Moja teoria wartości towarów

Wymyśliłem teorię wartości towaru. Poprzednio zaproponowałem wzór na wycenę towarów, ale wychodził on z założenia ad hoc, że wymagana stopa zwrotu dla towaru równa jest 1 / (1 + zmiana podaży) - 1. Stąd dostałem:

(1)

gdzie P - cena towaru, P0 - początkowa cena towaru, Q - podaż towaru, Q0 - początkowa podaż towaru.

Taki sam wzór dostaniemy, jeśli wykorzystamy równanie wymiany:

(2)

gdzie: M - podaż pieniądza, V - szybkość obiegu pieniądza.

Równanie wymiany jest tożsamością, które wyprowadziłem i omawiałem tutaj.

W równaniu wymiany dobro jest wymieniane na pieniądz. W przypadku wyceny towaru jest tak samo, tylko dotyczy to jednego towaru. Czyli M oznacza tu masę pieniądza przeznaczoną na kupienie tylko jednego dobra. 

Teraz przyjmę założenie, że M będzie stałe. Ponieważ rozpatrujemy tylko część całkowitej podaży pieniądza w gospodarce, to założenie może nie być prawdziwe nawet w krótkim okresie. Na przykład, jeśli zainteresowanie danym towarem wzrasta, podaż pieniądza wzrośnie. Jednak w tym modelu zakładamy, że rynek tworzą dwie grupy spekulantów: pierwsza nieuczciwa oraz druga uczciwa. W pierwszej trejderzy zmawiają się ze sobą, aby kupować i sprzedawać sobie nawzajem, po to aby wywindować cenę. Druga grupa przygotowuje w tym czasie zlecenia kupna/sprzedaży. Podaż pieniądza pozostanie stała, ponieważ trejderzy z pierwszej grupy będą kupować i sprzedawać od siebie coraz mniejszą ilość towaru, ale za to coraz większą ilość grupie drugiej. Całkowita ilość pieniądza pozostanie stała: grupa druga odda swoje pieniądze pierwszej grupie. 

Doszedłem do wniosku, że skoro M jest stałe i mamy tylko jeden towar, to znaczy, że M = P0*Q0. W okresie 0 za M jest kupowany towar w ilości Q0 po cenie P0. Stąd równanie wymiany przyjmuje postać:

P0*Q0*V = P*Q

Powiedzmy teraz, że przychodzi informacja, że Q wkrótce spadnie (np. z powodu złych warunków pogodowych). Powoduje to wzrost ceny z P0 do P. Ponieważ jednak M jest stałe, to Q musi spaść. Czyli Q spada z Q0 do Q. Wynika z tego, że M = P0*Q0 = P*Q. Ale to znaczy, że V = 1:

M = P0*Q0 = P*Q

P0*Q0*V = P*Q

V = 1.

Ma to sens, ponieważ V - jako szybkość obiegu pieniądza - stanowi jednocześnie liczbę transakcji sprzedaży danego towaru w krótkim czasie. Oczywiście transakcji będzie więcej niż jedna, ale Q będzie podzielone na wiele transakcji, a dodatkowo P stanowi średnią z tych transakcji. Inwestorzy mając M pieniędzy, kupują więc Q towarów po średniej cenie P. Na samym początku wszystko odbywa się uczciwie: spekulanci z grupy 1 wykupują z rynku cały towar (podbijając cenę), a sprzedający wycofują się z handlu.  

W ten sposób dostajemy to samo co równanie (1) na początku:

P = P0*Q0 / Q

Jeżeli towar jest dobrze wyceniony, to działa ta formuła. Zmienia się P, bo zmienia się Q.

Powiedzmy jednak, że w krótkim okresie spekulanci z grupy 1 po pierwszym wykupie, zmawiają się ze sobą, sprzedając i odkupując sobie nawzajem towar po coraz wyższej cenie pod pretekstem spadkowej podaży. Oznacza to, że V > 1 i wtedy wzór przyjmuje postać:

P = P0*Q0*V / Q

lub inaczej:

(3)

W pewnym momencie wchodzi druga grupa spekulantów, która chce od tamtych wykupić. Pierwsza grupa może stopniowo opuszczać rynek z zyskiem, a druga już walczy sama ze sobą, wprowadzając losowość do rynku.

W drugą stronę, jeśli spekulanci z grupy 1 zdecydują się na kupowanie i sprzedawanie od siebie za pomocą krótkiej sprzedaży czy kontraktów terminowych na sprzedaż, wtedy cena nabiera rozpędu w kierunku południowym. Pretekstem może być tym razem wzrost podaży. Trejderzy z grupy 1 na początku mają duże pozycje sprzedażowe, ale zmniejszają się one z czasem (są zamykane), a grupa 2 przejmuje je. 

Ponieważ spekulacja niejako ma na celu wyjść poza wartość fundamentalną, to znaczy, że teraz zmienia się tylko P, a Q pozostaje stałe. Jeżeli po zmianie fundamentalnej Q = Q1, to mamy:

 V = P*Q1 / M = P*Q1 / (P0*Q0).

Wiemy też z wcześniejszej analizy, że M jest stałe, więc po zmianie fundamentalnej z P0 na P1 i z Q0 na Q1, musi zajść równość M = P0*Q0 = P1*Q1. I wtedy:

 P*Q1 / (P0*Q0) =  P*Q1 / (P1*Q1) = P / P1.

Jeżeli P = P1, to V = 1. Wtedy towar jest dobrze wyceniony. 

Jeżeli P > P1, to V > 1. Wtedy mamy do czynienia z przewartościowaniem towaru.

Jeżeli P < P1, to V < 1. Wtedy mamy do czynienia z niedowartościowaniem towaru.

Czyli V może służyć do oceny przewartościowania / niedowartościowania.

Może się początkowo mylić P, P1 i P0, więc uporządkujmy te wielkości:

- P0 to cena początkowa towaru, którą sami ustalamy na podstawie historii. Zawsze ma przypisaną podaż Q0.  Moment 0 jest dowolny z przeszłości.

- P1 to wartość fundamentalna towaru, który wyceniamy po zmianie podaży, a właściwie po informacji, że zmieni się niedługo podaż z Q0 na Q1.

- P to cena towaru w ogólnym sensie, tzn. wzór (3). Jeżeli V równa się 1, to dostajemy wartość fundamentalną, w przeciwnym wypadku wartość spekulacyjną. 

Przykład. Wycena kawy arabica

Poprzednio wyceniłem arabikę średnio na 320-333 albo w zakresie 307-348. Jednakże obecna cena to już ponad 400. Podstawmy te same dane (P0 = 250, Q1 / Q0 = 0.75):

P1 = 250 / 0,75 = 333

Przy obecnej cenie 400:

400 = V*250 / 0,75 => V = 1,2.

Zgodnie z modelem obecna cena arabiki jest przewartościowana o 20%.

P. S. W sumie taka analiza pozwala odróżnić inwestycję od spekulacji. Trzeba tu jednak zaznaczyć, że nie znaczy to, że inwestycja jest pozbawiona ryzyka. Po pierwsze nie wiadomo po jakim czasie towar wróci do równowagi. Po drugie mogą pojawić się w tym czasie informacje zaburzające poprzednią wycenę.

Prosta wycena towarów

W niedawnym wpisie zaproponowałem wzór na procentową zmianę ceny kawy, gdy zmienia się jej podaż:

Zmiana ceny = [1 / (1 + zmiana podaży) - 1] * 100%

Oczywiście można to uogólnić na każdy towar. Mamy więc formułę:

gdzie P - cena, Q - podaż.

Chociaż ułożyłem to na szybko, "pi razy oko", bo ładnie pasowało, to sprawdzę co wyjdzie, jeśli z tego wzoru wyprowadzę cenę.

Przekształcamy:

Teraz całkujemy obie strony, ponieważ chcemy dostać sumę tych zmian:

Lewa strona będzie równa lnP + stała, 

a prawa: 

gdzie u = Q + dQ, a wtedy zmiana du = dQ.

Wracamy do Q + dQ zamiast u, więc mamy:

W sumie:

gdzie C = C1 + C2.

Obustronnie stosujemy funkcję wykładniczą, exp(), pozbywając się logarytmów i dostajemy:

Oznaczając A = e^C:

Przy całkowaniu dostaliśmy sumę wszystkich zmian cen procentowych, aby dostać pewnego rodzaju krzywą podaży, ale krzywa ta nie jest zawieszona w próżni - cena logarytmiczna jest na osi pionowej i ma pewną wartość początkową C1, a logarytmiczna podaż jest na osi poziomej i jej wartość początkowa jest stałą C2, dlatego dodajemy te stałe przy całkowaniu. Samo C sumą obydwu stałych, czyli połączeniem logarytmów ceny i podaży. Funkcja wykładnicza z C daje e^C, którą oznaczyliśmy jako  A. Załóżmy, że mamy jakąś cenę początkową P0, której odpowiada podaż Q0. W krótkim okresie czasu podaż się nie zmienia, a my chcemy wyznaczyć cenę na dany moment. Wynika z tego, że dQ = 0. 

W takim momencie 

Czyli

Ogólny wzór na cenę byłby wtedy następujący:

lub inaczej:

Ten drugi wzór pozwala posługiwać się jedynie zmianami podaży w stosunku do wybranego punktu początkowego 0.

Uzyskany wzór możemy użyć w dwóch wersjach. 

Wersja 1)

Pierwsza zakłada, że ponieważ cena P dotyczy zawsze momentu, a nie okresu, to dQ = 0, co dałoby:

 

Wersja 2)

Druga przyjmuje faktyczną podaż na chwilę obecną (Q), ale antycypuje już zmianę w niedalekiej przyszłości:

Obie wersje tak naprawdę powinny dawać te same wyniki. Różnica jest tylko taka, że w pierwszej wersji za Q przyjmujemy podaż, która jest oczekiwana przez rynek / inwestora. Z kolei druga wersja przyjmuje faktyczną podaż (Q) na dziś, która jednak już się zmienia lub za chwilę się zmieni. W tej wersji mamy dwie zmiany: z Q0 na Q oraz dQ. Często możemy przyjąć, że Q = Q0, jeżeli Q0 dotyczy niedalekiej przeszłości.

Ważną sprawą jest zrozumienie, że ta analiza zakłada, że w każdym punkcie popyt = podaż, dlatego zmiany w podaży są jednocześnie zmianami popytu. Jednocześnie krzywa popytu się nie zmienia - po prostu przesuwamy się po jej punktach, gdy podaż się ciągle zmienia. Stąd funkcja P = Q0*P0 / Q może być interpretowana jako funkcja zagregowanego popytu i będzie ją reprezentować krzywa:

 

Trzeba pamiętać, że ten model pokazuje jedynie sytuację, gdy zmienia się podaż, popyt się do niej dostosowuje, ale już nie wpływają na niego inne czynniki. 

Przykład. Wycena kawy arabica.

Podaż kawy w 2025 ma spaść w stosunku do 2024 o 25%. Dotyczy to sezonu 2026/25. Jednak podaż za sezon 2025/24 praktycznie się nie zmienia w stosunku do poprzedniego. Powiedzmy, że nasza cena startowa P0 to średnia w roku 2024 - wyniosła ona ok. 230 (z tygodniowych danych). Tak jak pisałem, obecna podaż nie zmieniła się, tzn. Q = Q0. Jednak w kolejnym roku nastąpi spadek o 25%. mamy więc:

P = P0 / (Q0 / Q0 + zmiana Q) = 230 / (1 - 0,25) = 307.

W Brazylii inflacja jest, jak w Polsce, dość wysoka i wynosi 4,5-5%. Dodajmy więc 5% inflacji:

307*1,05 = 322.

Sama tygodniowa stopa zwrotu ma odchylenie st. 4,4%, więc taką wartość można by umieścić w zakresie 307 - 336. 

 

Powiedzmy jednak, że punktem odniesienia jest 250, ponieważ od tego punktu dyskontowano informacje o spadku podaży. Mielibyśmy wtedy 250 / (1 - 0,25) = 333. Ponieważ to był listopad 2024 nie będziemy już dodawać inflacji, ale dodamy odchylenie 4,4%. Dostaniemy przedział 319 - 348. Obecna cena kawy wynosi ponad 380 $, więc z punktu widzenia tego modelu jest mocno przewartościowana.

Oczywiście nie jest powiedziane, że model jest prawidłowy. O tym się przekonamy, jeśli cena spadnie w te rejony.