korekty czy też zmiany kierunku trendu jest losowy, to jednak musimy być świadomi praw probabilistyki. Im dłużej trwa trend, tym większe jest prawdopodobieństwo, że korekta nastąpi teraz. Im dłużej trwa trend, tym większe zyski (straty) osiągają (ponoszą) inwestorzy, tym większą odczuwają pokusę ich realizacji (od strony strat oznacza zwiększoną chęć sprzedaży, ale - dwoiście - zwiększenie zaangażowania kupujących po niższej cenie). Ale jest tu jeszcze jeden aspekt, którego dotąd nie poruszałem. Jeśli grupa B staje się podażą, to mająca zatrzymać korektę grupa D nie musi w rzeczywistości być liczebnie równa grupie B. Kupujących może być coraz mniej lub coraz więcej tylko ze względu na dostępność nowego kapitału.

Gdy włączymy wymiar czasu, ograniczony kapitał grupy D jest ważniejszy niż pokusa kupna czy sprzedaży dla utrzymania się trendu. Grupa B nie przechodzi tak od razu ze strony kupujących na stronę sprzedających, ale stopniowo zmienia swoje nastawienie. Przypadek zdecyduje, w którą stronę podąży cała grupa (na przykład grupa B1 może ciągnąć w stronę podaży, a B2 w stronę popytu). Jeśli natomiast grupy D zabraknie, wówczas nie powstanie długoterminowy, tj. paroletni trend.

Możemy ten problem znowu rozbić. Gdy rozważamy siłę trendu, wtedy istotna jest rola grupy B. Gdy rozważamy długość trendu, czyli czas jego trwania, wtedy istotna jest rola grupy D. W pierwszym przypadku od B zależy po pierwsze siła trendu, po drugie, jak szybko sama ulegnie tej sile i obróci się przeciwko trendowi. W drugim przypadku D będzie hamowała korekcyjne zapędy B, ale liczebność D będzie zależeć od ilości dostępnego kapitału. Dostępność kapitału jest w pewnej mierze zależna zarówno od krajowej jak i światowej koniunktury gospodarczej: poziomu PKB, wzrostu wynagrodzeń, poziomu zatrudnienia. Dlatego przewaga popytu, czyli hossa często zbiega się z okresami poprawy gospodarczej, a bessa - pogorszenia. Podkreślam jednak, że występuje tu jedynie częściowa zależność, a nie całkowita. Tak więc wejście grupy D może zależeć od tego, czy w danym sektorze gospodarki nastąpiła choćby lekka poprawa. Jeśli przedsiębiorcy poprawiają swój status, to część nadwyżki mogą przeznaczyć na inwestycje giełdowe. Ponieważ różne sektory mogą reagować z opóźnieniem, toteż wchodzenie nowego kapitału odbywa się stopniowo. Również spółki, które wypłacają dywidendy dla akcjonariuszy, poprawiając swoje wyniki finansowe, stają się bardziej popularne. W trakcie nadchodzącej recesji, sytuacja się odwraca.

Podsumowując, prawdopodobieństwo warunkowe znaku zmiany ceny akcji pod wpływem poprzedniego znaku zmiany ceny zależy od dwóch czynników: siły trendu oraz czasu jego trwania. Im większa siła trendu oraz im dłuższy czas jego trwania, tym większe prawdopodobieństwo warunkowe zmiany kierunku ceny - korekty. Pierwszy czynnik wynika z chciwości lub ze strachu, drugi czynnik z ograniczoności kapitału przeznaczonego na inwestycje giełdowe. W rzeczywistości zarówno jeden, jak i drugi czynnik zależy od dostępności kapitału. Nikt nie byłby chciwy i nikt nie bałby się ryzykować, gdyby jego kapitał był nieograniczony. W pierwszym jednak przypadku znaczenie ma psychologia, a w drugim ekonomia. Oba wymiary ściśle się ze sobą łączą. Wymiar ekonomii jest wymiarem przestrzeni kapitału. Wymiar psychologii jest wymiarem przestrzeni emocji i intuicyjnego rozumowania (heurystyk). Zauważmy, że wymiar ekonomiczny umożliwia w ogóle lokowanie kapitału, zaś wymiar psychologiczny umożliwia motywację do działania - zakup lub sprzedaż aktywów. W rezultacie kombinacja obydwu wymiarów kreuje prawdopodobieństwo warunkowe. W następnej części zajmiemy się czynnikiem psychologicznym.