Umysł ludzki nie znosi niepewności oraz ułamkowych sądów: niech coś będzie albo całkowicie losowe albo całkowicie deterministyczne. Jednak wiemy dziś, że prawda jest często ułamkowa: w świecie przyrody i na rynkach spotykamy chaos - proces całkowicie deterministyczny, a jednak wymagający stosowania procesów stochastycznych. Ani modele angażujące jedynie procesy stochastyczne, ani z góry narzucające determinizm, nie są w stanie uwzględnić wszystkich sytuacji na rynkach finansowych.
Chociaż w artykułach poświęconych analizie powstawania cykli przyjmowałem mniej lub bardziej ukryte założenia, starałem się zachować ową prawdę ułamkową. Nie używałem słowa chaos, zakładając, że kierunek rynku jest wyznaczony przez początkowe przypadkowe wahania. Istnieje jednak pewna analogia przedstawionego przeze mnie modelu do modelu chaotycznego, a mianowicie efekt motyla.
Nikt nie jest w stanie zidentyfikować przyczyn mających jakieś subtelne źródło w głowach inwestorów. To jest nasz motyl, który jest postacią przypadkową, ale wywołuje nieprzypadkowy huragan (przypadkowe wydarzenie prowadzi do obrania przez giełdę konkretnego kierunku).
Zmiany stanu układu opisuje się w przestrzeni fazowej. Różne punkty tych stanów zakreślają trajektorię, nazywaną orbitą. Zbiór przyciągania trajektorii nazywa się atraktorem. Najprostszym typem atraktora jest atraktor punktowy. Najlepszym przykładem takiego atraktora jest wahadło, które porusza się coraz wolniej i w końcu zatrzymuje się w miejscu. Gdy otrzymuje ono początkowy impuls, zaczyna poruszać się do przodu i do tyłu, ale każde kolejne wahnięcie jest krótsze od poprzedniego, aż wreszcie ruch ustaje. Działanie wahadła jest określone dwiema zmiennymi: prędkością i położeniem. Jeśli którą z tych zmiennych naniesiemy na wykres jako szereg czasowy, otrzymamy falistą linię stopniowo wytracającą amplitudę, która w końcu zmniejszy się do zera i linia stanie się zupełnie płaska.
Jeśli przestrzeń fazową tego przedstawimy w układzie współrzędnych, gdzie na jednej osi zaznaczymy prędkość, na drugiej położenie, otrzymamy spiralną linię, która kończy się w początku układu - jest to miejsce, w którym wahadło zatrzymuje się.
Przyjmijmy, że tarcie nie spowalnia ruchu wahadła i że za każdym razem, gdy osiąga ono dany punkt swojej trajektorii, dostarczamy mu taki sam impuls energii. Wykres szeregu czasowego takiego wahadła będzie miał kształt sinusoidy, zaś portret fazowy jego ruchu będzie okręgiem. Ten typ atraktora nazywamy cyklem granicznym.
Teraz wyobraźmy sobie, że losowo zmieniamy energię impulsu przekazywanego wahadłu, zachowując jednak między nimi stałe odstępy czasowe. Skutek działania energii będzie za każdym razem zmieniał się w zależności od wielkości poprzedniego impulsu, mimo że wielkości samych impulsów pozostają niezależne. Przy zmiennej energii impulsów i stałych odstępach czasowych między nimi położenie i prędkość wahadła przy każdym kolejnym impulsie będą inne. Jeśli pierwszy impuls będzie silny, w chwili nadejścia drugiego impulsu wahadło może poruszać się w dół. Jeśli drugi impuls będzie słaby, trzeci impuls może nadejść w chwili, gdy będzie ono poruszać się w górę, i jeszcze bardziej spowolnić jego ruch. Portret fazowy wahadła pobudzanego impulsami energii w regularnych odstępach czasu będzie zatem inny dla każdego cyklu. Cykl, czyli ruch pomiędzy dwoma najwyższymi położeniami wahadła, jest orbitą. Ponieważ jednak w tym przypadku wahadło nie będzie mogło dopełnić cyklu, jego portret fazowy będzie składał się z orbit, które za każdym razem będą inne i nigdy nie będą okresowe. Jego wygląd stanie się przypadkowy i chaotyczny, ale będzie ograniczony do zakresu (maksymalnej amplitudy wahadła). Jest to atraktor chaotyczny, nazywany także dziwnym. (Op. cit. E. Peters, Teoria chaosu a rynki kapitałowe, W-wa 1997, s. 137-140).
Przykład mapy Poincare dziwnego atraktora - "wahadła chaotycznego" przedstawiono poniżej:
Należy zwrócić uwagę, że ruch "wahadła chaotycznego" nie może zostać przedstawiony w dwuwymiarowej przestrzeni fazowej w całej okazałości, jeśli jest on ciągły w czasie. Dopiero w co najmniej trójwymiarowej przestrzeni fazowej, gdy uwzględnimy trzeci stopień swobody, możemy otrzymać ruch chaotyczny. Jeśli potraktujemy ów impuls energii jako pewną wymuszającą siłę z zewnątrz układu, wówczas tą trzecią zmienną będzie kąt pomiędzy wektorem siły wymuszającej a położeniem równowagi wahadła, czyli odchylenie wahadła od punktu równowagi spowodowane pewną siłą z zewnątrz.
Jeśli mamy do czynienia z odwzorowaniem ciągłym, wówczas ruch wahadła opisuje się równaniem różniczkowym, a gdy odwzorowanie jest dyskretne - równaniem różnicowym. Co to jest równanie różniczkowe? Jeśli obserwowane są ewolucyjne procesy zachodzące w rozpatrywanym układzie opisane poprzez nieznaną funkcję i udaje się określić zależność pomiędzy tą funkcją a jej pochodną (czyli zmianą wartości funkcji [trajektorii] w maleńkiej jednostce czasu), to związek taki nosi nazwę równania różniczkowego. (Dla równania różnicowego pochodna staje się zwykłą zmianą wartości funkcji w czasie). Jednak aby jednoznacznie określić ewolucję interesującego nas procesu należy dodatkowo określić warunki początkowe. W przeciwnym razie zadanie jest nieokreślone i posiada nieskończenie wiele rozwiązań. (Op. cit. J. Awrejcewicz, Matematyczne metody mechaniki, s. 9).
Skoro mamy już równanie różniczkowe, to szukamy jego rozwiązania. Ale szukamy rozwiązania równania opisującego konkretny ruch, trajektorię. Rozwiązaniem jest właśnie ta trajektoria przy danym warunku początkowym. Nie możemy więc otrzymać na przykład dwóch rozwiązań, jak w równaniach kwadratowych. Nasze rozwiązanie musi być jednoznaczne. Ale żeby było jednoznaczne, to trajektoria nie może się przecinać sama ze sobą. Możemy przecież wybrać dowolny warunek początkowy będący jakimś punktem trajektorii; gdyby tym punktem był punkt, w którym trajektoria przecina się z jakąś inną lub po pewnym czasie sama ze sobą, to z tego punktu "wyrastałyby" dwie trajektorie i rozwiązanie nie byłoby jednoznaczne.
Trajektoria musi być konkretna, bo mamy do czynienia z równaniem deterministycznym (dla równania stochastycznego trajektoria rozwidlałaby się jak by pragnęła). Należy mieć jednak na uwadze, że dla równania chaotycznego powtórzenie eksperymentu w postaci znalezienia danej trajektorii jest tylko teoretycznie mozliwe - nawet maluśka różnica pomiędzy warunkiem początkowym wziętym w pierwszym eksperymencie a warunkiem początkowym w drugim eksperymencie spowoduje, że dostaniemy dwie zupełnie inne trajektorie - na początku bardzo zbliżone, a po pewnym czasie niemające ze sobą nic wspólnego. W przyspieszonym tempie na komputerze ten sam układ równań (całkowicie stały matematycznie) z takim samym warunkiem początkowym (a w rzeczywistości bardzo, bardzo zbliżonym, gdyż identyczne warunki są niemożliwe - wynika to z kwantowej natury świata) będzie generował za każdym razem inną trajektorię. Spowoduje to, że ruch trajektorii będzie wyglądał na losowy (i klasyczne testy nie wykryją korelacji pomiędzy orbitami). Oto istota chaosu.To wyobraźmy sobie, co się dzieje, gdy trajektoria jest ograniczona w pewnym obszarze. Płaszczyzna dwuwymiarowa jest zbyt „ciasna”, aby trajektoria mogła się przeplatać, tworząc bardziej złożone rozwiązania (op. cit. M. Tylutki, Układy oscylacyjne w przyrodzie, Foton 90, jesień 2005, s. 20). Mówi o tym twierdzenie Poincarego-Bendixona: Jeśli trajektoria jest ograniczona i nie dąży do żadnego punktu osobliwego (atraktora punktowego), to jest albo zamkniętą orbitą, albo do niej dąży. I dlatego właśnie chaos odbywa się w co najmniej trzech wymiarach.
Przedstawiony szkic atraktora chaotycznego wahadła jest tylko jego mapą, którą nazywamy mapą Poincarego. Metoda Poincarégo polega na zredukowaniu N-wymiarowej przestrzeni fazowej z czasem ciągłym do przestrzeni (N-1)-wymiarowej z czasem dyskretnym (nieciągłym). A więc zastępujemy równania różniczkowe różnicowymi.
Właśnie przejście od czasu ciągłego do dyskretnego niesie poważne konsekwencje. Pozwala to na eliminację ruchów okresowych do punktów, dzięki czemu można się skoncentrować tylko na dynamice chaotycznej, a także pozwala zrozumieć fraktalność atraktora i w konsekwencji szeregów czasowych kursów i stóp zwrotu. Mamy tu podobieństwo do linii brzegowej - nie jest to linia jednowymiarowa, gdyż przy powiększeniu dostrzegamy coraz więcej szczegółów, zygzaków, aż w końcu pozostają same kamienie, a w każdym razie pewne punkty. Linia brzegowa okazuje się nieciągła i ma wymiar ułamkowy.
Definicja atraktora chaotycznego określa go jako taki atraktor, który jest fraktalem. Pamiętamy jaka była różnica pomiędzy równaniem deterministycznym a stochastycznym. Atraktor jest analogią ciała stałego - cząsteczki są połączone wiązaniami chemicznymi. Odnajdując tu analogię do rynku stopy zwrotu są "połączone" prawdopodobieństwem warunkowym (są skorelowane). Przy każdym kolejnym powiększeniu ciała stałego potrafimy dostrzec coraz większe szczegóły. Materiał, cząsteczki, atomy... gdzieś są w końcu te kwanty (działania, energii, tj. stała Plancka), czyli istnieje nieciągłość. Kwanty powodują, że obiekty stają się ze sobą powiązane.
W przypadku równań stochastycznych atraktor staje się analogią gazu, który wypełnia całą przestrzeń fazową. Ale tutaj wyobrażamy sobie, że w każdej skali wszystko jest tak samo, nie ma żadnych kwantów. Zatem twierdzenie Poincarego-Bendixona wówczas nie obowiązuje, trajektoria może sama siebie dowolnie przecinać, gdyż i tak w każdym punkcie może rozwidlać się w dowolnym kierunku. Analogicznie stopy zwrotu stają się wtedy nieskorelowane, losowe. (Wtedy mamy do czynienia z ruchem Browna. Wprawdzie mówimy też, że ruch Browna jest fraktalem, lecz w innym lub szerszym znaczeniu: jest to fraktal losowy - rozkład prawdopodobieństwa w każdej skali [czasu, przestrzeni] pozostaje ten sam).
Nietrudno spostrzec, że
wykres szeregu czasowego wahadła chaotycznego będzie również fraktalem. Niestety nie mam przy sobie takiego wykresu, więc na potrzeby bloga wykorzystałem tzw. odwzorowanie Henona, które potrafi generować ruch chaotyczny. Chociaż odwzorowanie to jest tylko dwuwymiarowe, to jest ono układem dwóch równań różnicowych, a więc trajektorię tworzą punkty, a nie linia ciągła - bez stosowania odwzorowania Poicarego otrzymujemy dwuwymiarowy atraktor. Na pierwszym rysunku poniżej widzimy wykres, który można potraktować jako wykres szeregu czasowego jednej z dwóch zmiennych odwzorowania Henona, a na drugim - atraktor Henona, który wydaje się bardziej "kształtny" od wcześniej pokazanej mapy atraktora chaotycznego. Należy pamiętać o nieciągłości szeregu - punkty są ze sobą konwencjonalnie połączone linią prostą podobnie jak punkty wykresów kursów akcji (w tym przypadku przedstawiony wykres jest bliższy wykresowi stóp zwrotu z akcji).
Jednostkę czasu można dowolnie dobierać i przy coraz mniejszej jednostce uwidaczniać będzie się coraz lepiej zygzakowatość wykresu w coraz mniejszym otoczeniu punktu.
Podobnie jest z kursami akcji - w poprzednim artykule wspominałem o nieciągłości pomiędzy kolejnymi transakcjami, która była konieczna, aby zachować możliwość nielosowego zachowania się kursu (w naszym modelu). Okazuje się teraz, że ta nieciągłość jest silnie powiązana z fraktalnością rynku. I zauważmy, że otrzymujemy tu "czystą" fraktalność, gdyż nie ma nigdzie miejsca, gdzie wykres kursu stałby się gładki (jednocześnie ciągły i bez kantów).
Wychylające się wahadło można traktować jako analogię ruchu kursu raz w górę, raz w dół. W naszym modelu wahadło stanowiła grupa B, która przechylała się raz w kierunku popytowej grupy A, raz w kierunku podażowej grupy C. O ile jednak w przypadku wahadła zmiennymi w przestrzeni fazowej były położenie i prędkość, o tyle w przypadku rynku zmiennymi są... no właśnie nad tym trzeba się dobrze zastanowić. Ponadto będzie trzeba uwzględnić element wywołujący chaos - trzecią zmienną, a do tego jeszcze uwzględnić dodatkowo grupę D, która ustala trend długoterminowy. Przypominając, iż w poprzednim artykule utożsamialiśmy grupę B z czynnikiem psychologicznym, a D z czynnikiem fundamentalnym, domyślamy się, że oba czynniki będą uwzględniane w naszym modelu w postaci zmiennych przestrzeni fazowej. Dokładne jednak ich zdefiniowanie i umiejscowienie wymaga oddzielnego artykułu (a przyznam, że już miałem "upakować" wszystko w jeden artykuł, dlatego tyle czasu to piszę). A więc znajdzie się to w kolejnej części.
